权责发生制估值和市值调整

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英文标题：
《Accrual valuation and mark to market adjustment》
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作者：
Alexey Bakshaev
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper provides intuition on the relationship of accrual and mark-to-market valuation for cash and forward interest rate trades. Discounted cashflow valuation is compared to spread-based valuation for forward trades, which explains the trader\'s view on valuation. This is followed by Taylor series approximation for cash trades, uncovering simple intuition behind accrual valuation and mark-to-market adjustment. It is followed by the PNL example modelled in R. Within the Taylor approximation framework, theta and delta are explained. The concept of deferral is explained taking Forward Rate Agreement (FRA) as an example.
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中文摘要：
本文提供了现金和远期利率交易的权责发生制和市值计价之间关系的直觉。贴现现金流估值与远期交易基于价差的估值进行了比较，这解释了交易员对估值的看法。接下来是现金交易的泰勒级数近似，揭示了权责发生制估值和按市价调整背后的简单直觉。然后是R中建模的PNL示例。在泰勒近似框架内，对θ和δ进行了解释。以远期利率协议（FRA）为例，解释了延期的概念。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：权责发生制 relationship Quantitative QUANTITATIV derivatives

权责发生制估值和市值调整Alexey Bakshaevalex。bakshaev@gmail.comFebruary本文提供了现金和远期利率交易的权责发生制和市值计价之间关系的直觉。贴现现金流估值与远期交易的基于价差的估值进行了比较，这解释了贸易商对估值的看法。接下来是现金交易的泰勒级数近似，揭示了权责发生制估值和按市价调整背后的简单直觉。然后是R中建模的PNL示例。在泰勒近似框架内，对θ和δ进行了解释。以远期利率协议（FRA）为例，阐述了延期的概念。1.引言1。1.估值的类型财务会计要求交易估值必须至少反映贸易经济学。充其量，市场价值要么是已知的，可以直接应用，要么可以通过复制交易的可比或对冲等特定代理衍生。对未来应收利息进行估值的最基本方法是在等待时间内线性累积其价值。考虑1，我们以固定利率r贷款T时间金额。我们将表示自交易开始到T时间的年份分数0t，例如，t。同样地，从交易开始到t时的利息支付的年份分数为0吨。我们将直接计息。鉴于付款金额为r到目前为止t的线性部分为0t0T，利息的实际部分可写为0t0T* R0或简单地说r0吨。

在这种情况下，应计的PV为：P Vaccr=1+r0t（1）由于定价时的市场条件将不同于交易时的市场条件，因此市场将对交易进行不同于权责发生制估值的定价。假设我们使用已知的市场价格进行折扣。从t=0开始的时间t的贴现系数可以写成（2），其中z0是市场零利率。DF0t=1+z0t0t（2）1.2现金交易和远期交易1。2.1 Forwards贸易是指未来开始的贸易。继续上面的例子，让我们假设我们在未来某个日期借出1个名义利率，然后在另一个未来日期t（t=0<t<t）用折扣r取回。为了简洁起见，我们将t从注释中删除，因此在t日支付的利息（在t期间累计）写为r1,2. 在这种情况下，贴现现金流估值可以写成：P VDCF=-1.* DF0,1+（1+r1,2) * DF0,2（3）扩展（1）对于远期启动案例，我们可以将基于权责发生制的估值定义为：P Vaccr=如果t<t1+r，则为0t、 t如果t>=t（4），则t<t<t0，其中t、 t=t-坦德尔t、 这是应计金额。这种基于权责发生制的估值的分段定义遵循一个简单的经济原则：如果交易在未来开始（t<t），我们还没有开始计息，因此，权责发生制估值将在定义时给出0的应计价值。这意味着，在权责发生期开始之前，基于权责发生制的估值将在P Vaccr=1时产生零PNL和FL估值。然而，基于DCF的apporach并非如此。自交易登记日起，它将受到时间衰减（θ）和按市场利率（δ）重新估价的影响。本文将在适当的时候对其进行更清楚的解释。

