无界模型不确定性下的指数效用最大化

为了将指数保持在最低水平，Fix twofunctionsX：Ohm → (-∞, +∞] 和Y：Ohm → [0+∞)这样X和-Y是上半解析的，定义了未来库存价格St+1的所有martinga lemeasures集合，给定过去ω∈ OhmtbyMTt（ω）=Q∈ P(OhmT-t） ：（Ss（ω，·））t≤s≤这是一个Q-鞅andEQ[X（ω，·）-+ Y（ω，·）]+H（Q，PTt（ω））<+∞对于每个0≤ t型≤ T-1和ω∈ Ohmt、 引理4.5表明，MTT具有解析图，在定理4.1的证明范围内，其值不是空的。注意mt=M（Y）={Q∈ M：等式[Y+X-] < +∞}, 其中，第2节定义了M。进一步介绍优化问题的动态版本：defeet（ω，x）：=x（ω）+xfor（ω，x）∈ Ohm ×R和recursivelyEt（ω，x）：=infh∈RdsupP公司∈Pt（ω）log EPhexpEt+1ωt·，x+hSt+1（ω，·）i（18）（ω，x）∈ Ohmt×R，这里我们写ωtω′：=（ω，ω′）∈ Ohmt+sforω∈ Ohmtandω′∈ Ohm代替（ω，·），以避免混淆。稍后将显示，这是一个很好的定义，即期望值内的术语是可以适当测量的。以下定理是本节的主要结果，包括定理2.1作为特例（对应于t=0）。定理4.1。对于每0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、 it保持集（ω，x）- x=infθ∈ΘsupP∈PTt（ω）log EPhexpX（ω，·）+（θ·S）Tt（ω，·）i=supQ∈MTt（ω）等式[X（ω，·）]- H（Q，PTt（ω））这两项不等于-∞. 此外∈ Θ达到。我们从研究（鲁棒）相对熵和机器翻译图的性质开始，这将确保可测量的选择参数可以应用。然后，我们重点推导了eta的对偶，最后证明了动态规划原理。引理4.2（[19，引理1.4.3.b]）。相对熵H为Borel。14 DANIEL BARTLProof。

任何孔l函数都可以用连续函数近似，因此在Le mma 3.4的证明中，h（Q，P）=sup{EQ[Z]- log EP[exp（Z）]：Z有界且连续}。因此{H≤ c} 对于任何实数c都是闭合的，表示H是Borel。所谓的相对熵链式法则是众所周知的，例如Dupuis和Ellis在boo k的附录C3中给出了证明[19]。然而，由于我们处理的是普遍可测的核，并且为了能够自包含，附录中给出了一个证明。关于动态风险度量与这一链式规则之间的联系，请参见支配环境中的[12]，非支配环境中的[3，29]。引理4.3。让0≤ t型≤ T- 1和P，Q∈ P(OhmT-t） 。ThenH（Q，P）=T-1Xs=tEQ[H（Qs（·），Ps（·））]，其中Qs和psa是普遍可测的核，因此Q=Qt···QT-1和P=Pt ···  PT公司-引理4.4。对于任何0≤ t型≤ T- 1、功能Ohmt×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，Q）7→ -H（Q，PTt（ω））是上半解析的。此外，它保持sh（Q，PTt（ω））=H（Qt，Pt（ω））+EQ[H（Q′（·），PTt+1（ω，·））]，其中Q′是一个普遍可测的核，因此Q=Qt Q′。证据每个概率Q∈ P(OhmT-t） 可以写为Q=Qt ···  QT-其中qs是备注B.2中的核，即Ohms-t×P(OhmT-t）→ P(Ohm), （(R)ω，Q）7→ Qs（(R)ω）是Borel。（a） 我们先展示一下Ohmt×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，Q）7→T-1Xs=t-式[H（Qs（·），Ps（ω，·））]（19）为上半解析式。