时间相关的半马尔可夫调制市场中的资产定价

，（XTn，Tn），{Tn+1- 田纳西州≤ y}=PZRh（XTn，Tn+1- Tn，z）（{Tn+（Tn+1- Tn）}×dz）=j- XTn公司XTn，Tn，{Tn+1- 田纳西州≤ y}=PXTn+1=j | XTn，{Tn+1- 田纳西州≤ y}, （2.12）自（B） 仅取决于B的Lebesgue测度，因此在B的平移下是可变的。对于每个ω∈ Ohm, 方程式（2.7）表示Z（Tn，Tn+t）ZRg（XTn，u- Tn，z）（du，dz）=0，对于t<Tn+1- TnTn+1- Tn，对于t=Tn+1- Tn.因此，Tn+1- t是以下mapt 7的第一个非零值→Z（0，t）ZRg（XTn，u，Z）（Tn+du，dz）。再次，自（Tn+du，dz）与ftn和Tn无关，我们从上面得到P[Tn+1- 田纳西州≤ y |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn）]=P[Tn+1- 田纳西州≤ y | XTn]。（2.13）因此，使用（2.11）、（2.12）和（2.13），（2.10）的LHS等于toP（XTn+1=j | XTn，{Tn+1- 田纳西州≤ y} ）×P[总氮+1- 田纳西州≤ y | XTn]=P（XTn+1，Tn+1- 田纳西州≤ y | XTn）=方程式（2.10）的RHS。因此，XT是一个半马尔可夫过程。我们定义了函数F：[0，∞) → [0，1]作为F（y | i）：=1- e-∧i（y）。从（2.3）中，∧i（y）是y的绝对连续函数。因此，F（y | i）几乎在任何地方都是可微的。Letf（y | i）：=ddyF（y | i）。我们还定义了pij（y），例如pij（y）：=λij（y）-λii（y）（0，∞)(-λii（y）），j 6=i{0}(-λii（y）），j=i.（2.14），这确保了[pij（y）]是所有y的概率矩阵。命题2.1.4。1、函数F是与年龄相关的过程Xt的保持时间的条件c.d.F。2、pij（y）=P[XTn+1=j | XTn=i，YTn+1-= y] 。证据n次跃迁后保持时间的条件c.d.f，给定n次状态，isP[τn+1≤ y | XTn=i]=1- P[{无跃迁in（Tn，Tn+y）]}| XTn=i]=1- P[{（u，z）∈ R+×R+| z∈[j6=i∧ij（u）}=0 | XTn=i]，其中u=s+tn和s∈ （0，y）=1- e-∧i（y）=F（y | i）。此外，我们注意到，对于j 6=i，P[XTn+1=j | XTn=i，YTn+1-= y] 是泊松点质量位于{τn+y}×ij（y）某处的事件的概率，假设x在时间y内没有发生跃迁。

该概率为∧ij（y）| Sj6=i∧ij（y）|（0，∞)（|[j6=i∧ij（y）|）=λij（y）-λii（y）（0，∞)(-λii（y））=pij（y）。我们注意到，在假设（2.2）和（2.3）下，对于所有y>0和limy，F（y | i）<1→∞F（y | i）=1。因此，保持时间是无限的，但几乎肯定是有限的。提案2.1.5。对于y>0，我们有pij（y）f（y | i）1- F（y | i）=λij（y），对于i 6=j，0，对于i=j。证明。F（y | i）：=1- e-∧i（y）。因此，不同的w.r.t y，我们有f（y | i）=-λii（y）e-∧i（y）f（y | i）1- F（y | i）=-λii（y）。（2.15）因此，对于i 6=j，pij（y）f（y | i）1- F（y | i）=- λii（y）×λij（y）-λii（y）（0，∞)(-λii（y））=λij（y），因为如果λii（y）=0，那么对于每个j（6=i），λij（y）=0。同样，如果λii（y）=0，则pii（y）=0，如果λii（y）=0，则f（y | i）1-F（y | i）=0自（2.15）。苏斯皮（y）f（y | i）1- F（y | i）=0表示所有y>0。我们还可以很容易地从（2.14）中验证thatPj∈χpij（y）=1。定理2.1.6。设Xt为方程（2.6）和（2.7）中所述的年龄相关过程。然后，它的核由（y>0，i 6=j）Qij（y）：=P[XTn+1=j，YTn+1给出-≤ y | XTn=i]=Zye-∧i（s）λij（s）ds。证据我们注意到Qij（y）：=P[XTn+1=j，YTn+1-≤ y | XTn=i]=E[P（XTn+1=j，YTn+1-≤ y | XTn=i，YTn+1-)|XTn=i]=Z∞[0，y]（s）P[XTn+1=j | XTn=i，YTn+1-= s] f（s | i）ds=Zypij（s）f（s | i）ds=Zy（1- F（s | i））λij（s）ds=Zye-∧i（s）λij（s）ds。在文献中，这类过程似乎是第一次出现在【10】中的“年龄相关过程”。在[19]中，将半马尔可夫过程分为两类，即I型和II型，然后研究了这类过程。我们认识到，本章讨论的与年龄相关的过程属于第二类。

