使用交叉效率评估的夏普投资组合

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英文标题：
《Sharpe portfolio using a cross-efficiency evaluation》
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作者：
Juan F. Monge, Mercedes Landete and Jos\\\'e L. Ruiz
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The Sharpe ratio is a way to compare the excess returns (over the risk free asset) of portfolios for each unit of volatility that is generated by a portfolio. In this paper we introduce a robust Sharpe ratio portfolio under the assumption that the risk free asset is unknown. We propose a robust portfolio that maximizes the Sharpe ratio when the risk free asset is unknown, but is within a given interval. To compute the best Sharpe ratio portfolio all the Sharpe ratios for any risk free asset are considered and compared by using the so-called cross-efficiency evaluation. An explicit expression of the Cross-Eficiency Sharpe ratio portfolio is presented when short selling is allowed.
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中文摘要：
夏普比率是一种比较投资组合的超额收益（相对于无风险资产）与投资组合产生的每单位波动率的方法。本文在无风险资产未知的假设下，引入了一个稳健的夏普比率投资组合。我们提出了一个稳健的投资组合，当无风险资产未知但在给定区间内时，该投资组合可以最大化夏普比率。为了计算最佳夏普比率投资组合，考虑了任何无风险资产的所有夏普比率，并使用所谓的交叉效率评估进行了比较。当允许卖空时，给出了交叉效率夏普比率投资组合的显式表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Sharpe_portfolio_using_a_cross-efficiency_evaluation.pdf (833.31 KB)

2022-5-25 17:48:25 上传

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关键词：投资组合 Quantitative Optimization QUANTITATIV Measurement

Sharpe portfolio使用交叉效率评估梅赛德斯·兰德特Centro de Investigaci'on Operativa，Miguel Hern'andez大学，Elche（阿利坎特），西班牙，landete@umh.esJuanF.MongeCentro de Investigaci'on Operativa，Miguel Hern'andez大学，Elche（阿利坎特），西班牙，monge@umh.esJose L.RuizCentro de Investigaci'on Operativa，Miguel Hern'andez大学，Elche（阿利坎特），西班牙，jlruiz@umh.esThe夏普比率是一种比较投资组合的超额收益（相对于无风险资产）与投资组合产生的每一种波动率的方法。本文在无风险资产未知的假设下，引入了一种稳健的夏普比率组合。我们提出了一个稳健的投资组合，当无风险资产未知但在给定区间内时，该投资组合可以最大化夏普比率。为了计算最佳夏普比率投资组合，任何无风险资产的所有夏普比率都会通过所谓的交叉效率评估进行考虑和比较。当允许卖空时，给出了交叉效率夏普比率投资组合的明确表达式。关键词：金融、投资组合、最小方差投资组合、交叉基金：作者感谢西班牙经济和竞争部通过MTM2013-43903-P.1拨款支持这项研究。简介1952年，哈里·马科维茨（HarryMarkowitz）对投资组合优化做出了第一次贡献。在资产定位方面的文献中，自1952年马科维茨的开创性工作[17]以来，已经取得了重大进展。马科维茨提出了一种最佳的资产选择方法，即当投资者除了了解每种资产之间的相关性外，还只知道每种资产的预期收益和方差。M、 Landete，J.F。

Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合1990年，哈里·马科维茨、默顿·米勒和威廉·夏普凭借其投资组合优化理论获得了诺贝尔经济学奖。Markowitz模型得到的最优投资组合通常表现出较高的长期波动性。这一特点激发了一系列旨在控制马科维茨模型中当前错误的研究。由于投资组合的方差不能被视为风险的适当度量，因此文献中提出了许多替代度量，试图更恰当地量化投资组合方差（参见[18、13、19]等）。在优化模型中控制风险的另一种方法是为预期回报设置最小阈值。按照这种方法，提出了几个包含风险度量的模型，如“安全度量”、“风险价值”、“条件风险价值”等，以控制解决方案的波动性。参见[1，14]及其参考文献。对问题加入新的限制也是一种工具，既可以用来防范风险，也可以用来吸收分析师的知识，以寻求最佳解决方案。最近几年出现了新的模型，其中包括线性规划模型、积分优化模型和随机规划模型（参见【16】等）。马科维茨模型的另一个重要特征是，它对未来可能出现的潜在回报情景缺乏远见。因此，在港口优化中做出准确的预测是最重要的。从这个意义上讲，预测模型、协方差矩阵和收益估计中的因子模型、贝叶斯方法或不确定性估计（见[2]和其中的参考文献）都是有用的。

