无界模型不确定性下的指数效用最大化

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英文标题：
《Exponential utility maximization under model uncertainty for unbounded
  endowments》
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作者：
Daniel Bartl
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider the robust exponential utility maximization problem in discrete time: An investor maximizes the worst case expected exponential utility with respect to a family of nondominated probabilistic models of her endowment by dynamically investing in a financial market, and statically in available options. We show that, for any measurable random endowment (regardless of whether the problem is finite or not) an optimal strategy exists, a dual representation in terms of (calibrated) martingale measures holds true, and that the problem satisfies the dynamic programming principle (in case of no options). Further it is shown that the value of the utility maximization problem converges to the robust superhedging price as the risk aversion parameter gets large, and examples of nondominated probabilistic models are discussed.
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中文摘要：
我们考虑离散时间的鲁棒指数效用最大化问题：投资者通过动态投资于金融市场和静态投资于可用期权，使其禀赋的非占优概率模型族的最坏情况预期指数效用最大化。我们证明，对于任何可测量的随机禀赋（无论问题是否有限），存在一个最优策略，一个关于（校准的）鞅测度的对偶表示成立，并且该问题满足动态规划原理（在没有选项的情况下）。进一步证明了当风险规避参数变大时，效用最大化问题的值收敛到鲁棒超边际价格，并讨论了非支配概率模型的例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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关键词：效用最大化 不确定性 最大化 确定性 不确定

模型不确定性下无界禀赋的指数效用最大化*摘要我们考虑离散时间内的鲁棒指数效用最大化问题：投资者通过动态投资金融市场和静态不可用期权，最大化关于一系列非占优概率模型的最坏情况预期指数效用。我们表明，对于任何可测量的随机禀赋（无论问题是否确定），存在一个最优策略，一个（校准的）鞅测度的对偶表示成立，并且该问题满足动态规划原理（在没有选项的情况下）。进一步证明了当风险规避参数变大时，效用最大化问题的值收敛于鲁棒超边际价格，并讨论了非支配概率模型的例子。本文研究了不确定时间下的鲁棒指数效用最大化问题。这里，“鲁棒性”一词反映了真实概率模型的不确定性，以及对整个模型家族的考虑。这并不是一个新概念，自论文【23】和【31】发表以来，这一概念受到了广泛的关注，有关概述，请参见【1、5、6、10、11、13、18、25、35、39、41】和【14】。为了更准确地说明我们的问题，给定指数效用函数u（x）：=-经验值(-γx）当风险规避参数γ>0，概率模型P和代理人随机禀赋x的可能非支配集时，我们对优化问题SUP（θ，α）感兴趣∈Θ×ReinfP∈PEP[U（X+（θ·S）T+α（g- g） ）]。（1） 这里是g，geare交易期权，可在时间0买入和卖出，价格为g。

，ge，集合Θ包括（贴现）股票S和（θ·S）T+α（g）的所有可预测动态交易策略- g） 是半静态交易策略的结果（θ，α）∈ Θ×Re。在研究优化问题（1）时，第一个直接的问题是，是否有一个最优策略（θ，α）（应在所有模型下同时确定）∈ P） 退出。由于缺乏一个衡量所有z ero设置的指标，日期：2019.2010年2月12日数学科目分类。91B16、49L20、60G42。关键词和短语。效用最大化、稳健金融、对偶性、动态规划。*丹尼尔康斯坦茨大学数学系。bartl@uni-康斯坦茨。作者要感谢迈克尔·库珀和两位匿名裁判的宝贵评论。作者得到了奥地利科学基金（FWF）Y00782.2 DANIEL BARTLand的资助。因此，Komlos定理等经典论点的失败是不平凡的。我们的第二个兴趣在于关于线性定价测度的对偶表示的有效性，即如果（1）等于-经验值- infQ公司∈MγEQ[X]+H（Q，P）,其中，M表示股票S的所有鞅测度Q的集合，这些鞅测度被校准为期权（即EQ【gi】=gifor1≤ 我≤ e） 其中鲁棒熵H（Q，P）是有限的。最后，我们研究（1）是否满足动态规划原则（如果没有选项），这意味着可以局部分析问题，然后将所有内容“粘合”在一起。