这里，我们给出了连续时间中一些重要的纯跳跃过程类的层次结构。纯跳跃过程∪时间齐次情形∪半马尔可夫过程∪年龄相关案例∪年龄无关案例∪马尔可夫过程2.2时间非齐次年龄相关过程值得注意的是，第2.1节中年龄相关过程的构造可以很容易地推广到构造时间非齐次非马尔可夫纯跳跃过程。为此，我们考虑泊松随机测度N的形式为N（dt，dz）：=（dη（t），dz），其中η是一个递增可微分函数，η（0）=0。该随机测度具有强度η（t）dt dz，其中，在假设下，η是从[0，∞) 至（0，∞). 因此，对于任何集合A，E[N（A）]=ZAη（t）dt dz∈ F、 我们考虑一对新的耦合随机积分方程，在（~Xt，~Yt）：~Xt=~X+ZtZRh（~Xu-,Yu-, z） N（du，dz）（2.16）~Yt=~Y+t-ZtZRg（~Xu）-,Yu-, z） N（du，dz），（2.17），其中g和h分别由方程（2.5）和（2.4）定义。定理2.2.1。方程（2.16）和（2.17）存在唯一解（~Xt，~Yt）。证据证明可以用与定理2.1.1类似的方式构造。定理2.2.2。过程▄Zt：=（▄Xt，▄Yt）是一个马尔可夫过程。证据~XT=~X+ZTZRh（~Xu）-,Yu-, z） N（du，dz）=▄Xt+ZTtZRh（▄Xu）-,Yu-, z） N（du，dz）和▄YT=▄Y+T-ZTZRg（~Xu）-,Yu-, z） N（du，dz）=Yt+（T- t）-ZTtZRg（~Xu）-,于-, z） N（du，dz）。定理2.2.3。~Zt：=（~Xt，~Yt）是一个c\'adl\'ag过程。证据这是因为η在紧集上有界，λij（y）在方程（2.2）中有界。定理2.2.4。序列{XTn}是一个马尔可夫链。证据P[XTn+1=j |XT，XT，XT，XTn=i]=E（P[N（{Tn+1}×ij（τN+1））6=0 | N（{Tn+1}×ik（τN+1））6=0（笑声），XTn=i）=E“λij（Tn+1- Tn）Pk6=jλik（Tn+1- Tn）~XT，~XT。