需要改进预测并考虑马科维茨模型中当前的不确定性，这推动了被统称为“鲁棒优化”技术的发展。数学规划中的稳健方法由【3】引入，并由【12】等人在投资组合背景下进行研究。文献中有几种方法旨在提高马科维茨模型的性能，但没有一种方法比其他方法更好。据作者所知，上述方法的系统比较尚未公布。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率组合。然而，在[7]中，14个不同的模型是基于具有不同质量度量的大量数据集进行比较的。获得的结果表明，“没有一个复杂的模型能够始终超过naive 1/N基准”。本文的目标是在自由风险率资产未知或该参数的信息长期不确定的情况下，确定最佳切线投资组合。目标是在切线投资组合的意义上，找到一个比其他切线投资组合更好的稳健投资组合。为了实现这一目标，我们使用了一些基于数据包络分析（DEA）的技术，它提供了对相关单元的相对效率的分析。在投资组合优化的背景下，一些作者使用了这样的DEA技术，特别是交叉效率评估（就像我们这里），但目的不同（例如，见[15]）。在下一节中，我们将简要介绍投资组合优化的原始Markowitz和Sharpe比率模型，并讨论与解决方案相关的一些特征以及本文其余部分所需的有效前沿。

在第3节中，我们提出了一种基于交叉效率评估的投资组合优化方法。在第4节中，我们通过对两个试点案例的研究，将我们的方法与其他经典解决方案进行了比较。在最后一节中，我们给出一个结论。概述在本节中，我们简要介绍了资产配置的夏普比率。portfoliooptimization问题寻求一组资产之间的最佳投资分配。Markowitz引入的模型提供了一种投资组合选择，作为一种回报-风险双标准交易，其中方差在特定的预期回报下最小化。均值-方差投资组合优化模型的公式如下：minσP=wT∑w（1）s.t.wTu=ρ（2）wTn=1（3）M.Landete，J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图1可能投资组合的效率边界和云。目标函数（1）σP给出了返回wTu的方差，其中∑表示n的n×n方差协方差矩阵-返回u的向量，w是n-每个资产的投资组合权重向量。约束条件（2）要求总回报率等于投资者想要的最低回报率ρ。最后一个限制条件（3）迫使投资所有资金。我们用1nN表示-标注1的所有向量。请注意，权重向量w不需要为负，因为我们希望允许卖空，其权重向量w小于0。该模型利用平均收益和收益方差之间的关系，在可行区域内找到最小方差点。这个最小方差是效率边界Wρ上的一个点。效率边界是显示风险回报框架中所有有效投资组合的曲线，见图1.2.1。

全球最小方差投资组合从有效前沿（Wρ）获得全球最小方差（GMV）投资组合，无需施加预期收益约束（2）。投资组合权重（w*GMV），预期回报（r*GMV）和方差（σ*2GMV）由byw提供*GMV=∑-1nTn∑-1n，r*GMV=Tn∑-1uTn∑-1与σ*2GMV=Tn∑-1n（4）可行投资组合的双曲线由渐近线r=c/b±p（ab-c） /bσ，带m。Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合图2双曲线和均值-方差效率投资组合的相关符号。a=uT∑-1u，b=1Tn∑-1nand c=1Tn∑-1u。（5） 全球最小方差投资组合（rGMV）的预期收益是双曲线的顶点。图2表示可行投资组合、有效前沿、全局最小方差投资组合（GMV）和渐近线的双曲线。2.2。夏普比率切线投资组合（TP）是指通过原点的线与有效边界Wρ相切的投资组合。该投资组合表示平均值/方差比率最大的投资组合。w*T P=arg maxwwTu√wT∑ws。t、 wTn=1（6）当考虑无风险资产rf时，通过最大化相同的比率获得另一个研究的投资组合。该投资组合称为最大夏普比率（MSR）投资组合。夏普比率是每单位风险的预期超额回报（超过无风险资产）。因此，最大夏普比率（MSR）投资组合是模型的解决方案：w*MSR=arg maxwwT（u-射频）√wT∑ws。t、 wTn=1（7）M.Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合，其中Rf表示无风险资产。分配w*MSRis被称为市场投资组合，M。

如果无风险利率为rf=0，则市场投资组合与问题（6）的切线投资组合解相同。资本市场理论研究投资组合和自由风险证券的预期收益和风险之间的关系。（7）的解决方案仅包括风险资产。这种解决方案称为市场组合（M）。从无风险利率到市场投资组合（M）的一条线被称为资本市场线（CML）。所有有效的投资组合必须沿着这条线，CM L：e（r）=rf+rM-rfσMσ，其中E（r）是预期投资组合回报，rf是无风险利率，rM，σM分别是市场投资组合M的回报和风险。CML上的所有投资组合都具有相同的夏普比率。参见图3。CML总结了预期收益和有效投资组合风险之间的简单线性关系。夏普假设总资金分为市场投资组合（M）和证券f。反转在这里是完全投资的。wM+wf=1投资组合的预期回报isE（rp）=wfrf+wMrMIn为了计算（7）的最优M SR投资组合，我们必须最大化（7）towTn=1。在[4]中，我们可以看到如何推导出这个问题的解的以下表达式：w*MSR=∑-1（u-rf）Tn∑-1（u-rf）（8）M.Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合风险σ*对于具有自由风险RFI的最大化Sharpe比率问题的最优解的期望超额收益r:r*MSR=w*TMSRu=（u-rf）T∑-1uTn∑-1（u-rf）（9）σ*MSR=qw*TMSR∑w*MSR=p（u-rf）T∑-1（u-rf）Tn∑-1（u-rf）（10）图3从四项资产中获得的有效边界。全球最小方差（GMV）是风险较小的投资组合。最大夏普比率（MSR）是指在无风险资产存在的情况下，位于有效前沿的切线投资组合。