特别是r，这意味着，如果一个星在某个正时间t求解优化问题，则在时间0时最优的策略将再次最优。本文的主要贡献是表明，在弱假设下，可以对所有三个问题给出肯定的答案，即最优策略的存在性、对偶性和动态规划，见定理2.1和定理2.2。此外，如果风险平均参数γ趋于一致，则（1）的缩放版本收敛到最小超边际价格X，见定理2.4。事实上，我们采用了Bouchard和Nutz在里程碑pa per【10】中建议的设置，并通过最优控制的手段表明，对于任何无界可测（下半解析）随机禀赋X（无论优化问题（1）是否确定），存在性、对偶性和动态规划原理都成立。不用说，效用最大化是数学金融中的一个重要话题，从[28，34]开始。在指数效用函数的情况下（尽管在连续时间和非稳健设置下），[22]和[15]是第一个证明其存在性和可证明性的，这导致了进一步的分析，例如，在不完全市场和交易不足约束下，最优值和解的BSDE特征在[26]中给出，[32]研究了风险规避参数γ的动力学和渐近性。在存在不确定性的情况下，从[42]和[43]开始，在假设P占主导地位的情况下，获得了最新结果，如[2，24，40]。

关注非支配集P的文献仍然是可以理解的，并且在连续时间内的结果见[18，33，35]。在当前设置（即离散时间和非支配集P）中，动态规划原理和最优策略的存在性如【39】所示，其中作者考虑定义的随机效用函数Ohm ×R+满足一定的有界性（这将对应于在我们的设置中从下方有界的随机禀赋）。最近，有三篇论文概括了[39]的结果。在[8]中，rando多重性的有界性（仍定义在正实线上）被某种可积条件和动态规划所取代，并显示了最优策略的存在性。在[36，37]中，随机效用函数（在第二项工作中可能是非协整函数）不再定义在正实线上，而是满足与[39]类似的确定有界性。此外，市场更为普遍和包容。g、 交易约束或比例交易成本。【9】显示了效用差异价格（与超高价格）的趋同。

另一方面，对偶性在[14]的第4.2节中显示，在随机禀赋X的se t Pand（半）连续性的完全条件下。模型不确定性3下的指数效用最大化为了减轻符号，我们将在不缺乏一般性的情况下假设交易期权的价格为0，而不是（1），考虑等价问题inf（θ，α）∈Θ×结果∈Plog EP[实验（X+（θ·S）T+αg）]。很明显，这两个问题都是一对一的，除了原始问题中endowmentX的所有结果都适用于-本文的其余部分组织如下：第2节包括背景、所有主要结果、假设讨论和一些示例。第3节和第4节分别讨论了单周期和一般情况下的证明。最后，附录A给出了技术证明，附录B.2简要介绍了解析集理论。主要结果2.1。背景关于无套利条件的变化（在标记2.5中讨论），我们在Bouchard和Nutz[10]提出的设置中工作，如下所述。附录B简要讨论了分析集和基因ral术语Ohm成为单身汉Ohm成为一个抛光空间。固定，T∈ N、 让Ohmt： =Ohmt、 并确定Ft为钻孔∑现场的普遍完工Ohmt对于ea通道0≤ t型≤ T为了简化符号，我们表示(Ohm, F） =(OhmT、 FT）并经常考虑OhmTA的子集Ohm. 对于s<t，一些固定ω∈ Ohms、 带域的函数XOhmt、 我们认为X（ω，·）是一个具有域的函数Ohmt型-s、 即。Ohmt型-s ω′7→ X（ω，ω′）。对于每个0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、 概率Pt（ω）有一个给定的凸非空集 P(Ohm), 考虑到历史ω，可以看到时间t+1时股票价格的所有可能概率情景。

