具有逆向选择风险的限价策略安排及其作用

因此，在框架中会产生逆向选择成本。这并不是一个细节，因为如果账簿的另一侧很大，交易者将没有意识到在非常小的队列顶部下限价订单。我们将在第4节中使用经验证据来证明这是一种现实的行为。这种行为无法被其他线性框架（如Moallemi，2014）捕捉到。为了解决控制问题，我们将在下一节介绍初始问题的离散时间版本，其值函数可以通过数值计算得到。在这个离散的框架中，limt→∞Put- PExec，uTuExec使用不平衡计算。3.2离散时间框架我们将时间步长设置为等待Tf的最终时间。设t=0<t···tf-1<tf=tf观察订单的不同时刻，例如tn=nt对于所有n∈ {0，1，···，f}。假设在所有n的两个连续瞬间tn和tn+1之间∈{0，1，···，f- 1} ，只能出现五种情况：o投标方增加1个单位数量；o1单位数量在投标方消耗；o1个单位数量加在对面；o1单位数量消耗在对面；o什么都没发生。我们忽略了在同一时间间隔内至少发生两种情况的情况（此类连接的可能性为λ级，因此我们的近似值仍然有效，因为λdt比λdt小）。框架1（我们的设置简单明了）。简而言之，我们的主要假设是：o只有一个小数量q的限制订单是受控的，它足够小，对订单簿不平衡没有影响；o队列大小在第一个限制下的减少仅由事务引起（即。

取消和交易之间没有区别）；o队列只减少或增加一个数量；o点过程的强度（包括驱动买卖价差中插入数量的过程，以及驱动第二个限制变为第一个限制时发现的数量的过程）仅是最佳限制下数量的函数；o多个事件没有明显的关联。我们介绍以下马尔可夫链Uun=QBefore，un，QAfter，un，QOpp，un，Pun，Execn其中：oQBefore，unis为QBefore，unis为时间tn，取N值。oQAfter，unis为QAfter，unis为时间tn，取N值。oQOpp，unis为QOpp，unis为时间tn，取N值。oPunis为时间tn的中间价。oExecnis为其他变量，取N值{-1，0，1}。当订单在时间tn执行时，Execnequals为1；当订单在时间tn未执行时，Execnequals为0；当订单在时间tn之前已经执行时，execenequals为-1（“墓地状态”）。我们将Exec设置为0。同样，我们定义了NSame，+n，NSame，-n、 NOpp，+nand NOpp，-nas计数过程NSame、+t、NSame、，-t、 NOpp，+tet NOpp，-tat时间tn。马尔可夫链的转移概率未在附录A中详细说明。终端约束。微观价格P∞,k≈ E（P∞|Fk）定义如下：P∞,k=F（QOppk，QSamek，Pk）=Pk+α·QSamek- QOppkQOppk+QSamekk∈ {0，1，···，f}。其中，Fk是与uk相关的过滤，Fk=σ（Un，n≤ k） α是一个参数，表示未来价格对失衡的敏感性。确定了执行价格PExec，kisk∈ {0，1，···，f}这样：PExec，k=Pk+当Execk=0Pk+当Execk∈ {-1，1}和Pk+1- Pk6=0Pk-当Execk∈ {-1，1}和Pk+1- Pk=0。让kbe为执行时间：k=inf（k≥ 0，Execk=1）∧f

