增长最大似然估计的渐近性质

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英文标题：
《Asymptotic properties of maximum likelihood estimator for the growth
  rate for a jump-type CIR process based on continuous time observations》
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作者：
Matyas Barczy, Mohamed Ben Alaya, Ahmed Kebaier, Gyula Pap
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider a jump-type Cox--Ingersoll--Ross (CIR) process driven by a standard Wiener process and a subordinator, and we study asymptotic properties of the maximum likelihood estimator (MLE) for its growth rate. We distinguish three cases: subcritical, critical and supercritical. In the subcritical case we prove weak consistency and asymptotic normality, and, under an additional moment assumption, strong consistency as well. In the supercritical case, we prove strong consistency and mixed normal (but non-normal) asymptotic behavior, while in the critical case, weak consistency and non-standard asymptotic behavior are described. We specialize our results to so-called basic affine jump-diffusions as well. Concerning the asymptotic behavior of the MLE in the supercritical case, we derive a stochastic representation of the limiting mixed normal distribution, where the almost sure limit of an appropriately scaled jump-type supercritical CIR process comes into play. This is a new phenomenon, compared to the critical case, where a diffusion-type critical CIR process plays a role.
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中文摘要：
我们考虑了一个由标准维纳过程和一个隶属函数驱动的跳跃型Cox—Ingersoll—Ross（CIR）过程，并研究了其增长率的极大似然估计（MLE）的渐近性质。我们区分了三种情况：亚临界、临界和超临界。在亚临界情况下，我们证明了弱相合性和渐近正态性，并且在附加矩假设下，证明了强相合性。在超临界情况下，我们证明了强相合性和混合正态（但非正态）渐近行为，而在临界情况下，我们描述了弱相合性和非标准渐近行为。我们将我们的结果专门化为所谓的基本仿射跳跃扩散。关于超临界情况下的极大似然估计的渐近行为，我们导出了极限混合正态分布的随机表示，其中适当比例的跳跃型超临界CIR过程的几乎确定极限起作用。与临界情况相比，这是一种新现象，在临界情况下，扩散型临界CIR过程起作用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Asymptotic_properties_of_maximum_likelihood_estimator_for_the_growth_rate_for_a_.pdf (441.91 KB)

2022-5-25 16:38:17 上传

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关键词：最大似然估计 最大似然 似然估计 Econophysics Multivariate

与临界情况相比，这是一种新现象，在临界情况下，扩散型临界过程发挥了作用。1简介移民的连续状态和连续时间分支过程，尤其是考克斯-英格索尔-罗斯（Cox-Ingersoll-Ross，CIR）过程（由Feller[15]和Cox等人[10]介绍）及其变体，在2010年的数学学科分类中扮演着重要角色：60H10、91G70、60F05、62F12。关键词和短语：跳跃型Cox–Ingersoll–Ross（CIR）过程，基本跳跃差异（BAJD），隶属度，最大似然估计。本研究由卓越实验室MME-DII支持，批准号ANR11-LBX-0023-01(http://labex-mme-dii.u-cergy.fr/)。M'aty'as Barczy得到了Tempus公共基金会资助的“Magyar'Allami E'otv'os'Oszt'ond'j 2016”第75141号赠款的支持。艾哈迈德·凯拜尔（AhmedKebaier）得益于主席金融家、Risque基金会（Fondation du Risque）的支持。这些过程在生物学和金融数学中也有广泛的应用。在著名的Heston模型（即大众金融）的框架内，CIR过程可以解释为资产aprice过程的随机波动率（或瞬时方差）。在本文中，我们考虑了一个由标准维纳过程和从属函数dyt=（a）驱动的跳跃型CIR过程-bYt）dt+σpYtdWt+dJt，t∈ [0，∞),（1.1）具有几乎肯定为非负的初始值Y，其中a∈ [0，∞), b∈ R、 σ∈ （0，∞), （重量）t∈[0，∞)是一维标准维纳过程，和（Jt）t∈[0，∞)是一个具有零漂移且L'evy测度m集中于（0，∞) 这样的话∞z m（dz）∈ [0，∞),（1.2）即，（1.3）E（euJt）=exptZ公司∞（欧盟）-1） m（dz）对于任何t∈ [0，∞) 对于任何复数u和Re（u）∈ (-∞, 0），参见例如Sato【44，定理24.11的证明】。

