消费和收入分布随时间变化的贫困指数

代理人在商品上花费更多资金的能力的增长率主要由两个因素决定，即家庭所属的整个参考人口在基本商品上的最大消费支出V（t）（时间相关）和可用于消费支出的总收入（来自资产市场分布）。因此，我们假设了一种递归行为，首先对工作、收入和储蓄做出决策，然后使用可用于消费的收入做出消费支出决策。我们现在要做的是将支出动态（包括消费剥夺）与基于Ito演算方案的收入分配动态相结合。B、 福克-普朗克模型：结果与讨论阈值线CDi（y，t）以上的随机收入-支出增长率的上述形式导致以下福克-普朗克方程【29】，该方程描述了收入分配函数的时间变化率^ft（y，t）=Y（α+2）y- C（t）- CD（y，t）^f++y^fY（3） 上述耦合动力学涉及收入f（y，t）的概率密度函数和消费剥夺函数CD（y，t），表明只有当有效平均收入超过CD（y，t）的一个因子的实际平均C（t）时，才会发生有效贸易。在稳态下，C（t）=CD（y）=VKK+y（t→ ∞ 极限），它给出了稳态不均匀分布：^f（y）t→∞∝E-（C+V）yyα+21+KyV/K，（4）这里，Vand Kare表示相应年份的V（t）和K（t）值。可根据条件Z计算比例常数∞y^f（y）t→∞dy=1。参数α因经济体而异，可根据数据进行评估。

在我们的研究中，我们使用了印度国家抽样调查（NSS）[18]中记录的印度数据，历时43年（1959-2002），共25次调查，并抽样了约700万个收入数据。仅使用了食品消费统计数据，这是最低收入部门（贫困）的少量基本生活支出。每月收入/支出数据可用于各个收入部门，通常称为“支出类别”，利用这些数据绘制了累积分布函数（CDF）。CDF产生了概率密度函数（PDF）。在本次分析中，所有数据均使用消费者价格指数（CPI）数据（也可从www.worldbank.org获得）进行了定义，转换公式为：定义支出=原始支出数据CPI。（5） 插图表明，从我们的模型中产生的IPDF也与等式（4）中提供的函数形式非常一致。特征值分析表明，该解在扰动下是稳定的。如【1】所示，方程3可以解析求解，以获得完整的时间相关解，即具有时间相关系数的反超几何函数SF（a，b，z）之和：^f（y，t）=n=∞Xn=0exp(-ωnt）gn（y）（6），其中ωn=2πn且gn（y）=Bc（t）yγ（1）-F（γ（1）-, γ（2）-, -C（t）y）+BC（t）yγ（1）+F（γ（1）+，γ（2）+，-c（t）y）（7）γ（1）±=3+α±q（1+α）+4ωn（8）γ（2）±=1±q（1+α）+4ωn（9），带裸常数取决于初始条件。对于所使用的印度数据集，可调整的重新标准化平减收入为0.51收入CDF1974198319910 1 2 400.511.52收入PDF图2。选定年份的累积分布函数（CDF）与通货膨胀收入的对比图，通货膨胀独立来源于消费者价格指数（CPI），并重新标准化为1974年的平均收入（卢比）（64.84卢比）。

