时间相关的半马尔可夫调制市场中的资产定价

初始边值问题（3.2）-（4.20）在具有最多线性增长的函数类中具有唯一的经典解。证据证明类似于定理3.2.2。定理4.3.7。设Дuoc（t，s，i，y）表示问题的唯一解决方案（3.9,4.20）。那么以下陈述成立：1。^1uoc（t，s，i，y）是履约价格K、屏障b>K和到期日t>t.2的上行和外层欧洲看涨期权在时间t的本地风险最小化期权价格。最优套期保值策略π*= {ξ*t、 η*t} 由ξ给出*t型=sИuoc（t、St、Xt-, 年初至今-)1（τ>T）η*t=V*t型- ξ*tS*t、 （4.23）其中*t=Дuoc（0，S，X，Y）+Zts^1uoc（u、Su、Xu-, 于-)1（τ>u）dS*u+ZtZRe-Rur（Xv）dv{uoc（u、Su、Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）- ^1uoc（u、Su、Xu-, 于-)}1（τ>u）^（du，dz）。时间t的剩余风险由t（π）给出*) =E中兴通讯-2Rur（Xv）dvf（Yu | Xu）1- F（Yu | Xu）×Xj6=XupXu，j（νuoc（u，Su，j，0）- ^1uoc（u，Su，Xu，Yu））1（τ>u）du英尺#。（4.24）证明。让0≤ t型≤ T我们定义：=e-Rtr（Xu）duДuoc（t、St、Xt-, 年初至今-)1（τ>T）=e-Rt公司∧τr（Xu）duИuoc（t∧ τ、 St公司∧τ、 Xt公司∧τ、 年初至今∧τ） ，因为Дuoc（τ，Sτ，Xτ，Yτ）=0。通过It'o公式，我们得到，在P下，Nt=νuoc（0，s，X，Y）+Zts^1uoc（u、Su、Xu-, 于-)1（τ>u）dS*u+Zt∧τZRe-Rur（Xv）dv{uoc（u、Su、Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）- ^1uoc（u、Su、Xu-, 于-)} ^（du，dz）。（4.25）根据Doob期权抽样定理，（4.25）的R.H.s是P下的Ft鞅，它与{Mt}正交（由于{Wt}和^的独立性）（·，·））。因此，作为t↑ 式（4.25）提供了NT的F¨ollmer-Schweizer分解（即DiscountedContinent主张）。因此，定理4.3.7中的命题紧随其后。4.4波动率模型的一个示例可以采用许多不同的方法对波动率进行建模。基于经验数据，可以构建几种波动率模型。

在本节中，我们考虑了一种“周一效应”，即由于周一之前的两个非交易日，周一股票的波动性激增。波动率也可以假设在一周的整个过程中都会下降，但在交易周开始时会急剧上升。捕捉这种影响的模型之一是：σ（t，i）=σ（0，i）“α+4（1- α)tβ-#,其中t是以周为单位的时间，α和β是0<α<1且β>0的参数。该模型假设波动率在反弹之前下降到其最大值的α倍。在t=（）β时达到最小挥发性。在该模型中，α的高值表示波动率的变化较低，而β表示波动率波谷的位置，β的高值导致波谷较晚。这里是一个波动率模型的示例，σ（0，1）=0.2，σ（0，2）=0.5，σ（0，3）=0.3，参数α=和β=3。图4.1：波动率与时间第5章可违约债券5.1市场模型我们在概率空间上考虑市场(Ohm, F、 P），具有有限状态空间χ={1，2，…，k}。市场动态由年龄相关的过程X={Xt}t建模≥0在χ上，如方程（2.6）和（2.7）所述。我们将以下市场参数定义为函数r：χ→ （0，∞), u：（0，∞)×χ→ （0，∞), κ：（0，∞)×χ→ R、 σ：（0，∞)×χ→ （0，∞). （5.1）这里，r、u、κ、σ分别是利率、漂移系数、股息支付率和波动率。我们考虑一个公司债券的结构模型，在该模型中，如果其资产价值低于某个阈值，公司将违约。假设公司的资产价值At遵循几何布朗运动，该运动由方程（2.6）和（2.7）给出的年龄相关过程XT调节。

