仿射定价核的长期因子分解

（一个定价核）我们认为定价核是Xα中的指数，其时间积分为：St=e-γt-u+（Xt-X）-Rtδ+Xsds，（3.2），其中γ是标量，u和δa是d向量，+表示矩阵转置。这种形式的定价核是马尔可夫过程X的正乘法函数。相关的定价算子pti由PTF（X）=EPx[Stf（Xt）]定义，用于马尔可夫状态的支付。我们请读者参阅Qin和Linetsky（2016a），了解马尔可夫定价运营商的详细处理方法。由于以下关键结果表明，纯贴现债券收益率的期限结构在状态向量X中是一个函数（参见Filipovi'c和Mayerhofer（2009）定理4.1），因此F r m（3.2）中的定价内核被称为一个函数。提案3.1。让T>0。以下陈述是等效的：（i）EP【ST】<∞ 对于所有固定初始状态X=X∈ Rm+×Rn。（ii）存在唯一的解（Φ（·），ψ（·））：[0，T]→ 以下Riccati方程组到时间T的R×Rd：Φ′（T）=-ψJ（t）+aJJψJ（t）+b+ψ（t）+γ，Φ（0）=0，ψ′i（t）=-ψ（t）+αiψ（t）+β+iψ（t）+δi，i∈ 一、 ψ′J（t）=B+JJψJ（t）+δJ，ψ（0）=u.（3.3）在任何一种情况下，纯贴现债券估值过程（带单位支付）都是X中的指数：PTt=EPt[ST/ST]=（PT-t1）（x）=P（T- t、 Xt）=e-Φ（T-t）-（ψ（T-t）-u） +Xxt（3.4）适用于所有0≤ t型≤ T≤ t+t和SDE初始条件x∈ Rm+×Rn。因为在本文中，我们的长期假设是EP[St]<∞ 对于所有t，在这种情况下，Riccati ODE系统具有所有t的解ψ（t）和Φ（t），债券定价函数输入零息票债券过程的表达式（3.4）（t，x）=（Pt1）（x）=e-Φ（t）-（ψ（t）-u） +x（3.5）定义为所有t≥ 0和x∈ E、 接下来，我们证明了a ffne定价核总是具有a ffne短期利率函数的风险中性因式分解。定理3.1。

（有效定价核的风险中性因子分解）假设X满足假设3.1和定价核满足假设3.2，以及假设EPx【St】<∞ 对于所有t≥ 0和每个固定初始状态x=x∈ Rm+×Rn。（i） 然后，定价核允许风险中性因子分解ST=e-Rtr（Xs）dsMtwith a ffine short rater（x）=g+h+x，（3.6），g=γ-u+JaJJuJ+b+u，hi=δi-u+αiu+β+iu，i∈ 一、 hJ=δJ+B+JJuJ（3.7）和鞅mt=e-Rtλ+sdWPs-Rtkλskds，市场价格为布朗风险（d-vector列）λt=σ（Xt）+u，（3.8），其中σ（x）是SDE（3.1）中s状态变量x的体积矩阵，Kλtk=λ+tλt=u+α（Xt）u。（ii）在鞅定义的风险中性度量Q下，x readsdXt的动力学=（b（Xt）- α（Xt）u）dt+σ（Xt）dWQt，（3.9），其中WQt=WPt+Rtλsds是Q证明下的标准布朗运动。（i） 定义流程Mt：=SteRtr（Xs）ds。它也是式（3.2）的形式，γr替换为γ- g和δ替换为δ- h、 因此，命题3.1也成立，如果我们用Mt代替st，用γ代替γ-g并将δ替换为δ-h、 即EPt【公吨/公吨】=e-Φ（T-t）-（ψ（T-t）-u） +Xxt，其中Φ′（t）=-ψJ（t）+aJJψJ（t）+b+ψ（t）+γ- g、 Φ（0）=0，ψ′i（t）=-ψ（t）+αiψ（t）+β+iψ（t）+δi- 嗨，我∈ 一、 ψ′J（t）=B+JJψJ（t）+δJ- hJ，ψ（0）=u。通过在等式（3.7）中选择g和h，上述ODE的解为Φ（t）=0，ψ（0）=u，这意味着EPt【MT/MT】=1。这表明mt是一个鞅。此外，将SD E用于a ffne状态X，我们可以将mt转换为指数比例形式E-Rtλ+sdWPs-Rtkλskds。λtgiven在（3.8）中。（ii）Q下r X的SDE遵循Gir-sanov定理。接下来，我们将讨论定价核的长期因子分解。定理3.2。（一个定价核的长期因式分解）假设Riccati ODE（3.3）的解ψ（t）收敛到一个固定的po i nt v∈ Rd：限制→∞ψ（t）=v。

