仿射定价核的长期因子分解

在QπR下，Xtis theOU过程具有均值回复（因为κ<0）：dXt=（σ/κ- κθ+κXt）dt+σdWQπRt.4.5 Breeden模型我们的下一个示例是Hansen和Scheinkman（2009）示例3.8中考虑的Breeden（1979）消费CAPM的特例。有两个独立的因素，一个随机波动性因素xVT根据CIR过程演变dxVT=κv（θv- Xvt）dt+σvpXvtdWv，pT和平均回复生长因子xgt根据OU过程演变dxgt=κg（θg- Xgt）dt+σgdWg，Pt。这里假设κv，κg>0，θv，θg>0，σg>0，σv<0（因此wv的正增加会减少波动性），以及2κvθv≥ σv（因此波动率保持严格的正）。假设均衡消费量根据todct=Xgtdt+pXvtdWv，Pt+σcdWg，Pt演变，其中，cti是消费量Ct的对数。因此，Xgmodels可以预测增长率，Xvmodels可以预测波动率。还假设代表性消费者的偏好由Z∞e-btC1-在- 11- adt公司对于a，b>0。然后，隐含定价核StisSt=e-btC公司-at=exp-aZtXgsds- 英国电信- aZtpXvsdWv，Ps- aZtσcdWg，Pt.将SDE用于Xgand和Xvit可以采用有效形式（3.2）进行转换：St=exp-γt-aσv（Xvt- 十五）-aσcσg（Xgt- Xg）-aκvσvRtXvsds- （a+aσcκgσg）RtXgsds,式中γ=b-aκvθvσv-aσcκgθgσg命题4.1。如果κg>0（平均回复生长率）且κv+pκv+2aκvσv+aσv>0，则等式（3.10）成立，因此，定理3成立。2适用。长期债券由B提供∞t=经验值λt+（aσv- v） （Xvt- Xv）+（aσcσg- v） （Xgt- Xg）,式中λ=γ-σgv+κvθvv+κgθgv，v=（pκv+2aκvσv-κv）/σv，v=a（1/κg+σc/σg），并且状态变量在L下具有以下动力学：dXvt=κvθv-pκv+2aκvσvXvtdt+σvpXvtdWv，Lt，dXgt=κgθg-aσgκg-aσcσgκg- Xgt公司dt+σgdWg，Lt证明。

在该模型中，公式（3.3）减少到Φ′（t）=-σgψ（t）+κvθvψ（t）+κgθgψ（t）+γ，Φ（0）=0，ψ′（t）=-σvψ（t）- κvψ（t）+aκvσv，ψ（0）=aσv，ψ′（t）=-κgψ（t）+a+aσcκgσg，ψ（0）=aσcσg。在这种特殊情况下，ψ（t）和ψ（t）是分开的，因此可以独立分析。很容易看出，如果κg>0，则ψ（t）收敛于v。当κv+pκv+2aκvσv+aσv>0时，aσvis大于二阶方程的较小根-σvψ（t）- κvψ（t）+aκvσv，这意味着ψ（t）收敛到v的二阶方程的较大根。可以相应地计算出特征值和状态变量的动力学。.该证明基本上结合了示例4.1和4.3中的证明。与这些例子类似，我们观察到，在长期正向测量下，波动因子的平均回复率较高，pκv+2aκvσv>κv，而增长率的平均回复率保持不变，但其长期水平较低。4.6 Borov iˇcka et al.（2016）连续时间长期风险下一个例子是Boroviˇcka et al.（2016）研究的Bansal和Yaron（2004）长期风险模型的连续时间版本。它的特点是增长率的可预测性和总消费的随机波动性以及递归偏好。该模型根据Bansal和Yaron（2004）的消费动态进行了校准。二维状态建模增长率的可预测性和随机波动性遵循a ffene动力学：dXtXt文本=0.013+-零点零一三零零-0.021XtXt文本dt+qXt-0.038 00 0.00034d“W1，PtW2，Pt#，其中Wi，Pt，i=1，2是两个独立的布朗运动。这里，XT是CIR过程后的随机波动率因子，XT是具有随机波动率的OU型均值回复增长率因子。

