与单位挂钩的人寿保险政策：部分

Γt=Rtγudu，对于每t∈ [0，T]，对于一些非负F-可预测过程γ={γT，T∈ [0，T]}使得EhRTγudui<∞. 过程γ称为F-死亡率强度或F-死亡率，F-存活过程由P（τ>t | Ft）=e给出-Rtγudu，t∈ [0，T]。现在，我们引入与τ相关的（F，G）-鞅风险过程的概念。定义2.3。F-p可预测右连续递增过程∧={∧t，t∈ [0，T]}称为随机时间τ的（F，G）-鞅危险过程当且仅当过程mt=Ht- ∧t∧τ、 t型∈ [0，T]是一个（G，P）-鞅。备注2.4。众所周知，一般来说，F-hazard过程和（F，G）-鞅hazard过程并不重合。然而，F-死亡率强度的存在确保了F的过程是连续的和递增的。然后，由Bielecki和Rutkowski[7，命题6.2.1]我们得到，Γ也是一个（F，G）-鞅风险过程，因此，过程m={Mt，t∈ [0，T]}定义为MT=Ht- Γt∧τ=Ht-Zt公司∧τγudu=Ht-Ztλudu，t∈ [0，T]，（2.8），其中λT=γT{τ≥t} =γt（1-Ht公司-), 是（G，P）-鞅。此外，Dellacherie和Meyer【22，第6.78章】，τ是一个完全不可接近的G-停止时间。单位关联人寿保险单7我们假设保险公司发行单位关联人寿保险单。在这些合同中，保险收益取决于金融市场上某些特定交易股票的价格，以及投保人的剩余寿命。因此，保险公司面临财务和死亡风险。确切地说，我们考虑的是到期日为年的养老保险合同，其定义如下。定义2.5。

养老保险合同的特征是一个三元组（ξ，Z，τ），其中o随机变量ξ∈ L（FST，P）是到期时支付的金额，如果投保人在T时间T仍然活着；op进程Z={Zt，t∈ [0，T]}表示在死亡时间τ立即支付的金额；这里，Z被认为是平方可积的，FS是可预测的；oτ是死亡时间。备注2.6。如果Z=0，养老保险合同减少为所谓的定期保险合同，在T之前生存的情况下支付金额ξ，如果ξ=0，则获得纯养老合同的支付，如果T之前死亡，则在随机时间τ提供金额Zτ。我们用N={Nt，t表示∈ [0，T]}对最终保险合同产生的支付流进行建模的过程，即Nt=Zτ{τ≤t} =ZtZsdHs，0≤ t<t，且NT=ξ1{τ>t}，t=t.（2.9）2.3。信息级别。我们考虑保险公司没有完整的市场信息的情况。准确地说，我们假设它既不能观察到影响风险资产价格过程S行为的随机因素X，也不能观察到驱动P（S，X）动态的布朗运动W和B。特别是，这意味着保险人并不完全知道τ的F死亡率γ。例如，γ可能依赖于不可观测的

因此，可用信息由filtrationeg={eGt，t∈ [0，T]}，由egt给出：=FSt∨ FHt，t∈ [0，T]。自FS以来 F、 我们有 G、 我们在整篇文章中假设，所有过滤都满足完整性和右连续性的常见假设。关于部分信息下τ的风险过程和鞅风险过程的一些结果见附录A.8 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAIn。在续集中，我们将讨论以信息流为特征的部分信息环境下养老保险合同（ξ、Z、τ）的套期保值问题。由于套期保值在时间T或τ（以先到者为准）停止，因此考虑停止的贴现价格过程是有意义的。这也意味着我们可以在不假设过滤F和G之间的所谓鞅不变性的情况下工作，这就确定了每个F-鞅也是一个G-鞅。当考虑过滤的放大时，通常会假设鞅不变性。据我们所知，文献中只有少数论文没有提出这一假设，例如，参见《保险框架》中的Barbarin[3]，Choulli等人[2 0]，以及《信用风险设定》中的Biagini和Cretarola[4]。3、停止风险资产价格过程的半鞅分解在本节中，我们提供了停止过程价格过程的半鞅分解τ={St∧τ、 t型∈ [0，T]}分别针对信息流G和G，我们证明，在适当的条件下，Sτ满足随机区间J0，τ上关于两个ndeG的所谓结构条件∧ T K，参见示例。

