杠杆效应和粗波动的微观结构基础

最后一个约束称为稳定性条件，其作用与一阶自回归过程的系数必须小于一的条件相同，见【43】。特别地，这个条件确保了强度的平稳解的存在（当时间开始于-∞). 这种一维Hawkes过程通常被视为序流模型，见[9]及其参考文献。因此，ntt通常可以被视为时间间隔[0，t]内的事务数。从概率v观点来看，霍克斯过程的集群表示，参见[37]，能够将▄N视为一个总体过程。在这一人群中，移民的到来遵循着一个泊松过程，其意图为u。每一个移民都会根据非均匀泊松过程生孩子，其强度为。然后，每个孩子也会根据强度为等的齐次泊松过程生孩子。回到金融市场，让我们考虑一下“经济”（或外生）订单和内生订单之间的二分法，前者是因为一些市场参与者有购买或出售的基本意愿而执行的，后者只是对其他订单作出反应而发出的。在霍克斯的背景下，因此很自然会做出以下解释：外生秩序对应于移民，内生秩序对应于移民的后代，参见[30，34，43]。现在请注意，每个移民或移民的后代平均都有kkchildren。因此，移民h的平均值为xk≥1kkk=kk1- kkdescendants。现在，一个“家庭”中的人口数是后代的数量1（与最初的移民相对应的正1），后代在整个人口中的比例是由| | | | | | | | |给出的。在我们的财务解释中，这意味着| | | | | |Д| |对应于市场中内生订单的比例。

因此，为了得到一个与属性i一致的模型，我们需要取| | | | | | | | | | |小于但接近统一。这种情况被称为几乎不稳定的情况，实际上与[5，30，34]中对| | | | | | | |的经验测量结果一致。现在让我们回到我们感兴趣的二维霍克斯过程，其强度由（1）定义。与一维情况相同，在e上可以确定内生性程度作为核矩阵积分的谱半径，即isS（Z∞φ（s）ds）=kхk+βkхk，其中s表示光谱rad-ius算子。我们想假设光谱半径小于但接近单位。为此，我们在[43，44]的精神中引入了一个简化的框架。更准确地说，我们研究的是一系列概率空间(OhmT、 FT，PT），按T>0索引，其中NT=（NT，+，NT，-) 是一个二维Hawkes过程，定义为[0，T]，强度形式为λTt=λT，+TλT，-t！=uT+ZtφT（T-s） 。dNTs。（2） 对于给定的T，概率空间配备过滤（FTt）T≥0，其中ftt是由（NTs）s生成的σ-代数≤t、 考虑到（1）中给出的参数约束，并考虑到上述关于市场内生性的讨论，我们对λTt做出以下假设。假设2.1。我们有uT>0和φT=aTφ，φ=ИβИИ+（β- 1） ^1,其中β≥ 1、Д和Д是两个正的可测函数，如s（Z∞φ（s）ds）=kхk+βkхk=1，且aTis是一个正整数的递增序列，收敛为1。从现在起，我们的微观价格过程由PTT=NT给出+- NT，-.因此，在假设2.1下，我们确实在几乎不稳定的情况下工作，因为（Z∞φT（s）ds）=在。因此，我们的微观价格过程Pt再现了性质i、ii和iii。

我们现在关注PT的渐近行为。2.2利用高频模型的宏观极限我们在本节给出了微观价格向赫斯顿模型的收敛结果。事实上，在β=1的情况下，可以在[43]中找到这样的结果。如【43】中所述，我们需要考虑以下关于渐近框架和核函数的假设。假设2.2。存在正参数λ、u和m，使得t（1- aT）→T→∞λ、 uT=u，和（Z∞xφ（x）dx）=m<∞.在[43]中有很好的解释，假设核Lnorm在如此远的距离内达到统一，那么T（1- aT）是一阶的，是使我们能够恢复非退化极限的唯一渐近框架。现在让ψT=Xk≥1（φT）*k、 式中（φT）*1=φTand，k>1，（φT）*k（t）=Rtφt（s）（φt）*（k）-1） （t- s） ds。【43】中还需要以下技术假设。假设2.3。函数ψ一致有界且φi可微分，使得每个分量φij满足| |φ′ij||∞< ∞ 和| |φ′ij | |<∞.这里的一致有界性假设并没有真正的限制性。事实上，从第2.3.2节的计算中可以清楚地看出，一个有效条件是φ的最大特征值不增加，另请参见[43]。