，~XTn=i，~YTn=0#=E“λij（~YTn+1-)Pk6=jλik（▄YTn+1-)XTn=i#，因为▄YTn+1的条件分布-给定的ftn与给定的XTn相同。因此，LHS上的条件概率完全取决于▄XTn=i。然而，过程▄XTn不是半马尔可夫过程。这是因为转移概率可以写为asP“[0<s≤y（N[0<s<s{Tn+s}×[k6=i∧ik（s）！=0）\\{N（{Tn+s}）×ij（s））=1}FTn，XTn=i#=P“[0<s≤y（N[0<s<s{Tn+s}×[k6=i∧ik（s）！=0）\\{N（{Tn+s}）×ij（s））=1}XTn=i，Tn#。然而，泊松随机测度N对于时间不是平移不变的，除非η是常数。因此，一般不可能进一步简化。2.3微型生成器我们将推导出一个与年龄相关的扩展过程的微型生成器表达式。设（Xt，Yt）是一个增龄依赖过程。设φ：χ×[0，∞) 是一个可区分的功能。然后，根据它的公式，dφ（Xt，Yt）=φy（Xt，Yt）dYct+φ（Xt，Yt）- φ（Xt-, 年初至今-)=φy（Xt，Yt）dt+ZR[φ（Xt-+ h（Xt-, 年初至今-, z） ，年至今-- g（Xt-, 年初至今-, z） （）- φ（Xt-, 年初至今-)] （^）（dt，dz）+dt dz，（2.18），其中^（dt，dz）=（dt，dz）-dt dz是补偿泊松随机测度，平均值为零，与X无关。通过积分w.r.t^得到的过程 是鞅，Mt。因此，我们可以写φ（Xt，Yt）=φy（Xt，Yt）dt+Xj6=Xt-[φ（j，0）- φ（Xt-, 年初至今-)]λXt-j（Yt-) dt+dMt。（2.19）因此，增龄依赖过程的最小生成元L由以下表达式给出：Lφ（i，y）=φy（i，y）+Xj6=i[φ（j，0）- φ（i，y）]λij（y）。（2.20）2.4一个例子在这里，我们给出了一些具有很多状态的年龄相关过程的例子。我们让（年龄相关的）转移速率矩阵由∧（y）=∧（1）+y∧（2），（2.21）给出，其中∧（1）和∧（2）是k阶的两个速率矩阵。在特定情况下，如果∧（2）=0，则为三次矩阵，则∧（y）=∧（1）对于所有y，所得过程变为马尔可夫过程。

然而，当∧（1）=c∧（2）时，对于某些c∈ R+。当然，总的来说，∧（y）规定了一个与年龄相关的过程。该过程的转移概率由（i 6=j）pij（y）=λ（1）ij+yλ（2）ij给出-λ（1）ii- yλ（2）ii，（2.22）明确依赖于y。因此，具有这种过渡时间分布的随机过程既不是连续时间马尔可夫过程，也不是年龄无关的半马尔可夫过程。出于推理目的，可以考虑参数族∧（y）∧（y）=∧（1）+∧（2）y+∧（3）y+····+∧（n+1）yn，y>0，其中每个∧（i）是k阶速率矩阵，并作为参数。换言之，可以用固定次数的多项式来估计转移率函数。在这种情况下，未确定的独立参数的数量为（n+1）（k-k） 。我们强调，这个族包括所有具有k状态的马尔可夫过程和所有具有k状态的年龄无关半马尔可夫过程，其危险率是不超过n的度多项式。当然，我们可以考虑∧（y）=n+1Xi=1∧（i）θi（y），其中{θi}n+1i=1是L（[0，∞)).2.5研究半马尔可夫调制市场的动机在金融市场中，有许多资产的动态可以用随机微分方程（SDE）建模。当通过经验数据验证时，漂移和波动性参数似乎是非常数。在本项目中，我们的目标是考虑一个市场模型，其中这些参数由一类纯跳跃过程驱动。在有关这一主题的现有文献中，此类模型被称为政权转换模型。虽然马尔可夫切换在文献中得到了更好的研究，但我们在这里的目的是考虑更大类别的状态切换，即。“年龄相关过程”。

在本节中，我们进一步阐明了此类考虑的重要性。马尔可夫切换市场和半马尔可夫切换市场之间的差异不仅仅是超官方的。为了说明半马尔可夫模型或年龄相关模型的更大适用性，考虑一个市场只有两种可能的状态，例如，由具有两种状态1和2的asemi-Markov过程调节。让f和midenote分别为每个i的c.d.f.和状态i下的保持时间平均值。进一步假设存在δ>0，使得f（δ）=f（δ）=0。现在考虑一个事件a，其中转换发生在T- δ、 其中T是到期日。当然，在概率为1的到期之前，不会有更多的转换。因此，所有欧洲看涨期权的无套利价格- δ等于Black-Scholes-Merton模型建议的价格，该模型具有该制度的参数。另一方面，如果这个真实市场的制度应该由一个马尔可夫过程建模，其保持时间分别有means和mr，那么q矩阵将是-嗯-m！。很明显，在这个马尔可夫切换模型下，给定事件A，在到期之前进一步转移的条件概率为非零。因此，时间T的欧式看涨期权的局部风险最小化价格- δ应不同于Black-Scholes-Merton价格，并具有该制度的固定参数。在某些情况下，这种模型可能比马尔科夫转换模型更接近实际市场。这为研究半马尔可夫调制市场的定价问题提供了动力。第3A章非局部抛物型偏微分方程我们考虑了一个偏微分方程，该方程出现在具有半马尔可夫制度转换的市场中的衍生品定价问题中。这是BlackScholes偏微分方程的推广。市场参数在现实中很少是恒定的。

