增长最大似然估计的渐近性质

Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且有一些Y∈ R+，带b∈ R--m是R++满足（1.5）的L'evy测度。然后针对所有u∈ R-,E（euYt）=表达式ψu，0（t）y+φu，0（t）o，t∈ R+，（3.10），其中函数ψu，0:R+→ R-由（3.9）给出，如果u 6=2bσ，则φu，0（t）=-2aσ测井1+σu2b（e-英国电信- （1）+2c-σλ+2blog(-σλ+2b）ue-bt+（σu- 2b）λ2b（u- λ）（3.11）对于t∈ R+，如果u=2bσ，那么φu，0（t）=2b（2ab- cσ-aσλ）σ(-σλ+2b）t，t∈ R+。（3.12）为了检查（3.10），使用推论3.4，它仍然需要计算aψu，0（s）+R∞ezψu，0（s）-m（dz）ds。这里，by（3.9），Ztψu，0（s）ds=-σ对数1+σu2b（e-英国电信-（1）, t型∈ R+。与（3.8）类似，对于所有u∈ R-,Z∞（ezψu，0（s）- 1） m（dz）=-cψu，0（s）ψu，0（s）- λ、 s∈ R+，（3.13）通过一些代数变换，-cψu，0（s）ψu，0（s）- λ=-2bcue公司-英国电信(-σλ+2b）ue-bt+（σu- 2b）λ，t∈ R+，其中(-σλ+2b）ue-bt+σλu-2bλ>(-σλ+2b）u+σλu-2bλ=2b（u-λ） >0，自-由于b<0和λ>0，σλ+2b<0。如果u=2bσ（即，如果σu- 2b=0），然后-Ztcψu，0（s）ψu，0（s）- λds=-2个基点-σλ+2bt，t∈ R+，因此φu，0（t）=-σ对数1+σu2b（e-英国电信- （1）-2个基点-σλ+2bt=2abσt-2个基点-σλ+2bt=2b（2ab- cσ-aσλ）σ(-σλ+2b）t，t∈ R+，屈服（3.12）。如果u 6=2bσ（即，如果σu- 2b 6=0），然后-Ztcψu，0（s）ψu，0（s）- λds=2c-σλ+2blog(-σλ+2b）ue-bt+（σu- 2b）λ2b（u- λ）, t型∈ R+，屈服（3.11）。将（3.1）中的u=0代入，我们得到以下推论。3.6推论。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。

然后f或所有v∈ R-,E经验值vZtYsds= 经验值ψ0，v（t）y+Ztaψ0，v（s）+Z∞ezψ0，v（s）- 1.m（dz）ds公司其中函数ψ0，v:R+→ R-形式为ψ0，v（t）=2v sinh（γvt）γvcosh（γvt）+b sinh（γvt），如果v∈ R--如果v=0且b=0，t，则b 6=0,0∈ R+。（3.14）4 MLE的存在性和唯一性在本节中，我们将考虑跳跃型CIR模型（1.1），已知∈ R+，σ∈ R++，L'evymeasure m满足（1.2），已知确定性初始值Y=Y∈ R+，我们将考虑b∈ R作为未知参数。设pB表示由（Yt）t诱导的p概率测度∈可测空间（D（R+，R），D（R+，R））上的R+，具有自然过滤（Dt（R+，R））t∈R+，见附录B。进一步，所有T∈ R++，设Pb，T：=Pb | DT（R+，R）是Pb对DT（R+，R）的限制。下一个命题是关于R ad的形式–Nikodym衍生Pb、Td Peb、Tfor b、eb∈ R、 我们将把Peb、Tas视为固定的参考度量，并根据观测值（Yt）t推导参数b的最大似然估计∈[0，T]。4.1提议。Let b，eb∈ R、 那么对于所有T∈ R++，概率度量Pb，Tand Peb，皮重彼此绝对连续，在P下，logd Pb、Td Peb、T（eY）= -b-ebσ（eYT- y- 在- JT）-b-eb2σZTeYsds，（4.1），其中ey是与参数b相对应的过程。证据在下文中，我们将应用Jacod和Shiryaev【23】中的定理III.5.34（另见附录B）。我们将研究正则空间（D（R+，R），D（R+，R））。Let（ηt）t∈R+表示正则过程ηt（ω）：=ω（t），ω∈ D（R+，R），t∈ R+。跳转类型的CIR进程（1.1）可以以（2.9）的形式写入。