无风险资产和相切投资组合（MSR）的组合产生了资本市场线（CML）。当arisk free asset存在时，CML是一组非支配性投资组合。切线投资组合通常是为长期投资者设计的投资组合。大多数投资者往往在经济好的时候承担太多风险，然后在经济不好的时候抛售。切线投资组合的设计是为了让投资者在好的和坏的时候都能做得足够好。这让我们能够通过简单、低维护的解决方案，获得投资股票和债券的长期收益。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用Wrfρ表示的交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合有效投资组合的子集Wrfρ Wρ，为最大夏普比率投资组合（Sharpe ratioportfolios）形成，即为某些rf值获得的切线投资组合。注意，所有相切的portfoliosin Wrfρ都是从0到双曲线顶点r变化得到的*GMV，即rf∈[0，r*GMV]。参见图4和图5。图4无风险资产为0、0.0013和0.0025时的不同CML线及其最大夏普比率组合。图5无风险资产处于区间[0，0.0025]时的Wrfρ集。M、 Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合3。基于交叉效率评估的投资组合选择在本节中，我们提出了一种在设定Wrfρ范围内选择投资组合的方法。这种方法的灵感来自所谓的数据包络分析（DEA）和交叉效率评估方法。Charles等人（1978）介绍的DEA评估了生产过程中涉及的决策单元（DM Us）的相对效率。对于每个DM U，它以输出加权和输入加权和的形式提供效率得分。DEAmodels允许决策单元完全自由地选择输入和输出权重。

这意味着，每个DMU都会选择尽可能最佳的权重，唯一的条件是，使用这些权重计算的其他DMU的效率比低于或等于给定数量，通常设置为1。因此，如果DMUis的效率得分等于1，则将其评为有效。否则，它是无效的，效率得分越低，其无效性越大。数据包络分析（DEA）已成功应用于许多实际应用中，用于分析银行、医疗保健、教育或农业等领域的效率。受DEA的启发，我们建议对Wrfρmaximieu（r）中的每个投资组合（σ，ro）求解以下模型-u） vσ服从。u（r-u） vσ≤1.（σ，r）∈ Wrfρu，v≥ 0件≥0（11）在（11）中，Wrfρ中的投资组合将扮演决策单元的角色，在这种情况下，决策单元有一个单一输入（风险，σ）和一个单一输出（回报，r）。值得注意的是，与我们在此解决的问题不同，在标准DEA中，我们有数量有限的决策单元。显然，当在对每个投资组合进行估值时，求出的（11）的最优值Wrfρ（σ，ro）等于1，因为存在非负权重u*, v*和v*这样，u*（r）-u*)/v*σ=1和u*（r）- u*)/v*σ≤ 1米。Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用其他投资组合的交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合（σ，r）∈ Wrfρ。这些权重实际上是曲线（有效边界）的切线超平面的系数Wρat（σ，r）。通常用（σ）表示*MSRi，r*MSRi）∈ Wrfρ无风险利率为rif时获得的MSR投资组合。该投资组合最大化了夏普比率（7）。因此，当（σ*MSRi，r*MSRi）评估为isu*i=r*MSRi-rif，v*i=σ*M和u*i0=rif（12）如前所述，其最佳值等于1。

然而，这些权重的最佳解决方案使我们能够确定给定投资组合的交叉效率得分，该得分是通过其他投资组合的权重获得的。定义1。Let（u*j、 五*j、 u型*j0）是投资组合j的（11）的最优解：=（σ*MSRj，r*MSRj）。给定投资组合的交叉效率i：=（（σ*MSRi，r*用portfolioj的权重获得的MSRi）定义如下：efi（rjf）=u*j（r*MSRi-u*j0）v*jσ*MSRi（13）我们可以看到，（13）从投资组合j的角度对投资组合i的效率进行了评估。以下命题支持命题1。Efi（rjf）=（r*MSRi-rjf）/σ*MSRi（r）*MSRj公司-rjf）/σ*MSRj（14）命题1的证明。Efi（rjf）=u*j（r*MSRi-uj0）v*jσ*MSRi=σ*MSRj（r*MSRi-rjf）σ*MSRi（r*MSRj公司-rjf）=（r*MSRi-rjf）/σ*MSRi（r*MSRj公司-rjf）/σ*MSRj公司（14） 提供对交叉能力得分的不同解释。具体而言，Efi（rjf）代表投资组合i的超额回报率与投资组合j之间的比率，当它们发生变化时。Landete、J.F.Monge和J.L Ruiz：使用交叉效率评估确定最佳夏普比率投资组合风险自由资产是rj，即投资组合i的夏普比率与投资组合J的最佳夏普比率相比有多差。交叉效率评估（Sexton et al.，1986，Doyle and Green，1994）是DEA的一个扩展，旨在对决策单元进行排名。DEA通过使用特定于单位的输入和输出权重，对决策单元进行自我评估，这使得无法得出排序。此外，也有人声称，交叉效率评估可能有助于改善歧视，这实际上是我们在本论文中所要解决的问题。