自始至终的假设是，股票St：Ohmt型→ Rdis Borel和集值映射Pthas解析图。后者尤其确保P：={P=P ···  PT公司-1： Pt（·）∈ Pt（·）}（2）不为空。这里，每个Pt都是Pt的选择器，即一个普遍可测量的函数Pt：Ohmt型→ P(Ohm) 满足Pt（ω）∈ 每个ω的Pt（ω），概率POhm ISD由P（A）定义：=ROhm···ROhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT-1，dωT）···P（dω）。所有动态交易策略集由Θ和元素θ表示∈ Θisa矢量θ=（θ，····，θT）由Ft组成-1-可测映射sθt：Ohmt型-1.→ Rd.根据动态策略θ开始时间s，交易时间t的结果≤ t由（θ·S）ts得出：=θS+1Ss+1+····+θtSt，其中Su：=Su- 苏-1和θuSu：=Pdi=1θiuSiUI是内部产品。由于P具有动态形式，可以考虑局部和全局无套利条件：如果（θ·S）T≥ 0 P-q.s.意味着（θ·s）T=0 P-q.s∈ 以及局部NA（Pt（ω））条件（对于固定的0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohm)如果hSt+1（ω，·）≥ 0 Pt（ω）-q.s.表示hSt+1（ω，·）=0 Pt（ω）-q.s.每小时∈ 在本文中，我们假设Na（Pt（ω））每0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、 （3）4 DANIEL BARTLNote，这一假设纯粹是技术性的，因为只有当所有ωs的集合（如NA（Pt（ω））对某些t失效时，NA（P）才成立，在所有P下为零∈ P、 有关讨论，请参见【10，定理4.5】和备注2.5。最后，定义=Q∈ P(Ohm) : S是Q和H（Q，P）<+∞,是具有有限鲁棒entropyH（Q，P）的鞅测度集：=infP∈PH（Q，P），其中H（Q，P）：=（EPdQdPlogdQdP如果Q<< P+∞ 其他的在整个公约中，EP[X]：=EP[X+]- EP【X】-] 带EP[X]：=-∞ ifEP【X】-] = +∞ 有效；特别地，X对于P是可积的当且仅当EP[X]∈ R、 2.2。

主要结果。定理2.1（无选项）。让X：Ohm → (-∞, +∞] 是上半解析的。然后是INFθ∈ΘsupP∈Plog EP经验值X+（θ·S）T= supQ公司∈M等式[X]- H（Q，P）（4） 这两项不等于-∞. 此外，在∈ Θ得到，优化问题满足动态规划原理；最后一条语句的精确公式见定理4.1。除了先前的设置外，还应假定∈ N∪{0}选项（e=0对应于无选项的ca se），即Borel函数g，通用电气：Ohm → R、 对于价格z e ro，在时间t=0时可用。半静态交易策略的结果（θ，α）∈ Θ×Reequals（θ·S）T+αg，其中αg：=Pei=1αigi再次表示内积。除了已经引入的无套利条件外，假设（θ·S）T+αg≥ 0 P-q.s.意味着（θ·s）T+αg=0 P-q.s.对于每个策略（θ，α）∈ Θ×Re。定理2.2（带选项）。固定Borel函数Z：Ohm → [0+∞) 使| gi |≤ Z代表1≤ 我≤ e和let X：Ohm → R是满足| X |的上半解析函数≤ Z、 然后它保持sinf（θ，α）∈Θ×结果∈Plog EP经验值X+（θ·S）T+αg= supQ公司∈Mg公司等式[X]- H（Q，P）,其中Mg表示所有Q的s et∈ M，等式[Z]<+∞ 对于1，等式[gi]=0≤ 我≤ e、 此外，上限（θ，α）∈ Θ×Reis达到。备注2.3.1）无套利条件NA（P）至关重要。