根据位置2.1，S DE（1.1）具有路径唯一的强解（具有给定的确定初始值y∈ 因此，根据Jacod和Shiryaev【23】中的定理III.2.26，在概率测度Pb下，正则过程（ηt）t∈R+是一个半鞅，其半鞅特征（B（B），C，ν）与截断函数h相关，其中B（B）t=Zt一- bηu+Zz m（dz）du，t∈ R+，Ct=Zt（σ√ηu）du=σZtηudu，t∈ R+，ν（dt，dy）=K（ηt，dy）dt=dt m（d y），其中Borel变换核K从R+×R到R由K（y，R）给出：=ZRR \\{0}（z）m（dz）=m（R）表示y∈ R+和R∈ B（R）。以下讨论的目的是检查附录ixB中提出的一组有效条件（将使用符号），以便有权应用Jacod和Shiryaev[23]中的定理III.5.34。首先注意（Ct）t∈R+和ν（dt，dy）不依赖于未知参数b，因此V（eb，b）等于1，然后（b.1）和（b.2）很容易保持不变。我们也有PBν（{t}×R）=0= Pb（0·m（R）=0）=1，t∈ R+，b∈ R、 因为m（R）=m（R+）∈ R+由于（1.2）。进一步，（Ct）t∈R+可表示为Ct=RtcudFu，t∈ R+，其中随机过程（ct）t∈R+和（Ft）t∈R+由ct给出：=σηt，t∈ R+，Ft=t，t∈ R+。

因此，对于所有b，eb∈ R、 B（B）t- B（eb）t=- （b）-eb）Ztηudu=Ztcuβ（eb，b）udFuPb几乎可以肯定为每t∈ R+，其中随机过程（β（eb，b）t）t∈R+由β（eb，b）t=-b-ebσ，t∈ R+，产生（B.3）。接下来我们检查（B.4），即PbZt公司β（eb，b）ucudFu<∞= 1，t∈ R+。（4.2）我们有ZTβ（eb，b）ucudFu=（b-eb）σZtηudu，t∈ R+。因为对于每个ω∈ D（R+，R），轨迹[0，t] u 7→ ηu（ω）是c\'adl\'ag，因此有界（参见Billingsley[8，（12.5）]），我们有ηu（ω）du<∞, 因此我们得到（4.2）。接下来，我们检验了在概率测度Pb下，正则空间上的鞅问题的局部唯一性，该鞅问题对应于三元组（B（B），C，ν），初始值为给定值，Pb为其唯一解。根据命题2.1，SDE（1.1）有一个路径唯一的s强解（具有给定的确定性初值y∈ R+，因此Jacodand Shiryaev[23]中的定理III.2.26得出，正则空间上对应于（B（B），C，ν）的鞅问题的所有解集仅在e元素（Pb）上，从而产生所需的局部唯一性。我们还提到，Jacod和Shiryaev[23]中的定理III.4.29暗示，在概率测度Pb下，所有局部鞅都具有相对于η的积分表示性质。根据Jacod和Shiryaev[23]中的定理III.5.34（另见附录B），Pb，Tand Peb，tareeeequivalent（可以改变B和B的角色），在概率测度Peb下，我们得到了Pb，Td Peb，T（η）=expZTβ（eb，b）ud（ηcont）（eb）u-ZT公司β（eb，b）u库杜, T∈ R++，其中（（ηcont）（eb）t）t∈R+表示（ηt）t的连续（局部）鞅部分∈Peb下的R+。