（3.10）则以下结果成立。（i） 满足条件等式（2.1），因此，定理2.1中的所有结果均成立。（ii）长期债券为g i ven b yB∞t=eλtπ（Xt）π（X），（3.11），其中π（X）=e（u-v） +x（3.12）是定价运算符PtPtπ（x）=e的正指数特征函数-具有特征值e的λtπ（x）-λtwithλ=γ-v+JAJVJ+b+v（3.13）被解释为长期零耦合收益：limt→∞-ln P（t，x）t=λ（3.14），对于所有x.（iii）长键具有P-测度动力学：dB∞t=（r（Xt）+（σ∞t） +λt）B∞tdt+B∞t（σ∞t） +dWPt，其中长键的（列向量）v可用性由以下公式给出：σ∞t=σ（Xt）+（u- v） 。（3.15）（iv）PK M长期因式分解中的鞅分量∞t=机顶盒∞t可在表格中书写∞t=e-Rt（λ∞s） +dWPs-Rtkλ∞skds，（3.16），其中λ∞t=λt- σ∞t=σ（Xt）+v.（3.17）（v）布朗风险市场价格的长期分解如下：λt=σ∞t+λ∞t、 其中σ∞这是长期债券的波动率（3.15）和λ∞tgiven in（3.17）定义了马丁格尔（3.16）。（vi）在长forwa rd测度L下，状态向量Xt解出以下SDEdXt=（b（Xt）- α（Xt）v）dt+σ（Xt）dWLt，（3.18），其中WLt=WPt+Rtλ∞sds是L下的d维拉伸布朗运动，长键具有L测度动力学：dB∞t=（r（Xt）+kσ∞sk）B∞tdt+B∞t（σ∞t） +dWLt。证据因为R iccati ODEψ（t）的解收敛为常数t→ ∞,等式（3.3）的右侧也收敛到一个常数。这意味着ψ′（t）也收敛到一个常数。这个常数必须消失，否则ψ（t）不能收敛到常数。因此，等式（3.3）的右侧也收敛到零。所有这些都意味着ψ（t）=v是Riccati方程的平稳解。（3.3）。