我们假设Y，（Wt）t∈[0，∞)和（Jt）t∈[0，∞)是独立的。注意力矩条件（1.2）意味着m是一个L'evy度量（因为最小值（1，z）6 z表示z∈ （0，∞)).此外，几乎可以肯定的是，从属函数J在每个紧凑的时间间隔上都有有有界变化的样本路径，如Sato【44，定理21.9】。我们指出，这些假设保证了具有P（Yt）的SDE（1.1）的（路径）唯一强解∈ [0，∞) 对于所有t∈ [0，∞)) = 1（请参阅位置2.1）。事实上，（Yt）t∈[0，∞)是一种特殊的连续状态和连续时间移民分支过程（CBI过程），见命题2.1。在本文中，我们主要研究跳跃型CIR过程（1.1）在临界和s超临界情况下（b=0和b∈ (-∞, 0），这在之前的研究中尚未解决。我们还研究了次临界情况（b∈ （0，∞)) 我们在几个方面推广了Mai[40，定理4.3.1]的结果：我们不假设过程的可逆性，我们在定理5.2中明确了极限律中Y的唯一平稳分布的期望。然而，我们注意到，关于似然比（Mai【40，公式（3.10）】的表达式和b∈ R（Mai【40，公式（4.23）】），分别见我们在第4.1和4.2点的结果。假设a∈ [0，∞), σ∈ （0，∞) 在已知测度的情况下，我们研究了b的极大似然估计的渐近性质∈ R基于连续时间观测（Yt）t∈[0，T]带T∈ （0，∞), 从某个已知的非随机初始值Y开始进程Y∈ [0，∞). 结果表明，对于b的MLE的计算，不需要知道参数σ和度量m的值，参见（4.3）。

我们限制了我们自己在假设a已知的情况下研究b的最大似然估计，因为为了描述假设b已知的最大似然估计的渐近行为或（a，b）的联合最大似然估计，我们必须找到，因为在立场上，Tysds的极限行为是→ ∞, 这似乎是一项艰巨的任务，即使在次贷案件中也是如此。一般来说，我们需要一个明确的公式来表示tysds，t的拉普拉斯变换∈ R+，据我们所知，这是未知的。这可能是进一步研究的主题。研究CIR过程及其变量漂移参数的各种估计量的渐近性质有着悠久的历史，但现有的大多数结果都涉及原始（扩散型）C-IR过程。Overbeck【41】研究了基于连续时间观测的原始Alcir过程漂移参数的MLE，随后，Ben Alaya和Keb aier【6】，【7】完成了Overbeck【41】的结果，给出了所讨论的MLE建筑b锁的联合拉普拉斯变换的显式形式。还研究了另一种类型的估计量，即所谓的条件最小二乘估计量（LSE），用于原始CIR过程的漂移参数f，参见Overbeck和Ryd'en【42】。对于原始CIR过程的推广，即对于由稳定噪声驱动的CIR模型，而不是标准维纳过程（也称为稳定的维纳模型），Li和Ma【35】描述了该模型漂移参数（加权）条件LSE的渐近行为，基于次临界情况下离散观测的低频数据集。对于CBI过程，作为（稳定）CIR过程的推广，Huang et al。

[19] 在二阶矩假设和CBI过程的迁移机制下，研究了基于低频离散时间观测的b模型漂移参数加权条件LSE的不对称性。注意，我们有E（Jt）=tR∞z m（dz）∈ [0，∞), 和E（Yt）∈ [0，∞) （见提案2.2）。此外，（Jt）t∈[0，∞)是复合泊松过程当且仅当m（R）=m（（0，∞)) ∈ [0，∞),例如，参见佐藤【44，示例8.5】。如果m（（0，∞)) = ∞, 那么它的跳跃强度是完整的，也就是说，几乎可以肯定的是，跳跃时间是非常多的，可以计数的，并且密集在[0，∞), 如果m（（0，∞)) ∈ （0，∞),那么，几乎可以肯定的是，在每个紧凑的间隔上都有很多跳跃时间，产生跳跃时间非常多，并且可以按递增顺序计数，跳跃强度ism（（0，∞)), i、 例如，第一跳时间具有指数分布，平均值为1/m（（0，∞)), 跳跃大小的分布是m（dz）/m（（0，∞)) （例如，参见佐藤【44，定理21.3】）。案例（（0，∞)) = 0对应于通常的CIR进程。我们即将得出的结果将涵盖这两种情况（（0，∞)) ∈ [0，∞) 和m（（0，∞)) = ∞.如果是b∈ （0，∞), Yt在法律上收敛为t→ ∞ 其唯一的平稳分布π（见定理2.4）。这遵循了一个关于CBI过程的一般结果，该结果在Pinsky[43]中已宣布，没有证明，并且在Li[33，定理3.20和推论3.21之后的段落中给出了证明，另请参见Keller Ressel和Steiner[29]，Keller Ressel[27]，Keller Ressel和Mijatovi\'c[28，定理2.6]。

