增长最大似然估计的渐近性质

此外，（Yt）t∈R+是一个具有分支机制的CBI进程R（u）=σu- bu，u∈ C，Re（u）6 0，移民机制f（u）=au+Z∞（欧盟）-1） m（dz），u∈ C带Re（u）6 0。此外，Y的微小基因的形式为（Af）（Y）=（a- by）f′（y）+yσf′（y）+Z∞（f（y+z）- f（y））m（dz），（2.1），其中y∈ R+，f∈ Cc（R+，R），f′和f′表示f的一阶和二阶偏导数。此外，如果P（η∈ R++）=1或a∈ R++，然后是PRtYsds∈ R++= 所有t均为1∈ R++。证据Levy–It^o代表J的形式为jt=ZtZ∞zuJ（ds，dz），t∈ R+，（2.2），其中uJ（ds，dz）：=Pu∈R+{Ju6=0}ε（u，Ju）（ds，dz）是与跳跃相关的整值泊松随机测度R++Ju：=Ju- Ju公司-, u∈ R++，J： =0，表示过程J，ε（u，x）表示点（u，x）处的狄拉克测度∈ R+，参见例如Sato【44，定理19.2】。因此，SDE（1.1）可以改写为Y=Y+Zt（a- bYs）ds+ZtσpYsdWs+Jt=Y+Zt（a- bYs）ds+ZtσpYsdWs+ZtZ∞zuJ（ds，dz），t∈ R+。（2.3）方程（2.3）是Dawson和Li[11]中方程（6.6）的特例，d定理6.2 inDawson和Li[11]暗示f或任何初始值η与P（η∈ R+=1和E（η）<∞, 存在满足P（Y=η）=1和P（Yt）的路径唯一非负强解∈ R+表示所有t∈ R+=1。L et（Y′t）t∈R＋是SDEdY′t=（a）的一个路径非唯一非负强解- bY′t）dt+σqY′tdWt，t∈ R+，使得P（Y′=η）=1。应用比较定理A.1，我们得到了所有t∈ R+=1。（2.4）如果P（η∈ R++）=1或a∈ R++，然后是PRtY’sds∈ R++= 所有t均为1∈ R++。的确，如果ω∈ Ohm 即[0，t] u 7→ Y′u（ω）是连续的，Y′v（ω）∈ R+适用于所有v∈ R+，则wehaveRtY（ω）ds=0当且仅当所有s的Y′s（ω）=0∈ [0，t]。利用Barczy等人[3]中的3.1项的方法，我们得到了PRtY′sds=0= 0，t∈ R+，根据需要。

自（Ys）s起∈[0，t]有c\'adl\'ag，因此几乎可以肯定有界样本路径（参见Billingsley[8，（12.5）]），使用（2.4），我们得出RtYsds∈ R++= 所有t均为1∈ R++。在Dawson和Li【11】中，微型生成器（2.1）的形式后面紧跟着（6.5）。此外，Dawson和Li[11]中的定理6.2还暗示，Y是一个连续状态和连续时间的分支过程，移民具有分支和移民机制，在该命题中给出。接下来，我们将给出一个关于（Yt）t的初始时刻的结果∈R+。2.2提议。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞. 乙烯（Yt）=e-btE（Y）+a+R∞z m（dz）1.-e-btbif b 6=0，E（Y）+a+R∞z m（dz）t如果b=0，t∈ R+。（2.5）因此，如果b∈ R++，然后（2.6）极限→∞E（Yt）=a+Z∞z m（dz）b、 如果b=0，则限制→∞t型-1E（Yt）=a+Z∞z m（dz），如果b∈ R--, thenlimt公司→∞ebtE（Yt）=E（Y）-a+Z∞z m（dz）b、 证明。按比例2.1，（Yt）t∈R+是CBI过程，具有（2.1）中给出的微型发生器。根据Barczy等人[5]的注释，该CBI过程具有参数（d、c、β、B、ν、u），其中d=1，c=σ，β=a，B=-b、 ν=m，u=0。自E（Y）<∞ 力矩条件rr \\{0}| z{| z |>1}ν（dz）=R∞z m（dz）<∞ 保持不变（由于（1.2）），我们可以应用Li[34]中的公式（3.1.11）或Barczy et al[5]中的引理3.4，选项EB=B=-b和β=β+ZR \\{0}zν（dz）=β+z∞z m（dz）∈ R+，产生thatE（Yt）=eteBE（Y）+ZteueBdu公司eβ。这意味着（2.5）和断言的其他部分。基于期望E（Yt）作为t的渐近行为→ ∞, 我们介绍了由SDE（1.1）给出的隶属函数驱动的ju mp型CIR模型的分类。2.3定义。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。

Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞. 我们称之为（Yt）t∈R+亚临界、临界或超临界，如果b∈ R++，b=0或b∈ R--,分别地在亚临界情况下，以下结果说明了唯一平稳分布的存在性和过程（Yt）t的指数遍历性∈R+，见Pinsky【43】、L i【33，定理3.20和推论3.21之后的段落】、Keller Ressel和Steiner【29】、Keller Ressel【27】、Keller Resseland Mijatovi'c【28，定理2.6】和Jin等人【25，定理1】。因此，根据Bhattacharya[9]中命题2.5之后的讨论，我们还得到了（Yt）t的强大数定律∈R+。2.4定理。让a∈ R+，b∈ R++，σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞.（i） 然后（Yt）t∈R+在律上收敛于z给出的唯一平稳分布π∞euyπ（dy）=expZuF（v）R（v）dv= 经验值Zuav+R∞（evz- 1） m（dz）σv- bvdv公司对于u∈ R-. 此外，π具有z给出的有限期望∞yπ（dy）=a+Z∞z m（dz）b∈ R+。（2.7）（ii）此外，如果∈ R++和额外力矩条件（1.4）保持不变，然后过程（Yt）t∈R+是指数遍历的，即存在常数β∈ （0、1）和C∈ R++使得kpyt | Y=Y-πkTV6 C（y+1）βt，t∈ R+，y∈ R+，其中kukTV表示由kukTV定义的R+上有符号度量值u的总变化范数：=supA∈B（R+）|u（A）|，PYt | Y=Y是Y相对于条件Y=Y的条件分布。此外，对于所有Borel可测函数f:R+→ R带R∞|f（y）|π（dy）<∞, 我们有（2.8）TZTf（Ys）dsa。s-→Z∞f（y）π（dy）as T→ ∞.2.5备注。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞.

根据（1.1），过程（Yt）t∈R+是一个半鞅，参见，例如，Jacod和Shiryaev【23，I.4.34】。通过（1.3），我们得到（eiθJt）=expitθZz m（dz）+tZ∞eiθz- 1.- iθzh（z）m（dz）对于θ∈ R和t∈ R+，其中h（z）：=z[-1,1]（z），z∈ R.再次使用（1.1）和J的L’evy–It^o’srepresentation（2.2），我们可以写出过程（Yt）t∈R+形式为（2.9）Yt=Y+Zt（a- bYu）du+tZz m（dz）+σZtpYudWu+ZtZRh（z）euJ（du，dz）+ZtZR（z- h（z））uJ（du，dz），t∈ R+，其中euJ（ds，dz）：=uJ（ds，dz）- d s m（dz）。事实上，（2.9）是所谓的格里高利奥尼形式，表示esemimartingale（Yt）t∈R+，参见，例如，Jacod和Shiryaev【23，III.2.23】或Jacod和Protter【22，定理2.1.2】。接下来，我们使用连续时间观测（Yt）t给出σ的统计∈[0，T]有些T>0。由于这个结果，我们不考虑参数σ的估计，它应该是已知的。2.6备注。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞. （2.9）中给出的Grigelionis表示意味着Y的连续鞅partYcontof是Ycontt=σRt√YudWu，t∈ R+，见Jacod和Shiryaev【23，III.2.28备注，第1部分）】。因此，Ycontis hYcontit的（可预测的）二次变化过程=σRtYudu，t∈ R+。假设我们有P（Y∈ R++）=1或a∈ R++。那么对于所有T∈ R++，我们有σ=hYcontiTRTYudu=：bσT，因为，由于命题2.1，PRTYudu公司∈ R++= 1.

