杠杆效应和粗波动的微观结构基础

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英文标题：
《The microstructural foundations of leverage effect and rough volatility》
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作者：
El Euch Omar, Fukasawa Masaaki and Rosenbaum Mathieu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We show that typical behaviors of market participants at the high frequency scale generate leverage effect and rough volatility. To do so, we build a simple microscopic model for the price of an asset based on Hawkes processes. We encode in this model some of the main features of market microstructure in the context of high frequency trading: high degree of endogeneity of market, no-arbitrage property, buying/selling asymmetry and presence of metaorders. We prove that when the first three of these stylized facts are considered within the framework of our microscopic model, it behaves in the long run as a Heston stochastic volatility model, where leverage effect is generated. Adding the last property enables us to obtain a rough Heston model in the limit, exhibiting both leverage effect and rough volatility. Hence we show that at least part of the foundations of leverage effect and rough volatility can be found in the microstructure of the asset.
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中文摘要：
我们发现，市场参与者在高频尺度上的典型行为会产生杠杆效应和粗糙波动。为此，我们基于霍克斯过程建立了一个简单的资产价格微观模型。我们在该模型中对高频交易背景下市场微观结构的一些主要特征进行编码：市场的高度内生性、无套利性、买卖不对称和元订单的存在。我们证明，当在我们的微观模型框架内考虑这些程式化事实中的前三个时，从长远来看，它表现为赫斯顿随机波动率模型，其中会产生杠杆效应。添加最后一个属性使我们能够获得极限内的粗略赫斯顿模型，该模型同时显示杠杆效应和粗略波动率。因此，我们表明，杠杆效应和粗波动率的部分基础可以在资产的微观结构中找到。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：杠杆效应 微观结构 Quantitative Mathematical Econophysics

杠杆效应和高挥发性的微观结构基础Yomar El EuchCMAP，巴黎理工学院。埃尔-euch@polytechnique.eduMasaaki大阪大学Fukasawa工程科学研究生院Fukasawa@数学。sci。大阪-u.ac.jpMathieu RosenbaumMap，巴黎理工学院。rosenbaum@polytechnique.eduSeptember2016年6月19日摘要我们表明，市场参与者在高频尺度上的典型行为会产生平均效应和粗略波动。为此，我们基于霍克斯过程建立了一个简单的资产价格微观模型。我们在该模型中对高频交易背景下市场微观结构的一些主要特征进行编码：市场内生性程度高、无套利性、买卖对称性和存在元指令。我们证明，当在微观模型的框架内考虑前三个程式化事实时，从长远来看，它表现为赫斯顿-托卡斯特波动率模型，即产生杠杆效应。添加la st Property使我们能够获得极限内的粗略Heston模型，该模型同时显示杠杆效应和粗略波动性。因此，我们表明，杠杆效应和粗波动率的部分基础可以在资产的微观结构中找到。关键词：市场微观结构、高频交易、杠杆效应、粗糙波动性、霍克斯过程、极限定理、赫斯顿模型、粗糙赫斯顿模型。1简介杠杆效应是众所周知的金融数据风格化事实。它指的是价格回报与波动率增量之间的负相关：当资产价格上涨时，其波动率下降，而当资产价格下跌时，波动率往往变得更大。

“杠杆”这个名字来源于Black和Christie对这一现象的以下解释：当资产价格下跌时，关联公司自动变得杠杆化，因为其债务相对于权益价值的比率变得更大。因此，资产的风险，即其波动性，应该变得更加重要。杠杆效应的另一个经济学解释是，逆转因果关系，即波动性增加的预测应该通过更高的回报率来补偿，而回报率可以通过资产价值的下降来获得，参见【19、29、31】。从实证角度来看，文献中已经对杠杆效应及其合理解释进行了深入研究，例如参见【12、15、27、60】。此外，我们还建立了一些能够使用高频数据的统计方法来对其进行测量，参见[3，59]。从建模角度来看，产生杠杆现象的意愿一直是开发复杂时间序列模型的关键动机，例如ARC Hty pe，参见【14、24、53、55、61】。最后，在金融工程领域，80年代末已经很清楚，有必要在衍生品定价框架中引入杠杆效应，以便准确再现隐含波动率表面的行为。这导致了著名的s-tochastic波动率模型的出现，其中驱动波动率的布朗运动与驱动价格的布朗运动（负）相关，例如，参见SABR、Heston、Hull和White以及Stein和Stein随机波动率模型的[33、39、41、56]。如上所述，杠杆效应的传统解释是基于金融经济学的“宏观”观点。