然后，可以写入终端估值：Zk=P∞,k- PExec，k（3）让U表示所有渐进可测过程的集合u：={uk，k<f}，值在{s，c}中。这个问题可以写成一个随机控制问题：VU，f=supu∈UEU，u（Zk）=supu∈UEU，uf-1Xi=1gi（Ui，ui）+gf（Uf）！。其中gi（Ui，ui）=zi，当Execi=1且ui=c时，否则所有i为0∈ {1，···，f- 1} ，且gf（Uf）=Zfwhen Execf∈ {0，1}，否则为0。我们要计算VU，f=supu∈UEU，u（Zk），使用动态规划算法：Gf=ZfGn=最大值（PcnGn+1，PsnGn+1）n∈ {0，1，···，f- 1} 。（4） 其中pn表示马尔可夫链Un的转移矩阵。4定性理解方程（4）提供了一个明确的前后向算法，可以通过数值求解：o步骤1前向模拟：从初始状态u开始，我们模拟f周期内的所有可达状态。o第2步反向模拟：在最后一个周期f，我们可以计算每个可达状态的gf。然后，使用后向方程（4），我们可以递归地计算GiknowingGi+1以得到G。在本节中，我们将给出并评论模拟结果。有关前向-后向算法的更多详细信息，请参阅附录A。我们将比较两种情况：o第一种称为（NC）的情况对应于未采用控制的情况（即我们始终保持在订单中，每次更改时都“加入最佳出价”。o第二种称为（OC）的方法对应于最优控制情况：考虑控制“c”和“s”。此外，我们给出了两种不同情况下的模拟结果：o框架（CONST）：插入和取消的强度恒定：λ相同，+k=λOpp，+k=0.06和λ相同，-k=λOpp，-k=0.5k∈ {0，1，···，f}。

在（CONST）下，输入量Qin和发现量Qd也是常数框架（IMB）：取消和插入的强度是不平衡的函数，例如k∈ {0，1，···，f}：λOpp，+kQOppk，QSamek= λ相同，+kQSamek，QOppk= λ++β+QOppk（QOppk+QSamek）λOpp，-kQOppk，QSamek= λ相同，-kQSamek，QOppk= λ-+ β-QSamek（QOppk+QSamek），其中λ±是基本插入和取消意图，β±是表示订单流量对不平衡敏感性的可预测性参数。此外，在（IMB）下，插入量和发现量按以下方式计算：–当QOppkis完全消耗时，我们设置QDisck=dqdisc+θdisc·QSameke和Qins=dqins+θins·QSameke。其中，θdisc和θinsare系数与液体度相关，d.e是上舍入。qdiscand qin是基本的发现量和输入量同样，当QSamekis完全消耗时，我们设置QDisc=dqdisc+θdisc·QOppke和QIns=dqins+θins·QOppke。这种关系符合【Huang等人，2015年】的经验发现，与【Cont and De Larrard，2013年】的不同之处在于，QDisc=QInsis独立于流动性失衡。4.1数值求解控制问题4.1.1逆向选择预期最优策略使用取消来避免逆向选择。例如，当同一侧的数量远远低于另一侧的数量时，预计会取消订单，以等待更好的未来机会。最优控制考虑了这种影响，当出现如此高的逆向选择影响时，会取消订单。我们保留第3节的注释。设u：={uk，k<f}a控制，我们定义EU，u(P | Exec）=EU，u（Zk）。EU，u(P | Exec）取决于控制u、订单UAN的初始状态和终端周期f。

数量EU，u(P | Exec）可以通过访问马尔可夫链Uun的所有可能状态的前向算法直接计算。有关马尔可夫链Uun的转移概率的更多详细信息，请参阅附录a。数量EU，u(P | Exec）很有趣，因为它对应于我们的最优控制问题中要最大化的数量，并且它代表了代理的可操作性/交易性。让uc控制代理在订单簿中的位置（即NC）和u*最佳控制（即OC）。图7。a表示EU的变化，u*(P | Exec）andEU，uc(P | Exec），当订单簿的初始不平衡度低于（CONST）时。如图7所示。a、 蓝点是初始状态，从一开始（即t=0）就留在订单簿中是最佳状态，而红点是初始状态，在t=0时取消订单是最佳状态。初始参数固定为λ相同，+=λOpp，+=0.06，λ相同，-= λOpp，-= 0.5，α=4，QDisc=6，QIns=4，f=20，q=1，P=10。此外，初始不平衡值是通过将Qopp从2变为12，Qafter从1变为11，而Qbefore保持恒定等于1来获得的。图7：。b与图7类似。a但在框架下（IMB）。如图7所示。b、 初始参数固定为λ+=0.06，λ-= 0.5，β+=0.075，β-= 0.25，qdisc=6，qins=2，θdisc=3，θdisc=0.5，α=4，f=20，P=10。类似地，当QBeforeis keptconstant等于1时，通过将Qopp从2变为12和Qafter从1变为11来获得初始不平衡值。（a） （b）-1-0.5 0.0 0.5 1.0初始不平衡-1.5-1-0.50.00.51.01.52.0EU0，u(P | Exec）NCOCFirst action is stayFirst action is cancel-1-0.5 0.0 0.5 1.0初始不平衡-1.5-1-0.50.00.51.01.5EU0，u(P | Exec）NCOCFirst action is stayFirst action is cancel图7：（a）（resp.（b））EU，u*(P | Exec）和EU，uc(P | Exec）当强度恒定（常数）（分别为。