我们注意到bσ是一个统计量，即存在一个可测函数：D（[0，T]，R）→ R使得bσT=Ξ（（Yu）u∈[0，T]），其中D（[0，T]，R）表示在[0，T]上定义的实值c\'adl\'ag函数的空间，因为（2.10）nPnT公司i=1Yi-1nnT公司Xi=1尹-易-1n-徐∈[0，T](Yu）！P-→ bσTas n→ ∞,如果（2.10）中的收敛几乎肯定沿着一个合适的序列，那么（2.10）中的序列的成员是（Yu）u的可测函数∈[0，T]，可以使用Dudley[12]中的定理4.2.2和4.2.8。下一步，我们通过（2.10）。根据Jacod和Shiryaev【23】中的定理I.4.47 a），新界Xi=1尹- 易-1n2个P-→ [是]Tas n→ ∞, T∈ R+，其中（[Y]t）t∈R+表示半鞅Y的二次变分过程。通过TheoremI。4.52在Jacod和Shiryaev[23]中，[Y]T=hYcontiT+Xu∈[0，T](Yu），T∈ R+。因此，对于所有T∈ R+，我们有nT公司Xi=1尹- 易-1n-徐∈[0，T](Yu）P-→ hYcontiTas n公司→ ∞.此外，对于所有T∈ R+，我们避风港nT公司Xi=1Yi-1nP-→ZTYudu组件n→ ∞,见Jacod和Shiryaev【23】中的命题I.4.44。因此（2.10）遵循的事实是，概率收敛在乘法下是闭合的。3 YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换我们研究YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换，因为它在推导（4.3）中给出的b的极大似然估计的渐近行为中起着至关重要的作用。我们在定理3.1中给出的j点拉普拉斯变换公式与Keller Restel[26，定理4.10]中在正则过程中得到的相应公式一致，与Jiao等人[24，命题4.3]中在一般CBI过程中得到的相应公式一致。在这里，我们的贡献是为这种jointLaplace变换提供了一个新的证明，并给出了Keller-Ressel【26，定理4.10】和Jiao等人公式中出现的Riccati型微分方程的解。

[24，命题4.3]在（Yt）t的情况下明确∈R+，这对我们即将进行的统计研究至关重要。对于所有b∈ R和V∈ R-, 让我们介绍符号γv：=√b- 2σv.3.1定理。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。然后f或所有u，v∈ R-,E经验值uYt+vZtYsds= 经验值ψu，v（t）y+Ztaψu，v（s）+Z∞ezψu，v（s）- 1.m（dz）ds公司对于t∈ R+，其中函数ψu，v:R+→ R-形式为ψu，v（t）=uγvcosh（γvt）+(-ub+2v）正弦（γvt）γvcosh（γvt）+(-σu+b）sinh（γvt）如果v∈ R--或b 6=0（即，如果γv∈ R++），u1-σutif v=0和b=0（即，如果γv=0），t∈ R+。（3.1）3.2备注。（i） 如果v∈ R--, 然后γv＞b，因此γvcoshγvt+ (-σu+b）sinhγvt> （γv+b）sinhγvt∈ R++，t∈ R+。如果v=0且b 6=0，则γv=| b |∈ R++，因此γvcoshγvt+ (-σu+b）sinhγvt> |b类|cosh公司γvt+b | b |新罕布什尔州γvt∈ R++，t∈ R+。因此，如果γv∈ R++，然后是γvcoshγvt+ (-σu+b）sinhγvt∈ R++，t∈ R+，因此函数ψu，vin（3.1）定义得很好。（ii）在定理3.1中，我们有ztψu，v（s）ds=（bσt-σ对数cosh公司γvt+-σu+bγvsinhγvt, 如果v∈ R--或b 6=0，-σ对数1.-σut, 如果v=0且b=0，则对于所有t∈ R+，参见例如Lamberton和Lapeyre【32，第6章，建议2.5】。定理3.1的证明。工艺介绍Zt：=RtYsds，t∈ R+，首先，我们表明（Yt，Zt）t∈R+是一个二维CBI过程。使用SDE（1.1）和（2.2），该过程满足Barczy等人给出的形式。