吝啬鬼∞yπ（dy）∈ [0，∞) 唯一平稳分布的s o称为长期方差（长期平均价格方差，即e（Yt）的极限为t→ ∞,参见（2.6）和（2.7）），b是E（Yt）回复toR的速率∞yπ（dy）为t→ ∞ （调整速度，因为E（Yt）=R∞yπ（dy）+e-英国电信E（Y）-R∞yπ（dy）对于所有t∈ [0，∞), 见（2.5）和（2.7））。在a下∈ （0，∞), 力矩条件（1.2）和额外力矩条件（1.4）Zz日志zm（dz）<∞,Jin等人[25]建立了（Yt）t跃迁密度的显式正下界∈[0，∞), 基于这个结果，他们证明了Foster–Lyapunov函数的存在性，并导出了（Yt）t的指数遍历性∈[0，∞)（见定理2.4）。比较力矩条件（1.2）和（1.4），注意z log的可积性z在间隔（0，e）上-1） 在相同的间隔上产生z的值。如果b=0，如果a+R∞z m（dz）∈ （0，∞), 然后限制→∞E（Yt）=∞ 这样的限制→∞t型-1E（Yt）∈ （0，∞), 如果是b∈ (-∞, 0），如果E（Y）∈ （0，∞) 或a+R∞z m（dz）∈ （0，∞)（这排除了Y等于零的情况），然后limt→∞E（Yt）=∞ 这样的限制→∞ebtE（Yt）∈ （0，∞), 因此，参数b始终可以解释为增长率，见命题2.2。（1.1）中的跳变过程包括所谓的基本跳变差离子（BAJD）作为特例，其中漂移的形式为κ（θ- Yt）带有一些κ∈ （0，∞) 和θ∈ [0，∞),和列维过程（Jt）t∈[0，∞)是一个具有指数分布跳跃大小的复合泊松过程，即m（dz）=cλe-λz（0，∞)（z） dz（1.5）和一些常数c∈ [0，∞) 和λ∈ （0，∞). 注意，（1.5）给出的度量m满足（1.2）和（1.4），对于所讨论的复合泊松过程，初始跳跃时间与参数c呈指数分布，跳跃大小与参数λ呈指数分布。

需要，在这种特殊情况下∞z m（dz）=cZ∞zλe-λzdz=cλ∈ [0，∞),andZz日志zm（dz）6 cλZz对数zdz=cλZ∞ue公司-2udu=cλ∈ [0，∞).为了描述违约强度的动力学，Duffee和G^arleanu引入了BAJD【13】。菲利波夫·伊奇（Filipov i\'c）[16]和凯勒·雷塞尔（Keller Ressel）以及施泰纳（Steiner）[29]将BAJD用作短期利率模型。本文的组织结构如下。在第2节中，我们证明了SDE（1.1）有一个路径唯一强解（在某些适当的条件下），见命题2.1。我们描述了（Yt）t的一阶矩的渐近行为∈[0，∞), 在此基础上，我们介绍了SDE（1.1）给出的跳跃式CIR过程的分类，参见命题2.2和定义2.3。也就是说，我们称之为（Yt）t∈[0，∞)如果b为亚临界、临界或超临界∈ （0，∞), b=0，或b∈ (-∞, 分别为0）。我们回顾了一个关于过程（Yt）t存在唯一平稳分布和指数遍历性的结果∈[0，∞)由方程（1.1）给出，见定理2.4。在备注2.5中，我们导出了过程（Yt）t的Grigelionis表示f∈[0，∞). 此外，我们解释了为什么我们不估计参数σ，见备注2.6。下一步，我们驱动的拉普拉斯变换的显式公式Yt，RtYsds第3节，以及BAJD流程的一些示例。这里我们使用的是Yt，RtYsdst型∈[0，∞)是一个二维CBI过程，也遵循Keller-Ressel【26，定理4.10】或Filipovi\'c等人【17，定理4.3之前的段落】。为了完整性，我们注意到Keller Restel【26，定理4.10】推导了正则过程及其集成过程的联合拉普拉斯变换公式，其中包含Riccati型微分方程的解，Jiao等人【24，命题4.3】推导了一般CBI过程及其集成过程的联合拉普拉斯变换公式。

