从量子力学到金融：跳跃、尖峰的微观基础

虽然通过γ值分为两种情况（即一个或两个平衡）的分离在潜在的SDE（15）中并不明显，但它是从微观建模中预期的。在个体转移概率中（见等式（3）和（4）），γ代表个体自主性，因此代表放牧风险。γ分别反映了平均放牧强度。Lux【23】中已经显示了类似的设置，轻微的放牧行为导致单一平衡，而强烈的放牧行为导致两个具有相变的临时平衡。在我们的模型中，这两种状态和S被视为两个临时平衡，其中跳跃表示相变，而尖峰表示不成功的跳跃尝试。请注意，处于平衡状态的概率等于p（见Tilloy、Bauer和Bernard【30】），并且其行为类似于Kramer的双阱势（见Kramer【22】）。图1：Qtforγ=1图2：Qtforγ=10备注2.12。虽然方程式（15）中的SDE与Bauer、Bernard和Tilloy[5]中的SDE完全相同，但出现的情况有所不同。在Bauer、Bernard和Tilloy[5]中，SDE是在测量单个量子系统时从离散时间过渡到连续时间的结果，而在我们的模型中，SDE是由趋向于完整的相互作用对象的数量引起的。此外，大盘涨停的根源也截然不同。而在鲍尔、伯纳德和蒂洛伊（5）的模型中，跳跃和尖峰是严密监控的结果，在我们的模型中，这两者都是Agent社会行为的结果。在这里，跳跃和尖峰的根本原因是代理人的个体暴露于相互干扰γa，这是他的放牧行为。当平均羊群行为较强时（即。

γ较大），代理人兴奋的快速蔓延导致炒作。我们在第3节中指出，这些炒作导致了价格高波动的阶段，在这些阶段，价格过程中的跳跃表明了向炒作的过渡，而峰值则是不成功的跳跃尝试。3价格动态在本节中，我们将前一节的内生动态与资产价格的动态联系起来。我们为每个交易者分配一个量化其交易倾向的单独交易强度和一个表征买卖股票数量的超额需求函数。然后，我们定义了一个定价规则，根据该规则，买卖股票的数量会影响价格。为了进一步展示我们模型的灵活性，我们引入了另一组称为基础论者的交易者。最后一个特征是，他们的行为基于实际价格和基本值F之间的差异∈ R、 特别是，当价格低于（高于）F时，他们会认为资产便宜（昂贵），并想购买（出售）。我们假设原教旨主义者是同质的，即。F是公共的，基本值是时不变的。设An={1，…，n}，n∈ N是一组代理，其中固定子集Fn Anwith | Fn |=kn∈ {0，…，n}是原教旨主义者，其余的是噪音交易者。我们用φn=kn/n表示基础主义者的部分。我们假设原教旨主义者没有被引用，也没有改变他们状态的意愿，即。一∈ Fn:xa=0，βa=ηa=0。请注意，或者我们可以将原教旨主义者作为一个额外的国家引入。然而，当前的设置说明了由异质转移概率引起的灵活性。我们假设市场的任何变化都是代理人行为的直接后果。行为主义者给出的行为可以是状态的改变，也可以是资产的交易。

我们通过k对这些动作进行索引∈ N以及定义2.2中定义的内生市场历史与交易行为之间的关系。定义3.1（第k次行动，市场历史）。第k个动作的特征是tupel（▄Tk，Ak，Pk，Mk，Bk），k∈ N、 式中▄Tkis为动作发生的时间，Ak∈ Anis是时间Tkand Bk的代理∈ {0，1}是一个actionindicator，用于指示代理是否交易（Bk=1）或更改其状态（Bk=0）。PKI的价格和上述市场的兴奋。所有信息都记录在markethistory中，它由▄Gk：=σ（▄Ti，Ai，Pi，Mi，Bi，i给出≤ k） 。与转移强度（定义2.3）类似，我们设置了一个函数，用于捕获每个代理交易资产的倾向，并调用两个动作率的总和。定义3.2（交易强度、行动率）。我们假设代理人的交易倾向由交易强度λa=(R)λa+Cexak给出-1，（16）带|λa∈ R+依赖于代理人的基本交易强度和Ce∈ R+一个正常数，反映了兴奋对交易倾向的积极影响。此外，我们引入了每种药剂的作用速率，其中νa=ua+λa。（17）然后给出了聚合作用速率，即νAn=nXa=1νa=CeMk+nXa=1（nγa+(R)λa）（18）类似于方程式（2），我们通过加权相应的强度函数来确定作用药剂和相关作用。定义3.3。（代理概率）代理a在指定的asP（Ak=a，Bk=1 | Gk）下交易的概率-1） =λaνAn。（19） 类似地，我们定义了代理a改变其状态的概率byP（Ak=a，Bk=0 |Gk-1） =uaνAn。（20） 此外，第k个动作是状态转移的概率设置为asP（Bk=0 |Gk-1） =nXa=1uaνAn=uAnνAn，（21），类似地，第k个动作是交易的概率由p给出（Bk=1 | Gk-1） =λAnνAn=1- P（Bk=0 |  Gk-1） 。（22）接下来，我们确定每个代理人决定交易后的交易数量。

