时间相关的半马尔可夫调制市场中的资产定价

因此，{vn}n≥0是柯西序列。由于V闭合，vn→ v、 其中v∈ 五、A的连续性意味着Avn→ Av。此外，Avn=vn+1→ v、 这意味着Av=v，即v是a的固定点。我们已经证明a在B中有一个固定点。该固定点是v，是v的一个元素。换句话说，v是非负的。因此，我们已确定B中A的执行点为非负，即Д为非负。引理3.1.4。设ν为方程（3.9）的解。Thenlimu公司↓0Z∞Д（t+u，x，j，0）α（x；t，s，i，u）dx=Д（t，s，j，0）。证据由于Д（t，·，i，y）最多呈线性增长，因此存在正常数kandksuch，即Д（t，s，i，y）≤ 所有s的k+ks。Let{ul}l∈Nbe（0，1）上的递减序列，以便ul→ 设αl（x）：=α（x；t，s，i，ul）。由于αlis是每个l的对数正态密度函数，因此序列{αl}l∈Nis一致可积，即islimk→∞suplZ公司∞kxαl（x）dx=0。因此，对于任何 > 0，我们可以找到K>0，这样r∞K（K+kx）αl（x）dx<对于所有l∈ N、 现在让{νN}N∈Nbe在xconverting toДpointwise中，阶跃函数的非负递增序列。然后，给定 > 0和K，我们可以找到N，这样对于所有N≥ N、 Z∞（Д（t+ul，x，j，0）- νn（t+ul，x，j，0））αl（x）dx=ZK（Д（t+ul，x，j，0）- νn（t+ul，x，j，0））αl（x）dx+Z∞K（Д（t+ul，x，j，0）- νn（t+ul，x，j，0））αl（x）dx≤αl（[0，K]）+Z∞K（K+kx）αl（x）dx+ZK[Д（t+ul，x，j，0）- Д（t，x，j，0）]αl（x）dx<2 +ZK[~n（t+ul，x，j，0）- Д（t，x，j，0）]αl（x）dx，其中αl（A）：=RAαl（x）dx。还有，Z∞（Д（t+ul，x，j，0）- νn（t+ul，x，j，0））αl（x）dx=Z∞Д（x）αl（x）dx-KnXi=1хn（xi）αl（Ii），其中，Дn（x）=PKni=1aiIi（x）和xi∈ 二。作为l→ ∞,αl（Ii）→0，如果s/∈ Ii，1，如果s∈ 二。因此，对于每个n，liml→∞Z∞Дnαl（x）dx=Дn（s）。因此，对于n≥ N个(, K） ，0≤ liml公司→∞Z∞Д（t+ul，x，j，0）αl（x）dx- ^1n（s）≤2. + liml公司→∞ZK[Д（t+ul，x，j，0）- Д（t，x，j，0）]αl（x）dx=2,因为Д（·，s，i，y）是平滑的。

因此，limn→∞νn（t，s，j，0）=极限→∞R∞Д（t+ul，x，j，0）αl（x）dx。提案3.1.5。（3.9）的唯一解也解决了初值问题（3.2）（3.4）。证据设Д为（3.9）的解。因此，使用（3.9），Д（T，s，i，y）=ρi（T，s）=K（s），即条件（3.4）成立。引理3.1.3（ii）中，Д位于C1,2,1（D）中。因此，我们可以在（3.9）的两侧执行部分差异w.r.t.t和y。我们获得tИ（t，s，i，y）=f（t- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+1- F（T- t+y | i）（1- F（y | i））ρi（t，s）t型- e-r（i）（T）-t） f（y+t- t | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+T- t） Z∞Д（T，x，j，0）α（x；T，s，i，T- t） dx+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）Z∞^1t（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dxdv+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）×Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）σ（t+v，i）- σ（t，i）L’σ-L’σ-\'\'σdx dv（3.10），通过在积分符号下微分w.r.t.t。现在，在我们对（3.9）的两边进行偏导数w.r.t.y之前，我们首先简化右侧。设qij（y+v）：=f（y+v | i）pij（y+v）。然后y^1（t，s，i，y）=-f（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+1- F（T- t+y | i）（1- F（y | i））F（y | i）ρi（t，s）+yZT公司-te公司-r（i）vqij（y+v）1- F（y | i）Z∞Д（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx dv。最后一个术语可以进一步简化。yZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx dv=Xj6=iy1.- F（y | i）ZT-t型e-r（i）vZ∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dxqij（y+v）dv设bij（v；t，x，s）：=e-r（i）vR∞Д（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx。也让▄qij（y）：=Ryqij（w）dw，这样▄qij（y）=qij（y）。

