时间相关的半马尔可夫调制市场中的资产定价

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英文标题：
《Asset Pricing in a Semi-Markov Modulated Market with Time-dependent
  Volatility》
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作者：
Tanmay S. Patankar
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This project attempts to address the problem of asset pricing in a financial market, where the interest rates and volatilities exhibit regime switching. This is an extension of the Black-Scholes model. Studies of Markov-modulated regime switching models have been well-documented. This project extends that notion to a class of semi-Markov processes known as age-dependent processes. We also allow for time-dependence in volatility within regimes. We show that the problem of option pricing in such a market is equivalent to solving a certain integral equation.
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中文摘要：
本项目试图解决金融市场中的资产定价问题，在金融市场中，利率和波动性表现出制度转换。这是Black-Scholes模型的扩展。马尔可夫调制的区域切换模型的研究已经有了很好的记录。本项目将这一概念扩展到一类称为年龄相关过程的半马尔可夫过程。我们还考虑了制度内波动的时间依赖性。我们证明了这样一个市场中的期权定价问题等价于求解一个积分方程。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Asset_Pricing_in_a_Semi-Markov_Modulated_Market_with_Time-dependent_Volatility.pdf (500.92 KB)

2022-5-25 16:04:47 上传

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关键词：马尔可夫 资产定价 Mathematical Quantitative volatilities

具有时间依赖性波动性的半马尔可夫调制市场中的资产定价提交给印度科学教育研究院，部分满足Tanmay S.PatankarIndian科学教育研究院的理学硕士双学位课程要求。印度浦那巴尚霍米巴哈路，邮编：411008。2016年4月主管：Anindya Goswamic博士 Tanmay S.Patankar 2016保留所有权利。兹证明，本论文题为“半马尔可夫调制市场中的资产定价，波动率随时间变化，部分完成印度科学教育研究所的BS-MS双学位课程，Punere介绍了2014-2015学年，Tanmay S.Patankar在印度科学教育与研究学院数学系助理教授Anindya Goswami博士的指导下进行的原始研究。Anindya GoswamiCommittee博士：Anindya GoswamiProf博士。M、 这篇论文献给我的父母。声明我在此声明，题为“波动率随时间变化的阿塞米-马尔可夫调制市场中的资产定价”的报告中所包含的事项是我在数学系（该研究所的名称）在Anindya Goswami博士的监督下进行的调查的结果，未在此处提交任何其他学位。Tanmay S.PatankaraKnowledgements我谨向Anindya Goswami博士表示衷心的感谢，感谢他在我项目的每一步都给予我不断的鼓励和干练的指导。他在我的项目中投入了大量的时间和精力，如果没有他的专家指导，这篇论文是不可能完成的。我要感谢我的论文委员会成员M.K.教授。

戈什，还有班加罗尔IISc的ManjunathKrishnapur博士，感谢他们在我的项目中的宝贵投入。我还要感谢浦那爵士，特别是数学系，为我提供了完成工作所需的一切设施。我非常感谢我的家人和朋友一直以来给予我的情感支持。IXXAbstract该项目试图解决金融市场中的资产定价问题，在金融市场中，利率和波动性表现出制度转换。这是Black-Scholes模型的扩展。马尔可夫调制模式转换模型的研究已经有了很好的记录。本项目将这一概念扩展到一类称为年龄相关过程的半马尔可夫过程。我们还考虑了制度内波动的时间依赖性。我们证明在这样一个市场中，期权定价问题等价于求解一个积分方程。xixiiContentsAbstract xi1预备阶段32年龄相关过程72.1时间同质年龄相关过程。72.2时间非均匀年龄相关过程。182.3微型发电机。202.4示例。212.5研究半马尔可夫调制市场的动机。223 A非局部抛物线PDE 233.1存在。253.2唯一性。334期权定价问题414.1市场模型。434.2二次套期保值。444.3套期保值和定价方程。

