杠杆效应和粗波动的微观结构基础

因此，波动率的轨迹比布朗运动的轨迹要通透得多，这就是为什么我们称我们的过程为粗糙Hestonmodel。因此，我们最终表明，当将房地产i、ii、iii和iv放在一个简单但切实可行的框架中时，它们是市场微观结构的明显类型化事实，会导致风险波动和杠杆效应。据我们所知，这是第一次从基于代理的角度（尽管是简化形式）解释波动率的粗略随机性以及杠杆效应。第4.4节给出了定理3.1的证明。至于定理2.1，它是基于一般多维霍克斯过程的结果（但这里有重尾），我们将在下一节中解释。3.3重尾几乎不稳定多维Hawkes过程的收敛本节给出了重尾几乎不稳定多维Hawkes过程渐近行为的一般结果。这个结果将是证明ORM3.1的关键。我们考虑的设置与第2.3.1节中的设置相同，但我们在假设3.1下工作。这将意味着我们可以得到的结果比理论2.2的结果稍微弱一些。特别是，强度序列通常不紧密，因此不收敛。然而，与第2.3.2节相同的非严格计算使我们能够获得下面解释的结果的直觉。3.4直觉对于第2.3.2节中的结果和理论，我们考虑强度的适当重整化，即我们使用过程Ctt=1- 在uTλTtT，T∈ [0，1]。请注意，在第2.3.2节的设置中，强度乘以1/T。由于在假设2.2下，系数（1- aT）/uTis，1/T级。

假设3.1下的情况不再如此。根据与第2.3.2节中相同的计算，我们得到V*i、 CTt=（1- aT）（五）*i、 1）+（v*i、 1）ZtρTi（t-s） ds+ZtρTi（t-s） （五）*i、 dMTs），其中ρTi=T（1- aT）ψTi（T.）和▄MTt=MTtT/（TuT），这是一个鞅，使得e[h▄MT，▄MTit]是有界的。因此，我们需要研究ρTi的行为。与第2.3.2节中的方法相同，使用其拉普拉斯变换，我们得到ρT应在T变为i的单位时消失≥ 对于i=1，我们有^ρT（z）=z∞ρT（x）e-zxdx=（1- aT）^ψT（z/T）=（1）- aT）aT^λ（z/T）1- 在λ（z/T）处。然后，通过分段积分并使用kλk=1，我们得到^λ（z）=z∞λ（x）e-zxdx=1- zZ公司∞Z∞xλ（u）到期-zxdx。因此，^λ（z）=1- zαz∞（xz）αZ∞x/zλ（u）dux-αe-xdx。因此，使用假设3.1和支配收敛定理，我们得到^λ（z）=1-CαΓ（1- α） zα+盎司→0（z）。由此，我们很容易推断出，对于z>0，^ρT（z）→λλ+zα，这是附录A中定义的Mittag-Le-fluer密度函数fα的拉普拉斯变换。因此，使用与第2.3.2节中相同的参数，我们得到CTT应基本满足CTT→T→∞e*.vYte，其中Y是以下粗糙随机微分方程的解：Yt=（v*.1） Fα，λ（t）+√uλ*se公司*.ve公司*.vZtfα，λ（t- s） pYsdBs，Fα，λ（t）=Ztfα，λ（s）ds。事实上，这最后一个方程相当于一个roughCox-Ingersoll-Ross过程：Yt=Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（v*.1.- Ys）ds+Γ（α）Zt（t-s） α-1λ√uλ*se公司*.ve公司*.vpYsdBs，见命题4.9。因此，前面的计算似乎表明，在重尾情况下，重整化强度过程应收敛到粗糙的Cox-Ingersoll-Ross过程。与轻尾情况相反，当内核矩阵具有缓慢递减的行为时，这种直觉通常是不正确的。然而，如果我们考虑积分强度而不是强度本身，它仍然成立。

