杠杆效应和粗波动的微观结构基础

实际上，对于（Z，X）一个可能的极限点（ZT，XT），使用与[44]中相同的方法，我们得到*.v→T→∞（五）*.1） Ztsfα，λ（t-s） dsandT公司*.v→T→∞√λ*uZtfα，λ（t-s） （五）*.Zs）ds。然后，让T进入分解的完整性（14），我们很容易推断出以下命题。提案4.8。在第2.3.1节和假设3.1的设置下，如果（Z，X）是（ZT，XT）的可能极限点，则过程v*.X满足以下等式：v*.Xt=（v*.1） Ztsfα，λ（t-s） ds公司+√λ*uZtfα，λ（t- s） （五）*.Zs）ds。4.3.4定理3.2的第一个版本我们现在证明定理3.2的版本，其中Y以不同的方式指定。设（X，Z）为（XT，ZT）的可能极限点。从命题4.8中，我们可以用与[44]中第3.2项的证明相同的方式证明V*.Xt=ZtYsds，其中Y满足度Y=（v*.1） Fα，λ（t）+√λ*uZtfα，λ（t-s） （五）*.dZs）。将命题4.7与正交基（e，…，ed）中Xt的分解一起使用：Xt=dXi=2（e*i、 Xt）ei+（v′）*.Xt公司e+e*.v（v*.Xt）e，我们得到Xt=e*.v（v*.Xt）e=e*.v（ZtYsds）e。根据命题4.6，我们得到了[Z，Z]=对角线（X）=e*.v（ZtYsds）诊断（e）。因此，我们可以使用[54]中的定理V-3.9来证明d维布朗运动（B，…，Bd）的存在性，如1≤ 我≤ d、 Zit=pe*.v√e1，iZtpYsdBis。最后，以与[44]中定理3.2的证明相同的方式，我们得到Y满足度Y=（v*.1） Fα，λ（t）+se*.vλ*u（e*.v） Ztfα，λ（t-s） pYsdBs，（15），其中B是由B=pe定义的布朗运动*.vX1≤我≤d√e1、iv1、iBi。Y处的th具有H¨older正则性α- 1/2- ε、 对于定理3.2证明的任何ε>0.4.3.5结尾，我们最终在这里提供了一个命题，表明从（15）中，Y可以写成定理3.2中给出的粗糙随机微分方程的形式，并说明了该方程解的唯一性。理论3.2紧随其后。提案4.9。

设λ，ν，θ为正常数，α∈ （1/2，1）和B是布朗运动。过程V是以下粗糙随机微分方程的解：Vt=θFα，λ（t）+νZtfα，λ（t-s） pVsdBs（16）当且仅当它是vt=Γ（α）Zt（t）的解-s） α-1λ（θ- Vs）ds+λνΓ（α）Zt（t-s） α-1PVSDB。（17） 此外，这两个方程都有唯一的强解。证明：（16）的解的存在性已经被证明是由（15）导出的。设V为（16）的解，d写=I1-αV，其中I1-α是（1）阶分数阶积分算子- α） ，见附录A。3、使用随机Fubini定理，参见示例【58】，通过部分积分，我们得到kt=θZtI1-αfα，λ（u）du+νZtI1-αfα，λ（t-u） pVudBu。此外，由于I1-αfα，λ（t）=λ1.- Fα，λ（t）, 见附录A。4，使用随机Fubinitheorem，我们得到kt=λθZt1.- Fα，λ（u）du+νλZtpVudBu- λZtνZspVufα，λ（s- u） dBuds。因此，Kt=λθZt1.- Fα，λ（u）du+νλZtpVudBu- λZtVs公司- θFα，λ（s）dsand最终ykt=λZt（θ- Vu）du+λνZtpVudBu。现在回想一下，我们有vt=D1-αKt，其中分数微分算子D1-附录A中定义了α。因此我们得到vt=Γ（α）ddtZtλZs（s- u） α-1（θ-Vu）duds+Γ（α）ddtZtλνZs（s- u） α-1pvudbud最后，再次根据富比尼定理，Vt=Γ（α）λZt（t- u） α-1（θ- Vu）du+Γ（α）λνZt（t- u） α-1pVudBu。因此V是（17）的解。利用文献[51]中主要结果的简单推广，我们推导出这样一个解的唯一性。4.4定理3.1的证明首先，请注意，按照与第4.2节相同的方式，我们可以编写1- aTTαuPTtT=1- aT（kхk- kхk）（ZT，+t- ZT，-t）- RTt，RTt=ZtZ∞T（T-s） ψT（u）du（dZT，+s- dZT，-s） 。使用推论3.1，我们推断出- aT（kхk- kхk）（ZT，+t- ZT，-t） Skorokhod拓扑在定律上收敛于定理3.1中定义的粗糙Heston动态P。注意，当Д=Д时，RT=0。因此，在这种情况下，我们得到了重新标度的微观价格P的Skorokhod拓扑在法律上的收敛性。