。47xiii4.4波动率模型示例。585可违约债券595.1市场模型。5914简介1973年，布莱克、斯科尔斯和默顿开发了期权定价问题的数学模型，并因此获得诺贝尔经济学奖。从那时起，他们对理论模型进行了许多不同的改进。政权转换模型是布莱克-斯科尔斯模型的一种扩展。本项目的目标是为一种非常普遍的制度转换市场建立可违约债券的定价理论。已经进行了广泛的研究，以研究具有马尔可夫调制区域切换的市场。然而，文献中似乎尚未研究半马尔可夫区的上述问题。半马尔可夫交换有过去的记忆，不像研究得很好的无记忆齐次马尔可夫交换。因此，就适用性而言，前者比后者更有吸引力。半马尔可夫切换在数学上也更有趣，主要是因为相关增广过程的微元生成器的非局部性和无界性。为了解决这个问题，需要对连续时间随机过程，特别是扩散过程和泊松点过程有一个满意的了解。合理理解不连续时间市场模型的定价理论也至关重要。我们成功地将一大类半马尔可夫过程表示为一类随机积分方程的解。这一发现具有独创性，对于实现项目的主要目标至关重要。在资产价格的几何布朗运动模型中，价格的漂移和波动系数是常数。

另一方面，区域切换模型允许这些系数是马尔可夫纯跳跃过程。我们考虑一个金融市场，其中资产价格动态遵循一个制度转换模型，其中系数取决于一个更一般的，可能是非马尔可夫纯跳跃随机过程。我们进一步允许波动系数明确取决于时间，以捕捉周期性波动，如周一效应等。在这种市场假设下，我们研究了本地风险最小化的普通期权定价。结果表明，通过求解非局部退化抛物型偏微分方程可以得到价格函数。我们建立了偏微分方程最线性增长的经典解的存在唯一性。我们进一步证明了偏微分方程等价于第二类Volterra积分方程。因此，可以通过求解积分方程找到价格函数，积分方程的计算效率更高。我们最后表明，相应的最优套期保值可以通过执行数值积分来计算。第1章预备定义1.0.1。设（E，E）为欧几里德可测空间。设MP（E）是（E，E）上的allinteger值测度集。我们将MP（E）与σ-代数MP（E）联系起来，σ-代数MP（E）是MP（E）上的最小σ-代数，使得映射a:MP（E）→ N∪ {0}，m 7→ m（A）可测量所有Borel集A。设u为E上的Radon测度。具有平均测度u的泊松随机测度为可测量函数 : (Ohm, F、 P）→ （MP（E），MP（E））满足以下性质：1。对于∈ E和k∈ N、 P[ω：（ω） （A）=k]=e-u（A）（u（A））kk！，u（A）<∞0，u（A）=∞.（1.1）2。对于任何m∈ N、 如果A，A，E中的互不相交集，则（A） ，则，（A） ，（Am）是独立的随机变量。定义1.0.2。离散时间马尔可夫链是一系列随机变量{Xn}n≥0令人满意的P[Xn+1=x | x=x，x=x。

Xn=Xn]=P[Xn+1=x | Xn=Xn]，前提是两种条件概率都已明确定义，即P[x=x，x=x，…Xn=Xn]>0。定义1.0.3。速率矩阵∧的连续时间齐次马尔可夫链是一个随机过程{Xt}t≥0满足以下条件1。XT是一个具有左极限的分段常数右连续过程，在离散集{Tn}n处具有不连续性≥1。（这意味着XT是一个右连续过程，其左手极限以概率1存在于所有点。）序列{XTn}n=0,1，。。。是转移矩阵P=（pij）的马尔可夫链，其中pij=λij |λii |。3、PXTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y |（X，T），（X，T），（XTn=i，Tn）= pij（1- eλiiy）。定义1.0.4。一般连续时间马尔可夫过程是一个{Xt}t过程≥0在概率空间上(Ohm, F、 P）并在可测量空间（S，S）中取值，满足P[Xt∈ A | Fs]=P[文本∈ A | Xs]（1.2）适用于所有A∈ S和每个S<t.definition 1.0.5。半马尔可夫过程是一个{Xt}t过程≥0满足以下特性：1。XT是在离散集{Tn}n上具有不连续性的分段常数rcll过程≥1.2。转移概率满足XTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y |（X，T），（X，T），（XTn，Tn）=PXTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y | XTn. （1.3）定义1.0.6。算子{S（t）}t的C-半群≥0在Banach空间上V是映射：R+→ BL（V），即1。Sf=ff∈ V，2。St+s=Sto 不锈钢t、 s≥ 0和3。kStf公司- fk公司→ 0作为t↓ 0，对于所有f∈ 五、定义1.0.7。设{S（t）}t≥0be是算子的C-半群。