我们现在给出严格的结果。对于t∈ [0，1]，让u定义t=1-aTTαuNTtT，∧Tt=1- aTTαuZtTλTsds，ZtT=rTαu1- aT（XTt- ∧Tt）。我们有以下定理。定理3.2。在第2.3.1节的设置和假设3.1下，过程（λTt，XTt，ZTt）t∈[0,1]对于Skorokhod拓扑，在定律中收敛到（λ，X，Z），其中∧t=Xt=e*.v（ZtYsds）EAN和1≤ 我≤ d、 Zit=Ztre1，即*.vYsdBis，其中（B，…，Bd）是d维布朗运动，Y是以下粗糙随机微分方程的唯一解：Yt=Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（v*.1.- Ys）ds+Γ（α）Zt（t-s） α-1λ√uλ*se公司*.ve公司*.vpYsdBs，其中B=pe*.vdXi=1qe1、iv1、iBi。此外，Y具有H¨older正则性α-- ε对于任何ε>0的情况。第4.3.3.4.1节给出了定理3.2的严格证明。对于定理2.2，定理3.2有一个直接的推论，这对定理3.1的证明至关重要。让我们考虑一个BI-d隐式Hawkes过程序列NT=（NT，+，NT，-) 强度λT=（λT，+，λT，-) 如假设2.1所示。我们得到以下结果。推论3.1。在假设2.1和3.1下，过程（λTt，XTt，ZTt）t∈[0,1]将Skorokhod拓扑的i nlaw收敛到（X，X，Z），其中xt=β+1ZtYsds, Zt=Ztrβ+1YsdBsdBs数据库,其中（B，B）是二维布朗运动，Y是以下粗糙随机微分方程的唯一解：Yt=Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（（1+β）- Ys）ds+Γ（α）Zt（t-s） α-1λs1+βλ*u（1+β）pYsdBs，其中B=B+βBp1+β。4证明从现在起，c表示一个独立于T的正常数，该常数可能因行而异。4.1理论证明2.2本证明深受【43】的启发，第2.3.2节中定义的符号是有效的。我们从续集中经常使用的引理开始。4.1.1一个有用的引理我们得到以下结果。引理4.1。

让fT：R+→ R是一系列可测函数，对于某些C>0和任何x≥ 0，x∈ R、 x≥ 0，x≥ 0和T>0：a）fT∈ L（R+）∩ L（R+）和Rx≥0 | fT（x）| dx→T→∞0，b）|英尺（x）|≤ c、 c）|^fT（x）|≤ c（1∧|x |），d）|英尺（x）- 英尺（x）|≤ cT | x- x |。然后，在第2.3.1节的设置以及假设2.2和2.3下，过程（ZtfT（t-s） dMTs）t∈[0,1]当T趋于完整时，概率收敛到零，在紧集（u.c.p.）上一致。引理4.1的证明见附录ix A.1.4.1.2 v的收敛性*i、 CTfor i公司∈ {2，…，d}我们现在考虑向量空间跨度（v，…，vd）上cTo的收敛性。以下主张成立。提案4.1。让2≤ 我≤ d、 根据第2.3.1节以及第2.2节和第2.3节的规定，vi*.当T变为整数时，CTU.c.p.收敛为零。证明：回顾第一个方程式（5）：v*i、 CTt=uT（v*i、 1）+u（v*i、 1）ZtψTi（T（T- s） ）ds+ZtψTi（T（T- s） ）（五*i、 dMTs）。因此，为了得到结果，可以证明函数族（ψTi（T.））T>0满足引理4.1的四个点。点b）很容易从以下事实中获得：*i、 ψT=ψTiv*根据假设2.3，得到ψt的一致有界性。现在注意，根据假设2.3，我们推断λi（x）随着x趋于完整而趋于零。然后，在假设2.3的情况下，对λitogether的傅里叶变换进行分部积分，得到|^λi（ω）|≤（|λi（0）|+Z∞|λ′i（x）| dx）|ω|∧ kλik。

（9） 点c）使用|ψTi（T.）（ω）|=| aT^λi（ω/T）| T1.- aT^λi（ω/T）|≤|aT^λi（ω/T）| T（1- kλik）≤ c（1∧|ω|）。我们还从前面的不等式中得到，^ψTi（T.）是平方可积的，ψTi（T.）也是平方可积的。此外，通过Parseval等式，我们得到了zx≥0 |ψTi（T x）| dx=2πZω∈R |ψTi（T.）（ω）| dω≤ cZω∈R |^λi（ω/T）| T（1-kλik）dω≤cTZz公司∈R |^λi（z）| dz。由于^λiis s q uare可积，最后一个不等式的右侧趋于零，从而得到thusa）。最后d）用ψTi=aTλi+aTλi表示* ψTito write |（ψTi）′（T x）|=T | aTλ′i（T x）+aT（λ′i* ψTi（T x）+λi（0）ψTi（T x）|≤ T（kλ′ik∞+ kλ′ikkψTik∞+ |λi（0）| kψTik∞).4.1.3 v的收敛性*.CTW我们刚刚展示了v*i、 对于i，Ct趋向于零∈ {2，…，d}。kλik<1 fori的事实∈ {2，…，d}对于获得此结果至关重要。我们现在处理术语v*.CT，重新校准kλk=1。我们得到以下结果。提案4.2。在第2.3.1节以及假设2.2和2.3的设定下，过程（v*.CTt、BTt）t∈[0,1]在定律f中，Skorokhod拓扑收敛到（X，B），其中Bis是布朗运动，X满足以下Cox-Ingersoll-Ross动力学：dXt=λm（μλ（v*.（1）- Xt）dt+mse*.ve公司*.vpXtdBt，X=0。证明：重写v*.CTLetSTt=dXi=2（e*i、 CTt）（e*i、 五）+（v′）*.CTt公司（e）*.v） 。根据命题4.1，我们得到STttends u.c.p.为零。我们有（五）*.CTt=STt+e*.ve公司*.vv型*.CTt，与（6）一起导致v的以下表达式*.CT：v*.CTt=uT（v*.1） +u（v*.1） ZtψT（ts）ds+ZtψTT（T- s）sSTs+e*.ve公司*.v（v*.CTs）dBTs。ψT（T.）对x的收敛性≥ 0，让我们定义（x）=ψT（T x）-mexp(-λxm）。我们在第2.3.2节中看到，当T变为单位时，fT（x）应接近于零。更准确地说，我们有以下命题，其证明见[43]：命题4.3。

