使用交叉效率评估的夏普投资组合

DEA通常将许多决策单元视为有效的，因为前面提到的总权重灵活性：决策单元经常将权重放在产出/产出上，并通过附加零权重来忽略绩效不佳的变量。交叉效率评估的基本思想是使用所有数据元素的权重来评估每个单元，而不是仅使用其自身的权重。具体而言，给定单元的交叉效率得分通常计算为使用所有DMU提供的权重文件获得的交叉效率的平均值。因此，参考所有决策单元选择的权重范围对每个单元进行评估，这提供了被评估单元的同行评估，而不是传统的自我评估。特别是，这使得基于结果交叉效率得分对决策单元进行排名成为可能。交叉效率评估也被广泛用于解决现实问题，尤其是处理与投资组合相关的问题（见[15、11、20]）。接下来，我们将标准交叉效率评估的思想应用于我们在这里讨论的投资组合选择问题。为此，我们首先确定给定投资组合的交叉效率得分，这是在Wrfρ中选择投资组合时使用的衡量标准。3.1。交叉效率夏普比率组合在本节中，我们给出了任何组合的平均交叉效率度量（σ，r）∈ Wρ并获得最大交叉效率夏普比率投资组合（MCESR）的表达式。定义2。让rf为满足rf的无风险利率∈ [rmin，rmax]，然后是投资组合i的平均交叉效率得分（CEi），i=（σ*MSRi，r*MSRi）∈Wρ与ri∈[rmin，rmax]由以下公式得出：CEi=rmax-rminZrmaxrminEfi（rf）drf（15）M.Landete，J.F。

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合注意，表达式（15）是连续前沿DEA中交叉效率评估的自然延伸。使用Efi（rjf）的表达式，见方程式（14），交叉效率CEi可以写成：CEi=r*MSRiσ*MSRiI公司-σ*MSRiI（16），其中，I=rmax-rminZrmaxrminσ*MSRfr*MSRf公司-rfdrf（17）I=rmax-rminZrmaxrminσ*MSRfrfr*MSRf公司-rfdrf（18）提案2。有效投资组合i=（σ*MSRi，r*当*i=r*GMV+σ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*MSR公司-rσ*MSRln公司r*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMVr*MSR公司-rσ*MSR公司-r*GMV公司-rσ*GMV公司（19） 命题2的证明。见附录。推论1。区间内的最大交叉效率（MCESR）投资组合[0，r*GMV]在*i=r*GMV+σ*GMVr*MSR公司-r*GMVσ*MSR公司-r*T Pσ*印尼国家电力公司r*MSR公司-r*GMVσ*MSR公司-ln公司r*T Pσ*T P-r*GMVσ*GMV公司（20） 我们可以把上面的表达式写成：r*i=r*GMV公司1.-马赫姆格姆夫-mT PmGMVlnmT Pmah公司-mGMVmah, 其中（21）M.Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合mah=（r*MSR公司-r*GMV）/σ*MSRis Wρ渐近线的斜率，mT P=r*T P/σ*MSRis当rf=0时，CML线的斜率，即从原点到切线组合的线性线的斜率，并且，mGMV=r*GMV/σ*GMVis从原点到全局最小方差组合（GMV）的直线斜率，见图6。推论1的证明。它源自命题2。提案3。切线和全局最小投资组合的斜率与Wρ渐近线的斜率之间存在勾股关系。mT P=mah+mGMV（22）命题3的证明。见附录。推论2。