另一个重要的观察结果是，基于权责发生制的估值不取决于市场利率：它仅由交易参数（权责发生制期间长度和利率）以及估值日期相对于权责发生制期间的相对位置驱动。利息假定在交易到期日支付，所以此时应计利息为0。由于本金也在到期时支付，整个应计估值（1）将在到期日及到期日后变为0。这相当于将一种证券资产转换成现金，因此我们不再有余额中的证券，只有现金。由于我们假设到期日的贴现系数为0（DFt=T=0），DCF估值也为零。以下是应计金额的时间描述。提前交易现金交易应计利息1.2.2“现金”交易“现金”交易是指已经开始的交易（t<=t）。基于权责发生制的估值符合（1）和（4）。我们可以将DCF估值改写为：P VDCF=（1+r1,2) * DFt，2（5）2向前估值在上面的固定利率示例之后，让我们证明一个简单的引理，它引入了DCF和基于价差的估值的等价性。LHS是DCF估值公式（3），RHS是基于价差的估值公式P Vspread-基于=[r]- z]* 1,2*DF0，2Lemma 1。DCF估值和基于价差的估值是等价的：- 1.* DF0,1+（1+r1,2) * DF0,2≡ [r]- z]* 1,2* DF0,2（6）证明。让zbe计算从开始日期到到期日的远期利率。定义：DF1,2=1+z（7） 同时，DF1,2=DF0,2DF0,1。由此得出1+z=DF0,1DF0,2。

将DF0,1代入（3）得到：P VDCF=-1.* （1+z）) * DF0,2+[1+r] * DF0,2=[r- z]* 1,2* DF0,2（8）2.1泰勒近似x=0的泰勒近似可以写成：1+x~ 1.- x+o（x）（9）因此，贴现系数可以写成：DF0t=1+z0t0t~ 1.- z0t0t+o（z0t0t）（10）对（6）的RHS应用泰勒近似，我们得到：P Vspread-基于=[r]- z]* 1,2* DF0,2~ [r]- z]* 1,2+o（z）) （11） 数值例子1。交易员对远期价格的看法考虑明天下一个（TN）到期日的利息交易，名义利率为1000000，交易完成时为500个基点。TN市价为300个基点，市价为200个基点。价值是什么？我们将使用基于spead的估值的泰勒近似，我们在（11）中解释了这一点：P Vspread-基于~ [r]- z]* 1,2（12）基于价差的（在（11）之后）：1000000* (0.05 - 0.03) * 1/360 = 55.55.现在让我们看看它离实际的DCF估值有多远。DF0,1=1/（1+0.02）* 1/360）=0.9999448，DF1,2=1/（1+0.03）* 1/360）=0.999916674，因此DF0,2=DF0,1* DF1,2=0.99986126。使用（3）我们得到：P VDCF=-1000* 0.999944448 + 1000 * (1 + 0.05 * 1/360) * 0.99986126=55.5478（13）我们发现它与泰勒近似有很好的一致性。3.权责发生制与DCF估值的关系现在让我们看看当交易停止转帐并变成“现金”时，DCF估值会发生什么，因此我们开始累积利息。我们将继续使用相同的单周期交易示例。引理2。在一阶泰勒级数近似下，DCF估值可以表示为基于应计利润的PV和按市价调整的总和。P VDCF=（1+r）0，T）* DFt，T~ 1+r0，t+（r- zt，T）t、 t+o（z）（14）证明。