将Propo position 3.1应用于表单1/B的a ffine内核∞t、 其中B∞在（3.11）中定义的过程中，可以得出等式（3.12）中定义的π（x）是具有特征值（3.13）的定价运营商的惯性函数。然后我们可以验证∞t： =Steλtπ（Xt）π（X）是鞅（带M∞= 1） 。我们可以用它来定义一个新的概率度量qπ| Ft：=M∞tP | fta与本征函数π（x）有关。Xtunder Qπ的动力学遵循fr-omGirsanov定理。我们强调π（x）是定价半群算子的本征函数，而不仅仅是生成元的本征函数。一般来说，生成元的本征函数不可能是半群的本征函数。这种情况只会导致局部鞅。在我们的例子中，通过构造，π（x）是半群的n个本征函数，并且过程M∞这是一个马丁格尔，而不仅仅是一个局部鞅。现在，我们证明条件（2.1）在定理3.2中的假设下成立。我们首先在概率度量Qπ：limT下对其进行e-write→∞等式πPTtPTB∞t型- 1.= 0。（3.19）我们现在将验证，在我们的假设下，这确实成立。首先通过等式（3.4）观察：PTtPTB∞t=e-λt-（Φ（T-t）-φ（T））-（ψ（T-t）-v） +（Xt-十） 。自限制以来→∞ψ（T）=v和limT→∞Φ′（T）=λ，我们有那个极限→∞PTtPTB∞t=1几乎可以肯定。接下来，我们展示Lconvergence。首先，我们观察到，对于任何>0，都存在一个T>Tψi（T- t）- 六|≤ 为了所有我∈ 我和-λt-（Φ（T-t）-φ（T））+（ψ（T）-v） +X≤ 1+。因此PTtPTB∞t型- 1.≤ 1个+PTtPTB∞t型≤ 1+（1+）Xki=±ek+Xt。由于Xt在Qπ下仍然是一个函数，根据Filipovi\'c和Mayerhofer（2009）的定理4.1，存在>0，使得对于所有向量k，ek+Xt在Qπ下是可积的，因此Ki=±。因此，根据支配收敛定理，等式（3.19）成立。

这证明了（i）和（ii）（等式（3.14）源自等式（3.5）和Φ′（t）→ λ为t→ ∞).（iii）遵循式（3.11）和伊藤公式。为了证明（iv），我们注意到定理2.1 M∞这是一个鞅。根据It^o公式，其波动率为-λ∞t、 这证明了（iv）。第（v）部分来自等式（3.17）。为了证明（vi），首先不是e，等式（3.16）和Girsanov定理意味着WLt=WPt+Rtλ∞sds是一个L-Br ownian运动。XT和B的动力学∞tunder L随后出现。定理3的经济意义在于，Riccati方程解的不动点v的存在足以证明长期极限的存在。固定点v本身通过初始特征值（15）确定等式（17）中长期债券的波动性和等式（16）中长期零息票收益率。我们注意到，Qin和Linetsky（2017）定理3.2中的条件在一系列模型中自动满足。事实上，从公式（3.5）中，当Riccati方程有一个固定点v时，从本文的定理3.2中，我们得到了Limt→∞P（T- t、 x）P（t，x）=eλt，我们可以写出P（t，x）=e-λtLx（t），其中Lx（t）=eλtP（t，x）是每个x的时间t的缓慢变化函数。根据公式（3.14），特征值λ与共有长期零息票收益率一致。我们注意到，由于ψ（t）=v是Riccati OD E（3.3）的平稳解，向量v满足以下二次向量方程：v+αiv+β+iv- δi=0，i∈ 一、 B+JVJ- δJ=0。然而，一般来说，该二次向量方程可能具有多个解，从而产生多个指数特征函数。为了确定确定长期因式分解的解（如果存在），必须验证v是Riccatti ODE的极限解，即等式（3.10）成立。

在这方面，我们记得，秦和莱因茨基（2016）用二次向量方程的最小解确定了一个定价核的唯一递归特征函数π（见秦和莱因茨基（2016）在线电子伴侣中的附录F）。我们认为，对于马尔可夫定价核S（参见Hansen和Scheinkman（2009）以及Qin和Linetsky（2016）），我们可以将鞅πt=Steλtπ（Xt）π（X）与任何正特征函数π（X）相关联。一般来说，正本征函数不是唯一的。Qin和Linetsky（2016）证明了一个递归特征函数π的唯一性，该函数定义为定价核S的正特征函数，即EPx[Stπ（Xt）]=e-λtπ（x）对于某些λ，在使用相关鞅MπRtas Radon-Nikodym导数定义的局部等效概率测度（本征测度）QπRde下，马尔科夫态过程x是循环的。然而，一般来说，在没有额外假设的情况下，与二次向量方程的最小解相关的递归特征函数πras可能与特征函数πlgerman在长期极限上重合，也可能不重合，因此，长前移测度可能与递归特征测度重合，也可能与之不重合（R iccati ode的固定点v可能是也可能不是二次向量方程的最小解）。在其他指数遍历性假设下，Riccati ODE的固定点必然是二次向量方程的最小解，并且πR=πL。如果指数遍历性假设不满足，则它们可能不同，或者一个可能存在，而另一个不存在。关于指数遍历性假设，请读者参考秦和莱因茨基（2016）和秦和莱因茨基（2017）。a ffene模型的可分析性使我们能够提供完全明确的示例来说明这些理论可能性。