Schweizer【41，第1节，第1540页】了解更多详情。停止价格过程的结构条件是计算最小鞅测度和正交分解的相关工具，可以刻画完全和部分信息下的最优套期保值策略。此外，Sτ相对于信息流的半鞅分解允许将部分信息下的套期保值问题减少为完全信息问题，其中所有涉及的过程都是自适应的。备注3.1。

回想一下，如果（2.6）中给出的过程F在增加，对于任何给定的F-可预测（F，P）-鞅，m={mt，t∈ [0，T]}，停止的进程mτ={mt∧τ、 t型∈ [0，T]}是一个（G，P）鞅，参见Bielecki和Rutkowski[7，引理5.1.6]。由于F在我们的设置中增加，两个过程Wτ={Wt∧τ、 t型∈ [0，T]}和Bτ={Bt∧τ、 t型∈[0，T]}是J0，τ上的（G，P）-鞅∧ 此外，利用Lévy定理，我们得到Wτ和Bτ是J0，τ上的（G，P）-布朗运动∧ 因此，T K和in tegra l过程ZtДsdWτs，t∈ [0，T]和ZtИsdBτs，t∈ [0，T]任何G-可预测过程的（G，P）-（局部）鞅φ={φt，t∈[0，T]}。通过备注3.1，我们得到停止过程Sτ是a（G，P）-半鞅，可分解为局部平方可积（G，P）-局部鞅和a（G，P）-有限变化可预测过程之和，在零处为零，即Sτt=S+Zt∧τSτuu（u，Sτu，Xτu）du+Zt∧τSτuσ（u，Sτu）dWτu，t∈ [0，T]，与单位挂钩的人寿保险单9，其中xτT=x+Zt∧τb（u，Xτu）du+Zt∧τa（u，Xτu）hρdWτu+p1- ρdBτui，t∈ [0，T]。由于SτiseG已调整，因此它还允许对信息流进行半鞅分解，这将在下文通过（3.1）中定义的（停止的）创新过程iτ进行计算。给定任何细分H={Ht，t∈ [0，T]}对于G，我们将使用符号no，HY（分别为P，HY）来表示给定P-可积、G-适应过程Y相对于H和P的可选（分别为可预测）投影，定义为唯一的H-可选（分别为H-可预测）过程，例如o，HYbτ=E[Ybτ| Hbτ]P-a.s。

（分别为p，HYbτ=E[Ybτ| Hbτ-] P-a.s.）在{bτ<∞}对于每个H-可选（分别为H-可预测）停止时间bτ。此外，在续集中，我们分别表示过程{u（t，Sτt，Xτt），t∈ [0，T]}关于信息流。引理3.2。在假设2.1下，过程Iτ={Iτt，t∈ [0，T]}由iτT定义：=WτT+Zt∧τu（u，Sτu，Xτu）-p、 eGuuσ（u，Sτu）du，t∈ [0，T]，（3.1）是J0，τ上的（eG，P）-布朗运动∧ T K.证明推迟到附录B.2。引理3.2允许得到以下的半鞅分解：Sτ，Sτt=S+Zt∧τSτup，例如uudu+Zt∧τSτuσ（u，Sτu）dIτu，t∈ [0，T]，即局部平方可积（eG，P）-局部鞅和（eG，P）-可预测的有限变化过程之和均为零。此外，Sτ满足过滤G和G的结构条件。精确地说，Sτt=S+MGt+Zt∧ταGudhMGiu，t∈ J0，τ∧ T K，SτT=S+MeGt+Zt∧ταeGudhMeGiu，t∈ J0，τ∧ T K，其中MG={MGt，T∈ [0，T]}和MeG={MeGt，T∈ [0，T]}分别是局部平方可积（G，P）-局部鞅和（eG，P）-局部鞅，由mgt给出：=Zt∧τSτuσ（u，Sτu）dWτu，MeGt：=Zt∧τSτuσ（u，Sτu）dIτu，t∈ [0，T]，（3.2）10 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola，αG={αGt，T∈ [0，T]}和αeG={αeGt，T∈ [0，T]}是G-可预测和G-可预测过程，分别由αGt：=u（T，SτT，XτT）SτTσ（T，SτT），αeGt：=p，eGutSτTσ（T，SτT），T∈ [0，T].4。部分信息下支付流的局部风险最小化第2节中概述的综合金融保险市场模型不完整。