让我们将估值日期表示为t，到期日表示为t，交易利率表示为rand，从t到t的零利率表示为zt，Tas z.1+r0，T1+zt、 t=1+r(0，t+t、 t）1+zt、 t=r0，t（1+z）t、 （t）- R0，tzt、 t+1+rt、 T1+zt、 t=r0，t |{z}应计+1+rt、 t- R0，tzt、 T1+zt、 t |{z}MtM调整（15）现在让我们对MtM分量应用泰勒近似（9），去掉二阶分量。请注意，rz0，tt、 这也是一种二阶成分。R0，t+1+rt、 t- R0，tzt、 T1+zt、 t~ R0，t+（1+r）t、 t- rz0，tt、 t）（1）- Zt、 （t）~R0，t+1+rt、 t- rz0，tt、 t- Zt、 t- rz(t、 t）+rz0，t(t、 （t）~1+r0，t |{z}P Vaccr（1）+（r）- z）t、 t |{z}MtM调整（11）+o（z）)（16） MTM调整~ （r）- z）t、 t（17）如上所示，DCF估值相当于应计基础估值（1）和按市价调整（17）之和。请注意，从估值日t到到期日t的基于价差的估值（11）代表按市价调整（17），使基于权责发生制的估值与市场利率z一致。如果市场利率z等于交易利率r，则MtM调整部分取消。这与债券市场词汇有一些相似之处。从清洁价格的角度来看，在这种情况下，交易按平价定价。从脏价的角度来看，交易按面值加应计价格进行定价。一旦交易价格与市场价格不同，清洁价格就会受到按市价调整的影响。4.希腊基于（16）让我们推导出定义PNL的基本希腊语。记得吗0，t=t-Tt、 t=t-θ=P VT~R-r+z~z%=P VZ~ -t、 t（18）oθ（“θ”）表示对时间衰减t的敏感性。一阶依赖性取决于市场利率。它显示了将一天的名义价值转移到下一天的市场成本。

我们不妨将θ作为应计和mtm组成部分的总和重新写入：θ~Z~r |{z}累加+（z-r） |{z}MtM调整（19）o%（“rho”）解决了对市场利率z的敏感性。我们与交易的剩余期限成反比关系。这意味着，等待价格上涨的时间越短，价格对市场利率变化的敏感度就越低。负号告诉我们PV随着市场利率的增加而减少。4.1 RR中的权责发生制估值和MtM调整是一种在许多领域流行的科学语言。它的优点之一是易于处理向量。我们将在daysobject中填充一个不断增加的daycount数组，减少daysRemaining对象中的daycount，然后计算：discFact-daysRemaining对象中每天的每日贴现因子向量Predured-每日应计金额SPV向量-基于DCF的PV向量（每天一个PV）mtmAdj-按市值调整向量（11）PVTaylor-泰勒近似PVs向量，见（16）未解释-DCF PV和Taylor近似PVS之间的差异向量我们将假设700个基点的市场利率有意高于500个基点的交易利率（10天内100万名义利率），以获得负mtm调整（这样更具指导意义）。为了简单起见，每天700个基点的市场利率将保持不变。下面是计算上述资产估值的R代码。几天<- 连续（1,10）天<- 序号（9，0，-1） a c r u a l F r a c t o n s<- 天/360fr a c t i o n s R e ma in g<- 每日维护/360d i s cF a c t<- 1/(1+ 0 . 0 7 * 应计天数（维持/360）<- 1000000* 零点零五* a c c r u a l F r a c t o n sPV<- 1000000* (1 + 0 .0 5 * 10/360) * D sc F a c TMADJ<- 1000000* ( 0 . 0 5 - 0 .

0 7 ) * fr a c t o n s R e ma in gPV Taylor=1000000+应计+mtmAdjunex p l<- PV- PV TaylorPVs<- cbind（天、PV、应计、mtmAdj、PV Taylor、un e EXPLAIN e d）PVS在R环境中执行此代码会产生以下PNL模拟：此示例提供了一些很好的直觉：o应计线性增加，反映了线性识别的息票金额o负MtM调整反映了这样一个事实，即700个基点的市场利率高于500个基点的交易利率。随着估值日期t逐渐接近到期日期t，它会随着时间的推移而减小，因为mtm分量是按t、 t.这与市场利率Z的敏感性（持续时间）一致，即：-t、 to由于市场利率不变，因此没有%归因。整个日常生活都可以用时间衰减来解释~ 1000000* 0.07/360 ~ 194.44 (18). 这突出了一个非常重要的问题。虽然PNL归因纯粹是θ驱动的，但它可能被分为应计部分和按市值计价部分，这分别取决于交易率和曲线率。下面（19）我们得到了以下θ分量：θaccr~R~ 1000000* 0.05/360 ~ 138.89θMtM~Z- R~ 1000000* (0.07 - 0.05)/360 ~ 55.56（20）5概括。1浮动汇率莱特现在假设对单期远期起始流动交易进行估值。在公式（8）中，我们需要将固定交易利率r替换为浮动利率f和执行扩散s。泰勒近似值将写成：P VDCF=[f+s- z]* 1,2* DF0,2~ [f+s- z]* 1,2（21）如果根据同一收益率曲线（如伦敦银行同业拆借利率）预测远期利率，它们将被抵消，估值近似为简单的asP VDCF=s1,2（22）在零差价s=0的情况下，该远期期的估值为0。

