无界模型不确定性下的指数效用最大化

类似地，P的“时间一致性”（2）等同于塔的性质【3，定理1.2】。6 DANIEL BARTL2.3。示例。在这一节中，我们讨论了一种证明给定可能性的一般方法，并给出了金融模型的应用。所有非平凡的主张都在附录A的开头得到了证实。在许多情况下，物理度量不是先验的，而是收集数据和估计的结果。特别是，es激励不等于，而只是“收敛”（随着数据越来越丰富）到实际未知的物理度量。因此，考虑这一点的一种非常规方法是在估计量P中加入一些“邻域*= P* ···  P*T-1，即定义t（ω）：={P∈ P(Ohm) : 距离（P，P*t（ω））≤ εt（ω）}。（6） 顾名思义，这里是dist：Ohm×Ohm→ [0+∞]可以认为是距离和εt：Ohmt型→ [0+∞] 就像邻居的大小一样。如果距离，εt（和P*t） 从现在起，Borel是一个长期假设，然后是Pthasanalytic gr aph。如果dist实际上是一个度量或至少ful fills dist（P，P）=0，则Ptare的值也非空。由于距离应与估计相符，自然选择包括顺序p的瓦瑟斯坦距离，更一般地说，运输成本，即距离（Q，p）：=infnZOhm×Ohmc（x，y）∏（dx，dy）：在产品上的所有测量都采用最小值∏∈ P(Ohm×Ohm) 带∏（·×）Ohm) = Q和∏(Ohm×·）=P和c：Ohm×Ohm→ [0+∞] 是一个给定的lowersemicontinuous函数（“cost”）。这包括p阶的Wasserstein距离；那么成本c等于Ohm至功率p；参见[45]中的第5章和第6章。这种可追踪距离有许多优点，例如，除了度量弱收敛外，它还控制尾部的可积性。在这种情况下，PthasExc凸值。

此外，[4]提供了一个有限维公式，用于计算基线分布的Wasserstein邻域中所有概率的最坏情况期望。当基础动态的特定模型固定且只有参数不确定时，也可以应用上述方法。为了简单起见，假设Ohm = RT，St（ω）=ω是一维股票的正则空间。我们用两个具体的例子来说明：二项式模型，它读取每个t和ω的asSt+1（ω，·）=St（ω）+B（·）（7）∈ Ohmt此处B：Ohm→ R是二元分布，是Black-Scholes模型的离散版本，其读数为asSt+1（ω，·）=St（ω）ut+σW（·）（8） 其中u∈ R、 σ，t>0，且W：Ohm→ R为正态分布，均值为0，方差为t；我们写作W~ N（0，t） 。定义ft（ω，x）：=St（ω）+x，x：=二项式的二进制情况，以及ft（ω，x）：=St（ω）x，x：=ut+σW在Black-Schole模型中，可以用更一般的形式ST+1（ω，·）=ft（ω，X（·）），（9）来表示，其中ft：Ohmt×R→ R和X：Ohm→ R是Borel。就分布而言，（9）表示除定律St+1（ω，·）=R以外的任何东西o f（ω，·）-1，其中R：=定律X。模型不确定性下的指数效用最大化7因此，对形式（9）的给定模型进行鲁棒化的标准方法是用s et Rt（ω）替换上述等式中的R P(Ohm), 定义^Pt（ω）：={定律St+1（ω，·）=Ro f（ω，·）-1： R∈ Rt（ω）}。例如，根据本节的第一部分，可以取一些邻域rt（ω）={R∈ P(Ohm) : 距离（R，定律X）≤ εt（ω）}，（10）或者，如果数据更少，人们可能会认为rt（ω）：={R∈ P(Ohm) : ER[φit（ω，·）]≤ 1对1≤ 我≤ n} （11）对于某些给定的Borel函数φt，φnt：Ohmt×Rd→ R是一个很好的选择。

