与单位挂钩的人寿保险政策：部分

通过Galtchouk Kunita Watanabe分解的最优策略。当τ连续且满足结构条件时，可以通过切换到最小鞅测度来计算给定平方可积随机变量相对于Sτ的（停止）F"ollmer-Schweizer分解。在下文中，我们提供了适用于第2节中概述的组合金融保险市场模型的最小鞅测度的定义。定义4.10。如果P下的任何平方可积（G，P）-鞅（与（3.2）中给出的Sτ，Mg的可分部分强正交）也是（G，bP）-鞅，则Sτ的鞅测度P等价于具有平方可积密度的P。确定过程Lτ={Lτt，t∈ [0，T]}通过设置lτT=dbPdPGτ∧t： =E-Z·u（u，Sτu，Xτu）σ（u，Sτu）dWτuT∧τ、 t型∈ [0，T]。（4.8）根据假设2.1的条件（ii），我们得到Lτt∈ L（Gt，P），对于每t∈ [0，T]。应用Ansel和Stricker[1]中的结果，我们得到（4.8）中给出的BP对应于最小鞅测度。根据Girsanov定理，过程cWτ={cWτt，t∈ [0，T]}，由cwτT定义：=WτT+Zt∧τu（u，Sτu，Xτu）σ（u，Sτu）du，t∈ [0，T]是（G，bP）-布朗运动。注意，在随机区间J0，T上，Lτ和cwτ与过程L和cw重合，分别在（2.3）和（2.4）中给出∧ τK.14 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLARemark 4.11。我们还可以通过设置Dbqdp来确定Sτ相对于信息流的最小鞅测度BqeGτ∧T： =E-Z·αeGudMeGuT∧τ=E-Z·p，例如uuσ（u，Sτu）dIτu！T∧τ。由于Sτ具有连续的轨迹，bQ与Bp overeGτ的限制一致∧T、 参见，例如Ceci等人【18，引理4.3】。

实际上，通过（3.1）Iτt+Zt∧τp，例如uuσ（u，Sτu）du=Wτt+Zt∧τu（u，Sτu，Xτu）σ（u，Sτu）du=cWτt，t∈ [0，T]，因此，这影响了过程（iτT+Zt∧τp，例如uuσ（u，Sτu）du，t∈ [0，T]）是一个（例如，bP）-布朗运动，因为它是g适应的。在下文中，我们表明，与养老保险合同（ξ，Z，τ）相关的支付流N的F"ollmer-Schweizer分解确实与其在最小鞅测度下的Galtchouk-Kunitawatabe分解一致，这更容易描述。为方便读者阅读，我们回顾了一个R值局部鞅的Galtchouk Kunita Watanabe分解的定义，该分解适用于此设置。定义4.12（Galtchouk Kunita Watanabe分解）。

任意R值G-局部鞅（分别为bg-局部m-鞅）ζ={ζt，t∈ J0，T∧ τK}允许关于SτunderbP的Galtchouk Kunita Watanabedecomposition，也就是说，它可以唯一地写为ζt=ζ+Zt‘θudSτu+’At，bP- a、 s.，t∈ J0，T∧ τK，其中ζ∈ R、 θ={θt，t∈ J0，T∧ τK}是一个G-可预测（分别为bg-可预测）的过程，例如{Rt\'\'θuσ（u，Sτu）Sτu）du，t∈ J0，T∧ τK}是局部lybp可积的且'A={'At，t∈ J0，T∧ τK}是（G，bP）-局部鞅（分别是（bG，bP）-局部鞅）零，与Sτ强正交。考虑与养老保险合同相关的支付流N（ξ，Z，τ），并确定过程bv={bVt，t∈ J0，T∧ τK}通过设置bvt：=bhnt∧τ| eGti，t∈ J0，T∧ τK，其中eGtidenotes对于每个t，abP可积随机变量Y关于tobP和σ-代数Egt的条件期望∈ [0，T]。由于Sτ是a（例如，bP）-鞅和bvt，因此与单位相关的人寿保险单15∈ L（eGt，bP），每t∈ J0，T∧ τK，则BV允许关于Sτ的Galtchouk Kunita Watanabe分解，在BVT=bE[NT]给出的（例如，bP）下∧τ] +中兴通讯θudSτu+bAt，t∈ J0，T∧ τK，（4.9），其中eθ={eθt，t∈ J0，T∧ τK}是关于Sτ，bA={bAt，t的aeG可预测可积过程∈ J0，T∧ τK}在时间零点是（例如，bP）-鞅零，与Sτ强正交。通常可以用FS可预测的过程bθ替换θ，这样1{τ≥t} eθt=1{τ≥t} bθt，对于每个∈ [0，T]。然后，方程（4.9）可以写成bvt=be[NT∧τ] +ZtbθudSτu+bAt，t∈ J0，T∧ τK.（4.10）定理4.13。设N为（2.9）给出的与最终owmentinsurance合同（ξ，Z，τ）相关的付款流。

