仿射定价核的长期因子分解

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英文标题：
《Long-Term Factorization of Affine Pricing Kernels》
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作者：
Likuan Qin and Vadim Linetsky
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper constructs and studies the long-term factorization of affine pricing kernels into discounting at the rate of return on the long bond and the martingale component that accomplishes the change of probability measure to the long forward measure. The principal eigenfunction of the affine pricing kernel germane to the long-term factorization is an exponential-affine function of the state vector with the coefficient vector identified with the fixed point of the Riccati ODE. The long bond volatility and the volatility of the martingale component are explicitly identified in terms of this fixed point. A range of examples from the asset pricing literature is provided to illustrate the theory.
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中文摘要：
本文构造并研究了仿射定价核的长期因子分解，将其分解为长期债券的收益率贴现和鞅分量，从而实现了概率测度向长期远期测度的转变。与长期因子分解密切相关的仿射定价核的主要特征函数是状态向量的指数仿射函数，其系数向量由Riccati ODE的不动点确定。根据这个不动点，明确地确定了长期债券波动率和鞅分量的波动率。本文提供了资产定价文献中的一系列示例来说明该理论。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-25 17:39:05 上传

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关键词：Mathematical Quantitative mathematica Exponential coefficient

A ffinepricing核的长期因子分解*Likuan Qin+和Vadim Linetsky西北大学工业工程与管理科学系McCormick工程与应用科学学院摘要本文构建并研究了有效定价核的长期因子分解，将其转换为长期债券收益率的贴现，以及实现概率变化的可分割成分th测量到远期测量。与长期因子分解密切相关的pricingkernel的主要特征函数是状态向量的指数函数，其系数向量与R码的固定点相同。长期债券波动率和鞅成分的波动率在此固定点上明确确定。本文提供了资产定价文献中的一系列示例来说明这一理论。*本文基于国家科学基金会资助的CMMI-1536503研究。+likuanqin2012@u.northwestern.edulinetsky@iems.northwestern.edu1随机贴现因子（SDF）是无套利资产定价模型中的一个基本对象。它将今天的价格分配给另类投资领域的风险未来回报。它通过同时贴现未来和调整风险来实现这一点。SDF的一个常见代表是将其分解为无风险利率贴现和调整风险的鞅成分。该方法实现了风险中性概率测度的概率变化。最近，Alvarez和Jermann（2005）、Hansen等人（2008）、Hansen和Scheinkman（2009）以及Hansen（2012）介绍并研究了SDF的另一种长期因子分解。

长期因式分解中的过渡成分以渐进长期到期的纯贴现债券（长期债券）的回报率进行贴现。永久分量是一个鞅，它实现了对长期向前测度的概率变化。Qin和Linetsky（2017）研究了一般半鞅背景下的长期因子分解和长期向前测度。SDF的长期因式分解在长期资产定价和风险回报交易期限结构的理论和实证研究中的应用特别方便。除上述参考文献外，关于长期系数化及其应用的文献越来越多，包括Hansen和Scheinkman（2012）、Hansen和Scheinkman（2017）、Boroviˇcka et al.（2016）、Boroviˇcka et al.（2011）、Boroviˇcka和Hansen（2016）、Bakshi和Chabi Yo（2012）、Bakshi et al.（2015）、Christensen（2017）、Christensen（2016）、Qin和Linetsky（2016）、Qin et al.（2016），Backus等人（2015），Filipovi\'c等人（2017），Filipovi\'c等人（2016）。该文献中的实证研究表明，长期因素中的鞅成分具有高度的波动性和经济意义（尤其是基于定价核边界的结果，请参见Bakshi和Chabi-Yo（2012），与宏观经济基本面相关的基于结果的结构性资产定价模型，以及Qin等人。

（2016）关于基于定价核的显式参数化的结果，其中，尤其是对测量值P、Q和L之间的关系进行了实证研究）。本论文的重点是分析综合效应模型中的长期因素分解，从提供在综合资产定价模型中构建长期因素分解的用户指南的角度出发，以及将综合效应模型作为一个方便的实验室来说明长期因素分解的理论。由于其分析和计算的可处理性，金融差异是连续时间金融中的工作马模型（Vasicek（1977），Cox et al.（1985），Du ffe and Kan（1996），Du ffe et al.（2000），Dai and Singleton（2000），Du ffe et al.（2003））。在本文中，我们证明了Hansen和Scheinkman（2009）确定长期因式分解（如果存在）的主要特征函数在一个模型中必然是指数形式，系数向量在指数中与相应Riccati ODE的固定点相同。这使我们能够给出一个完整的解释，并在一个有效模型中说明长键、鞅分量和长向测度的动力学。特别是，我们明确证明，当Riccati ODE与定价核心po ssessesa fix point关联时，a fie模型满足Qin和Linetsky（2017）定理3.1中的有效条件，因此存在长期限制。在第2节中，我们回顾和总结了基于布朗运动模型的长期因子分解。在第3节中，我们给出了关于定价核长期因子分解的一般结果。