这种情况经常发生在保险框架中，由于存在完全无法访问的死亡时间，风险来源的数量通常大于可交易风险资产的数量。此外，不可观察的随机因素X带来了额外的随机性。这意味着经典意义上的自我融资对冲策略不存在。本节的目标是为养老保险合同相关支付流（ξ，Z，τ）提供受限信息下的局部风险最小化对冲策略，并讨论在完全信息下与相应最优对冲策略的关系。在续篇中，我们定义了在完全和部分信息下可接受的套期保值策略的类别。定义4.1。空间ΘF，τ由所有R值F-可预测过程θ={θt，t组成∈J0，T∧ τK}满足“ZT”∧τ（θuσ（u，Sτu）Sτu）du+ZT公司∧τ|θuu（u，Sτu，Xτu）Sτu | du#< ∞.定义4.2。空间ΘFS，τ由所有R值FS可预测过程θ={θt，t组成∈J0，T∧ τK}满足“ZT”∧τ（θuσ（u，Sτu）Sτu）du+ZT公司∧τ|θ向上，例如uuSτu | du#< ∞.备注4.3。注意，对于θ∈ ΘF，τ（分别为θ∈ ΘFS，τ），我们得到（i）Zt∧τθudSu=ZtθudSτu，对于每t∈ [0，T]，见Dellacherie和Meyer[22，第八章，方程式3.3]；（二）整体过程ZtθudSτu，t∈ [0，T]是一个（G，P）-半鞅（分别是（eG，P）半鞅），参见Pro k horov和Shiryaev[39，第3.II章]。定义4.4。

（F，G）-策略（各自的l y（FS，eG）-策略）是一个双时间过程Д=（θ，η），其中θ∈ ΘF，τ（分别为θ∈ ΘFS，τ）和η是实值G-适应（分别适应）过程，因此相关的值过程V（Д）：=θSτ+η是完全连续的，并且在J0，T上是平方可积的∧ τK.UNIT-LINKED LIFE INSURANCE Policys 11注意，（F，G）-策略（分别为（FS，eG）-策略）的第一个组成部分θ表示投资组合中风险资产的数量，是F-可预测的（分别为FS-可预测的），而投资于无风险资产的金额η是G-ada pted（分别为适应的）。这反映了交易者根据其对资产价格的了解在投资者去世前投资风险资产的自然情况，并根据死亡信息重新平衡投资组合。根据Schweizer【44】，我们为每个可接受的策略分配一个成本过程。定义4.5。（F，G）-策略（分别为（FS，eG）-策略）的成本过程C（Д）Д=（θ，η）由ct（Д）给出：=Nt+Vt（Д）-ZtθudSτu，t∈ J0，T∧ τK，（4.1），其中N在（2.9）中定义。如果（F，G）-策略（分别为（FS，eG）-策略）的成本过程c（ν）是（G，P）-鞅（分别为（FS，eG）-鞅），则称为平均自我融资。文献中众所周知（参见Moller【36】、Schweizer【44】、Biagini和Cretarola【4】），本地风险最小化方法对支付流的自然扩展需要寻找满足0-实现属性的可接受策略，即Vτ∧T（Д）=0，P- a、 s。。然后，通过Schweizer【44，定理1.6】，我们提供了LocalRyrisk最小化策略的以下等效定义。定义4.6。设N为（2.9）中给出的与养老保险合同（ξ，Z，τ）相关的支付流。

