基于Copula的层次风险聚合-树依赖抽样和

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英文标题：
《Copula based hierarchical risk aggregation - Tree dependent sampling and
  the space of mild tree dependence》
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作者：
Fabio Derendinger
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The ability to adequately model risks is crucial for insurance companies. The method of \"Copula-based hierarchical risk aggregation\" by Arbenz et al. offers a flexible way in doing so and has attracted much attention recently. We briefly introduce the aggregation tree model as well as the sampling algorithm proposed by they authors.   An important characteristic of the model is that the joint distribution of all risk is not fully specified unless an additional assumption (known as \"conditional independence assumption\") is added. We show that there is numerical evidence that the sampling algorithm yields an approximation of the distribution uniquely specified by the conditional independence assumption. We propose a modified algorithm and provide a proof that under certain conditions the said distribution is indeed approximated by our algorithm.   We further determine the space of feasible distributions for a given aggregation tree model in case we drop the conditional independence assumption. We study the impact of the input parameters and the tree structure, which allows conclusions of the way the aggregation tree should be designed.
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中文摘要：
充分建模风险的能力对保险公司至关重要。Arbenz等人提出的“基于Copula的层次风险聚合”方法提供了一种灵活的方法，最近引起了广泛关注。我们简要介绍了聚合树模型以及作者提出的采样算法。该模型的一个重要特征是，除非添加额外的假设（称为“条件独立假设”），否则所有风险的联合分布并没有得到充分规定。我们证明，有数值证据表明，抽样算法可以得到由条件独立性假设唯一指定的分布的近似值。我们提出了一种改进的算法，并证明在某些条件下，我们的算法确实近似于所述分布。在放弃条件独立假设的情况下，我们进一步确定了给定聚合树模型的可行分布空间。我们研究了输入参数和树结构的影响，从而得出聚合树的设计方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Copula_based_hierarchical_risk_aggregation_-_Tree_dependent_sampling_and_the_spa.pdf (6.27 MB)

2022-5-26 11:38:52 上传

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关键词：Copula opula distribution independence Hierarchical

此外，偿付能力II和巴塞尔协议III等监管框架也要求进行适当的风险管理。从数学上讲，风险可以解释为多变量随机变量X=（X，…，Xn），其中单变量随机变量X，xn表示个别风险（或边际风险）。鉴于个人风险具有共同的环境和社会经济条件，他们通常是相互依赖的。因此，大多数情况下，需要了解联合分布，才能正确衡量和分配风险。例如，假设一家保险公司对未来给定时期内的索赔付款总额感兴趣，即数量X:=X+…+Xn。为了计算该数量，merelyknow单个风险的分布并不足够。估计确定相依风险总和分布的最明显方法是首先确定联合分布函数F（x，…，xn）=P[x≤ x、 ，Xn公司≤ xn]个人风险。准确地模拟这种分布是一项非常具有挑战性的任务。虽然构成投资组合的个别风险可以很容易地用从数据和/或专家意见中得出的适当随机模型来描述，但通常情况下，很少有联合观察可用，在这种情况下，个别风险的联合分布基本上是未知的[2]。最近，copulas已经成为克服这一困难的特权工具。不熟悉copulas理论的读者将在第2.1节对其进行简要介绍。就目前而言，考虑一下1就足够了。引言copula是一个多元随机变量，描述了个体风险之间的依赖结构。copula理论中的一个著名结果（见定理2.2）表明，分布函数F可以写成F（x。