如果NT∧τ允许一个停止的F"ollmer-Schweizer分解∈ ΘFS，τandbA是时间零点的平方可积（例如，P）-鞅零，与Sτ，MeG的鞅部分强正交，然后（4.10）对于t=t∧ τ给出了NT的stoppedF"ollmer-S c hweizer分解∧τ相对于toeG。证据该证明遵循Biagini和Cretarola【4，定理3.9】或Schweizer【43，定理3.5】的证明，将过滤G和F分别替换为EG和FS。上述定理证明了最优套期保值策略的存在性。现在，我们需要一个更明确的特征，该特征允许计算定义2.5中给出的任何形式（ξ，Z，τ）的单位关联人寿保险合同的局部风险最小化策略。在续集中，给定G的任何细分H，符号bP，HY指的是agivenbP可积G-适应过程Y的（H，bP）-可预测投影。下面的命题4.1 4提供了NT的Galtchouk KunitaWatanabe分解中被积函数的表示∧根据完全信息下相应的Galtchouk Kunita Watanabe分解，以及定理4.15将给出部分信息下保险索赔（ξ，Z，τ）的局部风险最小化策略的特征。提案4.14。设N为（2.9）给出的付款流，与捐赠保险合同（ξ，Z，τ）相关，并假设NT∧τ和Sτ为BP平方可积。考虑NT的Galtchouk-K unita Watanabe分解∧τ相对于（G，bP），即NT∧τ=bE[NT∧τ] +ZTbθFudSτu+bAGT∧τ、 英国石油公司- a、 s.，（4.11），其中bθF是一个F-可预测过程RT公司∧τbθFuσ（u，Sτu）Sτu杜邦< ∞ andbAG={bAGt，t∈ J0，T∧ τK}是零处与Sτ16强正交的（G，bP）-鞅零。