修复一些t≤ s≤ T-在续集中，ω将指元素sinOhmtandω到中的元素Ohms-t、 自（°ω，Q）7起→ Qs（(R)ω）通过构造是Borel，熵H通过引理4.2是Borel，组成Ohmt×Ohms-t×P(OhmT-t） ×P(Ohm) → [-∞, 0]，（ω，’ω，Q，R）7→ -H（Qs（(R)ω），R）也是Borel。正如Psis分析图所示，从[7，命题7.47]可以看出Ohmt×Ohms-t×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，’ω，Q）7→ -H（Qs（℃），Ps（ω，℃））（20）是上半解析的。

此外，[7，命题7.50]保证，对于任何ε>0的情况，都存在一个普适可测的核Pεssuch，即（Pεs（ω，ω，Q）∈ Ps（ω，’ω），H（Qs（’ω），Pεs（ω，’ω，Q））≤ 模型不确定性15下所有（ω，’ω，Q）的H（Qs（’ω），Ps（ω，’ω））+ε（21）指数效用最大化。这将在第（b）部分中使用。而且，自从Ohmt×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，Q）7→ -方程[H（Qs（·），Ps（ω，·））]仅（20）与Q（d'ω）积分，Le mma B.1的一个应用表明该映射是上半解析的。最后，上半解析函数的和也是上半解析函数（见[7，引理7.30]）这一事实意味着（19）是上半解析函数，正如所声称的那样。（b） 修正一些ω∈ Ohm坦德Q∈ P(OhmT-t） 。从引理4.3可以看出，h（Q，PTt（ω））=infP∈PTt（ω）T-1Xs=tEQ【H（Qs（·），Ps（·））】≥T-1Xs=tEQH（Qs（·），Ps（ω，·））.对于另一个不等式，设ε>0是任意的，Pεsbe是（21）中的核。回想一下，Q和ω是固定的，因此p′s：Ohms-t型→ P(Ohm), ω7→ Pεs（ω，’ω，Q）仍然可以由[7，引理7.29]普遍测量。那么它就跟P′：=P′t一样 ···  P′T-1.∈ PTt（ω），再次使用引理4.3，that-1Xs=tEQH（Qs（·），Ps（ω，·））≥T-1Xs=tEQH（Qs（·），P′s（·））- ε= H（Q，P′）- （T- t） ε≥ H（Q，PTt（ω））- （T- t） ε。正如εwa s arbirry，这显示了所需的不等式。（c） 最后，内核几乎肯定是唯一的，因此q′=Qt+1 ···  QT-1Qt几乎可以肯定。因此，h（Q′（·），Pt+1（ω，·））=T-1Xs=t+1EQ′（·）[H（Qs（·），Ps（ω，·））]Qt几乎可以肯定。只剩下对Qt的方程进行积分。固定测量值Q=Qt ···  QT-1.∈ P(OhmT-t） 和ω∈ Ohmt、 初步计算表明，Q是（Ss（ω，·））t的鞅测度≤s≤Tif和onlyif等式[|Ss+1（ω，·）|]<+∞ ANDEQ（°ω）[Ss+1（ω，’ω，·）]=0表示Qt ···  Qs公司-1-几乎每ω∈ Ohms-每t接一个≤ s≤ T- 1.这在续集中使用，没有参考。引理4.5。

MTT曲线为解析曲线。证据首先，请注意Z：=X∧0-Y是上半解析的。这源于{X∧0≥ a} 等于 如果a>0且{X≥ a} 否则，上半解析函数之和仍然是上半解析函数。所以，Lemma B.1的应用表明Ohmt×P(OhmT-t）→ [-∞, 0]，（ω，Q）7→ 等式【Z（ω，·）】16丹尼尔·巴特利斯上半解析式。那么，因为（ω，Q）7→ -H（Q，PTt（ω））通过引理4.4是上半解析的，并且上半解析映射的和也是上半解析的，因此a：={（ω，Q）：EQ[Z（ω，·）]- H（Q，PTt（ω））>-∞}是一个分析集。现在缺少的部分是Martingale属性。首先，请注意Ohmt×P(OhmT-t）→ [0+∞], （ω，Q）7→ 均衡器[|Ss+1（ω，·）|]是引理B.1的Borel。