然后，利用分部积分公式，我们得到了ZT-tbij（v；t，x，s）qij（y+v）dv=[bij（v；t，x，s）~qij（y+v）]t-t型-ZT公司-t型bij（v；t，x，s）vqij（y+v）dv。现在，bij（T- t；t、 x，s）~qij（y+t- t） =e-r（i）（T）-t） qij（y+t- t） Z∞Д（T，x，j，0）α（x；T，s，i，T- t） dxwhilebij（0；t，x，s）~qij（y）=~qij（y）利木↓0Z∞^1（t+u，x，j，0）α（x；t，s，i，u）dx=通过引理3.1.4得出的qij（y）Д（t，s，j，0）。因此，νw.r.t y的偏导数为y^1（t，s，i，y）=-f（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+1- F（T- t+y | i）（1- F（y | i））F（y | i）ρi（t，s）+F（y | i）1- F（y | i）×^1（t、s、i、y）-1.- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+ e-r（i）（T）-t） f（t- t+y | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+T- t） Z∞Д（T，x，j，0）α（x；T，s，i，T- t） dx公司-f（y | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y）Д（t，s，j，0）-ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Z∞α（x；t，s，i，v）(- r（i）Xj6=ipij（y+v）Д（t+v，x，j，0）-Xpij（y+v）Д（t+v，x，j，0）LLv+σ（t+v，i）2'σ+Xj6=ipij（y+v）^1（t+v，x，j，0）t） dx dv。（3.11）通过将方程（3.10）和（3.11）相加，我们得到t^1（t，s，i，y）+yИ（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）t+f（y | i）1- F（y | i）Д（t，s，i，y）-Xj6=ipij（y）Д（t，s，j，0）+ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞Д（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）×r（i）+LLv+σ（t+v，i）L2’σ-σ（t，i）L2′σ-σ（t+v，i）L2′σ+σ（t，i）L2′σ+σ（t，i）2′σdx dv。（3.12）现在，我们将（3.9）w.r.t.s的两侧分别区分一次和两次，并获得s^1（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）s+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）×Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）Ls'σdx dv，（3.13）s^1（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）s+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）×Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）sL’σ-L’σ-\'\'σdx dv。

（3.14）从方程（3.13）和（3.14）中，我们得到r（i）s^1s+σ（i）s^1s=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）r（i）sρi（t，s）s+σ（i）sρi（t，s）s+ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）r（i）L’σ+σ（t，i）L2’σ-σ（t，i）L2′σ-σ（t，i）2’σdx dv。（3.15）最后，从方程（3.9），（3.5），（3.8），（3.12）和（3.15）我们得到t^1（t，s，i，y）+y（t，s，i，y）+r（i）ssИ（t，s，i，y）+σ（t，i）（i）ss^1（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）t+r（i）sρi（t，s）s+σ（t，i）sρi（t，s）s-f（y | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y）（Д（t，s，j，0）- ^1（t，s，i，y））+r（i）^1（t、s、i、y）-1.- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）= -f（y | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y）（Д（t，s，j，0）- Д（t，s，i，y））+r（i）Д（t，s，i，y）。因此，方程式（3.2）成立。从引理3.1.3和命题3.1.5可以看出，（3.2）-（3.4）有一个经典解。我们在下一节中证明了唯一性。3.2唯一性我们考虑方程（3.2）-（3.4）。有趣的是，虽然域D有非空边界，但我们已经在规定的类中获得了IE的唯一解的存在性，并且没有施加边界条件。此外，我们将证明IE的唯一性意味着PDE的唯一性。这让我们立即感到惊讶，因为我们知道边界条件对于非退化抛物型偏微分方程的唯一性很重要。在这方面，我们想回顾一下，这里的偏微分方程是退化的。对于边界的一部分，即s=0，所有微分算子的系数w.r.t.s消失。因此，可以很自然地预期，s=0的条件可能不需要唯一性。换言之，对于任何边界条件，PDE都不存在，除非可能只有从终端条件获得的适当边界条件。我们通过下面的精确计算进一步澄清了这一明显模糊的理由。