新界克雷塔罗拉∧τ具有以下关于（例如，bP）NT的Galtchouk Kunita Watanabe分解∧τ=bE[NT∧τ] +ZTbθFSudSτu+bAeGT∧τ、 英国石油公司- a、 s.，（4.12），其中bθFSt=bp，FS（bθFte-Rtγudu）bp，FS（e-Rtγudu），t∈ J0，T∧ τK，（4.13）和（eG，bP）-鞅baeg={bAeGt，t∈ J0，T∧ τK}由Baegt=bEhbAGt给出eGti+bEZt（bθFu-bθFSu）dSτueGt公司, T∈ J0，T∧ τK.（4.14）证明。根据推论B.4，如果Bθfssaties（4.13），则BθFSt=bp，eGbθFt，t∈ J0，T∧ τK。通过分解（4.11），我们可以∧τ=bE[NT∧τ] +ZTbp，eGbθFudSτu+eAT∧τ+bAGT∧τ、 英国石油公司- a、 s.，（4.15），其中ea={eAt，t∈ J0，T∧ τK}，由eat给出：=Zt（bθFu-bθFSu）dSτu=Zt（bθFu-bp，eGbθFu）dSτu，t∈ J0，T∧ τK是平方积分（G，bP）-鞅。这是Sτ是（G，bP）鞅的结果，并且，根据Jensen不等式，以下等式成立ZT公司∧τbθFSuσ（u，Sτu）Sτu杜邦=是ZT公司bp，eGbθFuσ（u，Sτu）Sτu{τ≥u} 杜邦≤是ZTbp，例如bθFuσ（u，Sτu）Sτu{τ≥u}杜邦=是ZT公司∧τbθFuσ（u，Sτu）Sτu杜邦< ∞.根据（4.14），关于toeGT的调节（4.15）∧τyieldsNT∧τ=bE[NT∧τ] +ZTbp，eGbθFudSτu+bEheAT∧τ+bAGT∧τ| eGT∧τi=bE[NT∧τ] +ZTbp，例如θFudSτu+bAeGT∧τ。这提供了NT的Galtchouk Kunita Watanabe分解∧τ关于（eG，bP），我们证明了平方可积（eG，bP）-鞅baegi与Sτ强正交。请注意，Baegsatiesbe贝格特∧τZT∧τИudSτu= 0，针对alleG可预测流程的单位关联人寿保险17∧τИudhSτiui<∞, i、 e.bAeGiseG-弱正交于Sτ，参见Ceci等人【16】中的定义2.1。

事实上，根据塔式规则贝格特∧τZT∧τИudSτu=是巴格特∧τZT∧τИudSτu+是吃∧τZT∧τИudSτu.右侧的两个项均为零：第一个项是因为B与Sτ强烈正交，第二个项后面是下面的计算，即吃∧τZT∧τИudSτu=是ZT公司∧τИu（bθFu-bp，eGbθFu）dhSτiu=是ZT公司∧τИu（bθFu-bp，eGbθFu）σ（u，Sτu）（Sτu）du= 0，因为{σ（t，Sτt）Sτt，t∈ J0，T∧ τK}具有连续的轨迹。最后，Baegiseg和Sτ之间的强正交性之后是自Cebaegiseg适应以来的弱正交性（见Ceci等人[16，备注2.4]）。定理4.15。设N为（2.9）给出的支付流，与养老保险合同（ξ，Z，τ）相关，假设2.1的条件（i i i）成立。然后，NT∧τ允许对bo theG和G进行停止的F"ollmer-Sc-hweizer分解，即NT∧τ=bE[NT∧τ] +ZTθFSudSτu+AeGT∧τ、 P- a、 s.，NT∧τ=bE[NT∧τ] +ZTθFudSτu+AGT∧τ、 P- a、 在分解过程中，θFS=bθFS，AeG=bAeG，θF=bθFand AG=bAGgiven（4.11）和（4.12）。Ifin添加，NT∧τ和Sτ是BP平方可积的，那么（FS，eG）-局部风险最小化策略*= （θ*, η*) 因为N由θ给出*t=θFSt=bp，FSθFte-Rtγudubp，FSE-Rtγudu, T∈ J0，T∧ τK，（4.16）η*t=Vt（Д*) - θ*tSτt，t∈ J0，T∧ τK和最优v值过程v（ν*) 由VT（Д）给出*) =bE[新台币∧τ] +Ztθ*udSτu+AeGt- Nt，t∈ J0，T∧ τK，其中Aegt=bEhAGteGti+bEZtθFudSτueGt公司-Ztθ*udSτu，t∈ J0，T∧ τK.18 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAProof。在假设2.1的条件（ii）下，我们得到了NT的F"ollmer-schweizerdecompositions的存在性∧τ相对于G和G。通过定理4.13和命题4.14，我们得到（4.11）和（4.12）给出了NT的F"ollmer-Schweizer分解∧τ分别相对于G和G。最后，结果由命题4.9得出。