半群的最小生成元的域定义为asD（A）：=f∈ V |极限→0Stf- ftexists公司f的最小生成元是操作符A，定义为af：=limt→0Stf- 所有f的FTF∈ D、 第2章年龄相关过程2.1时间齐次年龄相关过程我们考虑一类随机过程，它被构造为一组随机积分方程的强解。让(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是过滤概率空间，且χ={1，2，…，k} R是状态空间。对于i，j∈ χ和i 6=j，定义λ：χ×χ×（0，∞) → [0，∞) （2.1）是一个可测量的函数∈（0，∞)Xj6=iλij（y）<∞. （2.2）andlimy→∞∧i（y）=∞, 其中∧i（y）=ZyXj6=iλij（v）dv。（2.3）对角线元素定义为λii（y）：=-Pj6=iλij（y）。对于i 6=j，y>0，设∧ij（y）是连续的（w.r.t字典序），长度为λij（y）的右开、左闭区间。定义h：χ×R+×R→ R ash（i，y，z）=Xj6=i∈χ（j- i） 1∧ij（y）（z）（2.4）和函数g：χ×R+×R→ R asg（i，y，z）=yXj6=i∈χ∧ij（y）（z）。（2.5）。我们考虑了Xt和Yt中的以下耦合随机积分方程组：Xt=X+Z（0，t]ZRh（Xu-, 于-, z）（du，dz）（2.6）Yt=Y+t-Z（0，t）ZRg（Xu-, 于-, z）（du，dz），（2.7），其中h和g分别由方程（2.4）和（2.5）定义，（du，dz）是R+×R上的泊松随机测度，强度为du×dz，且{（（0.t）×dz）}t≥0适用于过滤{Ft}t≥0、定理2.1.1。方程（2.6）和（2.7）存在唯一的强解。证据首先，我们注意到（2.2）可以重写为：对于所有y，Xj6=iλij（y）<c∈ [0，∞), （2.8）对于某些c>0。因此，可以得出如下结论：∈（0，T）“{y}×[0，Xj6=iλij（y）]# [0，T]×[0，c]。区间[0，c]具有有限的勒贝格测度c。

定义为测量的所有点质量集（ω） ：D：={s∈ （0，∞)|（ω） （{s}×[0，c]）=1}对于任何固定ω∈ Ohm.图2.1：泊松随机测量点质量样本图2.1显示了c=10和T=1的泊松随机测量点样本。X（ω）的所有过渡时间的集合是D的子集。由于集合[0，c]的度量是有限的，因此D是概率为1的离散集合（即，D没有极限点）。因此，我们可以计算集合D asD={0，σ，σ，…}，很容易看出σ，σ。是在潜在概率空间过滤下的停止时间。由于D是一个离散集，limn→∞σn=∞ a、 s.（2.9）我们使用迭代论证来证明（2.6）和（2.7）的强解的存在性和唯一性。对于固定ω，我们在时间间隔[0，σ]上构造这对方程的解。然后我们将此解推广到时间间隔（σ，σ），等等（ω） （[0，σ）×[0，c]）=0，对于t∈ [0，σ），Xt（ω）=X+ZtZ[0，c]h（Xu-, 于-, z）（ω） （du，dz）=XandYt（ω）=Y+t-ZtZ[0，c]g（Xu-, 于-, z）（ω） （du，dz）=Y+t。t=σ，Xσ（ω）=X+Z[0，c]h（X，Y+σ，Z）（ω） （{σ}×dz），Yσ（ω）=Y+σ-Z[0，c]g（X，Y+σ，Z）（ω） （{σ}×dz）。因为我们能够明确地写出时间间隔[0，σ]内的解，所以它显然是唯一的。现在我们考虑时间间隔（σ，σ）。我们定义了以下数量：▄X（0）=X（σ），▄Y（0）=Y（σ），▄（ds，dz）=（σ+ds，dz），￠σn=σn+1- σ。然后，△D={s>0 | s+σ∈ D} ={σn}n≥现在我们考虑方程（2.6）和（2.7）（关于[0，∑]，其中X，Yand 替换为▄X（0）、▄Y（0）和▄ 分别地