（IMB））。在这些曲线上要注意的主要影响是最优控制预测不利选择的方式。当不平衡为高度负时，我们会取消订单（红点），以利用更好的未来机会。我们注意到，在框架（IMB）下，代理比在框架（CONST）下更早取消，因为为取消事件赋予了更多的权重。这一点详见**。附录C解释了图7左侧的向下坡度。a和7。b、 4.1.2价格改善源于避免逆向选择正如预期的那样，在最优控制（OC）情况下获得的结果优于非受控（NC）情况下获得的结果：通过取消并考虑流动性失衡，可以比只停留在订单上更有效。图8：。a显示价格改善的变化（分别为EU，u*(P |执行官）-欧盟，uc(P | Exec））当初始不平衡移动时，在两个框架（CONST）和（IMB）下。我们保持了图7中相同的初始参数。a和7。b、 类似地，图8。b表示变化量EU，u*（主键执行）-EU，uc（Pk | Exec），当初始不平衡移动时，在两个框架（CONST）和（IMB）下。PKI是执行时间k的中间价格。我们保留了图7中相同的初始参数。a和7。b、 （a）（b）-1-0.5 0.0 0.5 1.0初始不平衡-0.50.00.51.01.52.0EU0，u*(P |执行官）- EU0，u级(P | Exec）恒定强度（CONST）可变强度（IMB）-1-0.5 0.0 0.5 1.0初始不平衡-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.1EU0，u*（执行官）- EU0，u类（P | Exec）恒定强度（CONST）可变强度（IMB）图8：（a）EU，u*(P |执行官）- EU，uc(P | Exec）相对于（CONST）和（IMB）下的初始不平衡移动。（b） EU，u*（主键执行）-EU，uc（Pk | Exec）相对于初始不平衡移动相对于（CONST）和（IMB）下的初始不平衡移动。图8值得发表以下评论。

正如所料，最优控制比盲目的“加入投标”策略提供了更好的结果。如图8所示。a由于我们的控制最大化了EU，u，因此价格改善不是负的(P） 。当初始不平衡高度为正时，价格改善接近于0，但当初始不平衡高度为负时，通过避免逆向选择，价格改善变得高于0。类似地，图8。B表明，通过防止逆向选择，当不平衡高度负时，最优策略允许以较低的平均价格购买。4.1.3最优策略的平均持续时间简言之，最优策略旨在在最佳市场条件下（即在低逆向选择风险下）获得执行。它可以在策略的平均寿命（即“持续时间”）上读取。图9：。a比较强度恒定（CONST）时两种框架（NC）和（OC）中的平均策略持续时间。我们保持图7中相同的初始参数。a、 图9：。b与图9类似。a但在框架下（IMB）。最后，图9。cIndirectly，最大化EU，u(P | Exec）导致价格最小化。当强度取决于不平衡（IMB）时，显示两种框架（NC）和（OC）下的“停留比率”（即最优策略选择不取消其限制顺序的轨迹比例）。

图9：。b和9。使用图7中相同的初始参数计算c。b、 （a）（b）-1-0.5 0.0 0.5 1.0初始不平衡0510152025平均策略持续时间ncfcfirst action is stayFirst action is cancel-1-0.5 0.0 0.5 1.0初始不平衡246810214161820平均策略持续时间ncfcfirst action is stayFirst action is cancel（c）-1-0.5 0.0 0.5 1.0初始不平衡0.40.50.60.70.80.91.01.1在NC下的停留率在OCFirst action下的停留率在OCFirst action下的停留率是stayFirst action是Cancel图9：作为（a）在（CONST）下的初始不平衡和（b）在（IMB）下的初始不平衡函数的平均策略持续时间。（c） 停留率作为初始不平衡（IMB）的函数。在两个图9中。a和9。b、 最优控制的平均策略持续时间总是大于非最优控制。这是一个预期的结果，因为最优控制取消了订单，从而推迟了执行。此外，当存在高度逆向选择时（即IMB下的不平衡度为高度负），该算法取消订单。在这种情况下，最优控制的平均策略持续时间严格大于非最优控制的平均策略持续时间（见图9.a和9.b）。**如图9所示。b、 当强度取决于不平衡（IMB）时，平均策略持续时间有增加的趋势。事实上，在（IMB）下，当不平衡高度为正时，会为延迟执行的事件赋予更多权重。例如，当不平衡非常正时，出价队列将比相反的队列大很多。那么，在投标方获得执行的可能性很低：这就是为什么预计它会等待更多。此外，图9。c表明，当存在高度逆向选择时，代理变得更加活跃。实际上，当不平衡为负时（即。