如前所述，对于每个Q∈ P(OhmT-t） ，我们将写入Q=Qt···QT-注释B.2中的核qs。那么，由于（(R)ω，Q）7→ Qs（(R)ω）是Borel，引理B.1的双重应用表明Ohmt×P(OhmT-t）→ [0+∞], （ω，Q）7→ 等式[|等式（·）[Ss+1（ω，·）]|]是Borel。thubs：={（ω，Q）：等式[|Ss+1（ω，·）|]<+∞ 和等式[| EQs（·）[Ss+1（ω，·）]|]=0}是Borel，这意味着图MTt=\\{Bs:t≤ s≤ T- 1}∩ A、 作为解析集的有限交集，其本身就是解析的（见[7，推论7.35.2]）。定义t（ω）：=supQ∈MTt（ω）等式[X（ω，·）]- H（Q，PTt（ω））对于所有0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、 回想一下thatEt（ω，x）：=infh∈RdsupP公司∈Pt（ω）log EPhexpEt+1（ω，·），x+hSt+1（ω，·）ifor（ω，x）∈ Ohmt×R.定理4.1的证明——对偶性。我们声称Et（ω，x）=Dt（ω）+x和Dt（ω）∈ (-∞, +∞]对于所有ω∈ Ohmt、 x个∈ R和0≤ t型≤ T- 1.（22）证明将是反向归纳。对于t=t- 1、（22）只是定理m 3.1的陈述。（22）对t+1成立。首先，我们从上面对X进行艺术绑定，然后传递到极限。

更准确地说，定义ns（ω）：=supQ∈MTs（ω）等式[X（ω，·）∧ n]- H（Q，PTs（ω））对于s=t，t+1和ω∈ Ohms、 注意，Dnsis上半解析。实际上，sinceX（ω，·）∧ n是upp e r半解析映射（ω，Q）7→ 等式[X（ω，·）∧ n] 是引理B.1的上半解析。引理4.4和上半解析函数的和保持上半解析的事实意味着（ω，Q）7→ 等式[X（ω，·）∧ n]- H（Q，PTs（ω））是上半解析的。由于MTsis图是由引理4.5解析的，因此从[7，proposition 7.47]可以看出Dnsis是上半解析的。此外，[7，模型不确定性下的概率指数效用最大化177.50]表明，对于任何ε>0的情况，都存在一个普遍可测的kernelQε（·）∈ MTt+1（ω，·），使DNT+1（ωt·）≤ 公式ε（·）【X（ω，·】∧ n]- H（Qε（·），PTt+1（ω，·））+ε。（23）通过交换两个suprema，它保持Ds=supnDns（有关更多详细信息，请参阅定理3.1证明的（c）部分）。特别是，Dsis上半解析函数，作为上半解析函数的可计算上确界。因此，从引理3.2可知，Et=supentwherent（ω，x）：=infh∈RdsupP公司∈Pt（ω）log EP[exp（Dnt+1（ωt·）+hSt+1（ω，·）+x）]。现在的目标是证明所有n的Entequals dntf，从中得出thaet（ω，x）=supnEnt（ω，x）=supnDnt（ω）+x=Dt（ω）+x，证明是完整的。表明确实Ent（ω，x）=Dnt（ω）+x，fix一些n，x和ω∈ Ohmt、 根据定理3.1，它保持sent（ω，x）=supQt∈Mt（Z）EQt[Dnt+1（ωt·）]- H（Qt，Pt（ω））+ x>- ∞其中MT（Z）：=Q∈ P(Ohm) :公式[Dnt+1（ωt·）-+ |St+1（ω，·）|+Z]<+∞,H（Q，Pt（ω））<+∞ 和EQ[St+1（ω，·）]=0和Z：Ohm→ [0+∞) 是一个任意的普遍可测函数。我们从s开始，表示Ent（ω，x）≤ Dnt（ω）+x。