[0，r]中的最大交叉效率（MCESR）投资组合*GMV]只依赖于最小的全局方差和切线投资组合。r*i=r*GMV公司1.-sr公司*T Pr*GMV公司-sr公司*T Pr*GMV公司-1lnsr*T Pr*GMV公司-1.-lnsr公司*T Pr*GMV公司-1.（23）推论2的证明。见附录。3.2。无卖空约束此约束对应于所有资产权重均为非负的要求。如果不允许卖空，那么我们需要将向量w中每个权重的非负性添加到最大夏普比率问题（7），w*MSR=最大WWT（u-射频）√wT∑w（24）s.t.wTn=1w≥0米。Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图6全球最小方差和切线投资组合的线性线；对于双曲线的渐近线。Markowiz的原始公式（1-3）将这些约束作为投资组合优化方法的一个组成部分。请注意，包含这些非负性约束使得无法导出投资组合优化问题的解析解（24）。模型（24）不是凸问题，因此不容易求解。在[24]中，R.H.T¨aut¨aunc¨au提出了一个等价于（24）的凸二次规划问题。这个问题的新公式考虑了一个高维空间，在这个空间中，当应用下面的提升技术时，二次问题是凸的。很容易导出（24）asmin xT∑x（25）s.t.xT（u）的等价问题-rf）=1x≥0其中（24）的权重向量w由w=xxTn给出。M、 Landete，J.F。

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳Sharpe比率投资组合注意，问题（25）可以通过使用凸二次规划问题的著名技术来解决。虽然不可能找到最大交叉效率（MCESR）投资组合的闭合表达式，但模型（25）允许我们针对最大化夏普比率问题和风险自由资产的不同价值获得最佳投资组合。在不存在卖空约束的情况下，我们提出以下程序来获得最大交叉效率（MCESR）投资组合的近似值。1、将区间[rmin，rmax]划分为n个等分。对于（i=1到n+1），用rf=rmin求解（25）*（n）-i+1）/n+rmax*（一）-1） /n，并获得有效投资组合i=（σMSRi，rMSRi），i=1至n.3。计算解决方案（u*i、 五*i、 u型*问题（11）的i0）到表达式（12）。请注意，不必解决问题（11），问题的解决方案是切线超平面效率曲线Wρ。对于（i=1到n+1），使用区间内剩余投资组合的最佳权重，计算投资组合i的交叉效率（CEi）作为投资组合i的效率得分平均值，即CEi=n+1n+1Xj=1（r*MSRi-rjf）/σ*MSRi（r*MSRj公司-rjf）/σ*MSRj（26）5。获得最大化交叉效率CEi的有效投资组合i。数值例子我们进行了两次计算研究，以说明所提出的方法。首先，我们评估了最大交叉效率组合（MCESR）的优度，并得出了一些结论。研究的第二部分允许我们根据是否允许卖空来比较（MCESR）分配。整个计算研究是在MAC-OSX上进行的，该MAC-OSX采用2.5GHz Intel内核I5B和4GB RAM。我们将R-Studio v0.97.551与library stockPortfolio一起使用，[8]。

在我们的计算研究中，所需的计算时间不超过几秒钟；因此，尚未报告《纽约时报》。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合4.1。案例1。欧洲股票在本节中，我们将在一个小示例上用真实数据比较最大交叉效率夏普比率（MCESR）投资组合分配与不同夏普比率分配的绩效。表1列出了所选的资产组，这些资产来自Eurostock50。我们选择了EUROSTOCK50中的六项西班牙资产。表1显示了所考虑资产组的一些描述性统计数据：收益率（平均周收益率）、风险（周收益率的标准偏差）以及最小和最大收益率。第一行数据块对应于2009年至2012年期间（样本期或估计期），第二行数据块对应于2013年至2014年期间（样本期或测试期）；作为lasrow阻止两个时段的聚合数据。图9、8和7显示了所考虑的两个期间和整个期间的累积周回报率。为了评估我们解决方案的性能，我们将最大交叉效率夏普比（MCESR）与全局最小方差（GMV）、切线（TP）和最大夏普比（MSR）组合进行比较。表2显示了在所考虑的四个投资组合的抽样期内评估的不同解决方案。考虑区间（0，0.003）内的无风险资产来评估MCESR投资组合，我们选择无风险资产考虑的区间上限来评估最大夏普比率投资组合。注意，当RF0.001773时，可获得最佳MCESR。表3显示了每个样本外投资组合的达到值，即在测试期间。