在本文中，我们希望解决以下问题：代理人之间的微观相互作用能否自然地在更大的时间尺度上产生杠杆效应？因此，我们想知道杠杆效应的部分基础是否可能是微观结构。要做到这一点，我们的想法是考虑一个非常简单的基于代理的模型，对显微镜下市场参与者的行为进行充分记录和理解。然后，我们的目标是，从长远来看，这种模式会导致价格动态的杠杆效应。这将表明，高频市场参与者的典型策略自然会产生杠杆效应。有人可能会说，交易是以最频繁的频率进行的，价格是通过订单类型的机制显示的。因此，杠杆效应源自高频特性，这是一个显而易见的事实。然而，我们希望在此表明的是，在某些市场条件下，典型的高频行为可能与前面提到的金融经济学概念无关，可能会在低频尺度上产生一些杠杆效应。需要强调的是，我们并不认为杠杆效应应该用高频特性来充分解释。我们只是说，其中一部分可能来自资产的微观结构。另一个重要的社会数据类型化事实，即[32]最近强调的ich，是波动过程的粗糙性质。事实上，文献[32]表明，对于各种资产，历史波动率时间序列表现出比布朗运动更为粗糙的行为。更准确地说，对数波动率的动力学通常很好地由分数布朗运动建模，Hurst参数约为0.1，这是一个具有0.1阶H¨older正则性的过程。

此外，使用带有小赫斯特指数的分数布朗运动也使我们能够非常准确地再现波动率表面的特征，见[11，32]。事实上，对于基本上所有合理流动的资产，波动率都是粗糙的，与粗糙度参数具有相同的数量级f，这当然是非常有趣的。因此，我们在这项工作中还旨在了解如何生成这样一个令人惊讶的特性。[44]中已经提供了该方向的一些元素。在这里，我们想进一步研究微观模型中长期波动的行为，包括现代市场微观结构的主要类型化因素。我们希望表明，波动性的粗糙本质自然地从市场参与者在高频尺度上的典型行为中显现出来。我们的逐点定价模型基于二维霍克斯过程，深受[6、7、43]中方法的启发。二维Hawkes过程是一个二元点过程（N+t，N-t） t型≥0取（R+）和强度（λ+t，λ）的值-t） 表格的λ+tλ-t型=u+u-+Zt公司^1（t-s） ^1（t-s） ^1（t-s） ^1（t-s）.dN+sdN-s.此处为u+和u-为正常数，函数（Дi）i=1，。。。4与称为内核矩阵的关联矩阵为非负矩阵，有关更多详细信息，请参阅第2.1节。霍克斯进程由霍克斯在[36]中引入。据说它们是自激的，因为惯性跳跃的概率取决于过去事件的位置。

霍克斯过程如今已成为金融领域的标准应用，不仅在微观结构领域，而且在风险管理或传染建模领域，参见其他许多领域【2、6、10、16、20、26、28、43、44】。文献[6]解释说，大型蜱类资产价格的超高频动态相关模型简单地由pt=N+t给出- N-t、 因此，在这种方法中，N+t对应于时间间隔[0，t]和N内资产向上跳跃的次数-t向下跳跃的次数。因此，获得向上（向下）跳跃的瞬时概率取决于过去向上和向下ju MP的到达时间。此外，通过构造，价格过程处于一个离散的网格上，这显然是高频价格在实践中的一个重要特征。文献[6]详细研究了该模型的统计性质。特别是，为了再现常见的买卖反弹效应，这种动态非常方便。这种简单的逐点定价模型使我们能够在高频交易的背景下非常容易地对现代电子市场的以下重要类型化事实进行编码：i）市场是高度内生的，这意味着大多数订单没有真正的经济动力，而是通过算法对其他订单作出反应，更多详情请参见[30，34]和第2.1.3节。ii）防止统计套利发生在高频市场的机制。事实上，在高频率范围内，构建平均收益率的策略是完全可能的，见【1】。iii）订单买卖双方的流动性存在一些不对称。这种模拟意味着买卖不是对称的行为。事实上，考虑一个做市商，其库存通常为正。

他很可能会在购买订单后降低价格，而不是在相同的销售订单后降低价格。这是因为它的库存在收到BUY订单后会变小，这对他来说是件好事，而在收到卖出订单后会增加，请参见[17、18、38、40、57]。大型勾号资产是指其买卖价差几乎总是等于一个勾号的资产，因此基本上会移动一个勾号跳跃，参见【23】。iv）很大一部分交易是由称为元订单的大额订单引起的，这些订单不是一次执行的，而是通过交易算法在时间上进行分割的，参见[4，47]。在霍克斯过程框架中，这些性质中的第一个对应于所谓的几乎不稳定的霍克斯过程，即稳定条件几乎饱和的霍克斯过程。这意味着核矩阵积分的谱半径小于但接近于单位，请参见[30，34，43，44]。第二个和第三个函数在核矩阵上构成了特殊结构，第四个函数生成了带有重尾的函数，参见【44】。第2.1节和第3.1节详细介绍了与上述四个属性相对应的价格过程参数化。在这项工作中，我们研究了基于Hawkes的超高频价格模型的长期行为，其参数与市场微观结构的四种常规特性一致。这样，我们就研究了上述四个因素共同作用下的宏观价格动态。更准确地说，我们从霍克斯模型开始，该模型仅满足属性i、ii和iii。我们的研究结果表明，在这种情况下，价格的宏观动态是[39]中引入的赫斯顿-托卡斯特波动率模型，其中波动率与价格（负）相关。