这里，ifinfxφit（ω，x）≤ 0表示所有i，ftin（9）表示St（ω）位于每个ω的ft（ω，Rd）的相对内部∈ Ohmt–通常是完全满足的假设–然后得出每个t和ω的（11）满足NA（Pt（ω））的模型。对于（10）定义的RTF，在上述ftif假设下，该公式成立。例如，dist是p阶的theWasserstein距离，X有一个有限的p阶矩。在技术层面上，由（11）定义的RTD有解析图，^Ptand Pt也有解析图，后者开始定义为Pt（ω）：=co nv^Pt（ω）是^Pt的凸包。（10）中定义的RTE同样适用。示例2.7（二项式模型）。除上述内容外，二项式模型的另一个自然推广是允许跳跃大小和概率在某些间隔内取值（这可能取决于时间t和过去ω∈ Ohmt） 。这对应侵权（ω）：=pδa+（1- p） δb:p∈ [pt（ω），pt（ω）]，a∈ [at（ω），at（ω）]，b∈ 【bt（ω），bt（ω）】其中0<pt≤pt<1，at≤在<0<bt时≤btare Borel函数。这里δAdonetest点a处的Dirac测度。注意，NA（Pt（ω））对于每个tandω都是非常满意的。关于连续时间的Black-Scholes模型，有一种广受欢迎且经过充分研究的鲁棒性方法，请参见。【41】：考虑在某些给定区间内具有u和波动率σ的所有模型（8）。但是，这可以像前一个示例中那样进行，然后每个Pt（ω）以及由此产生的族P都是支配的（由Lebesgue度量）。在目前的离散时间设置中，放弃对W英寸（8）。示例2.8（Black-Scholes）。固定两个Borel函数ut：Ohm→ R和σt：Ohm→（0+∞), 设εtand dist如上所示。现在衰减（ω）：=R* Δut： u∈ [ut（ω），ut（ω）]和dist（R，N（0，σt（ω））t） （）≤ εt（ω）,其中R* Δutdenotes卷积R* Δut（A）：=R（A- ut） 。

因此，集合^ptthere对应于具有漂移和波动不确定性的Black-Scholes模型，即考虑所有模型SST+1（ω，·）=St（ω）ut+Y,u∈ [ut（ω），ut（ω）]，y的定律是εt（ω）接近t到N（0，σt（ω）t） 同时。为了与原始模型更为一致，还可以要求R（resp.Y）在Rt定义中的平均值为0。请注意，对于距离的任何合理选择（如Wasserstein），集合Pt（ω）满足我们的所有假设。8丹尼尔·巴特3。单周期settingLet的证明(Ohm, F） 是一个有一系列概率测度的可测空间 P(Ohm). 进一步让我们∈ RDS和S：Ohm → Rdbe可测量和写入S：=S- S、 我们写h∈ Θ=Rdfor trading strategies，并假设无a rbitrageNA（P），即hS≥ 0 P-q.s.表示h每小时S=0 P-q.S∈ Rd.给定一些随机变量Z：Ohm → [0+∞), 用m（Z）={Q表示∈ P(Ohm) : 均衡器[|S |+Z）+H（Q，P）<+∞ 和EQ[S] =0}具有有限熵和积分Z的一组可度量值。以下是本节的主要结果。定理3.1。固定随机变量X：Ohm → (-∞, +∞]. 然后有一个∈RdsupP公司∈Plog EPexp（X+hS）= supQ公司∈M（Y）等式[X]- H（Q，P）（12） 对于每个随机变量Y：Ohm → [0+∞) 这两项不等于-∞.此外，h上的最小值∈ 达到Rdis。在定理3.1的证明过程中显示了以下引理，该引理在多周期情况下非常有用。引理3.2。让Xn：Ohm → (-∞, +∞] 是一个随机变量序列，逐点递增到X。然后它保持不变∈RdsupP公司∈Plog EPexp（Xn+hS）= infh公司∈RdsupP公司∈Plog EPexp（X+hS）,i、 e.优化问题从下面开始是连续的。引理3.3。固定随机变量X：Ohm → R