除s=0外，边界的其余部分是由于y变量的边界，即y=0和y=t。在这里，D的非矩形性质变得很明显。我们还记得，我们解决了一个终值问题，因此当t减小到零时，y的范围在t中线性缩小。另一方面，PDE中仅出现第一个微分算子w.r.t.y。因此，缺乏边界数据不会导致未确定的问题。我们考虑域D闭包问题（3.2）-（3.4）的连续解，特别是集合{（t，s，i，y）∈\'D | s=0}。对于s=0，PDE为t型+yД（t，0，i，y）+Xj6=iλij（y）[Д（t，0，j，0）- ν（t，0，i，y）]=riД（t，0，i，y）。（3.16）Let^Иi（t，y）：=Д（t，0，i，y）。然后t型+y^хi（t，y）+Xj6=iλij（y）[^хj（t，0）- ^хi（t，y）]=ri^хi（t，y），终端条件^хi（t，y）=K（0）。现在，对于任何t<t，考虑ct（t）：=t- t、 然后，滴滴涕i（t，ct（t））=t型+y^Иi（t，ct（t））。设gi（t；t）：=^Иi（t，ct（t））。Thenddtgi（t；t）+Xj6=iλij（ct（t））[^Иj（t，0）- gi（t）]=rigi（t；t）。因此，dgi（t；t）dt=p（t）gi（t；t）- q（t），gi（t；t）=K（0），其中p（t）：=ri+Pj6=iλij（c（t））和q（t）：=Pj6=iλij（c（t））^Иj（t，0）。这是一阶线性电阻，可以很容易地求解为givegi（t；t）=ZTte-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））^Иj（u，0）du-K（0）e-车辙（ri+Pj6=iλij（ct（s）））ds。现在，gi（t，t）=i（t，0）。因此，我们得到以下方程：i（t，0）=ZTte-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））^Иj（u，0）du- K（0）e-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））ds，（3.17）这是^Д（t，0）中的积分方程。如果我们证明这个积分方程组有唯一的解，我们关于SWI上边界条件冗余的推理将是正确的。

为此，我们以类似于引理3.1.3证明的方式进行。我们将运营商A定义为beA^~ni（t，0）=ZTte-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））^Иj（u，0）du-K（0）e-车辙（ri+Pj6=iλij（ct（s）））ds。（3.18）方程（3.17）的解显然是算子a的一个固定点。如果我们能够确定a是我们将要考虑的函数类中的一个收缩，则可以使用Banach固定点定理来证明积分方程（3.17）有一个唯一解，该解是a的一个固定点。我们确定：=χ×[0，T]是我们现在要考虑的领域。考虑巴拿赫空间B=C（Γ），赋予上范数。为了证明A是收缩，我们需要证明∈ B、 | | A^Д- A^||≤ J | |^И- 其中J<1。现在，A（^Иi）- ^Дi）=ZTte-车辙（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））^Иj（u，0）- ^Иj（u，0）杜邦≤中兴通讯-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））supu，j^Иj（u，0）- ^Иj（u，0）杜。由于所有i的r（i）>0，因此A（^Иi- ^Иi）≤k^И- ^ИkZTte-车辙（ri+Pj6=iλij（s-t） ）dsXj6=iλij（u- t） du=k^И- ^ИkZTte-ri（u-t） e类-RutPj6=iλij（s-t） dsXj6=iλij（u- t） du<k^И- ^ИkZTte-RutPj6=iλij（s-t） dsXj6=iλij（u- t） du=k^И- ^ИKZTTDUe-RutPj6=iλij（s-t） ds公司du=k^И- ^Иk1.- e-RTtPj6=iλij（s-t） ds公司=Jk^И- ^хk，其中J=1-e-RTtPj6=iλij（s-t） ds<1。这证明A实际上是一种收缩。因此，建立了方程（3.17）解的唯一性。所有t的^Д（t，0）的唯一性∈ [0，T]表示g（T；T）对于所有T的唯一性≥ t型≥ 0.同样，^Иi（t，t-t） 对于所有t都是唯一的∈ [t，t]，t∈ [0，T]。自，对于y∈ 【0，t】、Дi（t，0，i，y）=Дi（t，y）=Дi（t，t- （t- y） ），带t- y∈ [0，t]，方程（3.16）有唯一的解。因此，对于s=0，ν（t，s，i，y）是唯一的。提案3.2.1。假设（2.2）和（2.3）。我们还假设转移矩阵pij:=R∞pij（y）dFi（y）是不可约的。设ν为（3.2）-（3.4）的经典解。

