收入和财富的新经济窗口：k-广义家庭

如下所示，在文献中提出的许多收入和财富规模分布的参数模型中，κ-广义是唯一一个正式明确地将经验单数和幂律形状嵌入到单一函数形式中的模型。因此，当对收入/财富分配中受单一家庭亲婴儿原则（无排斥原则）支配的部分进行操作时，κ-广义模型显著复制了基础数据，当它对受幂律家族概率原则（排除原则）支配的收入或财富支持的那部分进行操作时，同样的良好表现成立，从而抓住了上述两个相对论方面。κ-收入和财富分配的广义模型研究收入和财富规模分布的参数模型的兴趣由来已久。这一研究领域的一个自然起点是观察到，收入超过x的人口中的人数通常很接近Cx-α、 对于一些实C和正α，正如帕累托在100多年前所争论的那样（帕累托，189518961897b，a）。自帕累托早期研究以来，大量实证研究表明，幂律尾是收入和财富分布的普遍特征。然而，即使在帕累托观察100年后，对收入/财富分配形态的理解仍远未完成和明确。

这反映了一个事实，即有两种分配，一种是富人，遵循帕累托定律，另一种是绝大多数人，似乎受完全不同的法律管辖。多年来，该领域的研究考虑了各种各样的函数形式作为收入和财富规模分布的可能模型，其中一些旨在为描述真实世界数据提供一个统一的框架，包括经验收入和财富分布中存在的重尾（Kleiber和Ko tz，200 3）。其中，“κ-广义分布”被发现非常有效（Clementi等人，2007、2008、2009、2010、2012b；Clementi和Gallegati，2016）。该模型于2007年20月首次提出，并在连续几年中进一步发展，其根源在于广义统计力学（Kaniadakis，2001、2002、2005、2009a、b、2013）。在此理论框架内，普通指数函数exp（x）推广为通过hexpκ（x）定义的函数expκ（x）=√1+κx+κxκ、 x个∈ R、 κ[0，1）。（1）我们回顾了κ→ 0限制函数（1）减少到普通指数，即exp（x）=exp（x），对于x→ 与κ值无关的0-与普通指数的行为非常相似。另一方面，expκ（x）对收入和财富规模分布建模最有趣的特性是幂律渐近行为expκ（x）~十、→±∞|2κx |±|κ|。（2） 给定（1），κ广义分布由以下累积分布函数（CDF）F（x；α，β，κ）=1定义- expκ-xβα, x>0，α，β>0，κ∈ [0，1），（3）其中{α，β，κ}是参数。相应的概率密度函数（PDF）readsasf（x；α，β，κ）=αβxβα-1expκh-xβαir1+κxβ2α。

（4） 0 1 2 3 4 50.0 0.2 0.4 0.6 0.8（a）xf（x；α，β，κ）0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9α=1.00α=1.50α=2.00α=2.50（b）x1-F（x；α，β，κ）1e-02 1e-01 1e+00 1e+01 1e+021e-05 1e-04 1e-03 1e-02 1e-01 1e+00α=1.00α=1.50α=2.00α=2.50图1：α（=1.00，1.50，2.00，2.50）和固定β（=1.20）和κ（=0.75）的一些不同值的κ-广义PDF（a）和CCDF（b）图。CCDF绘制在双对数轴上，这是强调分布右尾行为的标准方式。请注意，当α值减小（增大）时，分布的曲率e（形状）变得不太明显。α=1.00对应于标准指数分布。通过（3）和（4）定义的分布可被视为威布尔分布的推广，其在κ中恢复→ 0限制。因此，指数定律也是κ广义分布的一种特殊极限情况，因为它是α=1的Weibull分布的一种特殊情况。对于x→ 0+，κ-广义的行为类似于Weibull分布，而对于大x，它呈现帕累托幂律尾部，因此满足弱帕累托定律（Mandelbrot，1960）。图1至图3说明了κ-泛化PDF和补体元CDF的行为，1- F（x；α，β，κ），用于各种参数值。指数α量化了分布的曲率（形状），如图1所示，对于参数值越低（越高），曲率越小（越明显）。常数β是一个特征尺度，因为它的值决定了概率分布的尺度：如果β很小，那么分布将更加集中在模式周围；如果β较大，则它将更分散（图2）。

