财富分配的程式化模型

然后对于每个k∈ 一维边值（N）k的弱收敛性==> X个(∞)kas n公司→ ∞.证明我们首先展示了k=1时的情况，然后用归纳论点进行了总体展示。设f是上的有界连续函数N-1、设U为[0，1]上的均匀随机变量，定义有界连续fi，j：N-1.→ R byFi，j（x，…，xd）=EU（f（x，…，U（xi+xj），xi+1，（1）- U） （xi+xj），xj+1，xd））。选择>0。通过紧致性，我们可以找到aδ=δ（）>0，这样每当kx- yk<δ我们有t h atsup{i，j}| Fi j（x）- Fi j（y）+f（x）- f（y）|<。从这个关系中，选择足够大的n，使离散单纯形N-1（n）足够明确，即两个相邻点x（n），y（n）满足kx（n）- y（n）k<δ。特别是，这意味着n>2δ-1、在分区p点上赋值的函数Fi，j（x（n））=Zf（x（n），u（x（n）i+x（n）j），（1）-u） （x（n）i+x（n）j），xd）du=f（x（n）），x（n）i+x（n）j=0x（n）i+x（n）jZx（n）i+x（n）jf（x（n），sx（n）i+x（n）j-sxd）ds，否则。请关注一下第二个分支的积分。我们将积分离散化N-1（n），s值0,1/n，x（n）i+x（n）j.然后Z（k+1）/nk/nf（x（n），sx（n）i+x（n）j-sxd）ds- n-1f（x（n），k/n，x（n）i+x（n）j- k/n，xd）< 因此，总体误差，Fi，j（x（n））-n（x（n）i+x（n）j）Xk=0f（x（n），k/n，x（n）i+x（n）j- k/n，xd）n（x（n）i+x（n）j）< 1+n. （2.4）现在我们来证明弱收敛性：E（f（Y（n））=Xx∈N-1（n）f（x）P{Y（n）=x}=Xx∈N-1（n）Xy∈N-1（n）f（x）P{Y（n）=x | Y（n）=Y}u（n）（Y）=Xy∈N-1（n）u（n）（y）Xx∈N-1（n）f（x）P{x（n）=x | x（n）=y}财富分布的程式化模型7=Xy∈N-1（n）u（n）（y）Xi，j：，i6=jXxi+xj=yi+yjxk=ykf（x）P{y（n）=x | y（n）=y}=n（n-1） Xy型∈N-1（n）u（n）（y）×Xi，j:i6=jXxi+xj=yi+yjxk=ykf（x，…Xi，…xj，…），。。。

，xd）n（yi+yj）+1=N（N-1） Xy型∈N-1（n）u（n）（y）×n（yi+yj）n（yi+yj）+1Xi，j:i6=jn（yi+yj）Xk=0f（y，…，n-1k，yi+yj- n-1k，yd）n（yi+yj）=N（N-1） Xy型∈N-1（n）u（n）（y）×Xi，j:i6=jFi，j（y）+O（）+O（n-1） =N（N-1） Xy型∈N-1（n）u（n）（y）Xi，j:i6=jFi，j（y）+O（）+O（n-1） =N（N-1） Xi，j:i6=jEu（n）（Fi，j）+O（）+O（n-1） 。现在让n→ ∞ 回想一下Fi，jis有界且连续，得出以下结论：-C≤ 画→∞E（f（Y（n）））-N（N-1） Xi，j:i6=jEu(∞)（Fi，j）≤ 画→∞E（f（Y（n）））-N（N-1） Xi，j:i6=jEu(∞)（Fi，j）≤ C。其中，C是一个独立于误差项中的n的常数。Let→ 得出极限存在的结论，并观察到Fi的定义、jan和分解定理意味着limn→∞E（f（Y（n）））=n（n-1） Xi，j:i6=jEu(∞)（Fi，j）=E（f（X(∞))).因此，我们现在表明u（n）==> u(∞)如果u（n）==> u(∞). 归纳构造和马尔科夫性质足以保证所有一维边缘收敛。2.4不可约性、不变测度的唯一性和稳定性我们现在可以继续研究连续空间马尔可夫链的不可约性、不变测度的唯一性和稳定性。我们从一个命题开始，该命题将简化与一般状态空间离散时间马尔可夫链相关的数学技术。命题4（混凝和破碎的双重性）让X（t）表示第2.1节中定义的混凝-破碎马尔可夫链。如果X（t）~ U型[N-1] 然后X（t+1）~ U型[N-1] ，以及。证明见【17】第2章，推论2.1，第77页。这个命题意味着s上的均匀分布N-1是凝聚碎片链的不变分布。我们在序列中证明的是，这是唯一不变测度，并且转移核在总变分范数中收敛到它。