表示法（4.16）要求了解过程θF，即（F，G）-局部风险最小化策略的第一部分。为了描述过程θF，定义过程bvg={bVGt，t∈ J0，T∧ τK}通过设置bvgt：=bE[NT∧τ| Gt]，t∈ J0，T∧ τK.（4.17），然后通过（4.11）过程bvgadmits Galchouk Kunita Watanabe分解，由bvgt=bE[NT∧τ] +ZtθFudSτu+AGt，t∈ J0，T∧ τK，其中AG=bag是时间零点的平方可积（G，bP）-鞅零，与τw.r.t.bP强正交。通过对等式两边关于Sτ的可预测协变量的分析，我们得到θFt=dhbVG，SτibPtdhSτibPtt∈ J0，T∧ τK，（4.18），其中h·，·ibp表示最小鞅测度下的可预测协变量过程bp。现在我们必须面对计算过程hbVG，SτibP的任务。在下一节中，我们将分析马尔可夫环境中的一些示例，其中我们能够在完全和部分信息下给出对冲策略θFand和θFs的明确表示。一个应用：F-死亡率取决于不可观测的

（5.1）下面的引理显示了一对（S，X）underbP的马尔可夫性。引理5.1。在假设2.1和（5.1）的条件（ii）下，该对（S，X）是一个（F，bP）马尔可夫过程，其中包含GENERATORBLS，X由BLS给出，Xf（t，S，X）=Ft型+b（t，x）- ρu（t，s，x）a（t，x）σ（t，s）Fx+a（t，x）Fx（5.2）+ρa（t，x）σ（t，s）sF十、s+σ（t，s）sFs、 对于EVERY函数f∈ C1,2,2b（[0，T]×R+×R）。此外，以下半形式的ale分解保持sf（t，St，Xt）=f（0，s，x）+ZtbLS，Xf（u，Su，Xu）du+Mft，t∈ [0，T]，（5.3），其中Mf={Mft，T∈ [0，T]}是dmft给出的（F，bP）-鞅=Fxa（t，Xt）hρdcWt+p1- ρdBti+Fsσ（t，St）StdcWt。证明推迟至附录B.2。计算（FS，eG）-局部风险最小化策略的思想是推导θFvia（4.18）并应用方程（4.16）。因此，我们需要描述过程bvgin（4.17）。首先，观察（2.8）中的过程M在时间零点t是（G，bP）-鞅null，也可以写成asMt=Ht-Zt（1- Hr）γ（r，Xr）dr，其中H是（2.5）中给出的死亡指标过程，即Ht=1{τ≤t} 。然后我们得到，bVGt=bEG（T，SτT）（1- HT）+ZTU（r，Sτr）dHr | Gt=是G（T，SτT）（1- HT）+ZTU（r，Sτr）（1- Hr）γ（r，Xτr）dr | Gt=ZtU（r，Sτr）（1- Hr）γ（r，Xτr）dr+bEG（T，SτT）（1- HT）+ZTtU（r，Sτr）（1- Hr）γ（r，Xτr）dr | Gt.为了计算最后的条件期望，我们使用三元组（Sτ，Xτ，H）的马尔可夫性，这在下面的引理中得到了证明。用bc1,2,2b表示可测有界函数集f:[0，T]×R+×R×{0，1}→ R对于t是连续且可微分的，对于（s，x）是连续且可二次微分的，具有有界导数（所有必要阶）。20 C.CECI，K.COLANERI和A.CRETAROLALemma 5.2。