因此，dAt=At[（u（t，Xt）- κ（t，Xt））dt+σ（t，Xt）dWt]，A>0（5.2），其中{Wt}t≥0是一个独立于X的标准维纳过程。市场还假设包含一个金额为Bta的本地无风险货币市场账户，其中BT=eRtr（Xu）du。（5.3）我们使用结构性方法对信用风险进行建模，即公司债务（债券）违约的风险。我们将公司股权和可违约债券视为公司资产的或有目标。公司的股权和债务分别以EtandDt表示。5.1.1模型1我们考虑的第一个模型是默顿的经典模型（[18]），并进行了一些修改，以说明市场是由年龄相关过程调节的。我们考虑一种无息债券，它只能在到期时违约（t=t）。如果发生违约，债权人有权获得考虑中的公司资产。因此，只有当大于K时，企业的股权持有人才能获得报酬，其中K是一个特定的阈值。到期时向股东支付的总金额，isE（T，at，XT）=（at- K） +=最大值（AT- K、 0）。（5.4）到期时可违约债券的价格由byD（T，at，XT）=min（at，K）=K得出- （K）- AT）+。（5.5）由于上述支付与由面值为K、在时间T到期的无违约贷款和股息率为K（T，Xt）、履约价格为K、在时间T到期的短期欧洲看跌期权组成的投资组合相同，因此有助于解决相同市场模型下的欧洲看涨期权定价问题。我们在4.3.1中已经这样做了。因此，我们在此不提供任何进一步的细节。5.1.2模型2默顿的经典模型不允许过早违约。可能存在一个临界阈值，低于该阈值，公司将倾向于违约。这种模式对可违约债券的持有人更为有利。

我们考虑一个模型，如果资产价值在任何时间t下降到临界阈值J以下，则公司违约∈ （0，∞], 或者，如果终端资产价值ATis小于K。我们假设J<K。定义以下停止时间τ=T、 如果低于K∞, 否则，（5.6）和τ=inf{t∈ （0，T）| At<J}。如果Atnever低于J，我们设置τ=∞. 然后，默认时间τ由τ=min（τ，τ）给出。（5.7）如果违约时间已到，则该公司不会违约，债券持有人将收到全部违约金。我们可以在时间T asD（T，at，XT）=K时写出可违约债券的值- （K）- AT）++（AT- K） +1（薄荷糖≤TAt<J）。（5.8）上述支付可立即确认为由以下三部分组成的投资组合的支付：1。面值为K的无违约贷款，到期日为T，2。以股息率κ（t，Xt），执行价格K，时间t和3到期的短期欧洲看跌期权。具有执行价格K、屏障J和到期时间T的长期欧洲跌停看涨期权。由于（5.8）中存在第三项，该模型下的可违约债券价值至少与默顿经典模型下的债券价值相同。债券持有人受到更好的保护。如果波动率不明确取决于时间，即如果σ（t，i）=σ（i）对于所有t和i，那么定价和对冲问题可以使用我们在4.3.2.5.1.3模型3中的分析来解决。在该模型中，违约的标准与模型2相同。然而，恢复规则是不同的。如果提前违约，债券持有人将按照预先确定的固定回收率δ获得债券面值的一小部分，满足以下不平等0≤ δ≤JK公司(≤ 1） 。（5.9）如果公司在到期时违约，则债务回收程序与模型2中的程序相同。如果公司没有违约，债务将在到期时全部偿还。

因此，到期时可违约债券的价值可以写成d（T，at，XT）=min（at，K）1（τ≥ T）+δKB（τ，T，Xτ）1（τ<T），（5.10），其中B（τ，T，Xτ）表示单位面值和到期日为T的无违约耦合债券在时间τ的价格。该模型不同于之前讨论的两种模型，即恢复是在违约时进行的，不一定是在到期时进行的。与模型2中一样，在挥发度没有明确的时间依赖性的情况下，可以使用积分方程形式。我们正在考虑的市场是不完整的（即并非所有未定权益都可以通过自我融资策略进行完美对冲）。这是由于存在半马尔可夫调制区域切换。然而，我们可以将市场的不完全性所产生的剩余风险降至最低。我们寻找使剩余风险最小化的衍生证券的价格。这可以通过考虑相关未定权益的F¨ollmer-Schweizer分解来实现。参考文献[1]Arendt W.、Batty C.、Hieber、M.和Neubrander，F.、向量值拉普拉斯变换和柯西问题，Birkhauser 2001。[2] Banerjee，Ghosh，Iyer，“马尔可夫调制市场中可违约债券的定价”，随机分析与应用30（2012），448-475。[3] Basak G.K.、Ghosh Mrinal K.和Goswami A.，《马尔可夫调制市场中一类奇异期权的风险最小化期权定价》，Stoch。安。应用程序。29:2（2011），259-281。[4] Bu ffington J.和Elliott R.J.，《体制转换的美国期权》，国际J.Theor。应用程序。《金融》5（2002），497-514。[5] Deshpande A.和Ghosh M.K.，《体制转换市场中的风险最小化期权定价》，Stoch。安。应用程序。26（2008年）。[6] DiMasi G.B.、Kabanov Y.和Runggaldier W.J.，《马尔可夫波动率股票期权的均值方差套期保值》。理论概率。应用程序。，第39卷（1994），173-181。[7] Elliott R.J.，Chan L。

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