然后是哈苏普∈Plog EP[试验（X+hS） ]=supQ∈C等式[X+hS]- H（Q，P）每小时∈ Rd，其中c：={Q∈ P(Ohm) : 等式[| X |+|S |+Y]+H（Q，P）<+∞}和Y：Ohm → [0+∞) 是任意随机变量。证据（a） 定义Z：=X+hS和fix a度量值P∈ P、 它源于众所周知的期望指数效用表示和单调收敛定理，即log EP[exp（Z）]=supQ∈AP（等式[Z]- H（Q，P）），（13），其中P：={Q∈ P(Ohm) : 等式[Z-] + H（Q，P）<+∞}.为了完整性，引理a.1中提供了一个证明。我们声称可以用CPin（13）代替apn，而不改变上确界的值，其中cp：={Q∈ P(Ohm) : 等式[| X |+|S |+Y]+H（Q，P）<+∞}.由于CPI是AP的子集，因此有必要显示纽约Q∈ AP，存在一个序列Qn∈ CPsuch该等式n【Z】- H（Qn，P）收敛到等式[Z]- H（Q，P）。为此，请确定一些Q∈ APand defineqn：=Q（·| Bn），其中Bn：={| X |+|S |+Y≤ n} 模型不确定性9下的指数效用最大化，对于所有足够大的n，使得Q（Bn）>0。那么它怎么会ldsdQndP=BnQ（Bn）DQD和自Bn以来↑ Ohm, 一个straightforwar d计算表明h（Qn，P）=EPhBnQ（Bn）dQdPlogdQdPi- 对数Q（Bn）→ H（Q，P）。尤其是H（Qn，P）<+∞ 从X开始，S、 Y可与Qn积，因此Qn∈ CP.此外，Z的可积性-用r e spect to q保证方程n[Z]到方程Z的收敛性，从而得到reEQ[Z]- H（Q，P）=limn（EQn[Z]- H（Qn，P））≤ supQ公司∈CP（等式[Z]- H（Q，P））。在所有Q上取上确界∈ Ap提出索赔。（b） 为了证明这一点，我们要做一个简单的观察，即c e等于P通过P的unionover CPP。这意味着∈Plog EP[经验（Z）]=支持∈PsupQ公司∈CP（等式[Z]- H（Q，P））=supQ∈C（等式[Z]- H（Q，P）），其中第一个等式来自s步骤（a）。引理3.4。相对熵H是联合凸的。此外，引理3.3中定义的函数h（·，P）和集C是凸的。证据

由[21，引理3.29]可知h（Q，P）=sup{EQ[Z]- lo g EP[exp（Z）]：Z是一个边界随机变量}。对于任何此类Z，函数（Q，P）7→ 等式[Z]-log EP[exp（Z）]是凸的。因此，H作为凸函数的上确界，其本身是凸的。此外，P的凸性使得H（·，P）和C是凸的。在定理3.1的证明中，重要的是0∈ ri{等式[S] ：Q∈ C} 其中C在引理3.3中定义，ri表示相对内部。为了得到其想法，为简单起见，假设d=1S不是P-拟线性等于0。然后，在无ar比特率条件下，存在两个测量值±P±（±）S>0）>0。现在定义λ：=λP+（·| 0<S、 | X |，Y<n）+（1- λ） P-（·|- n<S-|X |，-Y<0），对于足够大的n和每个λ∈ [0，1]。然后是X，S、 Y是关于Qλ的可重积的，因为[S] <0，等式[S] >0之后是0∈ int{等式λ[S] ：λ∈ [0，1]}。作为Qλ相对于（P++P）的密度-)/2.∈ P是有界的，itholds H（Qλ，P）<+∞ 因此Qλ∈ C、 引理3.5（[10，引理3.3]）。设X，Y：Ohm → R是随机变量，假设Y是非负的。那么一个有0∈ ri{等式[S] ：Q∈ C} 其中，C在引理3.3中定义。证据尽管[10，引理3.3]指出0∈ ri{等式[S] ：Q∈ Θ}对于集合Θ={Q:EQ[| X |+|S |+Y]<+∞ 和Q<< P代表一些P∈ P} ，构造测度Q具有关于someP的有界密度dQ/dP∈ P、 尤其是H（Q，P）是有限的。校样可以逐字复制。10 DANIEL Bartl在准备证明主要定理之前，需要对RDI分解为相关和不相关策略进行最后一次观察。用suppP表示S rds的最小闭子集，使得S（ω）∈ 支持Sfor P-拟每ω；se e[1 0，引理4.2]。