在我们的模型中，例如，如果Д和Д都是非递增的。当β=1时，在假设2.1、2.2和2.3下，在[43]中证明了重新标度的价格过程tpttt=NT，+tT- NT，-TTT在[0，1]上收敛到由PT=1定义的赫斯顿模型- （kхk-kхk）ZtpXsdWs，DXT=λm（2uλ- Xt）dt+mpXtdBt，X=0，其中W和B是两个独立的布朗运动。然而，当β=1时，关于订单买卖双方之间流动性不对称的重要性质iii不会在微观价格动态中再现。我们下面的第一个主要定理表明，β>1这一事实编码的这一特性是低频杠杆效应起源处的微观特征。定理2.1。在假设2.1、2.2和2.3下，当T趋于完整时，重新标度宏观价格tpttt=NT，+tT- NT，-tTT，t∈ [0，1]，Skorokhod拓扑在法律上收敛到以下H eston模型：Pt=1- （kхk- kхk）r1+βZtpXsdWs，dxt=λm（β+1）uλ- Xt公司dt+ms1+β1+βpXtdBt，X=0，其中（W，B）是与dhw相关的二维布朗运动，Bit=1- βp2（1+β）dt。因此，以简单但合理的方式（通过微观价格PT）将房地产i、ii和iii组合在一起，我们自然会获得长期的随机波动率和杠杆效应。事实上，当β>1时，微观结构层面的流动性不对称在低频价格回报和波动增量之间产生负相关。然而，属性i和ii对于获得定理2.1也是至关重要的。

在f act中，无需属性i即可获得怀旧波动率，属性ii的失效将导致极限内的漂移过程。最后，请注意，从技术角度来看，据我们所知，这一结果是微观价格过程的不可压缩极限，从长远来看，它以非特定的方式诱导杠杆效应。我们现在在下一节给出一个关于几乎不稳定多维Hawkes过程收敛性的一般结果。这一结果是定理2.1.2.3几乎不稳定多维Hawkes过程的收敛性证明的关键要素2.3.1设置为了说明定理2.1，我们研究了定义在[0，T]上的一般近不稳定d维Hawkes过程序列的收敛性，其中T趋于一致。我们保留了我们感兴趣的霍克斯过程的符号Ntf，其强度λ由λTt=uT1+ZtφT（T）定义-s） 。dNTs，其中uT>0且φT=aTφ，其中a是一个正数递增序列，收敛为一，矩阵φ：R+→ Md（右*+) 具有s（Z）的可积分量∞φ（s）ds）=1。我们进一步假设，对于任何t≥ 0，φ（t）在R上可对角化。我们写λ（t）≥ .. ≥φ（t）的特征值λd（t）*（此处*表示转置运算符）和v。。。，VD对应的特征向量。我们假设这些特征向量不依赖于t（如假设2.1所示）。我们还记得Froben-ius-Perron定理，f-ori≥ 2，|λi（t）|<λ（t）=Sφ（t）并且可以在Rd+中使用VCA。2.3.2结果和理论的直觉我们现在提供一些非严格的发展，这些发展有助于理解多维过程的不对称行为。我们在假设2.2和2.3下工作。LetMTt=NTt-ZtλTsdsbe与NT相关的鞅。