[5，第5节]，即“YtZt#=”Y#+Zt“a#+”-b 01 0#“YsZs#！ds+ZtpσYs”#”#“dWsdfWs#+Ztp0·Zs”#”#“dWsdfWs#+ZtZR+\\{0}r M（ds，dr），t∈ R+，其中（Wt）t∈R+和（fWt）t∈R+是独立的标准维纳过程，M是R+×（R+\\{0}）上的泊松随机测度，强度测度dsν（dr），其中测度νonR+\\{0}由ν（B）给出：=R∞B（z，0）m（dz），B∈ B（R+\\{0}），henceRR+\\{0}（1∧krk）ν（dr）6R∞z m（dz）<∞. Putc：=“cc#：=”σ#∈ R+，β：=“a#∈ R+，B：“-b 01 0，u：=（u，u）：=（0，0）。那么B本质上是一个非负矩阵（即，它的反对角线项是非负的），并且由于（1.2），ZR+\\{0}krk{krk>1}ν（dr）6ZR+\\{0}krkν（dr）=Z∞z m（dz）<∞Barczy等人[5]得出的条件（2.7）是满足的。因此，Barczy等人的定理4.6。[5] ，（Yt，Zt）t∈R+是一个CBI过程，参数为（2，c，β，B，ν，u）。我们注意到，f的作用是（Yt，Zt）t∈R+是一个二维CBI过程，也是Filipovi\'c等人[17，定理4.3之前的一段]提出的，其中该性质适用于一般的a ffene过程，并有证明。（Yt，Zt）t的锚固机理∈R+是R（u，v）=（R（u，v），R（u，v）），u，v∈ R-, r（u，v）=cu+*B“#，”uv+=σu-bu+v，R（u，v）=cv+*B“#，”uv#+=0，以及（Yt，Zt）t的移民机制∈R+isF（u，v）=*β，“uv#+-ZR+\\{0}exp（*“uv，r+）- 1.ν（dr）=au+Z∞（欧盟）- 1） m（dz），参见Barczy等人[5]中的定理2.4。注意R（u，v）=（R（u）+v，0），u，v∈ R-, andF（u，v）=F（u），u，v∈ R-, 其中R（u），u∈ R-, 和F（u），u∈ R-, 在命题2.1中给出，符合Keller-Ressel【26】中的定理4.10。因此，根据Duffee等人的定理2.7【14】（另见Barczy等人。

[5，定理2.4]），我们有（3.3）E经验值uYt+vZtYsds= 经验值ψu，v（t）y+ZtF（ψu，v（s），Дu，v（s））ds对于t∈ R+，其中函数（ψu，v，Дu，v）：R+→ R-是微分方程组的唯一局部有界解（ψ′u，v（t）=R（ψu，v（t），Дu，v（t））=σψu，v（t）- bψu，v（t）+Дu，v（t），t∈ R+，Д′u，v（t）=R（ψu，v（t），Дu，v（t））=0，t∈ R+，初始值ψu，v（0）=u，Дu，v（0）=v。显然，Дu，v（t）=v，t∈ R+，因此我们得到ψ′u，v（t）=σψu，v（t）- bψu，v（t）+v，t∈ R+，ψu，v（0）=u。该微分方程的解为（3.1）。实际上，在γv>0的情况下，我们可以参考Lamberton和Lapeyr e[32，第6章，命题2.5]，在γv=0的情况下，这是一个简单的可分离常微分方程，形式为ψ′u，0（t）=σψu，0（t），t∈ R+，初始条件为ψu，0（0）=u。因此，通过（3.3），我们得到了这个陈述。3.3示例。现在，我们在临界情况下（b=0），假设L'evy测度m采用（1.5）中给出的形式，即在临界BAJD过程的情况下，给出了定理3.1的一个特例。对于所有u、v∈ R-, 让我们介绍符号α（1）u，v：=uγv+2v，α（2）u，v：=uγv- 2v，β（1）u，v：=λ(-σu+γv）- α（1）u，v，β（2）u，v：=λ（σu+γv）- α（2）u，v，其中γv=√-2σv（从现在起b=0）。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且有一些Y∈ R+，b=0，m是满足（1.5）的R++的L'evy度量。