考虑到这一目标，我们从一些定义开始。8 Bertram Düring等人定义4（φ不可约性）设（S，B（S），φ）为测量的波兰空间。离散时间马氏链Xon S是φ-不可约的当且仅当对于任何Borel集A，以下蕴涵成立：φ（A）>0==> L（u，A）>0，对于所有u∈ S、 上面我们使用了符号l（u，A）=Pu{Xn∈ 对于某些n}=P{Xn∈ A对于s ome n | X=u}。这取代了离散马尔可夫链的不可约性概念，以及链访问任何具有正概率的正测度集的概念。对于小集合C，存在定义为5（Foster Lyapunov函数）的前Lyapunov函数，我们可以找到函数V≥ 0和aρ>0，因此f等于x∈ SZP（x，d y）V（y）≤ V（x）- 1+ρ11C（x），（2.5）表示φ-不可约非周期链的核P收敛到唯一的平衡测度πsupA∈B（S）| Pn（x，A）-π（A）|→ 0，作为n→ ∞. （2.6）（见[18]）对于V（x）<∞. 如果我们将τCto定义为链返回集合C所需的步数，则Foster Lyapunov函数的存在（因此收敛到唯一平衡）等同于τChaving有限期望，即supx∈CEx（τC）<Mc当τChas几何t失效时，这反过来又隐含了CEx（τC）<Mc。事实上，这就是我们证明的序列。在我们的例子中，φ将是Lebesgue测度，小集C的作用将由任何具有正Lebesgue测度的集来发挥。数学技术的这种有用的简化是compactstate空间的一种人工制品(N-1） 以及s implex上的均匀分布对于链是不变的这一事实（命题4）。提案5让t∈ N

离散链X={Xn}n∈第2.1节中定义的Nas是φ-不可约的，其中φ≡ λN-1是单纯形上的Lebesgue测度。在这一点上，当我们有确定性动力学时，我们可以解释命题5的证明思想。我们在（易于可视化）N=3的情况下这样做，而通常使用马尔可夫动力学进行证明。对于任意对u、v∈ o, 从u=（xu，yu，zu）t到v=（xv，yv，zv）有一种确定的方式，只需两步。同样的情况也发生在更高的维度上；在…上oN-1我们可以使用确定性凝固破碎动力学从任何起点移动到任何目标点- 1步骤。由于动力学相对于坐标是对称的，我们可以在不丧失一般性的情况下假设≤ 因此在v中存在一个条目，比如xv，这样m=xv1-祖≤ 1、此外，m=xv1- yv公司≤ 1、然后考虑mappingu=（许、玉、祖）7→ （m（许+余），（1- m） （徐+余），祖）7→ （m（许+余），m[（1- m） （许+余）+祖]，（1）- m） [（1- m） （许+余）+祖]=（m（1-zu），m[（1- m） （1）- 祖）+祖]，（1- m） [（1- m） （1）- zu）+zu]=（xv，yv，zv）=v.（2.7）这个想法抓住了勒贝格不可约性的证明（另见图1）。财富分配的程式化模型9uStep 1vFig。1分两步从u到v的可能凝固破碎路线示意图。从u点开始∈ , fix zu。然后在直线上X+y=1-祖，选择重点（xv，1-祖- 十五、祖）。从那里，在1号线上选择（yv，zv）- xv=yv+zv。阴影区域是本程序可从u、ZU和xv处到达的所有v点。白色区域中的点可以通过选择Zu和yv从u firs t获得。证明（命题5的证明）首先观察到，在N-1，我们正在将动力限制为（1- x）N-2.