根据第2.3.1节的设置以及假设2.2和2.3，fTsatis属性a）、b）、c）和d）Lemma4.1。v的Cox-Ingersoll-Ross样动力学*.CTWe可以写入*.CTt=RTt+um（v*.1） Ztexp公司(-λsm）ds+mse*.ve公司*.vZtexp公司(-λ（t-s） m）qv*.CTsdBTs，RTT=uT（v*.1） +u（v*.1） ZtfT（s）ds+ZtfT（t-s） （五）*.dMTs）（10）+mZtexp(-λ（t- s） m）sSTs+e*.ve公司*.v（v*.CTs）-se公司*.ve公司*.v（v*.CTs）dBTs。然后，使用分部积分，我们得到了ZTExp(-λ（t- s） m）qv*.CTsdBTsis等于ZTQV*.CTsdBTs-λmZtZsexp(-λ（s- u） m）qv*.CTudBTuds。这可以重写ZTQV*.CTsdBTs- λse*.ve公司*.vZtv*.CTs公司- RTs-uλ（v*.（1）1.- 经验值(-λsm）ds。因此，v*.CTt=UTt+Ztλmuλ（v*.（1）- v*.CTs公司ds+mse*.ve公司*.vZtqv*.CTsdBTs，（11）UTT=RTt+λmZtRTsds。UT的收敛我们现在证明UT将u.c.p.收敛到零。这种消失的行为来自于fTand和ST。当然，这足以证明RTconvergence为零。从命题4.3和引理4.1中可以明显看出，前三项sin（10）趋向于零。我们现在讨论最后一个学期。首先，注意| qSTs+βv.CTs-qβv.CTs |≤q | STs |，由于命题4.1，当T趋于完整时，其趋于零。此外，从hMT开始观察，MTi=diag（R.λT）和λT≥ u1，我们有EHZTT（v）*.dMTsT（v）*.λTsi=EhZtT（v）*.λTsdsT（五）*.λTs我≤ EhZtT（v）*.λTsdsTu（五）*.λTsi、 （12）我们得到，这小于c/T，因此为零。因此，BT是具有有界jum-ps的鞅序列，其二次变化由[BT，BT]T=T+ZtT（v）给出*.dMTsT（v）*.λTs，趋向于恒等式。利用[42]中的g定理VII-3.11，这意味着对于Skorokhod拓扑，Bt在定律中收敛于布朗运动B。