请注意，我们将样本期分为三个子期，每个子期为25周，以评估四次分配的演变。在前25周，所有投资组合的价值都会下降，最小方差投资组合（GMV）是最佳持有组合。在接下来的25周内，收益会增加，在这种情况下，波动率较高的投资组合（MSR）会获得更好的表现。最后，对于整个时期外的样本，GMV投资组合是唯一提供收益的投资组合，而损失大于投资的MSR投资组合的收益最差。请注意，最后一种情况是可能的，因为允许卖空。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图7案例1。2009年1月1日至2014年6月6日期间的总回报。图8案例1。2009年1月1日至2012年12月31日期间样本期内的回报。图9案例1。2013年1月1日至2014年6月6日样本期外的回报。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合表1案例1。

6项欧洲股票资产的每周描述性统计报表。BBVA。MC IBE。MC ITX。MC代表MC SAN。MC TEF。MCIn样本（估计）期（2009-01-01至2012-12-31）回报0.0026 0.00044 0.0092 0.0022 0.0034 0.00018风险0.0623 0.04268 0.0381 0.0455 0.0587 0.03400最小-0.1916-0.1483-0.1558-0.1496-0.1760-0.0977最大0.1838 0.1385 0.1292 0.1249 0.1916 0.1139样本外（测试）期（2013-01-07至2014-06-02）返回0.0056 0.0045 0.0021 0.0036 0.0053 0.0034风险0.0377 0.0287 0.02970.0316 0.0335 0.0316最小-0.0882-0.0909-0.0723-0.0697-0.0773-0.0826最大0.0943 0.0861 0.0669 0.0719 0.0901 0.1102总期限（从2009-01-01到2014-06-02）返回0.0035 0.0014 0.0069 0.0028 0.0040 0.0011风险0.0567 0.0394 0.0365 0.0422 0.0530 0.0333最小-0.1916-0.1483-0.1558-0.1496-0.1760-0.0977最大值0.1838 0.1385 0.1292 0.1249 0.1916 0.1139图10显示了输出样本所考虑的四种策略的性能。我们看到了与MSR（rf=0.003）投资组合相关的高波动性。请注意，尽管MCESR投资组合比GMV和TP投资组合更糟糕，但MCESR在好的时候提供了更大的收益，并在坏的时候包含了损失。4.2。案例2。美国行业投资组合对于第二个数字示例，我们从美国市场中选择了十个行业投资组合。按照与上述情况相同的方式，我们考虑了两个时间段，第一个时间段用于估计（样本期内）和第二个时间段（样本期外）用于评估每个战略的绩效。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合表2案例1。

不同投资组合解决方案的样本结果。GMV–全球最小方差组合预期收益=0.00338风险=0.02762TP–切线组合预期收益=0.01612风险=0.06025MSR–最大夏普比率组合（rf=0.003）预期收益=0.1149风险=0.4699MCESR–最大交叉效率夏普比率组合（rf=0.001773）预期收益=0.02940风险=0.1129表3案例1。2014年1月7日至2014年6月2日样本期内投资组合价值的变化。投资组合前25周50周75周GMV-6.1%5.9%15.1%TP-11.1%8.6%0.3%MSR（rf=0.003）-49.3%29.0%119.8%MCESR（rf=0.001773）-16.2%11.3%16.4%图10案例1。2013年1月1日至2013年12月31日的样本预期收益。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图11案例1。2013年1月1日至2013年12月31日的样本预期收益。表4显示了数据来源和观察次数。在表5中，我们保留了与表1相同的观察结果。表4数据集描述。案例2 N样本内（估计）期外样本（测试）期十个行业投资组合。1963年1月10日至2012年12月2013年1月至2014年7月每月数据（600次观察）（19次观察）来源：Ken French的网站。表6显示了样本期内的不同投资组合，我们报告了每个投资组合的分配情况。为了计算MCESR投资组合，考虑了区间（0,0.9）内的无风险资产，从而得出最佳MCESR rfis 0.57103。如果不允许卖空，当RFS为0.576时，可获得最佳MCESR。当不允许卖空时，见表7中与表6相同的结果。图12显示了马尔科维茨在这两种情况下的有效边界，有无卖空。M、 Landete，J.F。