，xd）=C（F（x），Fd（xd）），其中Fi（x）=P[Xi≤ x] ，i=1，n、 是边际分布函数和C:[0，1]n→ [0，1]是一个copula函数。通过这种方式，我们将依赖结构从利润中分离出来，并将上述问题简化为找到精确的利润模型F，fn以及通过copula C描述的依赖结构。在选择正确的copula时，我们可以依赖于过去几年开发和研究的广泛的不同copula模型。特别是，存在不对称连接词和具有尾部依赖性的连接词，它们试图反映实践中可以观察到的效果。然而，常见的参数copula模型在高维应用时往往存在问题，因为可实现的依赖结构是有限的。例如，它们往往过于对称。一种克服高维限制的非常优雅的方法通常被称为“基于copula的层次风险聚合”。该方法在该行业已经使用了十多年。考虑以下简单示例，其中我们介绍了其总体思路：示例1.1假设我们有四种不同的风险，由4-dim表示。随机变量X=（X1,1，X1,2，X2,1，X2,2）。这里X1,1代表“瑞士汽车保险”，X1,2代表“意大利汽车保险”。此外，X2,1代表“瑞士地震”，X2,2代表“意大利地震”。如果我们对总风险X感兴趣:= X1,1+X1,2+X2,1+X2,2，我们可以尝试通过首先建模个体风险的边缘分布F1,1、F1,2、F2,1和F2,2，并施加a4 dim，来找到X的联合分布函数F的模型。个人风险之间的copula C。

C^ot\'e&Genest[4]提出了一种基于层次聚类技术选择树结构的程序。如果最终目标是为所有单个风险的总聚合找到近似值，则分层风险聚合方法尤其适用。在这种情况下，拟议战略不会导致独特的联合分销这一事实并不重要。然而，在实践中，我们也可能面临需要共同分配个别风险的情况。例如，一个流行的例子是风险分配，或者（与示例1.1更相关的）我们想要估计我们在瑞士承担的总风险的情况，即X1,2+X2,1的分布。不幸的是，图1.1中的聚合树模型并没有唯一指定此分布。上述论文提供的大多数结果和见解涵盖了以下情况：特别感兴趣。关于联合分配，有几个有趣的问题尚未充分解决。本文旨在更好地从数学上理解与聚合树模型相关的联合分布。第一个问题的主题是Arbenz等人提出的采样算法。如前所述，样本可用于近似总骨料X的分布个人风险。然而，目前还不确定样本是否也是轻度树依赖分布的近似值。我们将进行一个数值实验，表明样本近似于条件独立假设指定的唯一树依赖分布。这将鼓励我们开发一种改进的采样算法（MRA）。

注意，τ定义了示例1.1中使用的结构树。图2.1：有根树τ的图示={, （1） ，（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2）}。我们定义了每个根树τ的以下子集：1。叶节点用L（τ）={I表示∈ τ：NI=0}。2、分支节点为B（τ）={I∈ τ：NI>0}=τ\\L（τ）。3、节点I的子节点=（I，…，id）∈ B（τ）定义为C（I，τ）={（I，1），…，（I，NI）}。4、节点I的后代=（I，…，id）∈ τ定义为D（I，τ）={（j，…，jk）∈ τ：k≥ d、 （j，…，jd）=（i，…，id）}。5、节点I的叶后代∈ τ定义为L D（I，τ）=L（τ）∩D（I，τ）。6、节点I的叶后代数∈ τ用MI=#L D（I，τ）表示。聚合树本节介绍了基于给定根树τ的风险聚合方法。我们定义了一些概率空间(Ohm, A，P）随机向量（SI）I∈分配给每个节点I的τ∈ τa随机变量XI：Ohm → Rsuch thato对于叶节点I∈ L（τ），XI代表我们感兴趣的聚合风险，o分支节点XI，I∈ B（τ）由其系数的总和给出：XI=XI，1+…+十一、 镍。在下文中，我们将进一步使用这样的约定，即无论何时编写，我∈ B（τ），用粗体字母表示由xi定义的随机向量：=（XJ）J∈L D（I，τ），2。具有组件的分层风险聚合XJ，用于J∈ L D（I，τ），其中分量按其索引J按字典顺序排列。为了便于记法，每当含义明确时，我们会去掉索引向量的括号以及参数τ。例如，X（1,1）=X1,1，D（I，τ）=D（I）和L D（（1，1），τ）=L D（1，1）。上一节中定义的根树表示各个风险的聚合层次。