然后（i）Д求解积分方程（3.9）；（ii）Д（t、s、i、y）≤ k+k对于某些k，k>0。证据（i） Let（yenOhm,~F，~P）是一个概率空间，其中包含标准布朗运动和泊松随机测度 独立于W。设▄St为下列SDEd的强解▄St=▄St（r（Xt）dt+σ（t，Xt）dWt），▄S>0，其中，Xt是方程（2.6）和（2.7）给出的年龄相关过程。让▄Ft成为▄X满足通常假设所产生的基础过滤。我们观察到过程{（▄St，Xt，Yt）}是马尔可夫过程，其中具有最小生成元At，其中tν（s，i，y）=^1y（s，i，y）+r（i）s^1s（s，i，y）+σ（t，i）s^1s（s，i，y）+Xj6=iλij（y）^1（s，j，0）- ^1（s、i、y）对于紧支撑Cin s和Cin y的每个函数Д。如果Д是（3.2）-（3.4）的经典解，则使用Nt上的It^o公式：=e-Rtr（Xu）duД（t、~St、Xt、Yt），wegetdNt=e-Rtr（徐）杜-r（Xt）Д（t、~St、Xt、Yt）+^1t（t，~St，Xt，Yt）+AtД（t，~St，Xt，Yt）其中mt是局部鞅。因此，从（3.2）及以上表达式来看，NTI也是▄Ftlocal鞅。Nt的定义表明，存在常数k和k，例如| Nt |≤ k+kSt对于每个t，因为Д最多具有线性增长。同样，从下面的表达式▄St=▄SexpZt（r（Xu）-σ（u，Xu））du+Ztσ（u，Xu）dWu有人得出结论，STI是一个具有有限期望的子角色。因此，可以使用Doob不等式来获得E supu∈[0，t]| Nu |<∞ 因此{Nt}是一个鞅。