进一步为包含给定集合A的最小线性空间写lin A Rd和L⊥:= {h∈ Rd：所有l的hl=0∈ 五十} 线性空间L的正交复形 引理3.6（[39，引理2.6]）。定义L：=lin支持S、 然后一个有h∈ L⊥当且仅当hS=0 P-准肯定。定理3.1和引理3.2的证明。在步骤（a）中，在假设X从上方有界的情况下显示了对偶性。优化器h的存在性∈ 在步骤（b）中，同时证明了RDA和下面的连续性。最后，在步骤（c）中，将（a）和（b）的结果结合起来，以扩展到无界随机禀赋。（a） 在这一步中，假设X从上方有界，这意味着存在一些常数k，使得X（ω）≤ k表示每ω。目标是展示以下双重代表性∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]=supQ∈M（| X |+Y）（等式[X]- H（Q，P））。（14） 根据引理3.3，它保持∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]=infh∈RdsupQ∈C等式[X+hS]- H（Q，P）其中C：={Q∈ P(Ohm) : 等式[| X |+|S |+Y]+H（Q，P）<+∞}.因此，如果交换h上的最小值∈ Rd和Q上的上确界∈ 可能的话，（14）将从infh开始∈RdEQ[小时S] =-∞ 当Q不是鞅测度时。在下面的内容中，我们将讨论为什么一个人实际上可以互换内界和上界。定义：=lin{等式[S] ：Q∈ C} 注意，如果Γ={0}，那么C=M（| X |+Y）和等式[hS] =所有h为0∈ Rd和Q∈ 这样就没有什么可以证明的了。因此，在后半部分中，假设Γ6={0}，并设{e，…，er}为Γ的正交基。此外，为了简化符号，定义函数J:C×Rd→ R、 J（Q，h）：=hEQ[S] +等式[X]- H（Q，P）。通过引理3.4，集合C和函数H（·，P）是凸的，这表明J（·，H）对于所有H都是凹的∈ 此外，J（Q，·）是所有Q的协凸∈ C

因此，[44，定理4.1]给出了rinfh的一个充分条件∈RdsupQ∈CJ（Q，h）=supQ∈Cinfh公司∈RdJ（Q，h）为真，即（对于每个c<infh∈Rd supQ∈CJ（Q，h）可以找到一个有限集F C每小时∈ RDQ存在∈ F在模型不确定性11下满足J（Q，h）>c.（15）指数效用最大化证明（15），fix此类c，并注意{h∈ Rd:J（Q，h）>c}={h∈ Γ：J（Q，h）>c}+Γ⊥自hEQ起[S] =每小时0∈ Γ⊥和Q∈ C、 因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设h∈ 在续集中。事实上，我们应该区分具有lar ge和小（欧几里德）长度的元素。从引理3.5，它遵循0∈ ri{等式[S] ：Q∈ C} 这意味着存在a±i>0和Q±i∈ C满足EQ±i[S] =±a±I对于1≤ 我≤ r、 我们声称（max{J（h，Q±i）：1≤ 我≤ r} >c+1>c或所有h∈ Γ如t | h |>m√r/δ（16），其中m：=最大值c+1- EQ±i【X】+H（Q±i，P）：1≤ 我≤ r∈ Randδ：=最小值{a±i:1≤ 我≤ r}>0。事实上，sincePri=1（hei）=| h |>r（m/δ），因此| hej |>m/δ≤ j≤ r、 如果hej>m/δ，它保持q+j[S] =ha+jej>ma+jδ≥ m级≥ c+1- EQ+j[X]+H（Q+j，P）和出现项的重新排列产生j（H，Q+j）>c+1。如果hej<-m/δ，相同的论证表明J（h，Q-j） >c+1。此外，asJ（Q，·）是连续的，c<infh∈ΓsupQ∈CJ（Q，h），集合uq：={h∈ Γ：J（Q，h）>c}，其中Q∈ C、 形成Γ的开放盖。通过集合{h的紧性∈ Γ：| h |≤m级√r/δ}，存在一个有限族F′ C使得{h∈ Γ：| h |≤ m级√r/δ}[{UQ:Q∈ F′}。那么F：=F′∪ {Q±i:1≤ 我≤ r} 仍然是有限的，它保持Γ=[{UQ:Q∈ F}，这是（15）的一个重新表述。