因此，我们区分了噪音交易者和原教旨主义者。原教旨主义者将他们的超额需求建立在最后已知价格和基本价值之间的差异上，而噪音交易者则根据随机信号（ξk）k进行交易≥1假设为i.i.d.，E[ξ]=0且σξ：=E[ξ]<∞.因此，交易量的方差由市场激励Mk的方差决定。定义3.4（超额需求函数）。总之，我们设置了以下超额需求函数a（Pk-1，Mk-1，ξk）=√n（F- 主键-1） ，a∈ FnξkγaηaMk-1（1- Mk公司-1） ，a/∈ Fn，。（23）代理人决定交易后，时间TK的新价格将由做市商设定，做市商负责处理所有交易，并根据代理代理人的超额需求和旧价格制定定价规则。我们假设新旧价格的差异在交易量上是线性的，根由市场参与者的数量来衡量。isPk=rn（ea（Pk-1，Mk-1，ξk），Pk-1） ，（24），其中（q，x）=x+α√nq。（25）按结构（Pk）k≥0和（Mk）k≥0现在是两个相互作用的马尔可夫链。为了将它们均匀地嵌入到连续时间中，从而用时间齐次马尔可夫过程描述价格和特征，我们进一步刻画了代理决定采取行动的时间点。定义3.5（行动内时间）。内部作用时间（|τk）k≥1定义为▄τk：=▄Tk-Tk-1，k≥ 1、与定义2.7类似，我们假设指数分布的速率由聚合作用速率给出，即P（|τk∈ [0，t]|Gk-1） =1- e-tνAn，t≥ 0，（26）更准确地说，为了确保随机化来源与价格以及市场特征之间的有效独立性，我们需要假设行动内时间（△τk）k≥1由|τk：=ψkνAn，k给出∈ N、 （27）式中（ψk）k≥1 ARE i.i.d。

与（Pk，Mk）k无关的随机变量≥0带ψ~ 实验（1）。定义3.6（价格过程）。设定初始价格P后~ fp和fixing▄T=T=0我们可以定义价格过程为：=∞Xk=0Pk[油箱，油箱+1）（t），t≥ 0。（28）我们用下面的价格过程扩展引理2.9。引理3.7（存在）。如果上述假设成立，则概率空间Ohm,~F，~P）存在，它以（Xnt，Qnt）t的方式承载模型∈[0，∞)是一个时间齐次纯跳跃马尔可夫过程，ratekernelKn（x，q，dy，s）：=νAnkn（x，q，dy，s），（29），其中转移核kn（x，q，dy，s）是条件分布P（P- P∈ dy，M- M=s | P=x，M=q），s∈ {-n、 0，n}。证据类似于引理2.9。在我们能够说明市场兴奋指数和价格过程的大市场限制之前，我们假设原教旨主义者的比例是稳定的。此外，我们要求原教旨主义者和噪音交易者的交易强度平均趋同。假设3.8。我们假设1。φnn→∞----→ φ2。nPna公司∈Fn'λan→∞----→(R)λF3。nPna公司/∈Fn'λan→∞----→对于某些常数φ∈ [0，1]，(R)λF∈ R+和|λN∈ R+。接下来，我们陈述了SDE，其解近似于一个大市场中的内生动力学和价格过程，即一个有许多参与者的市场。命题3.9（扩散近似）。如果假设2.10和3.8成立，则（Xnt，Qnt）t∈[0，∞)L-→ （Xt，Qt）t∈[0，∞)在DR×[0,1][0中，∞), （30）其中（Xt，Qt）t∈[0，∞)是SDEs的唯一强大解决方案dQt=β（p- Qt）dt+γ√η（1- Qt）QtdBt，Q=θdXt=(R)λF（F- Xt）dt+σξp'λN+CeQtγ√η（1- Qt）QtdWt，X=ζ（31），其中（Bt）t∈[0，∞)和（Wt）t∈[0，∞)是独立的一维标准布朗运动，ζ~ fp与Wt和θ无关~ fm独立于Bt.Proof。见附录5.2。方程式（31）总结了我们在大市场限额下的模型。

