信贷扩张的简单模型

期权到期时债务的市场价值。模型构建的下一步是得到债务作为货币发行函数的简单非随机表示。预期债务估值在不确定的金融市场中，由于随机流动性动态，总债务是随机演变的。因此，通过应用伊藤引理并将方程（6）代入其展开式，将债务无穷小变化转化为以下随机方程：（20）   如果存在债务衍生工具，则将其用于流动性发行.  方程（5）和（20）中的确定分量和随机分量的系数可以分别相等，从而形成以下几对：（21）   （22） .通过使用（11）的简单代数操作，方程（21）和（22）可以转换为以下关于债务函数的非齐次微分方程 :（23）      .该二阶方程是众所周知的Black Sholes偏微分方程的普通类似物，因此它有一个更简单、直观易懂的解（Dixit，Pindyck，1994）。（23）的齐次部分的解可以看作是幂函数的线性组合,  虽然其不均匀部分有一个解作为货币发行的线性函数，.  因此，预期债务函数，, 具有以下表述：（24）  ,哪里  和  是特征方程的实根和不同根：（25）        对应于（23）的同质部分。

自从  对于小额货币发行，解决方案（24）的第一部分是无限的。因此，为了保持解决方案的经济意义in（24）应选择为零。这就是所谓的“吸收”条件，要求在没有货币发行的情况下债务价值为零：违反该条件将导致无限的债务增长，而这应该被排除在模型之外。（24）中的第二个常数取零， ,  按照债务作为从未完全赎回的债券或永久债券的假设。因此，预计债务价值，,成为以下形式的方程（23）的特解：（27）.正如（27）所示，预期债务价值只是按当前收益率贴现的永久（资本化）未来耦合付款流. 应该指出的是，对货币增长的预期使理性投资者对当前的收益率感到自满， 尽管它小于风险调整后的利率，. 在考虑到随机货币发行的预期后，债券价值的这一特征（27）变得明显：（28）    .根据（28），虽然投资者确实预计未来货币发行会增加，但他们应该准确地使用风险调整后的利率，, 以适当贴现未来付款的流量。因此评估（在点  ) 债务价值的有条件预期产生了与（27）中相同的公式，假设在该模型中，投资者将预期债务价值视为简单的永久性。对于整个金融系统而言，这种假设与现实并不矛盾，因为总债务（公共和私人）不应完全赎回，这与任何单一市场参与者的个人债务相反。

总债务加上预期的未来流动性流，似乎构成了持续的债务资产高估过程，即所谓的“大资产价格偏差”。在货币发行的临界点，资产价格差异达到最大值，这将在后面显示。投资者的新债务组合在模型中，金融投资者将其购买新债务和担保现有债务的决策结合起来。因此，他们的决策是对冲型的，并且假设占主导地位的投资者群体能够执行这种操作。换句话说，在正常制度下，任何数量的风险卖方都会遇到持相反立场的市场参与者。让增量投资组合， , 由货币发行和新债务组成，具体如下：（29）  ,哪里分别是新资金和新债务的恒定权重。由于新债务可以通过信贷获得，功能 表示投资者可获得的信贷金额。如果投资者选择常量的特殊值，那么这种递增的投资组合可能是无风险的，即， 和 .  根据这些权重，以及随机货币发行方程（6），无穷小的变化到增量投资组合（29）变得无风险：（30） .在最短的时间内 如果对冲的投资组合回报率（PortfolioreReturn）根据货币的便利收益率进行调整，则投资组合回报率（29）可以实现无风险 , 对冲损失。