我们有λTt=uT1+ZtφT（T-s） 。dMTs+ZtφT（T-s） 。λTsds。使用Lemma。以及Fubini定理和卷积积ψT* φTsatis fiesψT* φT=ψT- φT，我们得到λTt=uT1+uTZtψT（T-s） ds。1+ZtψT（T- s） 。dMTs，（3），其中ψT=Xk≥1（φT）*k=Xk≥1akTφ*k、 因此[λTt]=uT1+uTZtψT（T-s） ds。1（4）andE[λTtT]=uT1+uTTZtψTT（T- s）ds。1、当函数ψT一致有界且uT常数等于u>0时，我们得到了T阶λTtTis。因此，在时间和空间上的自然重缩放导致我们考虑t∈ [0，1]过程ctt=TλTtT。从（3）中，我们得到CTT=uT1+uZtψTT（T- s）ds。1+ZtψTT（T- s）.dMTs，MTT=MTtT/T。注意，由于hMT，MTit=diag（ZtλTsds），我们得到e[hMT，MTit]=TEdiag（ZtTλTsds）= diag（中兴通讯ds）已启用。现在请注意，对于每个∈ {1，…，d}，使用递归，我们很容易看到对于任何k≥ 1，v*i、 φ*k（t）=λ*ki（t）v*i、 因此，定义i∈ {1，…，d}ψTi=Xk≥1akTλ*ki，我们有*i、 ψT=ψTiv*i、 因此我们可以写出v的动态*i、 CTTA如下：v*i、 CTt=uT（v*i、 1）+u（v*i、 1）ZtψTiT（T- s）ds+ZtψTiT（T- s）（五）*i、 dMTs）。（5） 因此，要理解v的渐近行为*i、 实际上，我们需要研究函数ψTi（T.）。为此，可以计算每个j的ψTj（T.）的傅里叶变换^ψTj（T∈ {1，…，d}。我们有^ψTj（T.）（z）=Zx∈R+ψTj（T x）eixzdx=TXk≥1克拉^λj（z/T）k=aT^λj（z/T）T1.- aT^λj（z/T）.现在，随着T趋于完整，^λj（z/T）趋向于kλjk，回想一下，j的kλjk<1≥ 2.

因此，对于j≥ 2，ψTj（T.）应渐近vanish，因此v的情况也应如此*j、 CT。对于j=1，使用假设2.2，我们有limt→∞T（λ（z/T）- 1） =izZ∞xλ（x）dx=izm。因此，在这种情况下，^ψT（T.）（z）=aT^λ（z/T）T（1- aT）- 附件（λ（z/T）- （1）→T→∞λ-izm，是x的傅里叶变换∈ R+→我-λmx。因此，我们可以预期ψ（T x）收敛到-λmx。现在让我们从前面的计算中推断出v的行为*.CT。从（5）中，该数量可以是wr ittenv*.CTt=uT（v*.1） +u（v*.1） ZtψTT（T- s）ds+ZtψTT（T- s）q（v）*.CTsdBTs，（6），其中v=（v1，i）1≤我≤dandBTt=ZtTv*.dMTspT（v）*.λTs.（7）由于相关的二次变化序列收敛到恒等式，因此已专门选择过程序列bt。因此，Bt的极限是布朗运动。现在确定RDE的正交基（e，…，ed），使e*.v> 0和span（e，…，ed）=span（v，…，vd）并设置v′=e-e*.vv。注意，v′属于span（v，…，vd）。将vin分解为基（e，…，ed），我们得到（v）*.CTt=e*.ve公司*.v（v*.CTt）+（e*.五）（v′）*.CTt公司+X2个≤我≤d（e*i、 v）（e）*i、 CTt）。因此，对于任何向量v∈ 量程（v，…，vd），v*.CTT收敛到零，我们推导出（v）*.CTthas具有相同的渐近行为ase*.ve公司*.v（v*.CTt）。因此，让T进入（6）中的完整性，我们可以预期v*.CTT是以下随机微分方程的解：Xt=umZte-λm（t-s） ds（v*.1） +毫秒*.ve公司*.中兴通讯-λm（t-s） PXSDB。这正好对应于Cox-Ingersoll-Ross过程，因为它可以重写xt=λmuλ（v*.（1）- Xt公司dt+mse*.ve公司*.vpXtdBt，X=0。因此，使用CTtin的分解，基（e，…，ed）由CTT=e给出*.v（v*.CTt）e+（v′）*.CTt公司e+X2≤我≤d（e*i、 CTt）ei，我们最终得到以下定理，其严格证明见第4.1节。定理2.2。