内生行为由第一次SDE给出的QT描述，QT不取决于价格过程XT，与前一节相同。相反，XT取决于Qt。不仅QT的挥发性系数再次出现在SDE定义Xt中，而且QT还通过因子λN+CeQt来衡量Xt的挥发性。最后，当大多数代理兴奋时，会导致高波动性阶段。（Xt，Qt）t的性质≥0我们显示了两条轨迹。因此，为了方便读者，我们重复上一节中的QT图。在图3和图4中，我们显示了第一种情况，其中x的轨迹为F=50，φ=0.2，δ=2，内部动力学为Qt，参数p=0.6，η=β=1，γ=1。在20%的代理人是原教旨主义者的推动下，XT转向了基本价值观。因此，波动率更稳定，因为qt在p=0.6时有一个单一平衡，其余的波动系数由常数组成。我们在图5和图6中用相同的参数说明了第二种情况，但设置γ=10。在那里，QT的峰值和相变转移到价格过程，并导致峰值和跳跃。此外，如上所述，Qtat s=1的暂时平衡阶段符合Xt的高波动阶段，因为当QT较大时，因子λN+CeQT会增加Xt的波动系数。LAST影响的强度具体由恒定Ce控制。图3:Qtforγ=1图4:Xtforγ=1图5:Qtforγ=10图6:Xtforγ=10备注3.10（泊松跳跃过程近似值）。由于Qtin方程（31）的SDE与Tilloy、Bauer和Bernard[30]中的SDE完全相同，我们可以利用命题2中给出的统计性质的结果。

当γ较大时，尖峰和跳跃的位置（即局部极大值和极小值的位置）可以用两个泊松点过程Nton和Nton[0，1]×R+来近似，并具有强度d∧=βpdthδ（1- Nt）dNt+dNt（Nt）i，N=θd∧=β（1- p） dthδ（Nt）dNt+dNt（1-Nt）i，N=1- θ、 （32）其中δ是δ函数。备注3.11。虽然Bauer、Bernard和Tilloy[5]分别讨论了Qt的统计信息，Tilloy、Bauer和Bernard[30]，但尚未研究Xt的统计信息（尤其是尖峰的结构），尽管它们是Qt的直接结果。我们可以使用福克普朗克近似来近似Xnt的平稳分布，分别是Xt，以获得更多的洞察力。此外，为了研究Xt，可能还值得研究下面的马尔可夫链（Pk）k≥0。但是，两者都超出了本文的范围。4结论与展望我们提出了一个基于微观主体的模型来解释不同价格过程中的跳跃、尖峰和高波动阶段。利用汉克尔[16]的数学框架，我们建立了一个连续时间内异质主体相互作用的网络。因此，代理人的行为受到量子系统中激发粒子动力学的启发（见Bauer、Bernard和Tilloy[5]）。在第二步中，我们通过指定代理人的个人交易倾向和超额需求函数以及总体价格，将内生动力学与资产价格过程联系起来。此外，我们还展示了当市场参与者的数量趋于一致时，平均代理人兴奋度和价格过程收敛到差异过程的条件。

由于我们的模型诱导了大量的市场动态，这些动态同样出现在与热浴耦合的量子系统的讨论中，并进行持续监控（见Bauer、Bernardand Tilloy[5]），因此我们在量子力学和金融数学之间架起了一座桥梁。因此，我们可以利用量子轨迹的统计特性，将Tilloy、Bauer和Bernard[30]的结果应用到我们的资产价格模型中，通过两个泊松过程来近似出现的跳跃和尖峰。为了简单起见，已经做出了一些假设，这也表明了模型的局限性。例如，价格过程对内生动态的缺失反馈以及模型的强马尔可夫性似乎是不现实的。虽然第一个问题可以通过更复杂的状态转移概率（同时考虑资产价格）更容易解决，但马尔可夫性质对于收敛到扩散过程至关重要。未来可以研究导致非马尔可夫极限的更复杂的微观模型，例如随机微分延迟方程的解（见Arriojas等人[2]），尽管这种情况下极限定理形式的文献要少得多。5附录5.1命题2.11的证明我们应用汉克尔定理3.6【16】。请注意，我们的模型在汉高[16]的框架内，具有市场特征和市场特征指数，这在汉高[16]的定义2.3和2.16中定义，由Mk=（1- Mk，Mk），Vnt=（1- Qnt，Qnt）和d=1。