使用Jacod和Shiryaev【23】中备注III.2.28的第1部分和（2.9），连续（局部）鞅部分（eYcontt）t∈（eYt）t的R+∈R+的形式为：contt=σRtqeYudWu，t∈ R+，通过（1.1），wehavedeycont=deYt- （a）-ebeYt）dt- dJt，t∈ R+。因此，under P，logd Pb、Td Peb、T（eY）=ZT公司-b-ebσ（德玉）- dJu）-ZT公司-b-ebσ（a）-ebeYu）du-ZT公司-b-ebσσeYudu=-b-ebσZT（德宇-dJu）+b-ebσZTa du-b-eb2σZTeYudu，它生成语句。接下来，利用命题4.1，通过将Peb、Tas视为固定参考度量，我们基于观测值（Yt）t推导出参数b的最大似然估计∈[0，T]。我们推导最大似然估计的方法是文献中已知的方法之一，结果表明，这些方法得到了相同的估计量Bbt，见备注4.3。让我们用∧T（b，eb）替换Y来表示（4.1）的右侧。通过基于观测值（Yt）t的参数b的MLEbbTof∈[0，T]，我们的意思是bbt：=arg maxb∈R∧T（b，eb），它将被证明不是依赖的。接下来，我们构造了一个关于所有T的MLEbbTof b的唯一存在性的引理∈ R++。4.2提议。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，y∈ R+，设m是R++满足（1.2）条件下的L'evy测度。如果a∈ R++或y∈ R++，然后对于每个T∈ R++，存在唯一的MLEbbTof b，几乎可以肯定其形式为（4.3）bbT=-年初至今- y- 在- JTRTYsds，前提是RTYSDS∈ R++（由于命题2.1，几乎可以肯定这一点）。证据根据提案2.1，PRTYsds∈ R++= 所有T均为1∈ R++，因此（4.3）的右侧几乎可以确定。下面讨论的目的是说明（4.3）的右侧是（Yu）u的可测函数∈[0，T]（即统计数据）。由Jt，t的L’evy–It^o’s演示（2.2）∈ R+，我们得到（4.4）Jt=Xs∈[0，t]Js，t∈ R+，正弦-1 | z | m（dz）=Rz m（dz）<∞, 例如，见佐藤【44，定理19.3】。

使用SDE（1.1），我们拥有Jt=Yt，t∈ R+，然后通过（4.4），我们得到jt=Xs∈[0，t]Ys，t∈ R+。因此，对于所有t∈ [0，T]，jt是（Yu）u的可测函数∈[0，T]，得出（4.3）的右侧是（Yu）u的可测函数（即，统计量）∈[0，T]，根据需要。根据命题4.1，对于所有b、eb∈ R、 我们有b∧T（b，eb）=-σ（YT- y- 在- JT）-bσZTYsds，b∧T（b，eb）=-σZTYsds。因此，基于样本（Ys）的MLEbbTof b∈[0，T]几乎肯定存在，它的形式为（4.3），前提是RTYSDS∈ R++。事实上，在计算b的极大似然估计时，不需要知道参数σ的值∈ R++或度量m.4.3备注。文献中还有另一种推导MLE的方法。Sorensen【45】将ψ的anMLE定义为方程∧T（ψ）=0的解，其中∧T（ψ）是Sorensen【45】中公式（3.3）给出的所谓得分向量。Luschgy【37】，【38】将此方程称为估算方程。根据命题4.1的证明符号，考虑到β（eb，b）的形式以及V（eb，b）等于1的事实，我们得到∧T（b）：=ZT-σdYcontu=-σZT（dYu- （a）- bYu）du- dJu）=-σ年初至今- y- aT+bZTYudu- JT公司对于b∈ R和T∈ （0，∞). 估计方程∧T（b）=0，b∈ R、 具有唯一的解决方案-年初至今-y-在-JTRTYUDU提出，RTYUDU是绝对积极的，几乎可以肯定。回想一下，这种独特的解决方案与BBT一致，请参见（4.3）。5次临界情况下MLE的渐近行为5.1定理。让a∈ R+，b∈ R++，σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。ThentZtYsdsP-→ba+Z∞z m（dz）∈ R+作为t→ ∞.（5.1）证明。