相反，市场经历了不同的阶段或“制度”，其中每个市场参数或多或少都是恒定的。我们经常听到“牛市”、“波动市场”和“熊市”。还知道低/高利率制度和流动性紧张情况等。这些可以通过制度转换模型更好地建模，如[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[12]、[13]、[15]和[17]中分析的模型。研究了各种状态切换模型。例如，文献[2]中已经研究了马尔可夫调制市场中的定价问题。然而，马尔可夫过程的无记忆性对模型施加了一定的限制。半马尔可夫制度转换模型允许更大的灵活性，并适应具有持续时间依赖性的商业周期的影响。在本章中，我们考虑了一个年龄相关的区域切换模型的偏微分方程，并证明该偏微分方程实际上等价于一个称为第二类Volterra方程的方程。因此，我们在适当的一类函数中建立了唯一经典解的存在性。PDE和定价问题之间的联系将推迟到下一章。设X：={1，2，…，k}是一个有限集。我们定义了以下函数r：χ→ （0，∞), u：（0，∞) ×χ→ （0，∞), σ：（0，∞) ×χ→ （0，∞). （3.1）带r（i）≥ 对于所有i，σ（t，i）>0∈ χ、 t型∈ [0，∞). 我们考虑一个可微函数λ：X×X×[0，∞) → [0，∞) 满足方程（2.3）和λii（y）：=-Pj6=iλij（y）。所考虑的微分方程组如下所示：t^1（t，s，i，y）+y（t，s，i，y）+r（i）ssИ（t，s，i，y）+σ（t，i）ssИ（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）^1（t、s、j、0）- ^1（t、s、i、y）= r（i）Д（t，s，i，y），（3.2）定义：{（t，s，i，y）∈ （0，T）×（0，∞) ×X×（0，T）| y∈ （0，t）}，（3.3）且条件Д（t，s，i，y）=K（s）；s∈ （0，∞); 0≤ y≤ Ti=1，2。

，k（3.4），其中k是最多线性增长的非负函数。由于我们将在下一章中考虑可违约债券，因此对K（s）的这一假设是合理的，可违约债券可以写成满足这一条件的或有债权。该方程的一些特例出现在【6】、【17】、【15】、【5】、【9】和【3】中，用于在特定制度转换市场假设下对欧洲或有索赔进行定价。由于特殊情况的简单性，作者通常参考抛物线型偏微分方程存在唯一性问题理论中的一些标准结果。但在本章中出现的一般形式中，没有这样的线索参考。因此，我们使用Banach不动点定理给出了一个自包含的证明。我们分两步完成这一任务。首先，我们考虑了第二类Volterra积分方程，并建立了该方程的存在唯一性结果。然后，我们在一组命题中证明了偏微分方程和IE问题是“等价的”。因此，我们在定理3.2.2中得到了偏微分方程的存在唯一性。一些进一步的属性，即。得到了正性和生长性质。本文还表明，解的部分导数构成了相应索赔的最优套期保值策略。我们进一步表明，ν的偏导数可以写成一个积分，它涉及到Д，这使得我们能够开发一个稳健的数值格式来计算希腊语。这项研究为解决涉及这组新PDE的许多其他有趣问题铺平了道路。3.1存在性考虑以下初始值问题，即每个i的B-S-M PDEρi（t，s）t+r（i）sρi（t，s）s+σ（t，i）sρi（t，s）s=r（i）ρi（t，s）（3.5）（t，s）∈ （0，T）×（0，∞) ρi（T，s）=K（s）。这里，K被假定为至多为线性增长的非负函数。