然后我们检查所有u，v∈ R-,E经验值uYt+vZtYsds= 经验值ψu，v（t）y+φu，v（t）, t型∈ R+，（3.4），其中函数ψu，v:R+→ R-由（3.1）和γv给出=√-2σv（sin ce现在b=0）和ifv∈ R--（即，如果γv∈ R++）和v/∈ {-σu，-σλ}（即，如果β（2）u，v6=0），则φu，v（t）=-2aσ测井cosh公司γvt-σuγvsinhγvt+ cα（2）u，vβ（2）u，vt+γvα（1）u，vβ（1）u，v-α（2）u，vβ（2）u，v！logβ（1）u，veγvt+β（2）u，vβ（1）u，v+β（2）u，v！！，t型∈ R+，（3.5）和如果v∈ {-σu，-σλ}和v∈ R--（即，如果v∈ R--和β（2）u，v=0），然后φu，v（t）=-2aσ测井cosh公司γvt-σuγvsinhγvt+cβ（1）u，vα（1）u，vt+α（2）u，vγv（1- e-γvt）！，t型∈ R+，（3.6），如果v=0（即，如果γv=0），则φu，v（t）=-2aσ测井1.-σut-2cσλ对数1.-σλu2（λ- u） t型, t型∈ R+。（3.7）尤其是对于所有美国∈ R-,E（euYt）=exp（uy1-σut）1.-σut-2aσ1.-σλu2（λ- u） t型-2cσλ，t∈ R+。首先，我们检查函数φu，vin（3.5）是否定义良好。如果γv∈ R++，然后是β（1）u，v∈ R++（由于α（1）u，v∈ R-). 如果γv=0，则α（1）u，v=α（2）u，v=0，β（1）u，v=-σλu和β（2）u，v=σλu。此外，β（1）u，veγvt+β（2）u，v>β（1）u，v+β（2）u，v∈ R+，和β（1）u，v+β（2）u，v=0当且仅当γv=0（即v=0）时成立。实际上，由于β（1）u，v∈ R+，我们有β（1）u，veγvt+β（2）u，v>β（1）u，v+β（2）u，v=2γv（λ- u）∈ R+，和β（1）u，v+β（2）u，v=0当且仅当γv=0时成立（自λ-u∈ λ引起的R++∈ R++和u∈ R-).因此，如果γv∈ R++，然后是β（1）u，v∈ R++和β（1）u，v+β（2）u，v∈ R++，得出函数φu，vin（3.5）定义良好。接下来，我们检查一下，假设v∈ R--（即γv∈ R++），我们有β（2）u，v=0，当且仅当ifv∈ {-σu，-σλ}。实际上，β（2）u，v=0成立当且仅当λ（σu+γv）=γvu- 2v，即通过一些代数变换，当且仅当(√-2v）+σ（u- λ）√-2伏-λσu=0。求解关于√-2v，我们得到√-2伏∈ {-σu，σλ}，产生thatv∈ {-σu，-σλ}，根据需要。最后，我们检查（3.4）。使用定理3.1和备注3.2的第（ii）部分，仍需计算R∞（ezψu，v（s）- 1） m（dz）ds f或u、v∈ R-.

对于所有u、v∈ R-, 我们有∞（ezψu，v（s）- 1） m（dz）=Z∞（ezψu，v（s）- 1） cλe-λzdz=cλZ∞e（ψu，v（s）-λ） zdz公司- c=cλψu，v（s）- λ林茨→∞e（ψu，v（s）-λ） z- 1.- c=-cψu，v（s）ψu，v（s）- λ、 s∈ R+，（3.8），其中我们使用ψu，v（s）- λ∈ R--, s∈ R+，从λ开始∈ R++和ψu，v（s）∈ R-,s∈ R+。通过一些代数变换，cψu，v（t）λ- ψu，v（t）=cuγv（1+eγvt）+2v（eγvt- （1）-λσu（eγvt- 1） +λγv+λγveγvt-uγv（1+eγvt）- 2v（eγvt- 1） =cα（1）u，veγvt+α（2）u，vβ（1）u，veγvt+β（2）u，v，t∈ R+。正如我们所看到的，如果v∈ R--（即，如果γv∈ R++），然后是β（1）u，v∈ R++，和β（2）u，v=0，当且仅当ifv∈ {-σu，-σλ}。Hencecψu，v（t）λ- ψu，v（t）=cα（2）u，vβ（2）u，v+α（1）u，v-β（1）u，vα（2）u，vβ（2）u，veγvtβ（1）u，veγvt+β（2）u，v如果v∈ R--, 五/∈ {-σu，-σλ}，cβ（1）u，v（α（1）u，v+α（2）u，ve-γvt）如果v∈ {-σu，-σλ}，v∈ R--,2cu2（λ-u）-λuσtif v=0，对于t∈ R+。通过积分，我们得到（3.5），（3.6）和（3.7）。接下来，我们给出了定理3.1的两个推论，给出了YtandRtYsds的拉普拉斯变换，t∈ R+，单独。3.4推论。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。然后f或所有u∈ R-,E尤伊特= 经验值ψu，0（t）y+Ztaψu，0（s）+Z∞ezψu，0（s）- 1.m（dz）ds公司, t型∈ R+，其中函数ψu，0:R+→ R-采用ψu，0（t）的形式=2润滑油-btσu（e-英国电信-1） +2如果b 6=0，u1-σutif b=0，t∈ R+。（3.9）证明。我们必须在（3.1）中替换v=0。b=0的情况很简单。当b 6=0时，我们有γv=γ=| b |，因此ψu，0（t）=u | b | cosh|b | t-ub新罕布什尔州|b | t|b | cosh|b | t+ (-σu+b）sinh|b | t, t型∈ R+，屈服（3.9）。3.5示例。现在，我们在超临界情况下（b）给出推论3.4的一个特例∈ R--)假设L'evy度量采用（1.5）中给出的形式，即在超临界Bajd过程的情况下。