这一点我很容易理解，因为我们都在同一时期以相同的利率进行预测和贴现。我们在时间1支付的金额（名义金额）将等于我们在时间2收到的流量的贴现（时间1）值，因此-1+1+z1,21+z1,2=0.在伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）预测和OIS贴现的情况下，我们将根据IBOR对OIS的利差f获得PV- 如果利率为固定的f=r，估值将相当于（14）。5.2适用产品本文提供的应计估值和按市价调整适用于各种利率产品，如远期利率协议、回购协议（仅考虑交易的现金方）、到期利息以及债券和利率互换。一种极端情况是我们假设持续时间为零的产品，例如callaccounts。对于这些人来说，最保守的估值将完全基于权责发生制（如果我们假设资金可以在估值日提取），而不进行市值调整。另一个极端情况是远期利率协议（FRA）。这些是期初支付的远期交易。虽然他们保持向前看，但估值是由按市值计价的调整驱动的。然而，一旦FRA付款，MtM调整组件就会完全消失。由于我们在期初收到了利息，我们需要延期。下一段将对此进行解释。5.3远期利率协议远期利率协议（FRA）是一种金融合同，贷款人（卖方）同意在未来收取固定的“合同”利率r（固定利率锁定为新利率），以换取未来的浮动付款（在未来t点已知）。FRA的一个特殊属性是，它在远期期开始时付款。让我们再次表示前向周期Tas1的开始和tas2的结束。

为了简单起见，我们假设付款和付款都发生在t。由于付款在t，因此需要将贴现率从2锁定到1。惯例是假设它是预测（以及随后确定）期间的相同远期利率。因此，点tis处FRA的PV:P Vt1F RA=[r- f]* 1,21+f1,2（23）折扣到我们得到的时间0:P VF RA=[r- f]* 1,21+f1,2* DF0,1（24）将泰勒近似（9）应用于该公式，我们得到了（12）中相同的近似值，这告诉我们FRA估值是纯粹的按市值调整驱动的（17）：P VF RA~ [r]- f]* 1,2（25）5.4净现值的概念为了更好地理解递延的概念，我们需要首先介绍净现值的概念。净现值是未偿现金头寸与交易现值之和。下图显示了我们在（4）中使用的单期示例中基于权责发生制的PV、现金状况和NPV的样子。时间1 2P Vaccr1+rime0 1 2 CASHP os-1rT ime0 1 2NP Vr可以看出，净现值给出了利息收入直线增加的概念，利息收入在付息日后保持不变。5.5延期对于FRA，我们希望线性确认FRA期间的收入。这意味着我们需要将期初收到的利息支付与延期金额进行设置，以便这些金额的净额等于线性增加的CCRual。我们可以将延期定义为：延期=如果t<t，则为0-Rt、 t如果t>=t（26），则t<t<t0，其中-Rt、 是的-rT-t、 可以看出，息票和延期的总和将形成相当于线性应计利润的利润。延期+息票=应计（27）下图描述了这一点。T ime1 2Deferral-rime1 2CashP osrime1 2进位6结论使用泰勒近似有助于弥合权责发生制和市值计价之间的差距。