在下一节中，我们将给出一系列示例。4示例4.1 gersoll-Ross模型中的Cox假设状态遵循循环变化（Cox et al.（1 985））：dXt=（a- κPXt）dt+σpXtdWPt，（4.1），其中a>0，σ>0，κP∈ R、 wp是一维标准布朗运动（在这种情况下，m=d=1，n=0）。考虑表（3.2）中的CIR定价核心。短速率由（3.6）给出，g=γ+au，h=δ- uκP- uσ/2。为简单起见，我们选择γ=-au和δ=1+uκP+uσ/2，因此可以用状态变量rt=Xt来识别短期利率。布朗风险的市场价格为λt=σu√Xt。在Q下，短期利率遵循过程（3.9），这也是一种差异，但平均回复率不同：κQ=κP+σu。Riccati ODEψ′（t）=-σψ（t）- 初始条件为ψ（0）=u的κPψ（t）+δ可以很容易地确定。自从-uσ-uκP+δ=1>0，我们知道ψ（0）=u在二次方程的两个根之间-σx- κPx+δ=0。这立即意味着ψ（t）收敛到更大的根，即limt→∞ψ（t）=pκp+2σδ- κPσ=qκq+2σ- κPσ=κL- κPσ=：v，其中我们引入以下公式：κL=qκq+2σ。因此，CIR模型中的长键由B给出∞t=eλt-κL-κQσ（Xt-十） λ=a（κL- κQ）σ（4.2）和长期债券波动率σ∞t=-κL- κQσpXt。在长远期措施下，状态遵循过程（3.18），这也是一种差异，但平均逆转率κL>κQ有所不同。固定点V与长远期措施L下的平均逆转率和da生成措施P之间的差异成正比。它通过λ定义了L下的风险市场价格∞t=vσ√Xt。我们注意到，如果选择u=(-κP±PκP- 2σ）/定价核规范中的σ，然后v=0和λ∞t=0，因此长期因子中的边际成分是退化的，定价核是与转移无关的形式。

在这种情况下，κP=κLso表示数据生成度量值与long-for-ward度量值一致。这是罗斯恢复定理的条件（参见Qin和Linetsky（2016）了解更多详细信息）。由于CIR零息票债券定价函数的封闭式解是可用的（Cox等人（1985）），这些结果也可以通过直接计算极限来恢复→∞P（T- t、 y）P（t，x）=eλtπ（y）π（x），特征值λ由式（4.2）给出，特征函数π（x）=e-κL-κQσx.备注4.1。Boroviˇcka等人（2016年）在第2513页的示例4中也考虑了由单一CIR因素驱动的指数定价内核。然而，他们对PK的规定是一种特殊形式，即对于短速率，公式（4）中的h=0（对应于我们参数化中的选择δ=uκP+uσ/2）。因此，所有对CIR因子的依赖都包含在其PK的风险中性因子分解的鞅分量中，短期利率为常数。在这种特殊情况下，长期债券是确定性的，长期远期措施与风险中性措施简单相等，因为短期利率与状态变量无关。在这种特殊情况下，定价算子有两个不同的正特征函数。其中一个特征函数是常数。该特征函数定义了风险中性度量，在这种情况下，由于短期利率和状态变量的特征函数的独立性，该度量与远期度量一致。第二个特征函数（Boroviˇcka et al.（2016）中的公式（19））定义了一个概率度量，它不同于风险中性度量，因此也不同于长期前瞻度量。根据CIR过程的特定参数值，两个特征函数中的任何一个都可以作为递归特征函数。