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合表5案例2。样本（估计）期间（1963年1月至2012年12月）10家行业portfoliosNoDur Durbl Manuf Enrgy HiTec Telcm Shops Hlth Utils OtherIn的月度描述性统计报表1.1 0.86 0.97 1.1 0.96 0.86 1.0 1.1 0.83 0.92风险4.3 6 6 6 6.36 4.98 5.4 6 6 6 6.59 4.67 5.2 4.9 4.03 5.35最小值-21.03-32.63-27.33-18.33-26.01-16.22-28.25-20.46-12.65-23.6最大值18.88 42.62 17.51 24.56 20.7521.34 25.85 29.52 18.84 20.22抽样（测试）期（2013年1月至2014年7月）回报1.4 2.3 1.7 1.7 2.0 1.9 1.5 2.4 1.4 1.9风险3.3 4 4.0 3.2 3.7 2.5 2 2 2.8 3.5 3.4 3.8 3.2最小值-5.71-4.6-4.33-6.97-2.84-3.94-6.65-3.67-6.96-4.37最大值5.21 9 6.03 7.71 5.5 97 5.62 5.97 8.11 5.51 6.87总期限（1963年1月至2014年7月）回报1.1 0.9 0.99 1.1 1.0 0 0.89 1.0 1.1 0.85 0.95风险4.3 6.3 4.93 5.46.5 4.63 5.2 4.9 4.02 5.30最小值-21.03-32.63-27.33-18.33-26.01-16.22-28.25-20.46-12.65-23.6最大值18.88 42.62 17.51 24.56 20.75 21.34 25.85 29.52 18.84 20.22为了比较四种策略的性能，我们在外采样期对它们进行了评估。表8显示了有无卖空的每个投资组合的预期回报。请注意，如果允许卖空，M SR（rf=0.9）组合将产生14.3%的损失，而如果不允许卖空，相同策略组合将产生33.5%的收益。无论有无卖空，变动较小的投资组合都是GMV投资组合。MCESR投资组合提供了25.5%的卖空收益，36.1%的卖空收益，这是两种情况下所有投资组合的最高价值。图13和14显示了所考虑的四种策略的外示例性能。

请注意，当允许卖空交易时，MSR投资组合的波动性很高，而卖空交易的同质性则相反。如果不允许卖空，这四个投资组合实际上呈现相同的曲线，尽管在这种情况下，MCESR提供了最好的表现。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合表6案例2。不同投资组合解决方案的样本结果。10个行业组合。空头销售Nodur Durbl Manuf Enrgy HiTec Telcm Shops Hlth Utils OtherGMV–全球最小方差组合预期收益=0.96风险=3.45分配0.29 0.00 0.09 0.11 0.02 0.26 0.08 0.15 0.45-0.44TP–切线组合预期收益=1.09风险=3.68分配-0.70-0.05-0.05 0.30 0.03 0.18 0.14 0.17-0.58MSR–最大夏普比率组合（rf=0.9）预期收益=3.08风险=20.84分配6.85-0.77-2.13 3.19 0.24-1.04 1.01 0.53-4.15-2.72MCESR–最大交叉效率夏普比率投资组合（rf=0.57103）预期收益=1.29风险=4.67分配1.29-0.12-0.25 0.58 0.05 0.06 0.22 0.21-0.26-0.79表7案例2。不同投资组合解决方案的样本结果。10个行业组合。无空头销售Nodur Durbl Manuf Enrgy HiTec Telcm Shops Hlth Utils OtherGMV–全球最小方差组合预期收益=0.93风险=3.70分配0.30 0.00 0.03 0.00 0.00 0.14 0.00 0.06 0.47 0.00TP–切线组合预期收益=1.03风险=3.90分配0.53 0.00 0.02 0.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.03 0.19 0.15 0.00MSR–最大夏普比率组合（rf=0.9）预期收益=1.076风险=4.14分配0.67 0.00 0.00 0.23 0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 0.00 CESR–最大交叉效率夏普比率组合（rf=0.576）预期回报=1.07风险=4.09分配0.63 0.00 0.00 0.00 0.14 0.00 0.00 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00 0.00。Landete，J.F。