如果t∈ [0，σ），那么解Xt由X，Yt，Y+t给出。对于t，我们有：~X，σ=~X+Z[0，c]h（~X，Y+~σ，Z）~（{σ}×dz），▄Y▄σ=▄Y+▄σ-Z[0，c]g（▄X，▄Y+▄σ，Z）▄（{σ}×dz）。因此，原始方程的解（X，Y）可以通过以下关系式从（~X，~Y）重建=X（t），t∈ [0，σ]~X（t- σ） ，t∈ （σ，σ]Yt=Y（t），t∈ [0，σ]~Y（t- σ） ，t∈ （σ，σ）。这建立了时间间隔[0，σ]中强解的存在性和唯一性。继续以这种方式，我们可以在连续的时间间隔中唯一地构造解。根据（2.9），此时间间隔序列覆盖了整个正实时轴。因此，解决方案是全局确定的。在上面的证明中，很明显，过程Xthas几乎肯定是分段常数。c、 l.l路径。xT的不连续点称为过渡时间。定义2.1.1。过渡时间是递增序列{Tn}n的元素≥1因此{Tn:n≥ 1} ={t>0:Xt6=Xt-}. 我们设置T：=-Y、 我们确定了保温时间τn：=Tn- 田纳西州-1对于所有n≥ 1、从上述定义可以看出，Xu- 徐-=ZRh（Xu-, 于-, z）（{u}×dz）是非零的当且仅当某个正整数n的u=tn。这也意味着Zrg（Xu-, 于-, z）（{u}×dz）=于-, 如果某些n0的u=tn，则为。因此，通过归纳，我们得到，对于任何整数n≥ 0，Yt=Y+t-nXr=1YTr-对于t∈ 【Tn，Tn+1）。因此，对于某些n，Yt=0 i fft=Tn∈ N、 和YTn-= 田纳西州-田纳西州-1对于所有n∈ N、 这一观察结果促使我们定义以下内容：定义2.1.2。设（Xt，Yt）为方程（2.6）和（2.7）的唯一强解。然后，流程Xt被称为“年龄相关流程”，YIT被称为与Xt相对应的“等待时间流程”。定理2.1.2。设（Xt，Yt）为方程（2.6）和（2.7）的唯一强解。过程Zt：=（Xt，Yt）是一个马尔可夫过程。证据

从方程（2.6）和（2.7）中，我们得到，对于t<t，XT=X+ZTZRh（Xu-, 于-, z）（du，dz）=Xt+ZTtZRh（Xu-, 于-, z）（du，dz）和yt=Y+T-ZTZRg（Xu-, 于-, z）（du，dz）=Yt+（T- t）-ZTtZRg（Xu-, 于-, z）（du，dz）。从第二个属性, 根据定义1.0.1和上述表达式，很明显Zt是一个马尔可夫过程。也很容易看出Zt是强马尔可夫的。定理2.1.3。设XT是一个年龄相关的过程。然后，XT是一个半马尔可夫过程。证据我们已经在定理2.1.1的证明中看到，XT是一个分段恒常连续过程，并且存在左手极限。换句话说，XT是一个c\'adl\'agprocess。接下来，我们显示p[XTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn）]=P[XTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y | XTn]。（2.10）我们注意到，（2.10）的LHS可以写成asP（XTn+1=j |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn），{Tn+1- 田纳西州≤ y} ）×P[总氮+1- 田纳西州≤ y |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn）]（2.11）根据方程式（2.6），XTn+1=XTn+ZRh（XTn，Tn+1- Tn，z）（{Tn+（Tn+1- Tn）}×dz），自YTn+1起-= Tn+1- TnandZ（Tn，Tn+1）ZRh（Xu-, 于-, z）（du，dz）=0。再次，自 是泊松随机测度，对于任何Borel集B （0，∞)×R，（（Tn，0）+B）独立于FTn。因此，P（XTn+1=j |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn），{Tn+1- 田纳西州≤ y} ）=PZRh（XTn，Tn+1- Tn，z）（{Tn+（Tn+1- Tn）}×dz）=j- XTn公司（XT，T），（XT，T）。