这种观察使我们能够通过归纳的方式继续进行。基本情况N=3。为了清晰起见，我们选择基本情况N=3，其方式可以立即通用到更高的维度。我们正在努力(,B类(),λ≡ λλ） 。设A为Borel集，并假设λ（A）=α>0。我们将证明，从任何x开始，在上述凝固破碎动力学条件下，仅两步发生碰撞的概率是严格正的。对于任意δ>0和点u，设δ（u） 用长度边δp2和重心u表示缩放单纯形。由于A具有正Lebesgue测度，对于任何>0，我们可以找到一个o p en集GA， 使λ（GA，\\ A）<。固定an>0并构造GA，。列举GA中的所有有理数，并发现δ=δ（A，）>0，以便A【q】∈GA，（δ（q） ）和λ【q】∈GA，（δ（q） （）≤ α+2。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设δ（q）∩ A 6= 对于联合体中的所有q，否则我们将从联合体中移除额外的单形。由于并集是可数的，因此必须有一个重心qs，使得β：=λ（δ（q）∩A） >0。设u为过程的任意起点。在不丧失一般性的情况下，通过可能减少δ的初始选择，假设1。祖≤ 2/3,2。u可以在任意点v上确定映射∈ δ（q）∩A首先是Zu，然后是xv，如计算（2.7）。我们表示三个角δ（q） 由a=（xa，ya，za），b=（xa-δ、 ya+δ，za），c=（xa-δ、 ya，za+δ）。那么，0<β=ZA∩δ（q） dλ=Z ZA∩δ（q） dλdλ=Zdλ11{xa-δ<x<xa}Zdλ11{A∩（q）∩ {z+y=1- x} }=Zdλ11{xa-δ<x<xa}Zdλ11{（x，y，z）∈ A.∩（q） ：y+z=1- x}.因此，对于x的正λ度量∈ （xa）-δ、 xa）我们可以找到集合A和直线z+y=1之间的交点的正λ度量- x、 因此，我们限制在可测集F={x∈ [xa-δ、 xa）]：γx>n-1} 式中，γx=λ{A∩δ（q）∩ {y+z=1- x} }。10 Bertram Düring等人。选择的整数n足够大，因此λ（F）>0。

我们已经建立了一个集合C的存在性，使得C={（x，y，z）：x∈ F、 （x、y、z）∈ A.∩δ（q） }，λ（C）>0。这足以最终完成基本案例的证明。回想马尔科夫链的起点u=（xu，yu，zu）。定义投影集fc，u={（x，y，z）：z=zu，（x、y、z）∈ C s.t.y+zu=y+z=1- x、 x=x}，其正测度为λ（F）=λ（FC，u）。以严格的正概率，我们选择凝结第一和第二坐标。然后，以严格的正概率，我们将其分割为集合FC，u。这是因为两个坐标的凝聚-破碎过程在x+y=1的直线上选择了一个均匀分布的点- zuby凭借建筑。uniformdistribution是Lebesgue测度的标量倍数，因此保证选择s uc h apoint的概率严格为正。然后，给定当前位置，我们以严格的正概率凝聚两个坐标。出于与之前相同的原因，以严格正概率，我们在集合C中终止 任何固定x的Asince∈ F，碎片拾取点（x，y，z）的概率不小于1/n∈ C、 综上所述，在两个步骤中，我们就有了从任何起点u击中a的概率。归纳情况：现在考虑单纯形δN-1，当N≥ 假设命题对所有k<N都是真的 N-1be正λN的Borel集-1测量。对于基本情况，我们可以找到单纯形δN-1（q）λN-1（A∩ δN-1（q））>0，并且使用相同的Fubini-Tonelli参数得出结论，存在正整数n和x值的正λ-测度s et F，因此λn-2（A∩δN-1（q）∩{x=x∈ F} ）>n-1、在不丧失一般性的情况下，假设从起点u开始，我们可以凝结和分割两个坐标，比如说，uA和uso，λ{x∈ F、 x<u+u}>0。