与其他本征函数相关的本征测量值不会重复出现，因为CIR过程在该测量值下会有非均值回复漂移。4.2吸收为零的CIR模型：存在L，QπRDoesNot存在我们接下来考虑退化CIR模型（4.1），其中a=0，σ>0，κ∈ R、 当扩散结束时，扩散在零处有一个吸收边界，即在有限时间内达到零的正可能性，一旦达到，过程在所有后续时间都保持在零，概率为1。考虑等式（3.2）形式的定价核心。短速率由（3.6）给出，g=γ，h=δ- uκP-uσ。我们假设γ=0，δ=1+uκP+uσ>0，因此短期利率Rt取inR+。布朗风险的市场价格为λt=σu√在Q下，短期利率遵循过程（3.9），这再次是一个吸收边界为零的循环微分，但具有不同的平均回复率κQ=κP+σu。很明显，在任何局部等效度量下，零r emains吸收，不存在循环本征函数。然而，我们可以用与CIR模型分析相同的方法来表明B∞t=e-κL-κQσ（Xt-十） κL=qκq+2σ是长键，XT用a=0和平均回复率κLunder L求解CIR SDE（4.1）。事实上，长键和长前向测度的处理方法与a>0的非简并示例完全相同，即使这种情况下吸收为零。在这种情况下，特征值退化，λ=0，渐近长期零息票收益率消失，对应于在零处短期利率的最终吸收。4.3 Vasicek模型我们的下一个例子是Vasicek（19 77）模型，其状态变量如下：dXt=κ（θP- Xt）dt+σdwpt，κ>0，σ>0（在这种情况下，m=0，n=d=1）。考虑表单（3.2）中的定价核心。

短速率由（3.6）给出，其中g=γ+uκθP-uσ和h=δ-uκ。为简单起见，我们选择γ=-uκθP+uσ，δ=1+uκ，因此短期利率与状态变量rt=Xt一致。在这种情况下，布朗风险的市场价格是恒定的，λt=σu。在Q下，短期利率遵循过程（3.9），在这种情况下，这也是O u差异，但具有不同的长期平均值θQ=θP-σuκ（平均逆转率κ保持不变）。ODEψ′（t）=-初始条件为ψ（0）=u的κψ（t）+δ为ψ（t）=-（Δκ+u）e-κt+Δκ，该极限产生固定点极限→∞ψ（t）=Δκ=：v。因此，Vasicek模型中的长键由b给出∞t=eλt-κ（Xt-十） 长期收益率λ=θQ-σ2κ和长期债券波动率σ∞t=-σκ。在长期远期衡量下，短期利率遵循过程（3.18），即获得OU差异，但具有不同的长期平均值θL=θQ-σκ（平均外翻率保持不变）。4.4非均值回复高斯模型：QπRexsts，L不存在假设XT是一个具有有效漂移和恒定波动性的高斯扩散，XT=κ（θ- Xt）dt+σdWPt，但现在κ<0，因此该过程不是均值回复。考虑一个风险中性定价内核，该内核以rt=Xt（即St=e）的折扣率进行折扣-RTXSD。然后，纯贴现债券价格由PTt=P（Xt，T）给出- t） p（x，t）=A（t）e-xB（t），B（t）=1- e-κtκ，A（t）=expn（θ-σ2κ）（B（t）- t）-σ4κB（t）o。很容易看出比率P（y，t- t） /P（x，t）没有明确的极限asT→ ∞ 因此，PTt/PTt不收敛为T→ ∞. 因此，在这种情况下，长键和长前向测度L不存在。然而，在这种情况下，递归智能函数π和递归特征测度QπRdo存在，并在第6.1节中明确给出。Qin和Linetsky（2016）第3页。