信贷扩张的简单模型

对于任何无限小的短期借款人，总的来说，他们将按照市场（风险调整后）回报率偿还债务，, 以等式为准  . 为了做到这一点，所有债权人总计将收到其定期（息票）收入，, 并获得新的债务，. 由于金钱不能赚取收入，一般债权人-借款人余额对应于以下微分方程：（2）    .鉴于初始债务价值，, 和一个常量参数 方程（2）可以很容易地解为（3）   .如（3）所示，债务价值可能会在时间上无限增长。另一方面，如果在未来某个日期，  , 债务需要偿还， ,  其当前值应等于（4） ,对于连续不断的息票支付，这是简单年金的一种表现：（4’）  .在下文中，预期债务价值被视为两次可微函数， ,   货币发行量（任何时候的货币密度，).  在这一论断中，有两个方面需要解释。一方面，债务价值依赖于货币发行， , 通过使债务到期情况不相关，大大简化了模型。其次，从经济学的角度来看，债务价值对货币依赖的研究有着悠久的科学传统，可以追溯到至少几个世纪前，尤其是如果与澳大利亚学派相关的话。

后者通过收集大量信息（主要是轶事性质的信息），确定了货币与债务之间的因果关系，这些信息相当坚定且具有说服力，这些信息是关于过剩货币作为债务高估和金融泡沫等极端经济事件的前兆。从历史上看，货币过剩一直是许多极端经济现象的主要原因，从图利巴尼亚到大萧条。例如，在17世纪的荷兰，人们突然对郁金香大发雷霆，当时阿图利普的球茎比一座大宅邸还值钱，这是一个众所周知的事实。虽然这种愤怒本应得到金钱的支持，但不太清楚的是，在危机爆发之前，弗洛林的过度发行才是导致图利马尼亚随后崩盘的真正原因（French，2009）。2007-09年的信贷紧缩可以按照同样的思路进行分析，因为全球市场上形成的流动性过剩，会导致随后的信贷崩溃。虽然没有得到一致承认，但货币债务研究的“奥地利传统”似乎非常适合金融过程建模。Pecunia pecuniam parere non-potest（金钱不能生钱）。同样，货币与债务的关系也不能简单地处理，从某种意义上说，货币产生债务。无论如何，事实恰恰相反。相反，货币（模型中的货币发行）形成了强加给金融市场的条件。应用体积、压力和温度之间相互关系的物理类比，可以说货币或流动性在金融市场上扮演着温度的角色。

与高温（给定压力）导致的交易量增加类似，更大的流动性发行将增加金融活动，例如，通过合同交易量来衡量，众所周知，后者构成了流动市场概念的确切含义。由于金融和实体市场普遍存在不确定性，有必要将债务动态视为一个随机过程。模型中的不确定性因素以最简单的方式考虑在内。即，假设总债务价值根据以下随机方程演变：（5）   ,这是一种有偏的几何布朗运动，被用作金融建模的标准工具。随机货币发行在模型中，货币（货币基础）的发行被视为中央银行的专属特权，由于金融和实体市场的不确定性，中央银行随机发行货币。图1显示了市场流动性加权指数（Gieve，2006），其时间变化类似于标准随机过程。图2展示了非常相似的表现，它代表了美国货币供应量中货币组成部分的动态。货币发行应该是一个随机过程，取决于时间,  . 由于分解为确定性和随机成分，货币发行率可以表示为几何布朗运动：（6）   哪里   是正向漂移，且   是一个波动率参数。随机微分方程（6）可沿标准程序求解，从而产生以下随机货币发行过程：（7）     其中术语是随机噪声的Ito积分。

同时，非随机函数（8） 用于表示一段时间内的预期货币发行量.图1：。1992-2006年市场流动性指标加权指数。货币政策——例如量化宽松，QE——由中央银行根据（7）执行，受到金融和实体市场普遍存在的不确定性带来的随机噪音的影响。市场参与者期望货币发行量由非随机函数（8）给出。按照上述逻辑，金融投资者通过货币发行，以随机方式持续获得新债务。在微观金融模型中，货币通常被认为是一种无风险资产，其利息率为零（Farmer，2000）。在宏观层面上，货币发行显然是一个随机过程。例如，投资者中最受欢迎的“城镇游戏”是预测相关央行将在下一个时期使用的再融资利率。这两种方法之间的冲突并未显现出来，因为首先，私人投资者监控平均资金量，其次，他们对冲投资组合中的风险。因此，无风险货币的假设是间接实现的：尽管货币发行表现为一个随机过程，但所有模型变量似乎最终交织在一起。一般来说，（5）和（6）中债务和流动性过程的波动性是不同的，但这一技术细节暂时无效。债务价值（5）和流动性动力学（6）方程通过主要回报率之间的标准连接得到增强。根据定义，风险调整后的回报率，, 金融（债务）资产等于当前收益率之和，  以及资本增值率（亏损）， :（9）    .图2：。美国货币组成的月度变化。

货币供应量。另一方面，正如CAPM理论所知，相同的风险调整后回报率可能被分解为无风险利率之和， , 和风险溢价， （10）    哪里是单位风险价格。从（9）和（10）可以看出，无风险利率和当前收益率之间的差额等于资本收益和风险市值之间的差额：（11）       ,稍后将使用。总之，方程（5-6）和（9-10）构成了随机货币债务模型的基本结构。为了得到预期债务和新债务的简单函数，这些方程将在后续段落中进行求解。投资者动机：在模型中，假设预期债务和市场债务同时具有三种不同的估值。名义债务价值，,被认为是常数，由实际资源进行充分整理。在货币发行的某个（关键）点之前，通过实际资源完成债务抵押的现象一直存在。在这段时间间隔内，Debt par衡量金融和实体经济系统的连通性。另一方面，pardebt如果被完全赎回，则是衡量无风险债务的指标。后者，如下文所示，等于其市场价值和社会代表ZF和央行保证金融稳定的价值之和。其次是市场债务，,  假设依赖于货币发行，因此这是一种风险，价值由市场供求力量决定。很自然，市场债务不能超过其面值，  . 与此相反，预期债务，,可以取任何与标准杆相等的值，无论大小。投资者将其视为永久性的，并依赖于流动性发行。