在假设2.1和（5.1）的条件（ii）下，三元组（Sτ，Xτ，H）是一个（G，bP）-马尔可夫过程，其生成器bLS，X，Hgiven bybLS，X，Hf（t，S，X，z）=bLS，Xf（t，S，X，z）（1- z） +{f（t，s，x，z+1）- f（t，s，x，z）}γ（t，x）（1- z） 对于每个函数f∈bC1,2,2b，其中bls，Xis在（5.2）中给出。此外，以下（G，bP）-半鞅分解保持SF（t，St，Xt，Ht）=f（0，s，x，0）+ZtbLS，x，Hf（u，Su，Xu，Hu）du+Mft，t∈ J0，T∧ τK，其中Mf={Mft，t∈ [0，T]}是dmft给出的（G，bP）-鞅=Fx（1- Ht）a（t，Xt）hρdcWt+p1- ρdBti+Fs（1- Ht）σ（t，St）StdcWt+{f（t，St，Xt，Ht-+ （1）- f（t、St、Xt、Ht-)}dMt。证明推迟至附录B.2。然后，以下结果给出了在完全信息下保险索赔的局部风险最小化策略的特征。命题5.3（完整信息案例）。让g∈ C1,2,2b（[0，T]×R+×R）是问题（bLS，Xg（T，s，x）的解- γ（t，x）g（t，s，x）+U（t，s）γ（t，x）=0，（t，s，x）∈ [0，T）×R+×Rg（T，s，x）=G（T，s），（5.4）那么（F，G）-局部风险最小化策略是G i venb yθFt=Gs（t，St，Xt）+ρa（t，Xt）Stσ（t，St）Gx（t，St，Xt）t∈ J0，T∧ τK.（5.5）证明。

首先，注意如果g（t，x，s）∈ C1,2,2b（[0，T]×R×R+）是问题（5.4）的解决方案，然后是函数bg（T，x，s，z）∈bC1,2,2b，定义为bg（t，x，s，0）：=g（t，x，s）和bg（t，x，s，1）：=0解决了后向柯西问题（bLS，x，Hbg（t，s，x，z）+U（t，s）（1- z） γ（t，x）=0，（t，s，x，z）∈ [0，T）×R+×R×{0，1}bg（T，s，x，z）=（1- z） G（T，s）。根据引理5.2和费曼-卡克公式，我们得到bg（t，St，Xt，Ht）=bEG（T，ST）（1- HT）+ZTtU（r，Sr）（1- Hr）γ（r，Xr）dr | Gt以及下面的（G，bP）-鞅分解=bg公司x（1- Ht）a（t，Xt）p1- ρdBt+（1- Ht）bg公司sσ（t，St）St+bg公司xa（t，Xt）ρdcWt+{bg（t、St、Xt、Ht-+ （1）- bg（t、St、Xt、Ht-)}dMt。单位相关人寿保险单21然后取VgWgWgWgWgWgWgWgDhBVG的可预测协变量，SτibPt=（1- Ht公司-)Stσ（t，St）bg公司s（t、St、Xt、Ht-) + ρa（t，Xt）bg公司x（t、St、Xt、Ht-))dt=（1- Ht公司-)Stσ（t，St）bg公司s（t，St，Xt，0）+ρa（t，Xt）bg公司x（t、St、Xt、0）由于Sτ满足度的可预测二次变化DHSτibPt=（1- Ht公司-)dhSit=（1- Ht公司-)Stσ（t，St）dt我们只需应用关系式（4.18）即可得到θFt=bg公司s（t，St，Xt，0）+ρa（t，Xt）Stσ（t，St）bg公司x（t，St，Xt，0）t∈ J0，T∧ τK，对应于（5.5）备注5.4。通过应用Heath和Schweiz er[27]中的结果，可以在适当的假设下获得（5.4）的经典解的存在性和唯一性。备注5.5。通过费曼-卡克公式，过程{g（t，St，Xt），t∈ [0，T]}具有以下随机表示（T，St，Xt）=bEE-RTtγ（r，Xr）drG（T，ST）+ZTte-Rrtγ（u，Xu）duU（r，Sr）γ（r，Xr）dr | Ft. （5.6）5.1。部分信息下局部风险最小化的过滤方法。在本节中，我们希望应用过滤理论的一些结果来计算部分信息下的局部风险最小化对冲策略。