对于一般情况，我们可以证明RTO在有限维定律意义下的收敛性，如下所示。WehaveE[（RTt）]≤ cZt公司Z∞T sψT（u）duds。设G=Pk≥1 |Д- ^1|*k、 注意G是可积sinceR∞|^1- ^1|<1。亨西[（RTt）]≤ cT-1/2（Z∞G） +（Z∞T1/2G）,当T趋于完整时，其消失。结果如下。备注4.1。请注意，支持∈[0,1]| ZtZ∞T sψT（u）duds |≤ cT-1/2Z∞G+Z∞T1/2G,当T变为完整时，其消失。然后，利用Fubini定理，我们得到ztrtsds=ZtZt-sZ∞T uψTdu（dZT，+s- dZT，-s） 将u.c.p.收敛到零。因此，如Remark3.1所述，对于Skorokhod拓扑图，综合重缩放显微镜在法律上收敛。致谢我们感谢尼尔·谢泼德（Neil Shephard）的鼓舞人心的讨论，以及吉姆·加泰拉尔（Jim Gathereal）和卡斯珀·拉森（Kasper Larsen）的非常相关的评论。附录A。引理4.1的证明。这一结果已经在[44]中在e上的维数上得到了证明。我们需要将其推广到福特≥ 2、【44】中证明的检查表明，HTT的紧密性=ZtfT（t-s） 当尺寸大于1时，DMTS保持相同的方式。所以我们只需要检查yTo到零的有限维收敛性。使用该hMT，MTi=R。λT，我们得到e[kHTtk]=TEZTFT（t- s/T）dXi=1λTs，ids=TZtTfT（t-s/T）dXi=1E[λTs，i]ds。使用（3）和v*i、 ψT=ψTiv*i、 对于任何i∈ {1，…，d}和ds≥ 0，E[v*i、 λTs]=u（v*i、 （1）1+ZsψTi（u）du.因此| E[v*i、 λTs]|≤ u| v*i、 1个|1+Xk≥1Z∞akT |λi|*k（u）du≤ u| v*i、 1 | 1- aTkλik≤ cT。因此对于任何i∈ {1，…，d}，E[λTs，i]≤ cT。因此[kHTtk]≤ cZ公司∞英尺（s）ds→T→∞因此，概率为零，给出了过程的有限维收敛性。A、 2维纳-霍普夫方程以下结果在求解维纳-霍普夫型方程的工作中被广泛使用，参见示例【7】。引理A.1。

设g是从R到Rd的可测局部有界函数，φ：R+→Md（R）是一个具有S（R）等可积分量的矩阵值函数∞φ（s）ds）<1。从R到Rdsolution off（t）=g（t）+Ztφ（t），存在唯一的局部有界函数f- s） 。f（s）ds，t≥ 0给定byf（t）=g（t）+Ztψ（t- s） 。g（s）ds，t≥ 0，其中ψ=Xk≥1φ*k、 A.3分数阶积分和导数r阶分数阶积分∈ 函数f的（0，1）由IRF（t）=Γ（r）Zt（t）定义-s） r-1f（s）ds，只要存在积分。其r阶分数导数∈ [0，1]由drf（t）=Γ（1）给出-r） ddtZt（t-s）-rf（s）ds，无论何时存在。A、 4 Mittag-Le-fluer函数let（α，β）∈ （R）*+). Mittag-Le-fluer函数Eα，β定义为z∈ C byEα，β（z）=Xn≥0znΓ（αn+β）。对于（α，λ）∈ （0，1）×R+，我们还定义了α，λ（t）=λtα-1Eα，α(-λtα），t>0，Fα，λ=Ztfα，λ（s）ds，t≥ 函数fα，λ是R+上的密度函数，称为Mittag-Le-fluer密度函数。对于α∈ （1/2，1），fα，λ是平方可积的，并给出了z的拉普拉斯变换≥ 0乘以^fα，λ（z）=z∞fα，λ（s）e-zsds=λλ+zα。最后，我们可以证明-αfα，λ（t）=λ1.- Fα，λ（t）.fα，λ和fα，λ的进一步性质可在[35，49，50]中找到。参考文献【1】F.Abergel、C.-A.Lehalle和M.Rosenbaum。了解高频交易的利害关系。《交易杂志》，9（4）：49–732014。[2] Y.Ait-Sahalia、J.Cacho Diaz和R.J.Laeven。使用相互激励的交易过程对金融传染进行建模。《金融经济学杂志》，117（3）：585-6062015。[3] Y.Ait Sahalia、J.Fan和Y.Li。杠杆效应之谜：解开高频率银行的来源。cy.《金融经济学杂志》，109（1）：224–2492013。[4] R.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[5] E.Bacry、K.Dayri和J.-F.Muzy。symmetrichawkes过程的非参数核估计。

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