最后，如图3所示，参数κ测量上部尾巴的肥胖度：其大小越大（越小），尾巴越胖（越细）。有助于分析相关力矩和各种工具的表达式应注意，对于α=1，密度在原点处显示一个极点，对于α>1，存在内部模式。0 1 2 3 4 50.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7（a）xf（x；α，β，κ）β=1.20β=1.40β=1.60β=1.80（b）x1-F（x；α，β，κ）1e-02 1e-01 1e+00 1e+01 1e+021e-05 1e-04 1e-03 1e-02 1e-01 1e+00β=1.20β=1.40β=1.60β=1.80图2：β（=1.20，1.40，1.60，1.80）和固定α（=2.00）和κ（=0.75）的一些不同值的κ-广义PDF（a）和CCDF（b）图。CCDF绘制在双对数轴上，这是强调分布右尾行为的标准方式。请注意，分布随着β值的增加（减少）而展开（集中）。对于不平等的测量，已报道了κ广义分布（Clementi等人，20 08，2009，2010，2012b；Clementi和Gallegati，2016）。这些表达式是模型中参数的函数，在人口特征分析中非常有用。κ-广义分布也成功地用于三分量混合模型，用于分析净财富调查数据的奇异性，即总财富减去总债务的价值，这表明家庭或个人零财富和/或负财富的频率非常高（Clementi等人，2012a；Clementi和Gallegati，2016）。κ-广义混合模型对净财富分布的支持率为直线R=（-∞, ∞ ), 因此，允许描述净值为零和负的经济单位子集。

此外，存在四个参数变量，其中包含收入分配的κ-广义模型（Okamo t o，2013）。在过去的十年中，κ-广义模型在真实世界收入和财富分布数据中得到了多次应用。特别有趣的是，论文将同一数据的几个分布进行拟合，并着眼于相对性能。根据Clementi等人（2010）等比较研究，他们考虑了1989年至2006年意大利的家庭收入分布，模型（4）通常优于其三参数竞争对手，如Singh Maddala（Singh and Maddala，1976）和Dagum0 1 2 3 4 50.0 0 2 0.4 0.6 0.8（a）xf（x；α，β，κ）0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8κ=0.00κ=0.25κ=0.50κ=0.75（b）x1-F（x；α，β，κ）1e-02 1e-01 1e+00 1e+01 1e+021e-05 1e-04 1e-03 1e-02 1e-01 1e+00κ=0.00κ=0.25κ=0.50κ=0.75图3：κ（=0.00，0.25，0.50，0.75）和固定α（=2.00）和β（=1.20）的一些不同值的κ-广义PDF（a）和CCDF（b）图。CCDF绘制在双对数轴上，这是强调分布右尾行为的标准方式。注意，随着κ值的增加（减少），分布的上部尾部变胖（变薄）。κ=0.00对应于Weibull（拉伸指数）分布。类型I（Dagum，1977）分布，除了GB2有一个额外的参数。Clement i等人（20 12b）也根据其他家庭预算调查的数据，即德国1984年至2007年、英国1991年至2004年和美国1980年至2005年的数据，对该模型进行了验证。在相当多的情况下，家庭收入的分配遵循κ-广义，比Singh Maddala和Dagum I型更接近。

特别是，在许多情况下，与其他竞争对手相比，数据右尾的fit在统计上具有优势。另一个比较研究的例子是Oka mo t o（2012），他考虑了2000年代美国和意大利的收入数据。他发现，三参数κ-广义模型能够更好地估计收入不平等，即使其优度是GB2家族分布的基础。克莱门蒂（Clementi）和加列盖蒂（Gallegati）（2016）最近在一本书中证实了κ广义分布的优越性及其提供相对更准确的收入不平等估计的能力，世卫组织利用了从最近一波LIS数据库中选出的45个国家的ho usehold收入数据。GB2是一个相当基因ral的参数模型家族，用于收入的规模分布，它嵌套了之前在规模分布文献中作为特殊或限制情况考虑的大多数函数形式（McDonald，1984）。特别是，Singh-Maddala和Dagum I型分布都是GB2的特殊情况。(http://www.lisdatacenter.org/).上述工作主要涉及家庭收入分配。Clementi等人（2012a）的一项有趣贡献是，在三组分混合物中使用κ-广义分布来模拟1984-2011年美国净财富数据。图形程序和统计方法都表明数据总体上很接近。aut-hors还强调了他们的专业相对于基于Singh-Maddala和Dagum类型的净财富正值分布的有限混合模型的相对优势。

Clementi和Gallegati（2016）最近在分析从LWS数据库最近一波中选出的9个国家的净财富数据时，也获得了类似的结果(http://www.lisdatacenter.org/)最后，冈本（2013）使用κ广义分布的四个参数扩展来分析从LIS数据库第四波到第六波中选择的大约20个国家的家庭收入/消费数据。为了与收入分配的备选四参数模型进行比较，Reed和Jorgensen（2004）引入的GB2和双帕累托对数正态分布（dPlN）也适用于相同的数据集。几乎在所有情况下，κ广义分布的新变体都表现出我们的收入和消费变量参数模型的其他变量。特别是，他们显示出一种经验趋势，即比同行更准确地估计不平等指数。在过去一个世纪的大部分时间里，个人收入/财富分配问题被经济学界严重边缘化。有迹象表明，近年来，SIT正在受到欢迎，但如果我们要进一步推动将分配问题重新纳入经济分析的主体，就必须改变标准经济模式。新的理论观点和工具有助于解决个人收入和财富分配的主流化事实，例如，为什么分配的尾部是平行的（肥胖），为什么在收入/财富水平较低的情况下，分配似乎由不同的法律描述。

