财富分配的程式化模型

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英文标题：
《A stylized model for wealth distribution》
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作者：
Bertram D\\\"uring, Nicos Georgiou, Enrico Scalas
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  The recent book by T. Piketty (Capital in the Twenty-First Century) promoted the important issue of wealth inequality. In the last twenty years, physicists and mathematicians developed models to derive the wealth distribution using discrete and continuous stochastic processes (random exchange models) as well as related Boltzmann-type kinetic equations. In this literature, the usual concept of equilibrium in Economics is either replaced or completed by statistical equilibrium.   In order to illustrate this activity with a concrete example, we present a stylised random exchange model for the distribution of wealth. We first discuss a fully discrete version (a Markov chain with finite state space). We then study its discrete-time continuous-state-space version and we prove the existence of the equilibrium distribution. Finally, we discuss the connection of these models with Boltzmann-like kinetic equations for the marginal distribution of wealth. This paper shows in practice how it is possible to start from a finitary description and connect it to continuous models following Boltzmann\'s original research program.
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中文摘要：
T.Piketty（二十一世纪的资本）最近的一本书提出了财富不平等的重要问题。在过去二十年中，物理学家和数学家利用离散和连续随机过程（随机交换模型）以及相关的Boltzmann型动力学方程开发了模型来推导财富分布。在这篇文献中，经济学中通常的均衡概念要么被统计均衡所取代，要么被统计均衡所完善。为了用一个具体的例子来说明这一活动，我们提出了一个用于财富分配的风格化随机交换模型。我们首先讨论一个完全离散的版本（具有有限状态空间的马尔可夫链）。然后，我们研究了它的离散时间连续状态空间版本，并证明了平衡分布的存在性。最后，我们讨论了这些模型与财富边际分布的类玻耳兹曼动力学方程之间的联系。本文在实践中展示了如何从有限描述开始，并按照Boltzmann最初的研究计划将其连接到连续模型。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
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2022-5-25 17:12:19 上传

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关键词：财富分配 distribution Quantitative Applications Differential

财富分配的程式化模型Bertram Düring·Nicos G eorgiou·Enrico Scalas摘要T.Piketty（二十一世纪的资本）的新书提出了财富不平等的重要问题。在过去二十年中，物理学家和数学家利用离散和连续随机过程（随机交换模型）以及相关的玻尔兹曼型动力学方程，开发了模型来推导财富分布。在这篇文献中，经济学中通常的均衡概念要么被统计均衡所取代，要么被统计均衡所完善。为了用一个具体的例子来说明这一活动，我们提出了一个财富分配的风格化随机交换模型。我们首先讨论一个完全离散的版本（具有有限状态空间的马尔可夫链）。然后，我们研究了它的离散时间连续状态空间版本，并证明了平衡分布的存在性。最后，我们讨论了这些模型与财富边际分布的类玻耳兹曼动力学方程之间的联系。本文在实践中展示了如何根据Boltzmann最初的研究计划，从基本描述开始，并将其与连续模型联系起来。财富分布·随机过程·马尔可夫链·动力学方程数学学科分类（2000）60J05·60J10·60J20·82B31·82B401简介T.Piketty的新书将经济学家的注意力转移到了财富不平等的重要问题上。“为什么存在财富不平等？”这一问题吸引了众多研究人员的关注，其中包括经济学家、物理学家和数学家。

特别是在过去二十年中，物理学家和数学家利用统计物理学和概率论的工具：离散和连续随机过程（随机交换模型）以及相关的Boltzmann型动力学方程，开发了从理论上推导财富分布的模型。在此框架下，均衡经济学的通常概念得到了统计均衡的补充或替代[2]。帕累托的原著涉及收入分配。帕累托观察到一个带有幂律尾的倾斜分布。然而，他也处理了财富分配问题，为此他写道：英国华威大学伯特伦·杜林数学研究所电子邮件：伯特伦。during@warwick.ac.ukNicos英国Suss大学数学系GeorgiouDepartment，邮编：n。georgiou@sussex.ac.ukEnrico英国Suss大学数学系，电子邮箱：e。scalas@sussex.ac.uk2Bertram Düring et al.La répartition de La richesse peut Dépendre de La nature des hommes dont se compose La s o cieté，del\'organization de celle ci，et aussi，en partie，du hasard（les conconconctions de Lassalle），[……]财富的分配可以取决于组成社会的人的性质、社会组织，也可以部分取决于机会（拉萨尔的结合），[……]最近，Champernowne（4）、Simon（5）、Wold和Whittle（6）以及Mandelbrot（7）使用随机过程推导收入和财富的分布。从20世纪80年代末开始，Angle在社会学文献中发表了所谓的不平等过程，这是一种基于社会分层剩余理论的财富分配的连续时空马尔可夫链[8]。