该模型中的总消费过程Ct根据tod log Ct=0.0015dt+Xtdt+pXt0.0078dW3，Pt演变，其中W3，Pis是第三个独立的布朗运动模型，直接冲击消费。数值参数来自Boroviˇcka等人（2016），并校准为每月频率（此处时间以月为单位）。该模型中的代表性agent具有递归的同感偏好和unitar y替代弹性。Boroviˇcka等人（2016年）求解定价内核：d log St=-0.0035dt- 0.0118Xtdt- Xtdt公司-pXth0.0298 0.1330 0.078 0idWPt，其中三维布朗运动WPt=（Wi，Pt）i=1,2,3被视为柱向量。现在，我们将该模型规格转换为假设3.2的三维形式。为此，我们引入了第三个f因子Xt=log St。然后我们可以以指数形式St=eXt编写定价核，其中状态向量（Xt，Xt，Xt）遵循由三维布朗运动驱动的三维a函数微分：dXt=（b+BXt）dt+pXtρdWPt，其中，上面给出了三维向量b和3×3矩阵b和ρ的数值。现在，我们可以直接将我们的一般结果应用于一个有效的定价内核。首先，根据定理3.1，短期利率为r（Xt）=0.0 035-0.00057798Xt+X仅取决于f因素X和X，且与X无关。风险中性（Q-度量）动态由以下公式得出：dXtXtXt文本=0.013-0.0035+-零点零一一九零零-0.00004522-0.021 00.0129-1 0XtXtXt文本dt+pXtρdWQt，其中ρ=-0.038 0 00 0.00034 0-0.0298-0.1330-0.0780.向量ψ（t）=（ψ（t），ψ（t），ψ（t））+求解ODE（此处α：=ρρ+）：ψ′（t）=-ψ（t）+αψ（t）+Bψ（t）+Bψ（t）+Bψ（t），ψ′（t）=Bψ（t）+Bψ（t），ψ′（t）=0，Φ（0）=ψ（0）=ψ（0）=0，ψ（0）=-1.

ψ（t）立即≡ -1和ψ（t）=BB（1- eBt），并且，由于B<0，limt→∞ψ（t）=B/B=47.6191：=v。要看到ψ（t）收敛，请注意，我们可以写-ψ（t）+αψ（t）+Bψ（t）+Bψ（t）+Bψ（t）=c（ψ（t））+cψ（t）+c（ψ（t））+cψ（t）+c，其中c，c，c，c<0。因为ψ（0）=ψ（0）=0，所以ψ′（0）<0。因为ψ（t）>0，很容易看到ψ（t）<0。由于ψ（t）<v，我们有c（ψ（t））+cψ（t）+c（ψ（t））+cψ（t）+c>c（ψ（t））+cψ（t）+cv+cv+c。我们可以检查c（ψ（t））+cψ（t）+cv+cv+c=0有两个负根。表示更大的根v，我们看到tψ（t）>v。结合这些事实，我们看到ψ（t）收敛到v。vhas的精确值由数值确定。数值解yieldsv=limt→∞ψ（t）=-0.2449。在图1中，我们绘制了函数ψ（t）和ψ（t），以及[0，t]期间t键上的gr oss返回Bt+tTo，作为t的函数。在这个数字示例中，我们取t=12个月，因此我们考虑的是一年的持有期回报，并假设初始状态X和状态X都等于P下的平稳平均值。我们观察到，在这个模型中，规范ψ（t）和Bt+t在大约30年（360个月）的时间里已经非常接近固定点。t0 100 200 300 400 500 600 800 900 1000ψ-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05t0 100 200 300 500 600 800 900 1000ψt0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Btt+T1.0051.011.0151.021.0251.031.035图1：ψ（t）、ψ（t）和Bt+Tt的曲线图。

时间以月为单位。根据定理3.2，决定长键的本征函数是π（x）=e-vx公司-vx，对应于特征值（注意，这不是年化收益率，因为时间单位为个月）λ=bv+bv- b=0.0003163，长键由b给出∞t=eλt-v（Xt-X）-v（Xt-十） ，鞅分量由m给出∞t=eλt-v（Xt-X）-v（Xt-十） +Xt，并且状态向量（Xt，Xt，Xt）在长For For Ward测度L下具有以下动力学：dXtXtXt文本=0.013-0.0035+-零点零一一五零零-0.00005074-0.021 00.0153-1 0XtXtXt文本dt+pXtρdWLt。正如Boroviˇcka等人（2016）所观察到的那样，在该模型中，长前向测度L下的状态动力学与风险中性测度Q下的状态动力学接近，并且由于波动鞅分量M，与数据生成测度P下的动力学基本不同∞t、 然而，我们对该模型的分析方法不同于Boroviˇcka等人（2016）的分析。我们将其转换为一个三因素a ffine模型，并直接应用我们的定理3。2对于a ffenemodels，这是我们定理2.1对于半鞅模型的一个结果。我们只需要确定R iccati方程的固定点（3.10）。长期债券的存在性、定价核的长期因式分解和长期加权测度立即遵循定理3.2，无需验证遍历性。事实上，三因素a ffne过程（Xt，Xt，Xt）不是遍历性的，甚至不是重复性的，正如从X的动力学可以立即看到的。相反，a pproachin Boroviˇcka et al.（2016）依赖于二维均值r倒转a ffne diffusion（Xt，Xt）。也就是说，由于Hansen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius理论要求遍历性来挑出主特征函数并确定其与长期因子分解的相关性，Boroviˇcka et al。