因此Д（t，~St，Xt，Yt）=eRtr（Xu）duNt=E[eRtr（Xu）duNt | Ft]=E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt]。（3.19）通过在过渡时间进行调节，并使用▄St的条件对数正态分布，我们得到Д（t，▄St，Xt，Yt）=E[E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt=i，Yt，Tn（t）+1】▄ST，Xt=i，Yt】=P（Tn（t）+1>t▄Xt，Yt）E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt=i，Yt，Tn（t）+1>t]+ZT-tE[e-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，Tn（t）+1=t+v]f（t- Tn（t）+v | Xt）1- F（Yt | Xt）dv=1- F（T- Tn（t）| Xt）1- F（Yt | Xt）ρXt（t，~St）+ZT-te公司-r（Xt）vf（Yt+v | Xt）1- F（Yt | Xt）×Xj6=ipij（Yt+v）Z∞E【E】-RTt+vr（Xu）duK（▄ST）▄ST+v=x，Yt+v=0，Xt+v=j，Tn（t）+1=t+v]exp{-1（（ln（xSt）-Rt+vt（r（i）-σ（u，i））du）√Rt+vtσ（u，i）du）}x√2πqRt+vtσ（u，i）dudx dv=1- F（T- t+Yt | Xt）1- F（Yt | Xt）ρXt（t，~St）+ZT-te公司-r（Xt）vf（Yt+v | Xt）1- F（Yt | Xt）×Xj6=ipij（Yt+v）Z∞^1（t+v，x，j，0）e-1Lx√2πqRt+vtσ（u，i）dudx dv。最后，通过使用不可约性条件（A1），我们可以用上述关系中的泛型变量（s，i，y）替换（~St，Xt，Yt），从而得出结论：Д是（3.9）的解。因此（i）成立。（ii）我们注意到，由于K最多是线性增长，因此存在K，K>0，这样K（s）≤ 所有s的k+ks≥ 因此，Д（t，~St，Xt，Yt）=~E[E-RTtr（Xu）duK（ST）| Ft]≤E[E-RTtr（Xu）du（k+kST）| Ft]≤k+kE[E-RTtr（Xu）duST | Ft]。因为Д（t，~St，Xt，Yt）=~E[E-使用e的鞅性质-Rtr（Xu）duSt，从方程（3.19）和上面的公式中，我们得到ν（t，St，Xt，Yt）≤ k+kSt。从方程式（3.19）可以看出，Д是非负量的期望值，因此是非负的。因此（ii）成立。定理3.2.2。初始边值问题（3.2）-（3.4）在一类具有最多线性增长的函数中具有唯一的经典解。证据引理3.1.3和命题3.1.5的存在性。为了唯一性，假设Д和Д是规定类别中（3.2）-（3.4）的两个经典解。

然后使用命题3.2.1，我们知道两者都可以解（3.9）。但是从引理3.1.3来看，在规定的类中只有一个这样的引理。因此，Д=Д。备注3.2.1。上述定理也可以以不同的方式证明，这主要取决于温和的解决方案技术[20]和[1]的命题3.1.2。[9]中采用了这种替代方法来确定（3.2）-（3.4）的特例的适定性。采用当前方法的原因是，它使我们能够在go中建立thePDE和IE之间的等效性。这意味着溶液偏导数的另一种表达式。下一节将解释这种表示的重要性。第四章期权定价问题我们关注广泛研究的金融市场布莱克-斯科尔斯模型的扩展。在我们的模型中，市场表现出半马尔可夫状态切换。文献[2]研究了马尔可夫调制的区域切换模型。我们使用本文第2章讨论的年龄相关过程来扩展这个模型。各种金融工具在金融市场交易。其中一些工具是股票、债券、期权、期货、掉期等。其价格取决于其他商品价格的金融工具称为衍生品。期权和期货就是衍生品的例子。期权是双方之间的合同，即期权的作者和持有人。期权持有人以溢价（称为期权“价格”）从卖方购买期权。有几种类型的选项。最常见的是欧洲和美国的选择。这些股票通常在交易所交易，被称为“普通”期权。其他种类的期权并不常见，被称为“奇异”期权。所有期权进一步分为看涨期权和看跌期权。

欧洲看涨期权授予其持有人在到期时以固定价格（称为“履约价格”）购买一定数量股票的权利，而欧洲看跌期权允许其持有人出售相同的股票。很明显，购买期权必须支付溢价。如果没有溢价，期权持有人将永远无法弥补损失，这违反了大多数现实市场所满足的无套利条件。溢价必须对期权持有人和期权持有人都公平。因此，期权的价格是在风险中性市场中其相应或有权益的贴现价格的预期值。Black-Scholes模型是用于欧洲风格期权定价的标准模型。它做出了一些假设，如下所述：1。无风险资产的利率是恒定的，因此被称为无风险利率。股票价格的对数是一个几何布朗运动（GBM），具有恒定的裂痕和波动性。该股票无股息。4、不存在套利机会。可以以无风险利率借入或贷出任何金额的现金，即使是零碎的现金。可以买卖任何数量的股票，即使是零星的。这包括卖空的可能性，即出售自己不拥有的股票的行为。7.