定理3.2给出了主要结果，其中布朗风险的市场价格被显式分解为与长期债券的波动性确定的长期措施下的风险市场价格和确定鞅分量的剩余风险市场价格，完成从数据生成到长期措施的概率变化。后一部分由Riccati ODE的固定点决定。在第4节中，我们研究了资产定价文献中的一系列定价内核示例。2布朗环境中的长期因式分解我们研究的是一个完全过滤的概率空间(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）。我们假设经济中的所有不确定性都是由n维布朗运动wp产生的，并且（Ft）t≥0是WPt生成的（已完成）过滤。我们假设没有套利和市场摩擦，因此存在一个严格正的定价核过程，其形式为It^o半鞅。更准确地说，我们假设定价内核遵循It^o过程（·表示向量点积）dSt=-rtStdt- Stλt·dWPtwithRt | rs | ds<∞ 以及布朗风险向量λtsuch的市场价格，该过程mt=e-Rtλs·dWPs-Rtkλskds是一个鞅（Novikov条件EP[eRtkλskds]<∞ 对于每个t>0的情况）。在这些假设下，定价核具有风险中性因子分解ST=AtMt=e-RtrsdsMtinto无风险短期利率贴现RTRSDSM确定无风险资产（货币市场账户）at=ERTRSDS和指数鞅Mt，用布朗风险的市场价格λt确定其波动性。我们还假设EP【ST/ST】<∞ 对于所有T>T≥ 0

任意两个日期的SDF ST/ST的可积性T>表示零息票债券价格处理的时间Tttt：=EPt[ST/ST]，T∈ [0，T]对于所有日期T>0（Et[·]=E[·| Ft]）都有很好的定义。因为对于每个T，T期限零息票债券价格过程可以写成PTt=MTtPT/St，其中MTt=StPTt/PT=EPt[St]/EP[St]是一个正鞅∈ [0，T]，我们可以应用鞅表示定理来证明dmtt=-MTtλTt·dwpt与一些λTt，并进一步声称债券价格过程具有代表性dptt=（rt+σTt·λt）PTtdt+PTtσTt·dwpt与波动过程σTt=λt- λTt。继Qin和Linetsky（2017）之后，对于每一个固定的T>0，我们定义了一种自我融资交易策略，将T到期零息票债券的投资展期如下。修正T并考虑自融资展期策略，从时间零点开始，将一个账户单位投资于T到期零息票债券的1/pt单位。债券到期时，该策略的价值为1/p账户单位。我们通过重新投资于到期日为2T的零耦合债券的1/（PTP2TT）单位来滚动收益。我们继续采用展期策略，每次kTre都将收益投资于债券P（k+1）TkT。我们表示这种自我融资策略的估值过程BTt：BTt=kYi=0P（i+1）TiT！-1P（k+1）Tt，t∈ [kT，（k+1）T），k=0，1，…。对于每个T>0，为所有T定义了过程bt≥ 0、进程stbttext结束对所有t的启动MTT≥ 因此，它定义了每个T的T向前测量值QT | Ft=MTtP | Fton Ft≥ 0，其中T现在具有复合区间长度的含义。在T向前度量qt扩展到所有Ft下，翻滚策略（BTt）T≥0以复利间隔T作为计价资产。

继Qin和Linetsky（2017）之后，我们继续将该措施扩展到所有Ftfort≥ 0“T”为“ward”度量，并使用相同的编号，因为它降低到了FT上向前度量的标准定义。自翻滚策略（BTt）T≥0和所有t≥ 0，我们可以为所有T写定价核的T-forward f函数化≥ 0：St=BTtMTt。我们现在回顾Qin和Linetsky（2017）对长期债券和长期远期措施的定义。定义2.1。（长期债券）如果财富过程（BTt）t≥T-到期债券中的0个展期策略收敛于严格正半鞅（B∞t） t型≥0概率为T的紧集上的一致→ ∞, i、 e.对于所有t>0和K>0限制→∞P（辅助≤t |基站- B∞s |>K）=0，我们称其极限为长键。定义2.2。（长向前测量）如果存在测量值Q∞等价于P，使得T向前测度强收敛于Q∞在每个方面，即限制→∞QT（A）=Q∞（A） 对于每个A∈ F和每个t≥ 0，我们将极限称为长向前测度，并将其表示为L。Qin和Linetsky（2017）证明的以下定理给出了一个有效条件，确保在半鞅拓扑中收敛到长键，其在定义1中强于ucp收敛，在总变差中T向前测度收敛到长向前测度，这比定义2中的强一致性更强（我们参考Qin和Linetsky（2017）以及在线附录以获取证据和细节）。定理2。1.（长期因式分解和长期向前测度）假设对于每个t>0，pricin gkernel St的Ft条件期望与其无条件期望的比率在Las t中收敛到正极限→ ∞（P下），即。