当n→ ∞ 由BN（x，v）=nnXa=1ua（2+n，a（v））给出- ∏2-n、 a（v））=nnXa=1ua[（1- v） ∏2,1n，a（v）- v∏1,2n，a（v）]=nnXa=1ua（1）- v） （βapa2γan+ηa（1- v） 五）- v（βa1- pa2γan+ηa（1- v） 五）=nnXa=1βa（pa- v） bn（x，1）=nnXa=1ua（π1+n，a（v）- ∏1-n、 a（v））=-bn（x，v）（33）（cn（x，v））=nnXa=1ua（2+n，a（v）+2-n、 a（v））=nnXa=1ua[（1- v） ∏2,1n，a（v）+v∏1,2n，a（v）]=nnXa=1ua（1）- v） （βapa2γan+ηa（1- v） v）+v（βa1- pa2γan+ηa（1- v） 五）=nnXa=1βa（pa- 2vpa+v）2n+γaηa（1- v） 五（cn（x，v））=nnXa=1ua（1+n，a（v）+1-n、 a（v））=（cn（x，v））（c1,2n（x，v））=（c2,1n（x，v））=-（cn（x，v））（34）现在，假设21.0亿=（十亿，十亿）n→∞----→ b：=-1.β（p- v） （35）和CN=cnc1,2nc2,1ncn！n→∞----→ c：=1-1.-1 1！γ√η（1- v） v.（36）So，根据Henkel【16】Vntn的定理3.6→∞----→ Vt，其中Vt是Vt=b（Vt）dt+c（Vt）dBt的解，V=（1- θ、 θ）（37），因此Qntn→∞----→ Qt，其中Qt是Qt=β（p- Qt）dt+γ√η（1- Qt）QtdBt，Q=θ，（38）因为Qt=Vt.5.2命题3.9的证明，所以这里我们也应用汉克尔定理3.6。由于qnt的动力学不依赖于Xnt，因此qnt的收敛性及其极限由命题2.11给出。

还显示了xNt的收敛性，并确定了当n→ ∞, 我们计算了预期的总超额需求和交易量σn（见汉高[16]定义3.1和3.3）。zn（x，v）=n-1/2nXa=1λaE[ena（x，v，s）]=√nnXa公司∈Fn？λaE√n（F- x）+nXa公司/∈Fn公司（39）σn（x，v）=nnXa=1λaE[ena（x，v，s）]=nnXa公司∈Fn？λaEn（F- x）+nXa公司/∈Fnλaσξγηq（1- q）=nnXa公司∈Fn？λaEn（F- x）+ σξγηq（1- q）（nXa/∈Fn'λa）+δnq（40）根据假设2.10和3.8，我们有Zn（x，v）n→∞----→(R)λF（F- x） （41）和σn（x，v）n→∞----→ （(R)λN+Ceq）σξγηq（1- q） （42）在意识到汉克尔[16]的假设3.5已满后，我们应用汉克尔[16]的定理3.6，得到命题3.9。参考文献【1】Y.Ait-Sahalia、J.Cacho Diaz和R.J.Laeven。使用相互激励跳跃过程建模金融传染。《金融经济学杂志》，117（3）：585–6062015。[2] M.Arriojas、Y.Hu、S.-E.Mohammed和G.Pap。一个延迟的black和scholes公式。《随机分析与应用》，25（2）：471–4922007。[3] W·B·亚瑟。经济中不断增加的回报和路径依赖。密歇根大学出版社，1994年。[4] L.单身汉。这是一个很好的例子。Gauthier Villars，1900年。[5] M.Bauer、D.Bernard和A.Tilloy。计算测量诱发量子跳跃的速率。物理学杂志A：数学与理论，48（25）：25FT022015。[6] E.Bayraktar、U.Horst和R.Sircar。具有惯性投资者的金融市场的极限定理。运筹学数学，31（4）：789–8102006。[7] E.Bayraktar、U.Horst和R.Sircar。金融价格波动的排队论方法。运筹学与管理科学手册，15:637–6772007。[8] F.Black和M.Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济杂志》，第637-6541973页。[9] G.Deffuant、D.Neau、F.Amblard和G.Weisbuch。