从[45]中的第2.6节开始，MtExp的收敛为零(-λ（t-s） m）sSTs+e*.ve公司*.v（v*.CTs）-se公司*.ve公司*.v（v*.CTs）DBTSfollowing，最终我们得到UTtends为零。命题4.2的证明结束了，我们有v*.CTTCA可以写成（11），而且（BT，UT）在Skorokhod拓扑的规律上收敛到（B，0）。命题4.2主要遵循【46】中的定理5.4。4.1.4定理2.2在基（e，…，ed）中分解Ct的证明结束：CTt=dXi=2（e*i、 CTt）ei+（v′）*.CTt公司e+e*.v（v*.CTt）e，我们立即从命题4.1中获得定理2.2，以及命题4.2.4.2定理2.14.2.1的证明。方便地重写PTT。我们首先方便地编写重新调整后的价格PTT/T。我们有TPTTT=NT，+tT- NT，-tTT=ZtTdMT，+s- dMT，-sqT（λT，+s+λT，-s） sλT，+s+λT，-sT+ZtTλT，+s- λT，-性病。此外，λT，+T- λT，-t=ZtaT（Д（t-s）- ^1（t- s） ）（dNT，+s-dNT，-s） =ZtaTλ（t- s） （dMT，+s- dMT，-s） +ZtaTλ（t-s） （λT，+s- λT，-s） ds。因此，来自Lemma。1，我们得到λT，+T- λT，-t=Ztψt（t-s） （dMT，+s-dMT，-s） 。然后，利用Fubini定理，我们得到zxλT，+s- λT，-sds=ZxZx公司-sψT（u）du（dMT，+s- dMT，-s） 。因此，我们重新调整的价格过程PTtT/T最终可以写入ZTQCT、+s+CT、，-sdWTs公司-ZtZ公司∞T（T-s） ψT（u）du（dMT，+s-dMT，-s） +Z∞ψT（u）du（MT，+T-MT，-t） ，WTT=ZtTdMT，+s- dMT，-sqT（λT，+s+λT，-s） ，且前移PTTT=1-aT（kхk- kхk）ZtqCT，+s+CT，-sdWTs公司- RTt，（13），RTt=ZtZ∞T（T-s） ψT（u）du（dMT，+s- dMT，-s） 。4.2.2 RTWe的收敛性我们有以下主张。提案4.4。在假设2.1、2.2和2.3下，RTU.c.p.趋于零。证据从引理4.1可以看出，函数的序列gt（x）=Z∞引理4.1的T xψT（u）dusaties性质a）、b）、c）和d）。b）成立的事实是显而易见的，因为| gT（z）|≤Z+∞|ψT（x）| dx≤||λ| | 1- ||λ| |。然后我们注意到^gT（z）=Za≥0ψT（a）eiza/T- 1izda，这就是属性c）的含义。

性质d）由|（gT）′（x）|=T |ψT（T x）|这一事实得出≤ cT。最后，我们使用Fubini定理来编写≥0 | gT（x）| dx=Zx≥0；a、 b>T xψT（a）ψT（b）dadbdx=TZa，b≥0（a∧ b） ψT（a）ψT（b）dadb。因此，Zx≥0 | gT（x）| dx≤TZa公司≥0a |ψT（a）| daZb≥0 |ψT（b）| db≤cTXk公司≥1Za≥0a |λ|*k（a）da。通过递归，我们得到k≥ 1，Za≥0a |λ|*k（a）da=k | |λ| | k-1Za≥0a |λ|（a）da<∞.最终YZX≥0 | gT（x）| dx≤ c/Tand a）容易遵循。4.2.3（WT，BT）的收敛性与BT的q值变化相同在定理2.2的证明中，我们容易得到以下概率收敛性：[WT，WT]t→T→∞t、 [英国电信，英国电信]t→T→∞t、 此外，我们有以下主张。提案4.5。在假设2.1、2.2和2.3下，[WT、BT]t→T→∞1.- βp2（1+β）tin概率。证据使用[MT，MT]=diag（NT），我们写[WT，BT]t=ZtTdNT，+s- βdNT，-sTqλT，+s+λT，-sqλT，+s+βλT，-s=ZtCT，+s- βCT，-sqCT，+s+CT，-sqCT，+s+βCT，-sds+εTt，εTt=ZtTdMT，+s- β-dMT，-sTqλT，+s+λT，-sqλT，+s+βλT，-s、 自hMT起，MTi=diag（R.λT）和λT≥ u1，我们很容易得到E[（εTt）]=EZtTT（λT，+s+λT，-s）≤2uT→T→∞此外，根据推论2.1，（CT，+，CT，-) Skorokhod拓扑的定律收敛β+1X，β+1X. 对于有限区间上Cox-Ingersoll-Ross过程的零点集为Lebesgue测度零，我们推导出Ct，+t- βCT，-tqCT，+t+CT，-tqCT，+t+βCT，-t将u.c.p.转至1- βp2（1+β）。因此我们推断，[BT，WT]t→T→∞1.- βp2（1+β）t.4.2.4定理2.1的证明结束考虑（13）。从命题4.4来看，Rt趋于零。然后利用[42]中的定理VII-3.11和命题4.5，我们得到（WT，BT）在定律上收敛于相关的二维布朗运动（W，B），使得Hw，Bit=1- βp2（1+β）t。此外，从推论2.1我们得到(√CT，++CT，-, BT）在定律上收敛于（qβ+1X，B），其中X是由推论2.1中定义的带驱动的Cox-Ingersoll-Ross过程。