使用推论3.6，我们得到经验值vtZtYsds= 经验值ψ0，vt（t）y+Ztaψ0，vt（s）+Z∞ezψ0，vt（s）- 1.m（dz）ds公司对于t∈ R++和v∈ R-, 其中f函数ψ0，v:R+→ R-见（3.14）。我们检查一下经验值vtZtYsds→ 经验值vba+Z∞z m（dz）作为t→ ∞对于所有v∈ R-. v=0的情况很简单，因此我们可以并且确实假设v∈ R--. 那么我们有ψ0，vt（t）=t2v（1-e-tγvt）γvt（1+e-tγvt）+b（1- e-tγvt）→ 0作为t→ ∞,因为γvt=qb-2σvt→ b∈ R++作为t→ ∞. 此外，根据支配收敛定理，Ztψ0，vt（s）ds=tZt2v（1- e-sγvt）γvt（1+e-sγvt）+b（1- e-sγvt）ds=Z2v（1- e-xtγvt）γvt（1+e-xtγvt）+b（1- e-xtγvt）dx→vbas t→ ∞.实际上，最后一个积分中的被积函数由2 | v | b支配。最后，通过支配收敛定理，我们得到了ztZ∞ezψ0，vt（s）-1.m（dz）ds=ZtZ∞经验值zt·2v（1- e-sγvt）γvt（1+e-sγvt）+b（1- e-sγvt）- 1.m（dz）ds=ZZ∞t型经验值zt·2v（1- e-xtγvt）γvt（1+e-xtγvt）+b（1- e-xtγvt）- 1.m（dz）dx公司→ZZ∞zvbm（dz）dx=vbZ∞z m（dz）作为t→ ∞ 对于所有z∈ R+。实际上，在（z，x）：=z·2v（1- e-xtγvt）γvt（1+e-xtγvt）+b（1- e-xtγvt）→ zvbas t→ ∞,其中（z，x）∈ R-对于所有t∈ R++，z∈ R+和x∈ [0，1]。因此t（eAt（z，x）t- （1）→ 兹夫巴斯特→ ∞ 对于所有z∈ R+和x∈ [0，1]和| t（eAt（z，x）t-1） | 6 | At（z，x）| 62z | v | B用于t∈ R++，z∈ R+和x∈ [0，1]，其中2z | v | bis可积于R++×[0，1]上的测度m（dz）dx。通过连续性定理，我们得到了ztysdsd-→ba+Z∞z m（dz）∈ R+作为t→ ∞,这意味着（5.1）。如果a∈ R++或y∈ 然后，使用（4.3）和SDE（1.1），我们得到BBT-b=-年初至今- y- 在- JT+bRTYsdsRTYsds=-σRT√YsdWsRTYsds（5.2）规定RTYSDS∈ R++，由于命题2.1，几乎可以肯定这一点。注意σRT√YsdWs=YcontT，T∈ R+，见备注2.6。尽管Mai[40]中的公式（4.23）对MLEbbTof b有错误，但Mai[40，Theorem4.3.1]给出了Btas T的右渐近行为→ ∞, 即过程Y的渐近正态性。

我们给出了这个结果的正确证明，事实上，我们也扩展了它，因为我们不假设Y的er上帝性。5.2定理。让a∈ R++，b∈ R++，σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。那么MLEbbTof b是渐近正态的，即。，√T（bbT- b） D-→ N0，σba+R∞z m（dz）= N0，σR∞yπ（dy）作为T→ ∞,（5.3）其中π表示（Yt）t的唯一平稳分布∈R+（见定理2.4第（i）部分）。特别是，bbTis弱一致，即bbTP-→ b作为T→ ∞. 随机缩放，σZTYsds公司1/2（bbT- b） D-→ N（0，1）为T→ ∞.在附加力矩条件（1.4）下，bbTis强烈一致，即bbTa。s-→ b作为T→ ∞.证据根据位置4.2，所有T都存在唯一的MLEbbTof b∈ R++，其形式如（4.3）所示。根据定理2.4的（i），（Yt）t∈R+具有唯一的平稳分布π，其中R∞yπ（dy）=a+R∞z m（dz）b∈ R++。根据定理5.1，我们得到了trtysdsp-→R∞yπ（dy）为T→ ∞. 因此，由于s q uare可积鞅的二次变分过程Rt公司√YsdWs公司t型∈R+采用以下形式RtYsdst型∈R+，根据定理C.2和η：=R∞yπ（dy）1/2和Slutsky引理，我们有√T（bbT- b） =-σ√TRT公司√YsdWsTRTYsdsD-→ -σR∞yπ（dy）1/2N（0，1）R∞yπ（dy）=N0，σR∞yπ（dy）作为T→ ∞, 因此我们得到（5.3）。此外，Slutsky引理产生σZTYsds公司1/2（bbT- b） =σTZTYsds公司1/2√T（bbT- b） D-→σZ∞yπ（dy）1/2N0，σR∞yπ（dy）= N（0，1）为T→ ∞.在附加力矩条件（1.4）下，根据定理2.4的（ii），我们得到了trtysdsa。s-→R∞yπ（dy）为T→ ∞, 也意味着危险DSA。s-→ ∞ 作为T→ ∞. 利用（5.2）和定理C.1，我们得到了BBTA。s-→ b作为T→ ∞.