固定一些ε>0，让Qε（·）∈MTt+1（ω，·）是（23）的核心，定义Z：Ohm→ [0+∞),Z：=等式ε（·）hX（ω，·）-+ Y（ω，·）+TXs=t+2|Ss（ω，·）| i+H（Qε（·），PTt+1（ω，·））。然后，通过定义MTt+1（ω，·），Z是实值，引理B.1、引理4.4和[7，命题7.44]得出Z是普遍可测的。此外，Qt Qε∈ 任何Qt的MTt（ω）∈ Mt（Z）。（24）要显示这一点，请使用一些Qt∈ Mt（Z）和定义Q：=QtQε。然后应用引理4.4 yieldsH（Q，PTt（ω））=H（Qt，Pt（ω））+EQt[H（Qε（·），PTt+1（ω，·））]≤ H（Qt，Pt（ω））+EQt[Z]<+∞.此外，它保持seqhx（ω，·）-+ Y（ω，·）+TXs=t+1|Ss（ω，·）| i≤ EQt[|St+1（ω，·）|+Z]<+∞所以确实是Q∈ MTt（ω），因此，EQt[Dnt+1（ωt·）]- H（Qt，Pt（ω））≤ EQt[式ε（·）]X（ω，·）∧ n]- H（Qε（·），PTt+1（ω，·））+ε]- H（Qt，Pt（ω））=等式[X（ω，·]∧ n]- H（Q，PTt（ω））+ε≤ Dnt（ω）+ε。作为Qt∈ Mt（Z）和ε>0是任意的，因此Ent（ω，x）≤ Dnt（ω）+x.18 DANIEL BARTLTo展示了另一个不等式，即Ent（ω，x）≥ Dnt（ω）+x，fix一些度量Q∈MTt（ω），我们将其写入asQ=Qt 测量Qton的Q′Ohm和Borel核Q′：Ohm→ P(OhmT-t型-1） 。然后，QT∈ Mt（0）和Q′（·）∈ MTt+1（ω，·）Qt几乎可以肯定，其中Mt（0）=函数Z的Mt（Z）≡ 实际上，首先注意H（Qt，Pt（ω））+EQt[H（Q′（·），PTt+1（ω，·））]=H（Q，PTt（ω））<+∞引理4.4，使得h（Q′（·），PTt+1（ω，·））<+∞ Qt几乎可以肯定。同样，我们得出以下结论：等式′（·）[X（ω，·）-+Y（ω，·）+|Ss（ω，·）|]<+∞ Qt几乎肯定适用于所有t+2≤ s≤ T因此它保持sq′（·）∈ MTt+1（ω，·）Qt几乎可以肯定。但是，它是根据Dnt+1的定义得出的公式（·）[X（ω，·）∧ n]- H（Q′（·），PTt+1（ω，·））≤ Dnt+1（ωt·）Qt几乎可以肯定，因此eqt[Dnt+1（ωt·）-] ≤ EQt等式′（·）[X（ω，·）∧ n]- H（Q′（·），PTt+1（ω，·））-≤ 等式[X（ω，·）-] + H（Q，PTt（ω））<+∞根据Jensen不等式和引理4.4。

因此，一个具有Qt∈ Mt（0）并遵循等式[X（ω，·]）∧ n]- H（Q，PTt（ω））=EQt[等式′（·）[X（ω，·）∧ n]- H（Q′（·），PTt+1（ω，·））]- H（Qt，Pt（ω））≤ supR公司∈Mt（0）ER[Dnt+1（ωt·）]- H（R，Pt（ω））= Ent（ω，x）- X和Q∈ MTt（ω）是任意的，即Dnt（ω）+x≤ Et（ω，x）。再加上之前所发现的另一个不等式，它保持Et（ω，x）=Dnt（ω）+x，并且证明是完全的。下面的引理对于证明动态编程原理很重要。由于已经证明Et（ω，x）=Dt（ω）+x，对于[39，引理3.7]，证明几乎是一对一。为了完整起见，附录中给出了一个证明。引理4.6（[39，引理3.7]）。对于每0≤ t型≤ T-1和x∈ R、 存在一个过程*∈ Θ使得es（ω，x+（θ*· S） st（ω））=支持∈Ps（ω）log EP[exp（Es+1（ωs·，x+（θ*· S） 对于所有t，S+1t（ω，·））]≤ s≤ T- 1和ω∈ Ohms、 定理4.1的证明——动态规划。我们转向动态编程原理的证明，即我们证明C：=infθ∈ΘsupP∈PTt（ω）log EP[exp（X（ω，·）+X+（θ·S）Tt（ω，·））]=模型不确定性19下所有X，ω的Et（ω，X）（25）指数效用最大化∈ Ohmt、 和0≤ t型≤ T- 1和∈ Θ达到。