绿线是我们的理论曲线，将yias收入置于非零水平之上，低于该水平，代理人将死于饥饿（在重整化单位中设定为0.15）。插图显示了IPDF，这是CDF的差异，通过插值从数据中进行评估。这些点是NSS的真实数据，这条线是我们稳态分布的解析函数，符合方程4中预测的幂律，α=1.6。（随着经济的变化而变化）参数α=1.6，这证实了随机模型的分数布朗运动[25]。三、 消费剥夺动态在下文中，我们展示了在时间t具有收入y线的代理i的“消费剥夺”（CD）动力学的现象学推导。在将“消费”函数恢复到饱和水平V（t）方面，CD（y，t）仍然不足该收入。接下来的问题是，财富分数的流入（或流出）可能会造成动态“不稳定”y发送给（或从）代理人i。当然，这种变化将引发两种对立的经济学力量的竞争：一种是通过对以y为特征的所有财富国家的资产进行各向同性同质化，试图“中和”这一贫困高峰的影响，另一种是通过最大化“横向增长”来反制这一辩证法，从而导致财富堆积在最接近收入的国家yy、 第一个效应可以用拉普拉斯微分术语（不是货币，而是CD）ν（t）来表示yCD（y，t）（ν（t）：随时间变化的扩散常数），而后一项既取决于瞬时贫困CD（y，t）本身，也取决于贫困增长梯度相邻财富部门的yCD（y，t）[y-y、 y型+y] ；换句话说，在产品CD上（y，t）yCD（y，t）。

第二个（反射）对称性破坏术语意味着最贫穷的人（y→ 0）实现最快的减贫，尽管这样的计划不允许保护《国际贸易法公约》是合理的。将这两个分别代表饱和水平V（t）（扩散动力学）周围的经济中性化的术语相结合，该饱和水平V（t）（扩散动力学）受相邻代理之间的定向经济梯度（Burgers\'Nonliness[26]）的干扰，我们得出了消费剥夺的时间动力学模型：tCD（y，t）+CD（y，t）yCD（y，t）=ν（t）yCD（y，t），tCD（y，t）=V（t）K（t）2ν（t）+V（t）K（t）（K（t）+y）（10）贫困的增加（或减少）与Φ（t）=2ν（t）+V（t）K（t）>0（或Φ（t）<0表示贫困减少）简单相关。为了规定ν（t）的一个值，或至少一个区域，我们需要用我们之前的数据库研究[1，15]估计我们的动力学模型的稳态统计量。正如简单代数所建议的，静态解(我们模型的tCD（y，t）=0）给出了CD（y，t=t）=-2νK+y，其中Kis是参数K（t）在t=t时的值。将此稳态溶液与[15]中的溶液进行比较将进一步确保ν=-VK，从而不含糊地建立了ν（t）的稳定状态形式。对于CD函数的时间动力学演化，我们将假设一个解，该解离由ν定义的线性稳定稳态不太远，即ν（t）=-VK+Δν（t），通过保持Φ（t）6=0，确保CD函数的时间演化，其中Δν（t）量化了作为时间函数的非平衡增量，单位为ν（t）。这可以在不损失任何概括性的情况下完成，因为我们对[1]的实际数据分析已经确保每个年度数据的PDF统计数据与方程式（3）中给出的原始福克-普朗克模型的相应稳态解相匹配。

这种流体动力学模型的选择还确保了长期“流体动力学相互作用”的隐含存在，这些相互作用被认为对理解基于代理的建模研究中的金融波峰和波谷至关重要【5】。在图3和图4中，x轴使用“圆形数字”表示时间线，而不是年份数字；这是为了缓解多年来数据收集的非周期性。图3：。V（t）与t；V（t）=-890.5+963.69*e经验值(-0.0025* t） 对于V（t）>0。点代表实际数据点，实线是1960年<1992年<1992年之间通过这些点的最小二乘拟合趋势线。图4：。K（t）与t；K（t）=-579.66+674.66*经验值(-0.0048* t） 对于K（t）>0。点代表实际数据点，实线是1960年<1992年<1992年之间通过这些点的最小二乘拟合趋势线。使用Cole-Hopf变换[26]，常数参数值和Kfromequation（10）的消耗剥夺函数的闭式时间依赖解可以写成图5。CPI标准化平均收入与时间的关系图。1973年之后，所有贫困数据都得到了标准化，这一行为符合实际预期，呈现出单调增长的趋势（由图中的标记表示）。相应的最小二乘回归系数估计为C（t）=1.16* T- 2218.7 1973年<1992年<1992年之间。CD（y，t）=-2νYLG公司（4πνt）-1/2Z∞ydye公司-（y）-y） 4νt×e-2νZydyCD（y，0）, （11） 其中，CD（y，0）是函数CD（y，t）的初始值。该解决方案假设任何一年的参数V和K的固定值作为初始条件，然后使用该值得出方程式（11）中给出的未来时间的CD值。