我们注意到，力矩条件（1.4）通常不影响力矩条件（1.2），并且，由于我们已经需要力矩条件（1.2）来存在SDE（1.1）的路径唯一强解（见命题2.1），为了得到我们在定理5.2中的强一致性结果，我们需要假设（1.2）和（1.4）。6临界情况下极大似然估计的渐近行为6.1定理。让a∈ R+，b=0，σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。然后Ytt，tZtYsdsD-→Y、 ZYsds公司作为t→ ∞,（6.1）式中（Yt）t∈R+是临界（扩散型）CIR模型DYT的唯一强解=a+Z∞z m（dz）dt+σpYtdWt，t∈ R+，（6.2），初始条件Y=0，其中（Wt）t∈R+是一维标准维纳过程。此外，（Y，RYsds）的拉普拉斯变换采用euY+vRYsds=cosh公司γv-σuγvsinhγv-σ（a+R∞z m（dz））如果v∈ R--,1.-σu-σ（a+R∞z m（dz））如果v=0，（6.3）对于所有u，v∈ R-, 式中γv=√-2σv，v∈ R-（从现在起，b=0）。6.2备注。在定理6.1的条件下，在m=0的特殊情况下，即在DiffusionCase中，我们在Ben Alaya和Kebaier[7]中得到了定理1的第1部分。定理6.1的证明。利用定理3.1，我们得到经验值uYtt+vtZtYsds= 经验值ψut，vt（t）y+Ztaψut，vt（s）+Z∞ezψut，vt（s）- 1.m（dz）ds公司对于t∈ R+和u，v∈ R-, 其中函数ψu，v:R+→ R-见（3.1）。根据OREM 3.1，我们必须区分两种情况：v<0（情况I）和v=0（情况II）。情况一：如果v<0，则ψut，vt（t）=tuγvcoshγv+ 2v sinhγvγvcoshγv- σu sinhγv→ 0作为t→ ∞,对于每个t∈ R+，Ztψut，vt（s）ds=tZtuγvcoshγvs2t+ 2v sinhγvs2tγvcoshγvs2t-σu sinhγvs2tds=Zuγvcoshγvx+ 2v sinhγvxγvcoshγvx- σu sinhγvxdx=Zψu，v（x）dx=-σ对数cosh公司γv-σuγvsinhγv=: 一、 （6.4）我们使用的地方（3.2）。

利用单调收敛定理，我们得到了ztZ∞ezψut，vt（s）- 1.m（dz）ds=ZtZ∞经验值zt·uγvcoshγvs2t+ 2v sinhγvs2tγvcoshγvs2t- σu sinhγvs2t- 1.m（dz）ds=ZZ∞t型经验值zt·uγvcoshγvx+ 2v sinhγvxγvcoshγvx- σu sinhγvx- 1.m（dz）dx=ZZ∞t（eztψu，v（x）- 1） m（dz）dx公司→ IZ公司∞z m（dz）作为t→ ∞ 对于所有z∈ R+，其中我们使用ψu，v（t）∈ R-对于所有t∈ R+和u，v∈ R-, 和函数R++ t 7→ t（吃- 1） 对于所有A∈ R-. 等式（6.3）是定理3.1和（6.4）的一个序列，因此连续性定理产生（6.1）。情况二：如果v=0，则th enψut，vt（t）=tu1-σu→ 0作为t→ ∞,对于每个t∈ R+，Ztψut，vt（s）ds=tZtu1-σus2tds=Zu1-σuxdx=-σ对数1.-σu.（6.5）此外，通过单调收敛th eorem，ZtZ∞ezψut，vt（s）- 1.m（dz）ds=ZtZ∞经验值zt·u1-σus2t- 1.m（dz）ds=ZZ∞t型经验值zt·u1-σux- 1.m（dz）dx公司→ -σ对数1.-σuZ∞z m（dz）作为t→ ∞.等式（6.3）是定理3.1和（6.5）的结果，因此连续性定理产生（6.1）。6.3定理。让a∈ R+，b=0，σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。假设a∈ R++或a=0，y∈ R++，R∞z m（dz）∈ R++。然后（bbT- b） =待定-→a+R∞z m（dz）- YRYsdsas T公司→ ∞,（6.6）式中（Yt）t∈R+是SDE（6.2）的唯一强解。因此，mlebbtob是弱一致的，即bbt以T的概率收敛到b→ ∞.通过随机缩放，我们得到σZTYsds公司1/2（bbT- b） =σZTYsds公司1/2bbTD-→a+R∞z m（dz）- YσRYsds公司1/2为T→ ∞.证据根据位置4.2，所有T都存在唯一的MLEbbTof b∈ R++，其形式如（4.3）所示。