然后，对于马尔可夫链，这意味着pu{X·e∈ F} >0。（2.8）LetB={X，X，…，XN-1不会凝结第一个坐标}。同样，Pu{B | X·e∈ F}=Pu{B}>0。（2.9）然后立即计算（u，A）=Pu{Xl∈ A对一些人来说l} ≥ Pu{XN-1.∈ A}≥ Pu{XN-1.∈ A、 X·e∈ F、 B}≥ Pu{XN-1.∈ A | B，X·e∈ F}Pu{B | X·e∈ F} Pu{X·e∈ F}>0。后两个因子的严格正性来自（2.8），（2.9），而Pu{XN-1.∈ A | B，X·e∈ F} 等于N- 从随机点uwithxu开始的二维碎裂凝聚过程∈ F命中集合A∩δN-1（q）∩N中的{x=x}-2个步骤。根据归纳假设，这种概率是严格正的（给定起点）。通过限制集合F使其测度保持为正，我们可以进一步假设这些概率一致有界远离0，与起点无关。证明到此结束。命题6（Foster-Lyapunov函数的存在性）返回时间τAto任何集合a∈ B类() 在正测量中，在Px下最多有几何尾部。因此，存在福斯特李雅普诺夫函数。证明（命题6的证明）设A为正Lebesgue测度集。通过对所有坐标重复命题5 p屋顶的构造，我们可以发现αi>0，ni>0，1≤ 我≤ N、 δ>0和有理重心qa和可测集a的序列 A. A. ...  ANof正测度，λN-1（AN）=η>0和一组一维可测集F，fn具有以下属性：财富分配的程式化模型111。λN-2{A∩δ（q）∩ {x=x*∈ F} }=γ（x*) > n-1，λ（F）≥ α、 A={A∩δ（q） ，x∈ F} 2。λN-2{Ak-1.∩δ（q）∩ {xk=x*k∈ Fk}}=γ（x*k） >n-1k，λ（Fk）≥ αk，Ak={Ak-1.∩δ（q） ，xk∈ Fk}，k≥ 2、ANis的基本性质是，它可以以正概率（取决于A）访问，从下到下从任意点u一致有界∈ N-设a=min{a，。。。

，aN，1}和n=max{n，…，nN}。我们超越了在第一个N中没有命中的可能性- 1步，即Pu{τAN>N-1} 。假设我们击中了N-1步或更少。那么至少有一个N序列- 1凝固破碎步骤，如果我们按照weland的步骤进行。我们在每一步以1/N（N）的概率选择适当的指数对-1） 因此，wefragment在一个适当的点上，概率至少为a∈N-1Px{τAN≤ N-1}≥2aN（N-（1）N-1=ρA>0。选择起点u∈ A、 然后Pu（τA>M）≤ Pu（τAN>M）。我们将证明，较大的尾部在几何上由一个独立于u的表达式所限定。我们计算了x{τan>（N-1） M}=Px{X/∈ AN，X（N-1） M级/∈ AN}≤supu公司∈N-1\\ANPu{X/∈ AN，XN公司-1个/∈ AN}M≤supu公司∈N-1\\ANPu{τAN>N-1}M≤ （1）-ρA）M.最后，因为对于任何1≤ k≤ N-1我们有{τAN>（N-1） （M+1）} {τAN>（N-1） M+k} {τAN>（N-1） M}我们得出结论，τANhas几何尾。我们把这些命题组合在下面的定理中。定理1让X（t）表示第2.1节中定义的混凝碎片马尔可夫链和初始分布uonN-1.L etut记录时间t时X（t）的分布∈ N、 N上的均匀分布N-1是唯一不变分布，可以作为序列ut的弱极限找到。从命题4可以证明，U[N-1] 是进程的不变分布。由于链是φ-不可约的，如命题5所示，平衡点的唯一性源于FosterLyapunov函数的存在，在命题6.2.5中证明了动力学方程是药剂系统的极限。可以使用稀有气体动力学理论中的数学技术推导出具有双线性相互作用项的单药剂分布函数的动力学方程【21,22】。