再次，x一些x、t和ω∈ Ohmt、 根据Theo-rem 4.1证明的第一部分，即关注对偶性的部分，它保持Et（ω，x）=Dt（ω）+x。因此，x可以在（25）的两侧减去，并且假设x=0，不会失去一般性。这将使符号变亮。首先，我们关注不等式C≥ Et（ω，x）。固定一些θ∈ Θ，P∈ PTt（ω）和Q∈ MTt（ω）。IfC′：=对数EP[exp（X（ω，·）+（θ·S）Tt（ω，·））]≥ 等式[X（ω，·）]- H（Q，P），那么接下来的声明是取所有Q和P的上确界，并在第二步中取所有θ的上确界∈ Θ。为了证明这一点，可以假设C′和H（Q，P）是有限的，否则没有什么可以证明的。

定义：=X（ω，·）+（θ·S）Tt（ω，·）。应用初等不等式ab≤ exp（a）+b log b至“a=Z+”和“b=dQ/dP”yieldsEQ[Z+]≤ EP[膨胀（Z+）+H（Q，P）≤ exp（C′）+1+H（Q，P）<+∞.因此，它保持seq[（θ·S）Tt（ω，·）+]≤ 等式[X（ω，·）-] + 等式[Z+]<+∞通过MTt（ω）的定义。但从局部鞅的一个结果（见[27，定理1和2]）可以看出，（θ·S）Tt（ω，·）实际上是可积的，并且期望值为0。因此，等式[Z-] < +∞ 因此，Le mma A.1 yieldsC′=log EP【exp（Z）】≥ 等式[Z]- H（Q，P）=等式[X（ω，·）]- H（Q，P），这就是我们想要展示的。我们通过显示C来完成proo f≤ Et（ω，0）和一个最优策略*∈ Θ存在。Letθ*是引理4.6中的as，即thatEs（ω，（θ）*· S） st（ω））=支持∈Ps（ω）log EP[exp（Es+1（ωs·，（θ*· S） 对于所有t，S+1t（ω，·））]（26）≤ s≤ T- 1、然后*是最优的，C≤ Et（ω，0）。实际上，设P=Pt ···  PT公司-1.∈ PTt（ω）和fix一些t≤ s≤ T- 1、然后是（26）thatlog EPexp（Es）（ωt·，（θ*· S） st（ω，·））= 日志EPt···聚苯乙烯-1.exp（Es）（ωt·，（θ*· S） st（ω，·））≥ 日志EPt···聚苯乙烯-1hexp记录每股收益（·）经验值Es+1（ωt·，（θ*· S） S+1t（ω，·））i=对数EP经验值Es+1（ωt·，（θ*· S） S+1t（ω，·））,迭代屈服集（ω，0）=log EP[exp（Et（ω，（θ）*· S） tt（ω）））]≥ 对数EP[exp（ET（ωt·，（θ*· S） Tt（ω，·））]=对数EP[经验（X（ω，·）+（θ）*· S） Tt（ω，·））]。作为P∈ PTt（ω）是任意的，它保持C≤ Et（ω，x）和sinceθ*∈ Θ，从前面显示的不等式中可以看出θ*是最佳的。20 DANIEL BARTL4.2。具有选项的案例。修复一些函数Y：Ohm → [0+∞) 因此-Yi是上半解析的，回想一下M（Y）：={Q∈ M：等式【Y】<+∞} andMg（Y）：={Q∈ Mg：等式【Y】<+∞}, 其中M和MG在第n2节中定义。此外，fix一些B-orel函数Z：Ohm → R、 我们首先声明，对于每个上半解析函数X：Ohm → R以Z为边界，即| X |≤ Z、 一个hasinf{m∈ R:m+（θ·S）T≥ X P-q.s。