在第2.3.1节的设置以及假设2.2和2.3下，多维过程（CTt、BTt）t∈[0,1]对于Skorokhod拓扑，在定律上收敛为（e*.其中，B是布朗运动，X满足以下（一维）Cox-Ingersoll-Ross动力学：dXt=λmuλ（v*.（1）- Xt公司dt+mse*.ve公司*.vpXtdBt，X=0。定理2.2是关于多维近不稳定Hawkes过程渐近beh-avior的一般结果。我们特别看到，非简并度集中在第一个特征向量周围。此外，从定理2.2中，我们得到了下面给出的直接推论，这将使我们能够证明定理2.1.2.3.3在微观模型中的应用让我们考虑一个二维Hawkes过程序列NT=（NT，+，NT，-) 强度λT=（λT，+，λT，-) 如假设2.1所示。在这种情况下，λ=Д+βД，λ=Д- ^1、andv=β, 五=-1..因此，我们有以下定理2.2的推论，这将导致我们得出微观价格模型的长期极限。推论2.1。在假设2.1、2.2和2.3下，过程（CT、+t、CT、，-t、 BTt）t∈【0,1】Skorokhod拓扑在定律上收敛到（β+1X，β+1X，B），其中B是布朗运动，X满足以下（一维）Cox-Ingersoll-Ross动力学：dXt=λm（μλ（β+1）- Xt）dt+ms1+β1+βpXtdBt，X=0。这里X基本上对应于一个极限波动过程。X动力学中的布朗运动来自于BT的极限，这个过程定义于（7）中，由v驱动*.dMTs。在我们的微观模型中，MT=（MT，+，MT，+）。从定理2.1的证明中可以清楚地看出，定理2.1中驱动价格的布朗运动是由MT的极限行为产生的+- MT，+。

因此，杠杆效应在限额内的出现是由于v*.DMT和MT+- MT，+。3从高频特征到粗略波动性3.1编码属性，在第2节中，我们构建了一个与属性i、ii和iii兼容的基于微观霍克斯的价格模型。Theorem2.1指出，从长远来看，它收敛于经典的赫斯顿模型。然而，属性iv，即市场上广泛存在的元指令，这是高f频率市场的一个关键特征，并没有编码在这种模型中。如[44]所述，这可以通过考虑Ass umption2.1定义的模型在Haw-kes框架中进行转换，但在实际观察到的核矩阵呈现重尾的情况下，请参见[8，34]。因此，我们需要替换假设2.2，以获得核矩阵的缓慢递减行为。这也意味着修改渐近设置，以检索非退化标度极限，见【44】。更准确地说，在本节中，我们不考虑假设2.2，而是考虑以下假设：假设3.1。存在α∈ （1/2，1）和C>0，因此αxαZ∞xλ（s）ds→x个→∞C、 此外，对于某些λ*> 0和u>0，Tα（1- aT）→T→∞λ*> 0，T1-αuT→T→∞u。当然，假设2.1下的第一个特征值为Д+βД，假设3.1下的λ也可以用Д和Д的渐近Behavior表示。注意，在实践中，α的估计值实际上接近1/2，请参见[8，34]。现在，我们给出了在假设3.1.3.2高频模型λ=αλ的粗略宏观极限下，价格模型的渐近行为*/CΓ（1- α). 对于符合性质i、ii、iii和iv的微观模型的长期极限，我们有以下结果。定理3.1。

在假设2.1和3.1下，由于T趋于完整，重新标度的微观价格1- 在uTαPTtT，T∈ [0，1]在有限维定律的意义上收敛于以下粗略的赫斯顿模型：Pt=1- （kхk- kΓk）rβ+1ZtpYsdWs，Y的唯一解为yt=Γ（α）Zt（t-s） α-1λ（1+β）- Ys公司ds+Γ（α）Zt（t-s） α-1λs1+βλ*u（1+β）pYsdBs，其中（W，B）是与dhw相关的二维布朗运动，位=1- βp2（1+β）dt。此外，该过程具有H¨older正则性α- 1/2- ε对于任何ε>0的情况。备注3.1。定理3.1说明了有限维定律意义下的收敛性，而不是Skorokhod拓扑意义下的收敛性。后者一般不成立。尽管如此，我们对集成价格ZTR1的Skorokhod拓扑具有一致性- 在uTαPTsTdstoRtPsds。在附加假设下，这种收敛也适用于重新调整的微观价格本身。与理论2.1相比，这里限制动态的唯一显著差异是内核（t- s） α-1出现在波动过程Yt中的两个积分中。这种内核类似于允许定义分数布朗运动的内核。事实上，回想一下带有赫斯特参数H的分数布朗运动∈ （0，1）可通过曼德尔布罗特-范尼斯表示法构建：WHt=Γ（H+1/2）Z-∞（t-s） H类--(-s） H类-dWs+Γ（H+1/2）Zt（t-s） H类-dWs。（8） 因此，定理3.1中的尾部指数α对应于赫斯特参数α-1/2。我们的α属于（1/2，1），实际上接近1/2，与我们的极限波动率相关的赫斯特参数（远）小于1/2。