在线性稳定性分析的层次上，这意味着人们甚至不需要对变量V（t）和K（t）的时间依赖性的性质有先验知识，这使得描述具有适当的概率性。四、 结果与讨论已知参数V（t）和K（t）都显示出强烈的时间变化（如图3和图4所示）；这是一个非常具有启发性的趋势，需要纳入所有分析中。图5显示了过去几年（CPI标准化）平均收入的变化。从这些印度数据可以看出，1973年后快速增长的平均收入与该国经济状况的改善是相称的，是对贫困减少趋势的补充描述，如图6所示。消费函数与收入C（y）/y之比的曲线图，与y呈线性衰减趋势（数据如图1所示）。分别见图3和图4。图6提醒人们注意恩格尔的预测【16】，随着y的增加，c（y）/y分数线性收敛到一个非常低的值（1989年的数据，如图1所示）。下面，我们数值求解方程（3）、（10）和（12）的动力系统，初始值CD（y）=VKK+y≈73.19×9595+30=55.62使用真实数据的非线性回归函数（V（t）=-890.5+963.69经验值(-0.0025* t） 和K（t）=-579.66+674.66*经验值(-0.0048* t） ；V（t），K（t）>0），如图3和图4所示，以获得贫困的时间序列估计值（图7）。处于贫困的极限（y→ 0），可以很容易地看到C（y）/y（t）→V（t）K（t），即基本商品的预算份额。数量V/K（=0.77）是穷人的预算份额。

因此，提出的CD动力学公式已经达到了预期的效果，因为它重新确认了稳态极限下的恩格尔预测tCD=0, C稳态（y）=VyK+y，其中V（=73.19）和K（=95）分别是V（t）和K（t）的固定点值。定义V（t）和K（t）非线性回归有效性的“理论周转时间”精确到大约31.5轮，以年数计算，大约等于2005年，如图7所示。尽管如此，该模型并不局限于这些数字，因为阿朗宁平均值可以连续进行，以将有效性范围扩展到所需的任何时间线。图7：。将2004-5年谷物支出与收入（均以印度卢比计）数据（实心圆）与恩格尔公式（实心直线）和方程（10）的数值解（点）进行比较的曲线图。图5显示了过去几年（CPI标准化）平均收入的变化。从这些印度数据可以看出，1973年后平均收入的快速增长与该国经济状况的改善是相称的，是对贫困减少趋势的补充描述，如图3和图4所示。图6中的虚点是与回归直线比较的实际数据点。这一线性图让人想起恩格尔的预测【16】，恩格尔的预测最初解释了为什么食品支出相关支出只能随着收入的增加而“单调衰减”。图7中的统计数据补充了这一描述。图7显示了2004-5年实际模型数据[30]（虚线）与恩格尔曲线（实线）假设的比较，以及随后的收入：根据方程（10）的解分析的支出，这是对用于跟踪CD动态的假设的主要证实。

