财富分配的程式化模型

在[24]中也得到了类似的扩散方程，作为兹纳杰德模型的平均场限值[25]。从数学上讲，该模型与颗粒气体动力学理论中的工作有关【22】。为此，我们通过形式渐近研究所谓的连续交易极限（λ→ 0，同时保持ση/λ=γ固定）。让我们介绍一些符号。首先，考虑测试函数φ∈ C2，δ（[0，∞)) 对于某些δ>0。我们使用通常的H"older normskφkδ=X |α|≤2kDαφkC+Xα=2[Dαφ]C0，δ，财富分配的程式化模型13，其中[h]C0，δ=supv6=w | h（v）- h（w）|/| v- w |δ。用M（A），A表示 R、 A上的概率测度空间，我们定义为byMp（A）=§Θ∈ MZA |η| pdΘ（η）<∞, p≥ 0--具有有限pth力矩的测量空间。在下文中，我们所有的概率密度都属于M2+δ，我们假设密度Θ是从均值和单位方差为零的随机变量Y中获得的。然后我们得到了|η| pΘ（η）dη=E[|σηY | p]=σpηE[| Y | p]，（2.12），其中E[| Y | p]是有限的。（2.11）的弱形式由dd tZIf（w，t）φ（w）d w=ZIQ（f，f）（w）φ（w）d w（2.13）给出，其中ZIQ（f，f）（w）φ（w）d w=，-ZIφ（w*) + φ（v*) -φ（w）- φ（v）f（v）f（w）d v dwP。在这里· 表示关于随机变量η，η的平均操作。为了研究大时间的情况，即接近稳态，我们引入λ<< 1 t变换▄t=λt，g（w，▄t）=f（w，t）。这意味着f（w，0）=g（w，0），标度密度g（w，t）的演变如下（我们立即将波浪降到下面）dd tZIg（w，t）φ（w）d w=λZIQ（g，g）（w）φ（w）dw。

（2.14）由于交互规则（2.10），它保持sw*- w=λ（v- w） +ηw.Aφ在（2.14）右侧w附近的s二阶泰勒展开导致|λZIφ′（w）[λ（v- w） +ηw]g（w）g（v）d v d wP+-2λZIφ′（~w）[λ（v- w） +ηw]g（w）g（v）d v d wP=¨λZIφ′（w）[λ（v- w） +ηw]g（w）g（v）d v d wP+-2λZIφ′（w）λ（v-w） +ηwg（w）g（v）d v d wP+R（λ，ση）=-ZIφ′（w）（w- v） g（w）g（v）d v d w+2λZIφ′（w）λ（v- w） +λγwg（w）g（v）d v dw+R（λ，ση），其中￠w=κw*+ （1）- κ） w代表一些κ∈ [0,1]andR（λ，ση）=-2λZI（φ′′（~w）-φ′′（w））[λ（v- w） +ηw]g（w）g（v）d v d wP。14 Bertram Düring等人。现在我们考虑极限λ，ση→ 0，同时保持γ=ση/λ固定。可以看出，余数termR（γ，ση）在该极限内消失，详情见【23】。在相同的极限下，（2.14）右侧的项收敛为-ZIφ′（w）（w- v） g（w）g（v）d v d w+ZIφ′（w）γwg（w）g（v）d v d w=-ZIφ′（w）（w- m） g（w）d w+γZIφ′（w）wg（w）dw，其中m=RIv g（v）d v是平均财富（为简单起见，将质量设置为1，否则在这里会很好地显示）。通过分段积分，我们得到了福克-普朗克方程（弱形式）的右手边 tg（w，t）= w（w）- m） g（w，t）+γ wwg（w，t）, （2.15）不受flux边界条件的限制（这是由部件整合而成）。通过考虑由随机微分方程描述的交易模型中的平均场极限，也得到了相同的方程【26】。3记住井上俊一我们中的一位（Enrico Scalas）预计将在加拿大安大略省滑铁卢举行的2015 AMMCS-CAIMS大会上与井上俊一会面。

我们与Bertram Düring（也是本文的合著者）共同组织了一次题为《经济学中的财富分配和统计均衡》的特别会议（见：http://www.ammcs-caims2015.wlu.ca/special-sessions/wdsee/)。即使Enrico从未与Jun ichi就本文讨论的特定问题进行过合作，他们还是共同撰写了两篇研究论文，一篇是关于金融市场的非平稳行为的[27]，另一篇是关于外汇市场的持续时间和首次通过时间的分布的[28]。前者是2011年10月3日至2011年10月7日一君访问毕尔巴鄂巴斯克应用数学中心的成果。Enrico、Jun ichi和Giacomo Livan在黑板和电脑前见过几次面，论文的主要思想（财务数据的非平稳性）是由Jun ichi提出的。后者是与Naoya Sazuka合作的结果，Naoya Sazuka提供了索尼银行外汇交易的数据。本文与Enrico利用连续时间随机游动对高频金融数据建模的活动有关。第三篇评论文章发表在《检查悖论在金融中的作用》[29]。在前往加拿大之前，恩里科收到了俊一去世的不幸消息。他有时间改变了在滑铁卢的演讲，加入了对一君的纪念。在俊一的帮助下，恩里科不仅失去了一个合作者，还失去了一个有求知欲的朋友。致谢SBD感谢Leverhulme信托研究项目“高阶非线性偏微分方程的新型离散化”（RPG-2015-69）的支持。NG承认EPSRC赠款EP/P021409/1的支持。我们还要感谢曹飞注意到本文之前版本中的一个错误，现在已经更正。参考文献1。T

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