高逆向选择），则“停留率”降低，因此“取消率”增加。接近t=0时，最优策略可以自由取消其限制顺序；但当Tfis接近时，它必须考虑几步跨越价差的成本。4.1.4终端约束的影响在本节中，我们希望阐明两个程式化事实：1。当剩余时间较多时，最优策略在良好的市场条件下表现更好。2、最优策略在接近终点时变得高度活跃。（a） （b）剩余时间0.250.300.350.400.450.500.55EU0，u*(P | Exec）恒定强度可变强度剩余时间-0.20.00.20.40.60.81.01.2稳定/取消比率%停留时间%取消时间图10：（a）EU，u*(P | Exec）相对于（CONST）和（IMB）下的剩余时间移动。（b） 保持-取消比率相对于（IMB）下剩余到期时间的变动。图10：。a比较EU的变化，u*(P | Exec）作为框架（CONST）和（IMB）下剩余时间的函数。初始不平衡固定为0.5。多亏了图10。a、 我们可以看到，剩余时间越多，最优策略越好。然而，曲线的凹度表明边际性能E类(P） t型tis正在减少。此外，图10。a还表明EU，u*(当成熟时间趋于一致时，P | Exec）可能会收敛到一个极限值。由于马尔可夫链是单遍历的（参见【Huang等人，2015年】），我们认为该极限值是唯一的，独立于订单簿的初始状态，并可能导致“几乎遍历”的状态。如图10所示。b、 我们表示最优策略取消订单的时间百分比，以及它决定保留在订单簿中的时间百分比，作为（CONST）和（IMB）下的保留时间的函数。初始不平衡固定为0.5。

感谢图10。b、 我们得出结论，在t=Tf附近更活跃是最佳的。如图10所示。A和10。b、 我们保持了图7中相同的初始参数。a和7。b4.2最新价格在第3节中，我们定义了马尔可夫链Uun，该链对应于能够在每个时期改变其控制权的市场参与者。较慢的参与者不会在每次限额订单移动时做出反应。因此，他可以用马尔可夫链Uuτn建模，其中τ对应于一个延迟因子，如τ∈ N*.使用前面章节的符号，我们定义了Zτ，fas与马尔科夫链Uuτn相关的最终约束。因此，我们用延迟因子τ定义了参与者的延迟成本，例如：LatencyU，f（τ）=VU，f- VU，f，ττ∈ N*（5） 式中，VU，f，τ=supu∈UEU，u（Zτ，f）。通过采用相同的数值前后向算法，可以数值计算延迟成本。这一成本可以转化为一种价值：这是交易者应该接受的技术支付价值，因为他将获得业绩方面的奖励。图11：。a和11。b显示在不同α值的框架（CONST）和（IMB）下，延迟成本相对于延迟因子τ的变化。初始不平衡固定为0.5，初始状态QAfter=2，QBefore=1，QOpp=1。我们保留了与图7相同的初始参数。a和图7。b、 （a）（b）1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5 5.0 5.5Latency0.20.40.60.81.0Latency costa）延迟成本VS延迟α=2α=5α=101.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5Latency0.10.20.30.40.60.70.8Latency costa）延迟成本VS延迟α=2α=5α=10图11：（a）延迟成本作为（CONST）下延迟因子τ的函数。（b） 对于α的不同值，延迟成本是延迟因子τ在（IMB）下的函数。数值结果表明：o延迟成本随延迟因子τ（cf。