对于一些人来说∈ Θ}=supQ∈M（Y）等式[X]（27），如果没有选项，如果| gi |≤ Z代表1≤ 我≤ e、 然后0∈ ri{EQ[ge]：Q∈ M^g（Y）}（28），其中^g：=（g，…，ge-1） 以及其他∈ R:m+（θ·S）T+αg≥ X P-q.s.对于某些（θ，α）∈ Θ×Reo=supQ∈Mg（Y）EQ【X】。（29）如果在相对性不需要确定的意义上放松M，所有这些主张都在【10】中得到证明。事实上，Bouchard和Nutz从（28）中推导出（29），从（27）中推导出nd（28）；分别参见[10]中的定理4.9以及方程（5.1）和定理5.1。这里也可以这样做（使用与[10]中完全相同的论证），因此我们只给出（27）的（a的草图）证明。考虑第一个单周期情况和定义：={Q∈ P(Ohm) : 均衡器[|S |+Y]<+∞ 和Q<< P代表一些P∈ P} ，和M′：={Q∈ C：等式[S] =0}。然后，下面的超边缘对偶∈ R：米+小时S≥ X P-q.s.适用于so me h∈ Rd}=supQ∈M′EQ[X]，见[10，定理3.4]，是0∈ ri{等式[S] ：Q∈ C′}；参见[10]中的引理3.5和L emma 3.6。然而，自0∈ ri{EQ[g]：Q∈ C} 对于C={Q∈ C:H（Q，P）<+∞}通过引理3.5，与[10，定理3.4]相同的参数表明inf{m∈ R：米+小时S≥ X P-q.s.对于某些h∈ Rd}=supQ∈M（Y）等式[X]，尤其是supQ∈M′EQ[X]=supQ∈M（Y）等式[X]。对于向多周期情况的过渡，要求mT：=m′T：=X和m′T（ω）：=supQ∈M′t（ω）EQ[M′t+1（ω，·）]和mt（ω）=supQ∈MZt（ω）等式[mt+1（ω，·）]，对于0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、 其中m′t（ω）：={Q∈ P(Ohm) : Q<< P代表一些P∈ Pt（ω）和等式[St+1（ω，·）]=0}，MZt（ω）：={Q∈ M′t（ω）：EQ[Z]+EQ[mt+1（ω，·）-] + H（Q，Pt（ω））<+∞}和Z：Ohm→ [0+∞) 任意的普遍可测函数。后向电导表明，对于每个t，mt=m′t。

此外，根据定理4.1的证明部分中关于对偶性的完全相同的内容，可以证明mt（ω）=supQ∈MTt（ω）EQ[X（ω，·）]，其中我们称MTt（ω）=Q∈ P(OhmT-t） ：（Ss（ω，·））t≤s≤这是一个Q-鞅andEQ[X（ω，·）-+ Y（ω，·）]+H（Q，PTt（ω））<+∞模型不确定性21下的指数效用最大化，使MT=M（Y）。因为它在[10，引理4.13]的证明中显示（或者更确切地说在证明中），thatinf{m∈ R:m+（θ·S）T≥ X P-q.s.对于某些θ∈ Θ}=m′，该权利要求源自m′=m=supQ∈M（Y）等式[X]。定理2.2的证明。证明是对e的归纳。对于e=0，该陈述是定理4.1的特例，因此假设这两个主张（对偶性和存在性）对e都是真的- 1.≥ 根据假设，存在一个Borel函数Z，例如| X |+| gi |≤ Z每1个≤ 我≤ e、 使用归纳推理，它遵循INF（θ，α）∈Θ×结果∈Plog EP[经验（X+（θ·S）T+αg）]（30）=infβ∈Rmin（θ，^α）∈Θ×Re-1支持∈Plog EP[经验（X+（θ·S）T+α^g+βge）]（31）=infβ∈RsupQ∈M^g等式[X]+β等式[ge]- H（Q，P）= infβ∈RsupQ∈M^gJ（Q，β），其中^g=（g，…，ge）-1） andJ:M^g×R→ R、 （Q，β）7→ 等式[X]+β等式[ge]- H（Q，P）。已显示0∈ ri{EQ[ge]：Q∈ M^g}，见（28），它可以像在Theo-rem 3.1的证明中一样，用于证明inf |β|≤nsupQ公司∈M^gJ（Q，β）=infβ∈RsupQ∈M^gJ（Q，β）=supQ∈M^ginfβ∈RJ（Q，β）（32）表示so me n∈ N第一个等式见（16），第二个等式见下文（15）。Henceinf（θ，α）∈Θ×结果∈Plog EP[经验（X+（θ·S）T+αg）]=infβ∈RsupQ∈M^gJ（Q，β）=supQ∈M^ginfβ∈RJ（Q，β）=supQ∈Mg公司等式[X]- H（Q，P）表明二元性成立。