然而，物理学家和数学家的兴趣是由agulescu博士和Yakovenko博士于2000年撰写的一篇论文引起的，该论文明确地将随机变化模型与统计物理学联系起来。除此之外，他们还讨论了Bennati用意大利语发布的SimpleRadom交换模型【10】。该模型的精确解发表在【11】中。Lux写了一篇截至2005年的统计物理学文献的早期评论[12]。Chakrabarti和Chackrabarti于2010年撰写了一篇广泛的评论【13】。【23】和其他几部著作研究了财富边际分布的类似玻耳兹曼的动力学方程，我们参考了评论文章【14】和书【15】以及其中的参考文献。我们将重点讨论财富分布随机建模的要点，并明确说明连续空间马尔可夫链可以从离散空间（实际上是有限空间）链中推导出来。然后，我们将重点关注这些链的稳定性，最后，我们将在研究与马尔可夫链相关的动力学方程时，回顾有关动力学方程的数学文献。在这样做的过程中，我们将处理财富（a股）而非收入（a股）的时间演化的样式化模型。经济学中的分配问题可以用一种相当普遍的形式来描述。假设一个人有N个经济体，每个经济体都拥有自己的股票（例如财富）≥ 设W=PNi=1wi为这组代理的总财富。考虑随机变量Wi，即代理i的存量。人们感兴趣的是向量（W，…，WN）的分布，以及所有代理在平价（可交换）下的边际分布。转换xi=WiW，（1.1）将系统的总财富归一化为1，因为nxi=1Xi=1（1.2），向量（X，…，XN）是区间（0,1）的有限随机划分。

轴称为分区的间距。以下评论很有用，证明了这种简化的财富分布模型的合理性。1、如果股票表现为财富，则可能因负债而为负。在这种情况下，人们总是可以通过减去绝对值最大的负财富，将财富转换为非负值。质量分配是一个有限序列s=（s，s，…）这样s≥ s≥ . . . ≥ 0和P∞i=1si≤ 1.3。有限随机间隔分区可以映射为质量分区，只需对间距进行排序并添加0的有限序列即可。向量X=（X，…，XN）位于N上- 一维单纯形N-1，定义1（单纯形N-（1）N-1=¨x=（x，…，xN）：xi≥ 0表示所有i=1，N和nxi=1xi=1<<。（1.3）在定义此类模型时，会立即产生两个自然问题。1、给定时间（1.1）给出的向量（X，…，XN）与xi的分布是什么？2、哪个是随机变量X的分布，即单个个人财富的比例？财富分布的程式化模型3一个经过充分研究的概率示例是设置i.i.d.随机变量的向量（W，…，WN），如~ γ（αi，λ）。然后W=PNi=1Wi~ 伽马射线PNi=1αi，λ. 在这种情况下，（X，…，XN）的质量函数是Dirichlet分布，由fx（X）=Γ（α+····+αN）Γ（α）·····（αN）Xα给出-1···xαN-1N，x=（x，…，xN）∈ N-1.（1.4）我们说X~ 迪恩-1（α，…，αN）和参数α，αNare假设为严格正，因为它们可以解释为伽马随机变量的形状。一种特殊情况是α=···=αn=α。然后虹膜分布被称为对称分布。α=1的对称Dirichlet分布在单形上是一致的N-现在，我们可以用下面最简单的命题来回答上述两个问题。命题1 Let（W，…），。。。