这里的模拟使用了等式2的确定性极限，因为这会导致平均收入，也可以使用关系式（3）计算得出∞ydy y^f（y，t）。在这个估计中，我们使用了V（t）和K（t）的函数表示，如图3和图4所示。图中所示的y实际上是该集合的平均值<y>，相应的消耗函数是C（<y>）；对于brevityas来说，也是为了我们的一般推理，我们去掉了情节中的花括号“<>”。Engel预测的质量和我们互补模型的强度可以从t（实线与真实数据圈）以及我们提出的方程（10）中表示的模型的解（虚线）中进行调整。一如往常，一个假设的强度只能从其定量可计量产出的有效性来证明，在我们的例子中，这将是“贫困指数”。[1、13、21、22]之后，贫困指数PCD（t）定义为整个收入范围内消费剥夺函数的统计平均值：PCD（t）=Z∞ydy CD（y，t）^f（y，t）（12），其中CD（y，t）和^f（y，t）将分别从方程（10）和（3）中获得。方程（10）中随时间变化的平均收入C（t）可通过关系式C（t）=Z进行计算∞ydy yf（y，t）表示如果c（t）=1.16，数值模拟中可能出现的振荡不稳定性* T- 2218.7应改用FIT函数。值得注意的是，从我们23年来的国家统计局数据中，可以从图中看出。3和4，这两个参数都允许近似线性回归，具有时间衰减趋势。在1973年后的制度中，当所有贫困数据第一次被重新规范化时，平均收入比例也呈线性上升趋势，如图所示。

5这与V（t）和K（t）回归图中描述的衰减线性趋势非常吻合。这些图的曲线显示了相关的外推公式（V，K>0， t） 。除了明确指出偏差时间序列统计中的GA（线性）趋势外，这两个图的起点（第6轮）确定了求解方程（3）所需的初始条件CD（y，0）。V（t）和K（t）的逐步递减值并不难预测，因为必须注意，这些值仅为V和K的有限拓扑正定义值。作为对我们理论力量的交叉检验，我们将新的理论贫困指数与文献中普遍使用的三个指数的数据进行了比较：编制（HI）指数、贫困差距（PG）指数和四分之一贫困差距（SPG）指数。此外，我们还将其与我们之前工作中获得的类似统计数据进行了比较（图4，见[1]）。结果（图8）显示，新的CD动态修正指数与所有三个指标相比，都符合[15]，图8中的曲线图表示为“CD-fit理论”。虽然与之前计算的贫困指数相比，新的时间动力学调整贫困指数并没有改善量化结果[1]，但其优势在于其概率预测能力，1992年以后的数值表明了这一点。该机制的一个重要稳定特性是图8。不同贫困指数——人头数指数（HCI；虚线）、贫困差距指数（PG；点虚线）、贫困差距平方指数（SPG；虚线）与之前【1】工作的对比图（“无CD动态”：实线），以及与新CD动态（“有CD动态”：钻石）调整后估算的对比图。1965年后，CD dynamics修正理论指数的平均值多年来呈稳步下降趋势。

新的理论指数还有一个主要优势，即能够根据图3和图4所示的线性回归预测未来的贫困线统计数据。1992年之后的部分显示了根据这一理论做出的预测，可以用实际数据进行检验。对这一新的依赖CD的贫困指数的评估不依赖于对人口平均收入的时间演变的任何回归拟合。这可以说是超越了偶尔的上涨（如1967年）和下跌（如1988年），但在统计水平上，这为未来的贫困指数提供了相当可靠的估计。通过使用插入平均定义C（t）=Z，平均收入随时间变化的强劲上升趋势（图5）在本分析中根深蒂固∞yy^f（y，t）dy和应为使用的定义；这混淆了C（t）增长曲线中显示的强烈振荡。在我们的模拟中，我们认为y=30是CPI调整后的人均每日收入。为了交叉检查这一修正贫困指数的准确性，我们使用了来自www.worldbank的HCI数据。以及印度储备银行（www.rbi.org.in）这两年的相关CPI值。这两年的相对HCI指数（2005年为37.2%，2010年为29.8%）与新模型指数（2005年为2.16单位，2010年为1.73单位）的比例相同，精度在95%以内。贫困指数演变总体定性方面概率预测的基本成功强调，需要在更精细的数据分析基础上提出更准确的模型，通过更准确地预测基于主要代理的Langevin模型（2a），并随后将其与目前支持的模型相结合，从而超越目前的限制消费剥夺动态。