因此产生杠杆效应。这扩展了[43]中的一些结果，其中获得了一个非相关的赫斯顿极限。然后，当附加属性iv编码在我们的微观模型中时，我们表明所谓的粗糙Heston模型，其中波动率是彻底的，并且与价格负相关，是在低频率下产生的。更准确地说，如[32]所述，波动过程由分数布朗运动驱动，赫斯特参数sm aller大于1/2。当然，我们的结果并不是第一个将高频动力学与随机波动性的长期行为联系起来的结果。最著名的例子可能是Nelson的例子，他在[52]中指出，在特定的环境中，GARCH过程收敛到（不相关的）随机波动率模型，另见[22、25、48]。然而，据我们所知，我们提供了自然的、非特别的方法，允许在价格动态的长期限制下产生杠杆效应，甚至粗略波动。本文的组织结构如下。在第2节中，我们对基于霍克斯（Hawkes）的微观价格模型进行了参数化，以使属性i、ii和iii得到满足。然后，我们表明，在适当的比例调整后，该价格从长期来看收敛于赫斯顿随机波动率模型，在该模型中，杠杆效应得到了体现。在第3节中，我们将属性iv纳入了我们的微观模型，并证明它在宏观尺度上导致了一个粗糙的赫斯顿模型，在这个模型中仍然会产生杠杆效应。一些证明被归入第4节，一些有用的技术结果在附录中给出。2从高频特征到利用效应，我们在本节中构建了一个基于霍克斯的微观逐点模型，其中属性I、ii和iii是令人满意的。这使我们对霍克斯过程进行了具体的参数化。我们表明，在适当的重新缩放后，长期价格动态将变为赫斯顿模型的价格动态。

我们首先确定微观价格模型。2.1建立合适的微观价格模型2.1.1霍克斯过程框架我们考虑基于二维霍克斯过程Nt=（N+t，N）的逐点价格模型-t） ，w，强度λt=（λ+t，λ-t） 定义人λ+tλ-t型=u+u-+Zt公司^1（t-s） ^1（t-s） ^1（t-s） ^1（t-s）.dN+sdN-s,其中u+和u-是正常数和φ=РИД: R+→ M（R*+)是一个核矩阵，其分量为正且局部可积。受[6，7，43]的启发，我们的超高频交易价格模型简单地由pt=N+t给出- N-t、 因此，N+是指在时间间隔[0，t]和N内，资产的一个刻度向上跳跃的次数-是指资产在时间间隔【0，t】内一个刻度向下跳跃的次数。现在让我们解释强度过程λ+t（λ的解释-tgo es类似）。在时间t时，在t和t+dt之间获得新的一次向上跳跃的概率由λ+tdt给出。该概率可分解为三项s：ou+dt，这是强度的泊松部分，因此对应于价格因某种外部原因上涨的可能性ZtИ（t-s） dN+sdt，是过去向上跳跃引起的向上跳跃的概率ZtИ（t- s） dN-sdt，是过去向下跳跃引起的向上跳跃的概率。特别是，我们在这里看到，当Иi具有合适的形状时，很容易通过在向下（或向上）跳跃之后施加高概率的向上（或向下）跳跃来再现买卖反弹效应。2.1.2编码属性ii和iiiWe现在提供了强度过程参数的特定结构，以便在我们的模型中满足属性ii和iii。

性质ii是n-o统计套利条件。在高频环境中，这相当于说，在任何给定的时间段内，基本上都应该有许多向上和向下的跳跃。我们在我们的霍克斯框架内进行翻译，注意E[N+t]=中兴通讯[λ+s]ds，E[N-t] =中兴通讯[λ-s] ds，andE[λ+t]=u++ZtД（t-s） E[λ+s]ds+ZtД（t-s） E[λ-s] ds，E[λ-t] =u-+ZtИ（t-s） E[λ+s]ds+ZtД（t-s） E[λ-s] ds。因此，我们得出实现无统计套利条件的一种简单而自然的方法是将E[λ+t]=E[λ-t] 通过施加u+=u-和Д+Д=Д+Д。就微观价格变动而言，房地产iii表明，买方比买方更具流动性，可将其转化为：在向上跳跃后立即观察到向上跳跃的条件概率小于在向下跳跃后立即观察到向下跳跃的条件概率。在我们的Hawkes框架中，当x接近零时，其数量为Д（x）<Д（x）或类似的Д（x）>Д（x）。为了简单和技术上的方便，我们实际上作出了更严格的假设，即存在一些β>1，使得Д=βД。因此，我们假设强度过程的结构如下：λ+tλ-t型= u+Ztφ（t-s） 。dN+sdN-s, （1） 其中φ=ИβИИ+（β- 1） ^1,u>0和dβ≥ 1、我们现在解释如何处理物业i.2.1.3处理物业i：几乎不稳定的霍克斯过程物业i指出，现代市场是高度内生的。为了理解如何通过基于Haw-kes的价格模型来转换这种高度的内生性，为了简单起见，让我们考虑一个一维Hawkes过程Nt，强度λt=u+ZtД（t-s） d▄Ns，其中▄u>0且▄是一个非负可测函数，其Lnorm▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄▄满足▄▄▄▄▄▄▄▄小于1。