该要求给出了以下等式：（31）     .条件（31），使用常数的套期保值值进行修改，并除以, 对于投资者持有的无风险投资组合，可以简化为以下等式：（32）       .这些转换的重要且出乎意料的结果是，“新债务”或信贷方程（32）具有与债务价值方程（23）同质部分相同的参数（因此具有相同的特征方程）。因此，通过执行其求解的相同程序，我们可以得到购买新债务的期权的价值作为一个函数：（33）  由于吸收条件，r.h.s.（33）中的第一个常数必须为零。因此，购买新债务的期权（33）成为随机流动性的幂函数:（34） 哪里      . 请注意，信贷扩张的价值不受限制。因此，温和的信贷发行（短期内）不会带来任何问题，但持续无限制的信贷扩张可能会造成金融泡沫和危机。由于在正常情况下，看涨期权应“在货币中”行使，投资者的动机自然是希望其价值最大化。如果货币发行遵循央行的“宽松货币”政策，就可以做到这一点。这种政策，或者说“现代意义上的量化宽松，QE，促进了市场结构的重要变化。“大资产价格偏差”在临界点，“大资产价格偏差”理论构成了现代金融体系研究的基础（Rajan，2005）。

当投资者在继续为利润最大化而斗争的同时，将他们的方向从对市场的监控集中起来时，市场价格与资产基本价值的背离现象可能会出现在模型中，,  达到预期债务价值，.    从经济学的角度来看，市场参与者的这种行为可以描述如下。中央银行在执行“宽松货币”（或量化宽松）政策时，根据（6）发行货币，从而改变其在系统中流通的数量。根据（8），投资者预计银行将向金融市场注入额外的流动性。由于在这种情况下，利率预计会下降，投资者正尽最大努力从更高的债务价值中获益。因此，根据（13），他们购买新债务，从而形成更大的需求。后者导致资产价格持续增长（27）。为了适应不断变化的环境，投资者不断地通过消除增量投资组合中的资金（不确定性的主要来源）来重新平衡投资组合（29）。投资者行使他们的选择权，最大化他们的价值，以购买新的债务。与此同时，随着宽松货币政策的实施，由于货币发行量的增加，债务担保也在下降。由于新债券购买价值的最大化得到了货币发行的支持，投资者购买新债券的气氛普遍乐观。正如W.Baffett曾经说过的那样，资产价格持续上涨，不断上涨的资产价格是“金融麻醉品”。

上述所有特征似乎都是由市场价格与金融资产价值的背离所形成的金融泡沫的典型特征。新债务的额外购买是由流动性增加至其临界水平而引起的  , 当资产价格差异达到最大值时。然而，用标准方法估计这一点是不可能的。例如，直接尝试解方程 ,  将函数（27）和（34）代入该单一方程后，揭示了两个未知参数：.  因此，为了找到关键的货币发行，后者应表示为动态规划问题（Dixit，Pindyck，1998）的“平凡”解决方案，其中二阶微分方程（32）必须用三个边界条件来完成。边界条件包括初值条件， , 连同值匹配条件：（32）  ,以及平滑粘贴条件（对于随机变量的导数):（33） .图5：。债务保护的价值。在将预期债务价值（27）和新债务价值（34）替换为方程式（35）和（36）后，点 可以很容易地找到以下数量：（34）.在自由边界点发行货币同时使预期债务价值最大化，, 增加到（35）的数量.因此，在关键时刻  在货币发行方面，央行的政策有助于投资者为新债务提供最大价值，从而实现债务价值本身。

从put-call等价定理（17）可以明显看出，如果put-to-default值将达到零，则有可能， , 当债务的市场价值接近票面价值时， .债务购买期权， 关键点似乎是“在钱里”，这表明它是可以行使的。然而，是否行使，取决于标志着该体系发生了重大质的变化的广泛市场条件：在关键时刻，市场稳定的社会保障取代了信贷可用性，其消失为进一步的市场蜕变开辟了道路。保证金账户ITH ETN自有资本损失指示性票据价值按当时的融资水平“保证金”借款权益头寸上表中的长期指数金额代表了临界点债务结构与巴克莱银行2006年发明的结构化债务工具iPath ETN价值之间的有趣类比（iPath，2007）。这一类比基于“保证金”借贷技术，这有助于投资者增加其多头头寸，使其超出其账户中当前可用现金所能建立的头寸。例如，假设我们有这样一个仪器可能与长索引量关联，– CINV（期末指示性票据价值），以及- 与融资水平相关。我们认为，上述类比可能有助于通过分析金融市场的实际表现，进一步研究金融市场的系统性特征。图6：。美国股市的泡沫。没有羊群效应的临界点要购买新的债务，投资者总的来说必须花费他们的钱，从而将可用的信贷额转换成新的债务。