对于每一个t>0，存在一个几乎肯定为正的Ft可测随机变量，其中我们表示M∞tsuch thatEPt[ST]EP[ST]L-→ M∞助教T→ ∞. （2.1）那么以下结果成立：（i）随机变量的集合（M∞t） t型≥0是正P-鞅，且鞅族（MTt）t≥0接近鞅（M∞t） t型≥半鞅拓扑中的0。（ii）长期债券估值过程（B∞t） t型≥0存在，并且滚动策略（BTt）t≥0接近长期债券（B∞t） t型≥半鞅拓扑中的0。（iii）定价核心具有长期的行为化ST=B∞tM公司∞t、 （2.2）（iv）t-前向测度qt在每个Ft上的总变量中收敛于长向测度L，并且L与Ft上的P和Radon-Nikodym导数M相等∞t、 流程B∞这是对持有渐近长期期限的零息票债券从时间零点到时间t所获得的gr oss回报的解释。长期债券是长期远期指标L下的计价资产，因为定价核心变为1/B∞tunder L.pricingkernel（2.2）的长期因式分解将其分解为按长期债券的回报率进行贴现，以及编码进一步风险调整的可分割成分。假设定理2.1中的条件（2.1）在本文的布朗设置中成立。那么，长期债券的估值过程是一个It^o半鞅，其表达式为Db∞t=（rt+σ∞t·λt）B∞tdt+B∞tσ∞具有一定波动过程σ的t·dwpt∞Tsch认为过程M∞t=机顶盒∞tsatisfyingdM∞t=-M∞tλ∞t·dwpt带λ∞t=λt- σ∞tis a mar t ingale（长期因子分解中的永久成分）。

因此，布朗设置中的长期因子izat ion公式（2.2）产生了布朗风险λt=σ的市场价格分解∞t+λ∞tinto长期债券的波动性σ∞tand波动率λ∞tof鞅M∞t、 通过Girsanov定理，利用L-布朗运动WLt=WPt+Rtλ，将概率测度从数据生成测度P变为长向测度L∞sds。3定价核的长期因式分解我们假设基础经济由马尔科夫过程X描述。我们进一步假设X是一个因式分解，定价核S是指数因式分解和X的时间积分。因式分解模型由于其分析的可处理性，在连续时间内被广泛使用（Vasicek（1977），Cox et al.（1985），Duffee和Kan（1996），Duffee等人（2000），Dai和Singleton（2000），Duffee等人（2003））。我们首先简要总结了一些关于差异的关键因素。我们请读者查阅菲利波维奇和梅尔霍夫（2009）的详细信息、证据和有关差异的文献参考。对于某些m，n，我们使用的过程在状态空间E=Rm+×rn上求解以下SDE≥ 0，m+n=d，其中Rm+=x个∈ Rm：xi≥ 0表示i=1。。。，m级:dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWPt，X=X，（3.1），其中wp是一个d维标准布朗运动，扩散矩阵α（X）=σ（X）σ（X）+（这里+表示矩阵转置以将其与上标区分开来），漂移向量b（X）在X中都是有效的：α（X）=a+dXi 1xiαi，b（X）=b+dXi 1xiβi=b+bx对于一些d×d矩阵a和αi以及d维向量b和βi，其中，我们用B=（β，…，βd）表示d×d矩阵，第i列向量βi，1≤ 我≤ d、 X的FirstTM坐标为CIR类型a和非负坐标，而最后n个坐标为OU类型。

定义指数集I={1，…，m}和J={m+1，…，m+n}。对于任意向量u和矩阵ν，以及索引集M，N∈ {I，J}，我们用uM=（uI）I表示∈M、 νMN=（νij）i∈M、 j∈n相应的子向量和子矩阵。为了确保过程保持在域E=Rm+×Rn中，我们需要以下假设（参见Filipovi\'c和Mayerhofer（2009））假设3.1。（容许性）（1）aJJandαi，JJare对称正半定义，对于所有i=1，2。。。，m、 （2）aII=0，aIJ=a+JI=0，（3）αj=0，对于j∈ J、 （4）对于k，αi，kl=αi，lk=0∈ 所有1的I \\{I}≤ k、 l≤ d、 （5）bI≥ 0，BIJ=0，BIIhas非负对角元素。条件bI≥ CIR型组件漂移中的常数项为0，表示过程停留在状态空间E中。假设BI>0，可确保过程瞬时从边界反射E并重新输入状态空间intE=Rm++×Rn的内部，其中Rm++=x个∈ Rm：xi>0对于i=1。。。，m级. 对于满足假设3.1的任何参数，存在SDE（3.1）的唯一强解（参见Filipovi\'c和Mayerhofer（2009）的定理8.1）。用px表示x的SDE（3.1）的解xxx的定律∈ E、 Px（Xt∈ A） ：=P（Xxt∈ A） 。然后Pt（x，A）=Px（Xt∈ A） 为所有t定义≥ 0，Borel子集A ofE和x∈ 定义马尔可夫转移半群（Pt）t≥0在Banach空间上，由Ptf（x）：=REf（y）Pt（x，dy）在E上的可测边界函数。如Du ffie等人（2003）所示，这个半群是Feller，即它使连续函数的空间在完整不变时消失。因此，马尔可夫过程（（Xt）t≥0，（Px）x∈E） 是E上的Feller过程。它在E上有连续的路径，并且具有强Markovproperty（参见Yamada和Wat anabe（197 1），推论2，p.162）。因此，这是一个无聊的过程（实际上是一个狩猎过程）。我们对定价核做出以下假设。假设3.2。