把一切放在一起，就这样∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]=infh∈RdsupQ∈CJ（Q，h）=supQ∈Cinfh公司∈RdJ（Q，h）=supQ∈M（| X |+Y）（等式[X]- H（Q，P））。特别是r，由于引理3.5中M（| X |+Y）不是空的，因此优化问题不取该值-∞.（b） 我们进一步证明了优化问题是从下往下连续的（引理3.2），并且最优策略h∈ R存在。回想一下，X是一个逐点递增到X的序列。对于固定函数X的最优策略12 DANIEL Bartlf的存在，请在下面的论证中考虑常数序列Xn：=X。对于每个自然数n，设hn∈ Rd这样∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（Xn+hS） ]≥ 支持∈Plog EP[试验（Xn+hnS） ]-n、 （17）通过步骤（a），这是可能的，即（17）的左侧不等于-∞. ByLemma 3.6我们可以在不丧失一般性的情况下假设每个Hn都是L的一个元素：=lin suppPS、 首先，假设序列hn是无界的，即supn | hn |=+∞. 然后，可能在传递到子序列之后，hn/| hn |收敛到某个极限h*. 自| h起*| = 1和h*∈ 根据引理3.6和NA（P）-条件，对于某些P′，P′（A）>0∈ P其中A：={h*S>0}。然而，自经验（Xn+hnS） 1A级→ +∞1A，Fatou引理yieldsinfh的一个应用∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（Xn+hS） ]≥ 记录EP′[exp（Xn+hnS） ]-n→ +∞.但是，由于序列Xnis增加，因此∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]≥ limninfh公司∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（Xn+hS） ]=+∞.因此，优化问题从下到每小时都是连续的∈ Rdisoptimal for X.如果序列Hn有界，则可能在传递到子序列后，Hns收敛到某个极限h*∈ Rd。

接下来就是Supp∈Plog EP[试验（X+h*S） ]≤ lim信息支持∈Plog EP[试验（Xn+hnS） ]-n≤ lim infninfh公司∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（Xn+hS） ]≤ infh公司∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ，其中第一个不等式源自Fatou引理，第二个不等式自Hn被选为最优，误差为1/n，最后一个不等式自Xn起为递增序列。这表明优化问题从Belo开始是连续的，并且h*在最后一步中，将（a）中建立的对偶性扩展到一般随机禀赋。L e t X：Ohm → (-∞, +∞] 可测量并观察m（X-+ Y）=M（| X∧ n |+Y）对于所有n∈ Nsince X-是可积的当且仅当（X∧n）-是更多，对于任何Q∈ M（X-+Y）莫诺通收敛定理m适用并产生supnEQ[X∧ n] =等式[X]。但接下来就是这样∈RdsupP公司∈Plog EP[试验（X+hS） ]=supninfh∈RdsupP公司∈Plog EP[实验（X∧ n+hS） ]=SUPSUPQ∈M（X-+Y）公式[X∧ n]- H（Q，P）= supQ公司∈M（X-+Y）等式[X]- H（Q，P）模型不确定性13下的指数效用最大化，其中第一个等式和第二个等式分别来自步骤（b）和（a），第一个等式通过交换两个supr ema实现。4、多周期情况的证明4.1。没有选项的情况。在本节中，可测量的选择论证用于表明，全局分析可以简化为局部分析，其中使用了一个周期的结果。对于每个0≤ t型≤ T- 1和ω∈ Ohmt、 defineptt（ω）={Pt ···  PT公司-1： Ps（·）∈ t的Ps（ω，·）≤ s≤ T- 1} ，其中每个Ps（·）是Ps（ω，·）的一个普遍可测的选择。因此，PTt（ω）将ponds与未来股价St+1，…，的所有可能概率情景集相关联，ST，给定过去ω∈ Ohmt、 特别是，它与Bouchard和Nutz保持P=PTinline。