我们认为，如果（i）ν为0-实现且平均自我融资，（ii）成本过程C（ν）（4.1中定义）与sτ的G-鞅部分MG（分别为eG-鞅部分MeG）强正交，则（F，G）-策略（分别为FS，eG）-策略）为（F，G）-局部风险最小化（分别为（FS，eG）-局部风险最小化）。局部风险最小化对冲策略可以通过部分信息下与人寿保险合同相关的支付流的F"ollmer Schweizer分解来描述。我们回顾了关于G和G的平方可积随机变量的停止F"ollmer-Schweizer分解的定义。定义4.7（停止F"ollmer-Schweizer对G的分解）。给定随机变量ζ∈ L（GT，P），我们说，如果存在过程ssθF，ζ允许停止的F"ollmer-Schweizer分解∈ ΘF，τ，a平方可积（G，P）-鞅AG=12 C.CECI，K.COLANERI和a.CRETAROLA{AGt，t∈ J0，T∧ τK}零，与（3.2）和ζ中给出的Sτ，MG的鞅部分强正交∈ R使得ζ=ζ+ZTθFudSτu+AGT∧τ、 P- a、 s。。（4.2）定义4.8（停止F"ollmer-Schweizer对toeG的分解）。给定随机变量ζ∈ L（eGT，P），我们说，如果存在一个过程θFS，ζ允许停止的F"ollmer-Schweizer分解∈ ΘFS，τ，a平方可积（eG，P）-鞅AeG={AeGt，t∈ J0，T∧ τK}零，与Sτ、MeG的鞅部分强正交，在（3.2）和ζ中给出n∈ R使得ζ=ζ+ZTθFSudSτu+AeGT∧τ、 P- a、 s。。（4.3）在假设2.1下，平均方差权衡过程es K={Kt，t∈ [0，T]}andeK={eKt，T∈ [0，T]}在G和G下，分别由kt定义：=Zt（αGu）dhMGiu，eKt：=Zt（αeGu）dhMGiu，T∈ [0，T]在T和ω中统一有界。

这保证了每个平方可积随机变量的分解（4.2）和（4.3）的存在，参见例如Schweizer【41，第5节】和其中的参考文献。F"ollmer-Schweizer分解存在的其他类型的有效条件可以在Schweizer【42】、Monat和Stricker【37】、Choulli等人【19】和Ceciet等人【15】中找到。以下命题给出了最优套期保值策略的特征。提案4.9。设N为与捐赠保险合同（ξ，Z，τ）相关的付款压力。然后，N接受（FS，eG）-局部风险最小化策略*= （θ*, η*) 如果且仅限于ifNT∧τ=ξ1{τ>T}+Zτ{τ≤T}承认F"ollm er Schweizer d与respec T toeG的合成停止，即NT∧τ=ζ+ZTθFSudSτu+AeGt∧τP- a、 s。。（4.4）最后，战略*由θ显式给出*= θFS，η*= V（Д）*) - θFSSτ，（4.5），带值过程vt（Д*) = ζ+ZtθFSudSτu+AeGt- Nt，t∈ J0，T∧ τK，（4.6）和最小成本ct（Д*) = ζ+AeGt，t∈ J0，T∧ τK.（4.7）单位关联人寿保险单13证明。比亚基尼（Biagini）和克雷塔罗拉（Cretarola）[4，Propo sitio n 3.7]的证明如下，分别用EG和FS替换过滤G和F。准确地说，如果NT∧τ停止了F"ollmer-Schweizer分解，关于toeG（4.4），然后（4.5）和（4.6）定义了（FS，eG）-成本策略（4.7）。很容易看到t C（Д*) 是鞅*是0-a实现，因此*是一种（FS，eG）-局部风险最小化策略。对于相反的含义，请注意，如果Д是（FS，eG）-局部风险最小化，那么它是0-实现和平均自我融资，我们得到∧τ=CT∧τ（Д）+ZTθudSτu=C（Д）+ZTθudSτu+（CT∧τ（Д）- C（Д）），相当于（4.4），其中ζ：=C（Д），θFS：=θ，AeG：=C（Д）- C（Д）。最后注意到Aegis与Sτ的theeG鞅部分强正交，从而得出结论。4.1。