利用[45]中的定理2.6，我们推导出ZTQCT，+s+CT，-SDWTS将Skorokhod拓扑的法则收敛为ZTS2XS1+βdWs，这为证明提供了依据。4.3定理的证明3.2我们现在给出关于一般重尾几乎不稳定Hawkes过程收敛性的定理的证明。这一证明的灵感来自【44】。4.3.1（λT，XT，ZT）的C紧度我们有以下命题。提案4.6。在第2.3.1节和假设3.1的设置下，序列（λT，XT，ZT）为C紧和SUPT∈[0,1]k∧Tt- XTtk公司→T→∞在概率上。此外，i f（X，Z）是（XT，ZT）的一个可能极限点，那么Z是一个连续鞅，[Z，Z]=diag（X）。证明：XTand∧T的C-紧密性称之为如（3）中所示，我们可以写出λTt=uT1+uTZtψT（T-s） ds。1+ZtψT（T- s） 。dMTs。使用thatZ。（f）* g） =（Z.f）* g、 我们得到E[NTT]=E[ZTλTsds]=TuT1+uTZTsψT（T- s） ds。1、因此，*.E【NTT】=TuTd+uT*.（ZTsψT（T- s） ds）。1和之前*.E【NTT】≤ cTuT1+S（Z∞ψT（s）ds）≤ cTuT1-在≤ cT2α。因此，我们得到E[XT]=E（λT）≤ c、 随着XTand∧T各分量的增大，我们推导了（XT，∧T）各分量的紧度。此外，XTand∧Tbeing1的m最大跳跃大小-aTTαu变为零，从Prop获得（XT，∧T）的C-紧密性。VI-3.26英寸【42】。ZT的C-紧密性很容易检查HZT，ZTi=diag（λT），这是C-紧密的。根据【42】中的定理VI-4.13，这给出了ZT的紧度。zt的最大跳跃大小随着T的消失，我们得到zt是C紧的。XT的收敛性- ∧TWe haveXTt- ∧Tt=1- aTTαuMTtT。根据Doob不等式，我们得到了每个分量的∈[0,1]|∧Tt-XTt |]≤ cT-4αE【MTT】。由于[MT，MT]=诊断（NT），我们推导出[supt∈[0,1]|∧Tt- XTt |]≤ cT-2α。这使得un if orm在XT概率上收敛为零- ∧T.ZTLet（X，Z）的极限是（XT，ZT）的可能极限点。

我们知道（X，Z）是连续的，根据[42]的推论IX-1.19，Z是局部鞅。此外，由于[ZT，ZT]=diag（XT），利用[42]中的定理VI-6.26，我们得到[Z，Z]是[ZT，ZT]和[Z，Z]=diag（X）的极限。根据Fatou引理，[Z，Z]的期望是有限的，因此Z是鞅。4.3.2 v的收敛性*i、 XTfor i公司≥ 2在这里，我们还观察到i的特征向量方向上的消失行为≥ 更准确地说，我们有以下结果。提案4.7。在第2.3.1节和假设3.1的设置下，如果X是XT的可能极限点，那么对于i≥ 2我们有vi*.X=0。证明：从（3）开始，使用Fubini定理和z的事实。（f）* g） =（Z.f）* g、 我们得到ztλTsds=tuT1+uTZtsψt（t- s） ds。1+ZtψT（T- s） 。MTsds。因此，对于t∈ [0，1]，我们有分解∧Tt=T+T+T，（14），其中T=（1- aT）tuT1，T=T（1-aT）uTZtsψTT（T- s）ds。1，T=T1-α/2r1- 在uZtψT时T（T- s）.ZTsds，uT=uT/（uTα）-1） 倾向于一个。现在回想一下，对于1≤ 我≤ d、 ψTi=Xk≥1akTλ*ki，ρTi=T（1- aT）ψTi（T.），且defifti=Z.ρTi（s）ds。对于i≥ 2，使用| FTi（t）|≤ZtT（1- aT）|ψTi（T s）| ds≤ （1）- aT）Z∞|ψTi（s）| ds≤ （1）- aT）kλik1- kλik。我们得到了FTi的一致收敛到零。由于这一点以及分段积分，我们将v的收敛性推到零*i、 清华大学*i、 T=uT（v*i、 1）ZtFTi ds。对于v*i、 Twe writev公司*i、 T=pu（1- aT）TαZtFTi（T-s） （五）*i、 dZTs）。zt的二次变化为∧t，其期望一致有界，我们有e[（v*i、 T）]≤cu（1-aT）TαZtFTi（s）ds。v的收敛性*i、 随后为Tto零。最后，从命题4.6我们得到，如果X是XT的极限点，那么X也是∧T的极限点。因此，我们得到v*i、 X=0.4.3.3 v的收敛性*.XT术语v*.XT是非消失的。