，WN）的i.i.d.随机变量~ 实验（1）。然后W=PNi=1Wi~γ（N，1）。定义Xi=Wi/W，则向量X=（X，…，XN）在单纯形上具有均匀分布N-1和一维边缘X~ β（1，N- 1） ，名称fx（x）=（1- x） N个-2B（1，N-1） ，（1.5）其中，对于a，b>0，b（a，b）=Γ（a）Γ（b）Γ（a+b）。（1.6）这一命题的证明可以在几本概率统计教科书中找到，包括Devroye\'sbook【16】。具体而言，命题1中关于均匀分布的部分是[16]中定理4.1的推论。方程式（1.5）是Dirichlet分布聚集特性的直接结果。在本章中，我们定义了三个相关模型，其中包含了代理人财富分布的随机时间演化。这些模型的数学复杂性按其呈现的顺序增加。第一种是具有Pólya极限不变分布的离散时间离散（DD）空间马尔可夫链。我们尽可能简单地保持动力学，因此事实上不变分布是一致的（不是一般的Pólya分布），但对于更复杂的版本，想法和技术是相同的。然后将D模型的马尔可夫链推广到离散时间连续空间（DC）马尔可夫链。这种扩展是自然的，因为DC模型的动力学、不可约性和不变分布可以视为DD模型的限制情形。在此过程中，我们有效地证明了蒙特卡罗算法能够很好地逼近DCmodel。

最后，我们提出了一个连续连续空间（CC）模型，其中单个个体（随机）财富的时间演化由Boltzmann型方程控制。2单纯形上的随机动力学为了定义我们的简单模型，我们首先在单纯形上引入两种类型的移动。定义2（混凝）通过混凝，我们表示两种或两种以上药剂的库存聚合为一种库存。这可能发生在并购等领域。定义3（碎片化）通过碎片化，我们表示将一个代理的库存划分为两个或多个库存。这可能发生在继承、失败等方面。4 Bertram Düring et al.2.1离散时间-连续空间模型：混凝破碎动力学在引入DD模型之前，让我们确定我们研究的主要对象：DC模型。在每个事件时间，进程X的状态∈ N-1根据一个凝固和一个破碎步骤的组合而变化。精确地说，设X=X是随机变量X的当前值。对于指数i，j，1的任何有序对≤ i、 j≤ N、 随机均匀选择，确定混凝应用coagi j（x）：N-1.→ N-2通过创建一个新的代理人，股票x=xi+XJ，而其他所有人的财富比例保持不变。接下来实施随机碎片应用程序frag（x）：N-2.→ N-1它采用上面定义的x，并将其分为以下两部分。给定u∈ （0,1）从均匀分布U[0,1]中提取，设置xi=ux，xj=（1- u） x.凝聚和碎裂算子序列定义了单样本上的时间齐次马尔可夫链N-设x（t）=（x（t），xi（t），xj（t），xN（t））是时间t时的状态，i和jd为选定的指数。那么时间t+1的状态是x（t+1）=（x（t+1），xi（t+1）=u（xi（t）+xj（t）），。。。

，xj（t+1）=（1-u） （xi（t）+xj（t）），xN（t））。然而，这个过程的马尔可夫核是退化的，因为每一步只影响s内插的Lebesgue测度0。为了避免目前的技术复杂性，我们在离散单体上定义了相同的动力学，然后分析了DC模型。2.2离散时间-离散空间模型let N表示N个对象（硬币或代币）被分类到的类别（个体）数量【2】。在这个系统的频率或统计描述中，状态是一个列表n=（n，…，nN），其中pni=1ni=n，它给出了属于每个类别的对象的数量。在这个框架中，凝聚移动是通过随机选取一对有序整数i，j来定义的，而不需要替换1≤ . . . ≤ N并使用ni+nj对象创建一个新类别。碎片移动将该类别拆分为两个新类别，重新标记为i和ji，其中n′iis是0和ni+nj之间的统一随机整数，n′j=ni+nj-n′i.时间t时的过程状态∈ Nis由X（t）表示，其状态空间为缩放整数simplexS（n）n-1=nN-1.∩ZN=¨n=（n，n，…，nN）：0≤ ni公司≤ n、 NXi=1ni=n，ni∈ N、 <<。形式上，通过凝聚，我们从状态空间S（n）n移动-1至S（n）n-2然后，随着碎片的再次出现，我们回到S（n）n-1、虽然实际研究过程的所有阶段很有意思，但我们只对总财富感兴趣，因此我们可以通过定义过程（n）n来绕过中间状态空间-1.直接写下X（t）P{X（t+1）=n′X（t）=n}=Xi，j:i6=j（NN）的跃迁概率-1ni+nj+1δni+nj，n′i+n′jYk6=i，jδn′k，nk）。（2.1）符号是简写的，意味着我们在所有有序对（i，j）上进行相加，i 6=j，其中第一个坐标表示首先选择的索引i。