事实上，即使（4）中的双方都不接受该值-∞, 条件NA（P）不需要保持–nordoes方程（4）；如果允许X取值，请参见附录A.2-∞ 在定理2.1中，最优策略的对偶North存在性都不成立；一般见附录dix A.3），由于P的上确界∈ P、 （4）中的极小值θ不是唯一的，并且没有达到Q上的上确界。4） 在定理2.1中，集合M可以替换为M（Y）：={Q∈ M：等式【Y】<+∞}, 其中Y：Ohm → [0+∞) 是这样的任意函数- Y是上半解析的。定理2.2也是如此，即可以替换MgbyMg（Y）：={Q∈ Mg：等式【Y】<+∞}.模型不确定性下的指数效用最大化5另一个有趣的问题是风险规避参数γ中优化问题的渐近行为研究，参见例[32]。让我们给出一些动机：通常是辅助价格π（X）：=inf{m∈ R:m+（θ·S）T+αg≥ X P-q.s.对于某些（θ，α）∈ Θ×Re}极高。shr-inkingπ的一种自然方式是以“受控”的方式允许m+（θ·S）T+ug<x的正概率，参见例[14，20]。更重要的是，定义πγ（X）：=infnm∈ R：支持∈Pγlog EP[经验（γ（X- m级- （θ·S）T- αg））]≤ 0对于某些（θ，α）∈ Θ×Reo对于每个风险规避参数γ>0。然后πγ（X）≤ 定义的π（X）和自exp（γX）/γ→ +∞1（0+∞]（x） asγ→ +∞, 一个明显的问题是，对于不断上涨的价格，情况是否也是如此。定理2.4（熵对冲）。在定理2.2的设置中，它保持π（X）=limγ→+∞πγ（X），γ中的极限是γ>0的上确界。备注2.5。我们要求NA（Pt（ω））对每个ω保持不变，而不是像Bouchard和Nutz[10]中那样仅对P-拟每个ω保持不变的原因如下。为了应用一个期间的结果（即。

对偶性和最优策略的存在性）对于局部问题Et（ω，x）（参见（18）的精确定义），需要t hatEt+1（ωtω′，x）>-∞ 对于Pt（ω）-拟全ω′∈ Ohm, 参见备注2.3中的第2）点。然而，为了确保后者，NA（Pt+1（ωtω′）需要对Pt（ω）-拟ω′保持不变∈ Ohm. 由于集合Nt+1：={ω∈ Ohmt+1:NA（Pt（|ω））失效}仅是普遍可测的，不清楚该条件是否适用于“足够多”ω∈ Ohmt、 如果只有一个度量（即P={P=P ···  PT公司-1} 这个问题有一个简单的解决方案：因为每t的P（Nt）=0，可以通过▄Pt:=PtNct+δStNt重新定义。然后P=~P ··· PT-1和▄Pt（ω）：={▄Pt（ω）}有解析图（附录a给出了证明）。在一般P的设置中也可以这样做，只要要求集合Nt为Borel；否则▄Pt:=PtNct+{δSt}1ntt的图不需要分析。最后请注意，P是通过集s Pt定义的（而不是相反），这意味着对于每个ω，NA（Pt（ω））保持不变的假设似乎对应用没有限制；另见第2.3节。最近，使用一种不同的方法，[17]能够摆脱这种假设备注2.6。（技术上但至关重要）假设Ptis分析图有两个后果：它允许可测量的选择参数，并允许确定逐点条件次线性期望，即确保e（X|Ohmt） （ω）：=支持∈ω的Pt（ω）EP【X（ω，·）】∈ Ohm接地X：Ohmt+1→ 当X为[10，38]时，R（5）是ω的上半解析映射。反之亦然：给定一个任意的次线性条件期望E（·）|Ohmt） （满足某种连续性），总是存在一个集值映射Pt，其解析图如（5）成立[3，定理1.1]。