基于主体的计算经济学，即对被建模为自主交互主体进化系统的经济体的计算研究，通过允许定义一个理论模型，能够证明由于大量异构代理。这个故事才刚刚开始揭露。参考Anderson，P.W.，1972年。更多是不同的。科学177393–39 6。青木，M.，1996年。宏观经济建模的新方法：进化随机动力学、多重均衡和作为场效应的外部性。剑桥大学出版社，剑桥。青木，M.，2002年。经济学中的聚合行为和波动建模：相互作用主体的随机观点。剑桥大学出版社，剑桥。青木，M.，吉川，H.，2007年。重建宏观经济学：从统计物理和组合随机过程的角度。剑桥大学出版社，剑桥。阿特金森，A.B.，1997年。使收入分配从寒冷中恢复过来。《经济杂志》107297-321。Atkinson，A.B.，2015年。不平等：可以做什么？哈佛大学出版社，马萨诸塞州剑桥。Atkinson，A.B.，Stiglitz，J.E.，2015年。公共经济学讲座。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿。Bak，P.，1996年。自然如何运作：自我组织临界性的科学。哥白尼出版社，纽约州辛加诺市，2014年。收入不平等趋势及其对经济增长的影响。OECD社会、就业和移民工作文件163，经济合作与发展组织，巴黎。Clementi，F.、Di Matteo，T.、Gallegati，M.、Kaniadakis，G.，2008年。κ广义分布：收入规模分布的新描述模型。

物理A：统计力学及其应用3873201–3208。Clementi，F.，Gallegati，M.，2016年。收入和财富的分布：κ-广义族的参数建模。施普林格国际出版公司，查姆。Clementi，F.、Gallegati，M.、Kaniadakis，G.，2007年。个人收入分配中的κ-g广义统计。欧洲物理杂志B 57，18 7–193。Clementi，F.、Gallegati，M.、Kaniadakis，G。，收入分析的κ-广义统计机制方法。统计力学杂志：理论与实验2009，P02037。Clementi，F.，Gallegati，M.，Kaniadakis，G.，2010年。个人收入分配模型及其在意大利数据中的应用。实证经济学3 9，559–591。Clementi，F.，Gallegati，M.，Kaniadakis，G.，2012a。财富规模分布的一般统计模型。统计力学杂志：理论与实验2012，P12006。Clementi，F.，Gallegati，M.，Kaniadakis，G.，2012b。一种新的收入分配模型：κ-广义分配。《经济学杂志》105，63–91。Dabla Norris，E.，Kochhar，K.，Suphaphiphat，N.，Ricka，F.，Tsounta，E.，2015年。收入不平等的原因和后果：全球视角。St a fff讨论说明13，国际货币基金组织，华盛顿特区。Dagum，C.，1977年。一种新的个人收入分配模型：规范和估计。经济贴花30，413–436。Foley，D.K.，1994年。市场的统计均衡理论。《经济理论杂志》62321–345。Hartley，J.E.，1997年。宏观经济学的代表人物。劳特利奇，伦敦。Kaniadakis，G.，2001年。基于广义统计的非线性动力学。物理学A：统计力学及其应用296405–425。Kaniadakis，G.，2002年。狭义相对论背景下的统计力学。PhysicalReview E 66056125。Kaniadakis，G.，2005年。

狭义相对论背景下的统计力学。二、PhysicalReview E 72036108。Kaniadakis，G.，2009年a。最大熵原理和幂律尾分布。欧洲物理杂志B 70，3–13。Kaniadakis，G.，2009年b。相对论熵和相关玻尔兹曼动力学。《欧洲物理杂志》（EuropeanPhysical Journal）A 40275–287。Kaniadakis，G.，2013年。幂律尾统计分布的理论基础和数学形式。熵15，3983–4010。钦钦，A.I.，1948年。统计力学的数学基础。多佛出版社，纽约。Kirman，A.P.，1992年。代表个人代表谁或代表什么？《经济展望杂志》第6117-136页。Kirman，A.P.，2010年。经济危机是经济理论的危机。CESifo EconomicStudies 56498–535。Kirman，A.P.，K och，K.J.，1986年。具有相同偏好和共线禀赋的交换经济体中的市场超额需求。经济研究回顾53，457–463。克莱伯，C.，科茨，S.，2003年。经济学和精算学中的统计规模分布。约翰·威利父子公司，纽约。Kumhof，M.，Ranci\'ere，R.，Winant，P.，2015年。不平等、杠杆和危机。《美国经济评论》1051217–1245。Landini，S.，Gallegati，M.，2014年。异质性、相互作用和涌现：构成的影响。国际计算经济学和计量经济学杂志4339–361。Mandelbrot，B.，1960年。帕累托-列维定律与收入分配。《国际经济评论》1，79–106。McDonald，J.B.，1984年。收入规模分布的一些广义函数。计量经济学52647–665。Oka mo t o，M.，2012年。评估新统计规模分布的拟合优度，同时考虑准确的收入不平等估计。《经济学公报》32，2969–29 82。Oka mo t o，M.，2013年。