该模型在n，n′是对称的。链是时间均匀的，因为跃迁（2.1）与时间参数t无关。它也是具有正概率的非周期性，在每个时间步中，链可能凝结，然后碎裂到相同的状态。要看到这一点，请考虑单纯形上的任何向量（X，…，XN）=（X，…，XN）。它必须至少有一个非零条目，例如x>0。首先选择指数i=1（概率为N-1） ，然后选择任何其他索引j。在片段精确地位于x之后，xj（概率1/（x+xj+1）>0）。最后，链是不可约的，因为从任意点X=（X，…，xN），链可以正概率移动到任何相邻点（（X，…，xN）±（ei-ej））∩S（n）n-1，即单纯形中的任何点，即l-距离当前状态2。因此，我们可以得出结论，链{X（t）}t∈NHA是唯一的平衡分布π，我们将在下一个命题中确定。财富分布的程式化模型5位置2马尔可夫链X（t）的不变分布是n上的均匀分布N-1.∩锌。证明文件，j（n′）=§n:ncoag fragi，j-→ n′a是所有单纯形元素n的集合，这些元素通过i，j指数中的凝聚破碎程序映射到n′（i选择在j之前）。此集合永远不会为空，因为它始终可以包含向量n′。对于固定的（i，j），其基数为card（Ai，j（n′）=n′i+n′j+1=ni+nj+1。（2.2）使用此符号，我们可以在（2.1）asP{X（t+1）=n′X（t）=n}=Xi，j:i6=j（NN）中重新写入跃迁概率-1.n′i+n′j+1δni+nj，n′i+n′jYk6=i，jδn′k，nk）=Xi，j:i6=j（NN-1.卡片（Ai，j（n′）δni+nj，n′i+n′jYk6=i，jδn′k，nkn∈ Ai，j（n′）)由于δ乘积等于最后一个指标，=Xi，j:i6=jNN型-1.卡片（Ai，j（n′）n∈ Ai，j（n′）（2.3）现在fix a n′，并将（2.3）中n上的所有跃迁概率相加。

我们得到xnxi，j:i6=jNN型-1.卡片（Ai，j（n′）11{n∈ Ai，j（n′）}=Xi，j:i6=jNN型-1.卡片（Ai，j（n′）Xn11{n∈ Ai，j（n′）=Xi，j:i6=jNN型-1.卡片（Ai，j（n′）卡片（Ai，j（n′）= 因此转移矩阵是双随机的，特别是不变分布必须是一致的。2.3随着整体财富的增加，有限马尔可夫链的收敛性在DC模型的情况下获得类似的结论稍微复杂一些。这一困难与以下事实有关：时间是以离散的步骤变化的，而链无法探索整个可用的状态空间，因为实数不能与整数一一对应。如何确保具有连续状态空间的马尔可夫链能够一致地探索其状态空间？我们首先研究有限状态空间马尔可夫链到连续状态空间马尔可夫链的收敛性。设X（n）为财富的DD-Markov链，当系统的财富为和n且设X(∞)是第2.1节中介绍的DC模型的链。我们缩放每个进程X（n）的状态空间，使其成为N-1通过定义一个新的耦合过程（n）=n-1X（n）。过程Y（n）的状态空间是单纯形N-1（n）={（q，…，qd）：0≤ qi公司≤ 1，q+…+qd=1，nqi∈ N} N-1、可视为N-1带网孔n-1，即与总财富成反比。6 Bertram Düring等人。在本节中，我们首先证明了一维边缘（n）kn的弱收敛性→∞==> X个(∞)k、 对于所有k∈ Nand证明了X的唯一不变分布的存在性(∞)（DC模型），我们将其确定为均匀分布N-1、设u（n）为Y（n）和u的初始分布(∞)X的初始分布∞.命题3假设弱收敛u（n）==> u(∞)作为n→ ∞.