在本节中，我们将讨论在时间连续设置中，每个代理的股票（或财富）是一个连续变量w∈ I=[0，∞),上文讨论的交换机制构成了Cordier、Pareschi和Toscani在【23】中提出的财富分配动力学模型的特例。在这种情况下，微观动力学导致财富分布函数f=f（w，t）的齐次Boltzmann型方程。人们可以研究玻耳兹曼方程的矩演化，以深入了解累积财富分布的尾部行为。我们还讨论了掠射碰撞极限，得到了一个宏观的福克-普朗克型方程。Cordier、Pareschi和Toscani【23】提出了财富分布的动力学模型，其中财富在个人之间通过成对（二元）互动进行交换：当两个拥有互动前财富的个人相遇时，他们的交易后财富会*和w*由V给出*= （1）-λ） v+λw+Дηv，w*= （1）-λ） w+λv+ηw.（2.10）12 Bertram Düring等人，此处，λ∈ （0,1）是一个常数，称为投资倾向。数量η和η是具有相同分布的独立随机变量（通常具有平均零和有限方差σ）。他们以扩散的方式模拟相互作用结果的随机性。注意，为了确保交互后财富保持在区间I=[0，∞) 需要作出其他假设。前几节中考虑的离散交换动力学在设置η=～η时找到了它们的连续动力学类似物≡ 0英寸（2.10）。对于固定数量的N个代理，交互作用（2.10）在RN+上诱导了一个离散时间马尔可夫过程，Nparticle联合概率分布PN（w，w，…，wN，τ）。我们可以为一个边缘分布函数p（w，τ）=ZPN（w，w，…）写一个动力学方程，。。。

，wN，τ）dw···d wN，仅使用一个和两个粒子分布函数[21,22]，P（w，τ+1）- P（w，τ）=NZP（wi，wj，τ）δ（w-（（1-λ） wi+λwj+￠ηwi））+δ（w-（（1-λ） wj+λwi+ηwj））dwidwj-2P（w，τ）.在这里· 表示关于随机变量η、|η的平均运算。这一过程可以继续建立所谓BBGKY型方程的层次结构[21,22]，描述大量相互作用主体系统的动力学。一种标准的近似方法是忽略代理财富之间的相关性，并假设因子P（wi，wj，τ）=P（wi，τ）P（wj，τ）。动力学理论的标准方法[21,22]可用于表明，标度时间为t=2τ/N，取热力学极限N→ ∞, 我们得出，单主体分布函数的时间演化由以下形式的齐次Boltzmann型方程控制 tf（w，t）=Zf（wi，t）f（wj，t）δ（w-（（1-λ） wi+λwj+￠ηwi））+δ（w-（（1-λ） wj+λwi+ηwj））dwidwj- f（w，t）。（2.11）根据[19,20]的结果，我们有以下主张。命题7分布f（w，t）趋向于稳态分布f∞（w） 具有指数尾。证明[19,20]中的结果暗示f（w，T）趋向于稳定分布f∞（w） 这取决于初始分布，仅通过守恒平均财富M=R∞w f（w，t）dw>0。如【19,20】所述，第s动量矩的长期行为∞wsf（w，t）dw的特征是函数S（S）=（1- λ） s+λs- 1对于所有s>1都是负值，因此s>1的所有s阶矩都是有界的，稳态分布的尾部是指数分布。一般来说，像（2.11）这样的方程很难处理，在动力学理论中，通常要研究某些渐近极限。在适当的标度极限下，可以导出财富分布的福克-普朗克型偏微分方程。