这有一个唯一的经典解，最多为lineargrowth（见[16，pg.202]）。我们定义了一个函数L:[0，∞) ×（0，∞) ×（0，∞) ×χ×（0，∞), 式中，l（t，x，s，i，v）：=lnxs型-Rt+vtr（一）-σ（u，i）duqRt+vtσ（u，i）du。（3.6）我们还定义了函数α（x；t，s，i，v）：=e-L√2πxqRt+vtσ（u，i）du。（3.7）为了便于标记，我们让∑表示数量qrt+vtσ（u，i）du。提案3.1.1。函数α是对数正态概率密度函数。证据我们立刻认识到α（x；t，s，i，v）是对数正态密度函数，基本正态分布的平均值为ln（s）+Rt+vtr（一）-σ（u，i）du和相应的方差为rt+vtσ（u，i）du。提案3.1.2。LLv+r（i）L’’σ+σ（t+v，i）L2’’σ-σ（t+v，i）L2’σ=0。（3.8）证明。我们对L（t，x，s，i，v）w.r.t v进行微分，并应用莱布尼茨规则得到结果。集合B：=nИ：(R)D→ [0，∞), 连续| k|k：=辅助|Д（t，s，i，y）1+s |<∞o、 引理3.1.3。考虑以下积分方程Д（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）Z∞ν（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx dv（3.9）然后（i）问题（3.9）在B中有唯一解，（ii）积分方程在C1,2,1（D）中的解，（iii）Д（t，s，i，y）是非负的。证据（i） 我们首先注意到，（3.9）的解是算子a和反之亦然的固定点，其中（t，s，i，y）：=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞Д（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx dv。很容易检查每个Д∈ B、 A^1：(R)D→ （0，∞) 是连续的。φ的连续性由ρi的连续性得出。为了证明A是B中的收缩，我们需要证明φ的连续性∈ B、 | | A|-A| | |≤J | |Д- 其中J<1。为了证明处方类中的存在性和唯一性，有必要证明A是B中的收缩。

Banach固定点理论确定了B中固定点的存在性和唯一性，以表明对于Д，Д∈ B、 | | A|- A| | |≤ J | |Д- ν| |其中J<1，我们计算- A^1k=辅助A^1- Aх1+s= 辅助设备ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）×Z∞（^1）- ^1）（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）1+sdxdv≤辅助设备ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞（1+x）×sup（t，x，j，y）∈\'\'D^1（t，x，j，y）- ^1（t，x，j，y）1+xα（x；t，s，i，v）1+sdxdv= 辅助设备ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）k|- ^1ka（t，s）1+sdv式中，a（t，x，s，i，v）：=Z∞（1+x）α（x；t，s，i，v）dx=1+expln s+r（一）-Zt+vtσ（u，i）du+Zt+vtσ（u，i）du=1+ser（i）v.因此，kAΒ- A^1k≤ JkИ- 其中，J=辅助ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）1+ser（i）v1+sdv≤ 辅助设备1.- F（y | i）ZT-tf（y+v | i）dv= 辅助设备F（y+T- t | i）- F（y | i）1- F（y | i）<1.- F（y | i）1- F（y | i）=1使用r（i）≥ 0以及λ和F的性质。（ii）使用方程式（2.3）和ρIf的平滑度，对于每个i，右侧的第一项为C1,2,1（D）。在λ和F的假设下，第二项在y中连续可微，在s中连续可微两次，紧随其后。t中的连续差异源于一个事实，即项Д（t+v，x，j，0）乘以C（（0，∞)) v中的功能，然后在v上集成∈ （0，T- t） 。因此，Д（t，s，i，y）为inC1,2,1（D）。（iii）我们已经证明A:B→ B是收缩。很明显，方程（3.5）有一个非负解。由于积分方程（3.9）的所有系数都是非负的，因此≥ ^1为0≥ 现在让V：={φ∈ B |φ≥ 0}。那么，V是B的闭子集→ V，让V∈ 五、定义序列{vn}n≥0，这样vn：=Anv。然后vn∈ 五、我们注意到KVM+p- vmk=k（Ap- 一） Amvk公司≤k（Ap- 一） k.kAkm。kvk。我们已经证明了kAИ- A^1k≤ JkИ- νk，其中J<1。因此，kAk<1，表示kvm+p-vmk公司→ 0作为m→ ∞.