这一假设由于债务作为一个整体从来没有完全免除，因此简化了所有的模型计算。市场债务价值，,  本应具有利率结构化产品的特征，类似于可赎回债券或其现代类似物——交易所交易票据ETN。请记住，不可赎回债券可以分解为可赎回债券，发行人认为这种操作是有利可图的（通常是在利率下降的时候）：    这反映了一个事实，即对投资者而言，可赎回债券的价值小于不可赎回债券（Levinson，2010）。由于投资者有权但无义务获得新债务，因此预期债务可被视为已行使的可赎回债券，失去其可赎回特征：  在模型中，投资者购买新债务的可能性表示为购买新债务的期权或普通看涨期权：（12）  ,按预期债务价值写入具有  作为执行价格。很自然，投资者购买新债务的意图只有在他们确实拥有一定数量的流动性的情况下才能实现。Hencefunction公司可能有一个重要的解释，即可用的信贷额。后者代表商业银行活动产生的信贷金额，应以类似于货币总量计算的方式，将其添加到中央银行发行的货币基础中。

期权的价值,行权将代表新债务的价值。相对较新的金融工具——交易所交易票据——是巴克莱银行2006年发明的一种债务工具（Wright等人，2009年）。可赎回债券的息票和收益率应该比普通债券更高。例如，当正则键为  可能是或. 这个例子表明，可赎回债券的市场价值取决于其息票与普通债券的不同。图3：。购买新债务的到期期权。预付期权溢价可能为零或很小。通常，如果新债务的预期价值超过票面价值，买家行使其购买新债务的选择权，而不采取其他行动。例如，由于央行的“宽松货币”政策，预计流动性会增加，他们会合理地尝试从利率下降中获益，这会使预期债务超过其面值。这种模式是由投资者的典型行为形成的，他们预计未来利率会下降，或者会在市场低迷和“量化宽松”的情况下“逃往优质市场”。由于投资者没有义务进行购买，如果利率上升，他们可以拒绝购买新债券。上述假设使得总债务类似于可赎回债券。

因此，他们购买和增加债务持有量的权利应该嵌入到债务价值中，从而使理性的投资者普遍认为其预期价值高于面值。对于债务的任何市场价值，其预期价值被剥夺购买新债务的选择权，成为以下形式的简单结构化产品：（13）  .很明显，流动性发行方面的方程式（13）代表了理性投资者的行为，如凯恩斯（Keynes，1936）所述，该行为围绕着预期利率。投资者的动机：票面价值和市场债务另一方面，债券持有人担心利率上升可能带来的损失，而且正如财务分析所表明的那样，这些损失通常会随着货币发行量的减少而增加。通过预测未来的随机资金流动，债券持有人可以通过获得在金融市场上广泛交易的各种债务担保来保护自己的财富。在现代金融体系中，这种担保的主要部分是由中央银行提供的，中央银行允许投资者在金融危机期间自由获得贷款，国家存款保险制度也提供了这种担保。

应该指出的是，虽然今天的传统银行系统通过公共部门提供的存款保险和流动性条款得以安全，但由于私营部门提供的流动性和信用担保，影子银行系统在2007-09年金融危机爆发之前被认为是安全的。这些担保结合在一起，形成了所谓的认沽期权（Poszar et al，2010），可定义为（14）   .从这个角度来看，债务市场价值再次成为以下形式的简单结构化产品：（15）    .由于看跌期权和看涨期权具有相同的执行价格（和到期情况），因此方程（14）和（16）将通过“选择者”期权描述投资者的行为，从而使他们能够从债务价值的巨大变化中受益。将这些方程式结合起来，得出aggregatedebt的市场价值， （见图4）满足以下条件：（16）     .方程（16）只不过是put-call等价定理的模型表示。对于任何数量的货币发行，其实现方式是通过增加货币基础，中央银行支持更大数量的可用信贷，但由于（17）随机过程之后会适当减少认沽期权。因此，金融系统作为一个整体，虽然是随机的，但逐渐向可以被描述为影子银行系统的状态发展。后者与独立投资者对金融工具的交易进行严格监管有关。他们的交易活动没有得到支持或保险，因为违约担保被不同市场参与者可用的大量流动性所替代。

从本质上讲，这样一个体系比传统的金融中介体系吸收了更多的风险。债务货币金融系统的资产和负债，显然，面值和新债务的总和等于系统中持有的资产。对于到期的期权合同，很容易证明，通过从r.h.s.和l.h.s.的等式（16）中加上和减去看跌和看涨价值，总金融资产的以下表达式，,  wouldemerge：（17）     .接下来，根据基本会计等式（18），从（17）中减去（16）  ,总资本（权益）价值的定义如下：（19）  ,哪里 是所有者资本对整个金融系统的价值。注意，由于债务购买期权（12）的定义，系统（19）中的权益不同于众所周知的梅顿模型中的类似物。等式（19）表明，由于发达的金融体系为投资者提供了一些额外的能力，即使没有行使期权，也确实具有正价值。这些可能性在微观金融层面上。该期权类似于默顿违约期权（默顿，1992）。负责庇古对总财富的影响，如果被夸大，可能会产生灾难性后果。图4：。