我们指出，定理3.1的技术证明不同于Keller-Ressel[26，定理4.10]和Jiao等人[24，命题4.3]，并且我们在（Yt）t∈[0，∞). 第4节是基于观测（Yt）t研究MLEbbTof b的存在性和唯一性∈[0，T]带T∈ （0，∞).我们推导出了BBTAS井的显式公式，见（4.3）。第5、6和7节分别研究了亚临界、临界和超临界跳跃型CIR模型b的极大似然估计的符号行为。在第5节中，我们证明了在亚临界情况下，b的MLE是渐近正态的，具有通常的平方根标度T1/2（尤其是弱一致性），但遗憾的是，协方差也取决于未知的n p参数a和m。为了解决这个问题，我们还将确定性缩放T1/2替换为ran dom缩放σRTYsds1/2的优点是，具有这种标度的b的MLE是渐近标准正态的。在外矩条件（1.4）下，我们也证明了强相合性。在第6节中，我们描述了在具有确定性标度t和随机标度σ的临界情况下b的极大似然估计的（非正态）渐近行为RTYsds1/2。

在第7节中，对于超临界情况，我们证明了b的极大似然估计是强相合的，并且它是与确定性标度e渐近混合的正态-bT/2，它是具有随机标度σ的渐近标准正态分布RTYsds1/2。我们用附录来结束这篇文章，在这里我们证明了ju mp过程J中SDE（1.1）的一个比较定理，我们回顾了半鞅诱导的概率测度绝对连续性的某些充分条件，以及Radon–Nikodym导数的表示（附录ix B）和连续局部鞅的一些极限定理（附录Ap pendix C）。最后，总结了本文的创新之处。我们指出，跳变型CIR过程的参数估计可用的结果很少，见Mai【40，第4.3节】（亚临界情况下的最大似然估计），Huang，Ma和Zhu【19】and Li和Ma【35】（条件LSE）。关于次临界情况下的极大似然估计的渐近性质，我们使用了TysDS的拉普拉斯变换的一个显式公式来证明TrysDS的随机收敛性为t→ ∞, 我们证明了渐近正态性和避免正态性，见第5.2节。此外，在超临界情况下，我们在定理7.3中给出的极限混合正态分布的定理7.1中推导出一个随机表示，其中发挥了适当规模跳跃型超临界CIR过程的几乎确定极限。与第6.3条中的临界情况相比，这是一种新现象，其中扩散型临界循环过程发挥了作用。我们注意到∈ R、 σRTYsds1/2（bbT-b） 在分布asT中聚合→ ∞ , 对于非临界情况，极限分布是标准正态分布，而对于临界情况，极限分布是非正态分布（在定理6.3中明确给出）。

因此，我们有一个统一的理论。2个预备步骤let N，Z+，R，R+，R++，R-, R--C分别表示正整数、非负整数、实数、非负实数、正实数、非正实数、负实数和复数的集合。对于x，y∈ R、 我们将使用符号X∧ y：=最小值（x，y）和x∨ y：=最大值（x，y）。实数x的整数部分∈ R表示为x个. 通过kxk和kAk，我们得到了向量x的E-uclidean范数∈ Rd与矩阵a的诱导矩阵范数∈ 分别为Rd×d。通过B（R+），我们将Borelσ-代数推广到R+。我们将表示概率收敛、分布收敛和几乎肯定收敛，以及等式不分布收敛和几乎肯定收敛-→,D-→,a、 s。-→,D=安达。s、 =，分别。允许Ohm, F、 P是一个概率空间。通过Cc（R+，R）和C∞c（R+，R），我们分别表示具有紧支撑的R+上的连续可微实值函数集和具有紧支撑的R+上的不可微实值函数集。下一个命题是关于SDE（1.1）强解的存在性和唯一性，也就是说Y是一个CBI过程。2.1提议。设η为独立于（Wt）t的随机变量∈R+和（Jt）t∈R+满意P（η∈ R+=1和E（η）<∞. 那么对于所有a∈ R+，b∈ R、 σ∈ 满足（1.2），有一个路径唯一强解（Yt）t∈SDE（1.1）的R+，例如P（Y=η）=1和P（Yt∈ R+表示所有t∈ R+=1。