（2016）隐式地将定价核分解为两个子核的乘积、二维马尔可夫过程（Xt，Xt）的乘法泛函和表中的附加因子-Rt0.0780√XsdW3，Ps.然后将Ha-nsen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius理论应用于二维马尔可夫过程（Xt，Xt）的乘法泛函。相反，在我们的方法中，我们不需要遍历性，直接使用无n遍历三维过程，并验证RiccatiODE具有固定点，根据定理3.2.5，这已经足以证明a ffne模型中长期因子分解的存在。结论本文构造并研究了a ffne定价核的长期因子化，即按长期债券的收益率进行贴现，以及实现概率测度向长期远期测度转变的可替代成分。研究表明，与长期因子分解密切相关的定价核的主要特征函数是状态向量的n指数函数，其中有效向量与Riccati码的固定点相同。长期债券波动率和鞅分量的波动率在此固定点之间明确确定。分析给定模型时，研究需要确定Riccati O DE是否具有固定点。如果确定了固定点，则随后进行长期因式分解。本文展示了长期因子分解如何在各种sset风险模型中发挥作用，包括单因子CIRand Vasicek模型、Breeden的CCAPM的双因子版本以及Boroviˇcka等人（2016）研究的三因子长期运行风险模型。参考文献f。阿尔瓦雷斯和杰曼。使用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《计量经济学》，73（6）：1977–2016，2005。D、 巴科斯，N。

Boyarchenko和M.Chernov。资产价格和回报的期限结构。可用t SSRN，http://ssrn.com/abstract=2762069，2015年。G、 Bakshi和F.Chabi Yo。随机贴现因子的永久性和暂时性分量的方差界。《金融经济学杂志》，105（1）：191–208，2012年。G、 Bakshi、F.Chabi Yo和X.Gao。我们可以信任的复苏？推导和检验恢复定理的限制条件。技术报告，工作文件，2015年。R、 Bansal和A.Yaron。长期风险：资产定价混乱的潜在解决方案。《金融杂志》，59（4）：148 1–1509200 4。J、 Boroviˇcka、L.P.Ha nsen、M.Hendricks和J.A.Scheinkman。风险价格动态。《金融计量经济学杂志》，9（1）：3–65，2011年。J.Boroviˇcka、L.P.Hansen和J.A.Scheinkman。错误指定的恢复。《金融杂志》，71（6）：2493–25442016。J、 Boroviˇcka和L.P.Hansen。宏观经济中不确定性的期限结构。《宏观经济学手册：第2B卷，第20章，第164 1-1696页》。ElsevierB。五、 ，2016年。D、 T.Breeden。具有随机消费和投资机会的跨期资产定价模型。《金融经济学杂志》，7（3）：265–2961979。T、 克里斯滕森先生。正特征函数的非参数识别。计量经济学理论，31（6）：1310–1330，2016。T、 克里斯滕森先生。非参数随机贴现因子分解。即将发表于《计量经济学》，2017年。J、 C.Cox，Jr J.E.Ingersoll和S.A.Ross。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385–4081985。Q、 Dai a和K.J.Singleton。短期结构模型的规格分析。《金融杂志》，55（5）：1943-1978，2000年。D、 杜菲和R.Kan。利率的收益率模型。《数学金融》，6（4）：379–4061996。D、 杜菲、J.潘和K.辛格尔顿。转换分析和资产定价以实现跳跃式差异。

《计量经济学》，68（6）：1343–13762000。D、 Du ffie、D.Filipovi\'c和W.Schachermayer。财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13（3）：984–10532003年。D、 菲利波维奇和梅尔霍夫。A ffion过程：理论与应用。Radon系列计算和应用数学，8:125–1642009。D、 菲利波维奇、M.拉尔森和A.B.特罗尔。关于线性生成过程与线性有理模型之间的关系。2016年，SS RN 2753484上提供。D、 菲利波维奇、M.拉尔森和A.B.特罗尔。线性合理期限结构模型。《金融杂志》，72（2）：655–7042017。五十、 P.Hansen。随机经济中的动态估值分解。《计量经济学》，80（3）：911–9672012。五十、 P.Ha nsen和J.Scheinkman。随机组合和不确定估值。洪水过后，第21-50页。芝加哥大学出版社，2017年。五十、 P.Hansen和J.A.Scheinkman。长期风险：运营商方法。《计量经济学》，77（1）：177–234，2009年。五十、 P.Hansen和J.A.Scheinkman。定价增长率风险。《金融与S-tochastics》，16（1）：2012年1月至15日。五十、 P.Hansen、J.C.Heaton和N.Li。消费打击BACK？衡量长期运行风险。《政治经济学杂志》，116（2）：260–302，2008年。五十、 秦和V.莱因茨基。马尔可夫定价算子的正特征函数：Hansen-Scheinkman因子分解、Ross恢复和长期定价。O OperationsResearch，6 4（1）：99–117，2016年。五十、 秦和V.莱因茨基。长期风险：鞅方法。《计量经济学》，85（1）：299–3122017。五十、 Qin、V.Linetsky和Y.Nie。长期远期概率、恢复和债券风险溢价的期限结构。S SRN提供，http://ssrn.com/abstract=2721366，2016年。O、 瓦西塞克。期限结构的平衡特征。《金融经济杂志》，5（2）：17 7–1881977年。T、 山田和渡边。

关于随机微分方程解的唯一性。京都大学数学杂志，11（1）：155-1671971。