他们的需求支持了新债务价格的不断上涨，从而促使投资者以市场债务价值代替其预期价值。投资者的一致行动导致债务持续高估。从（16）可以看出，对于任何积极的看涨期权，预期债务超过其市场价值。因此在关键时刻  预计债务价值以（36）的速度增长 ,这反映了关键点资产价格差异的规模。其规模相当于金融市场正常制度下总财富增长的短期庇古效应。应该注意的是，在某些情况下，这种影响可能是完全虚假的，因此在危机时期会导致投资者财富的损失。在“正常”条件下，如（17）所示，该点的总资产价值等于：（37）   ,因为根据定义，临界点的市场债务价值等于其面值，  .  在关键时刻，金融体系中的金融公平金额是多少？答案取决于投资者是否在此时行使看涨期权。反过来，这些行为是由它们的放牧过程决定的，换句话说，在何种程度上，它们的行为变得非理性，从而剥夺了它们作出理性评估和对其行为施加自我限制的能力。如果处于流动性发行的临界点没有羊群行为发生，市场参与者在理性动机的引导下行事。理性的投资者会放弃行使看涨期权，因为在这种情况下，他们的自有资本将消失。

因此，保护本国资本的动机意味着：（38）         .等式（35）表明，投资者在最大化新债务金额的同时，继续理性地评估自己的风险，换句话说，他们足够谨慎，将部分财富作为自己的资本，.  因此，在市场参与者积累股权导致的“无羊群效应”条件下，临界点的“违约距离”大小或“系统生存”概率将等于数量：（39）        .或者，如果没有债务购买者的聚集，无论财务违约的可能性有多大，都将严格小于1：（40）   .根据定义，   ,  在没有放牧的情况下，违约概率等于数量：（41）.斯米尔诺夫（Smirnov，2005）对这种情况进行了研究，认为这是1998年8月俄罗斯ZF债务崩溃的一个更好的结果，尽管在实践中没有实现。应该注意的是，投资者同时对冲其投资组合的一致行为，虽然是最佳行为，但可能会对市场表现带来一些意想不到的后果。正如（Chan等人，2005年）所指出的，1998年俄罗斯ZF债务违约导致市场相关性急剧增加。它们并没有像正常时期那样小到可以忽略不计，而是在几乎一夜之间变为正1。作者将这种现象称为“相位锁定”。换句话说，在持续的羊群效应过程中，投资者的集体行为将给市场带来巨大变化，最终导致市场崩溃。

例如，可以通过渗流模型（Stauffer，2001）或金融投资者的混沌行为（Ausloos et al，2006）来捕捉这种独特的羊群行为，但这些都是本文没有探讨的不同金融研究途径。关键点的羊群效应模型中的（非理性）羊群效应过程意味着，每一位金融投资者在最大化购买新债务的选择权的同时，都会替代市场债务价值，,  对于其预期值，.资产价格上涨之后，杠杆率也随之增长，这一过程得到了广泛的研究，例如，年（Adrian和Shin，2008）。虽然（32）给出的泡沫规模是有限的，但很容易注意到市场杠杆，  , 能够无限期增长    和 . 如果在临界点， , 预期债务价值等于总资产价值，那么系统中的资本额实际上减少到零：（42）   .作为这种发展的直接结果，财务杠杆率（43） ,理论上，如图5所示，会在临界点无限期增加。图7：。利用奇点。因此，投资者之间持续的羊群效应意味着违约的后验概率变为1：（47） ,这使得金融危机的发生几乎成为不可避免的事件。从经济学的角度来看，可以得出这样的结论：货币发行量的持续增加（流动性过剩）加上羊群效应将导致系统性崩溃。