（2.3）在续集中，（2.3）将被称为条件独立假设。示例2.9再次考虑前面示例中的聚合模型，条件独立性假设如下：（X1,1，X1,2，X）⊥（X2,1，X2,2，X，X) | 十、 （X2,1，X2,2，X）⊥（X1,1，X1,2，X，X) | 十、 2。层次风险聚合一可以表明，在这种附加条件下，树依赖的随机向量存在且唯一。我们将在下一节中说明一般结果。有条件的独立性假设（2.3）乍一看似乎很令人困惑，这在实践中是否合理值得怀疑。我们稍后将在第4.3.2.3节存在性和唯一性中讨论这一点。在这一节中，我们将讨论树依赖和轻度树依赖随机向量分布的存在性和唯一性。再次回顾树依赖和轻度树依赖的定义，很明显，轻度树依赖比树依赖涵盖了更大的多变量分布空间。任何依赖于树的随机向量都是依赖于树的，反之则不成立。给定聚合树模型τ、 （FI）I∈L（τ），（C）I∈B（τ）, 轻度树依赖随机向量（X）I的存在性∈根据Sklar\'sTheorem 2.1，τ相当明显。我们之前已经提到，一般来说，轻度依赖树的随机向量的分布不是唯一的。考虑到较小的树相关随机向量类，其存在性不明显。Arbenz等人[1]证明，在轻度依赖树的分布中，确实存在一个满足（2.3）的分布：定理2.10给出了聚合树模型（2.2），依赖树的随机向量（X）I∈τ存在，其联合分布是唯一的。证明见【1】第125页。

然后，我们使用排列pI，ito连接适当的顺序统计量，并定义GnIby（X（pI，1（k））I，1，X（pI，NI（k））I，NI），k=1，n（3.3）因此，通过加入适当的顺序统计量，可以使用置换PICA将正确的依赖结构引入最初独立的样本中。对于分支节点I∈ B、 成分总和确定了FIas XkI=X（pI，1（k））I，1+…+的原子X（pI，NI（k））I，NI。我们迭代地从树的底部到顶部重新排序。可以在[1]中找到一个说明性示例。稍后，我们将提出另一种重新排序样本的方法。另一种方式似乎不太自然，也不太容易理解，但产生的原子完全相同，因此定理3.2的陈述仍然成立。此外，它允许我们就我们改进算法近似的轻度树依赖向量的联合分布得出一些结论。话虽如此，我们在下一节继续讨论一些收敛结果。3.2收敛结果在本节中，我们陈述了算法3.1的主要收敛结果。在这里，我们克制自己，提供一个深入的演绎和分析3。示例重新排序算法显示了以下结果，我们参考Mainik[7]以获得更一般设置中的详细推导。为了表述结果，我们需要一些额外的符号。对于连续边距和t∈ 定义BI（t）∈ [0，1]NIasBI（t）=n（FI，1（x），FI，NI（xNI））：（x，…，xNI）∈ RNI，x+。

+xNI=toLet Uδ（BI（t））表示BI（t）在[0，1]NI中的δ-邻域：Uδ（BI（t））=nx∈ [0，1]NI:kx- 对于某些y，yk<δ∈ BI（t）o。对于绝对连续的copulas CI，我们用CI表示密度：[0，1]NI→[0，∞).定理3.3假设∈ B copulas CIare绝对连续且满足limδ→∞支持∈RZUδ（BI（t））cI（u，…，uNI）du···duNI=0。然后，对于每个分支节点I∈ B、 limn公司→∞supx公司∈RNI | GnI（x）- GI（x）|=0 P- a、 s.，limn→∞支持∈R | FnI（t）- FI（t）|=0 P- a、 美国证明见Mainik【7】。正确把握定理3.3的含义至关重要。定理3.3没有说明算法3.1中重新排序的样本是否接近（轻度）树依赖的随机向量。相反，它简单地告诉我们，只要满足连接函数的条件，样本就近似于分布GI，I∈ B、 具有轻度树依赖分布的特征。特别是，样本近似于分布F总骨料X的.3.3数值实验在前面的章节中，我们介绍了分层聚合树模型。到目前为止，关于这一主题的论文主要集中在X的总量上作为利息的数量。Arbenz等人[1]提出了重新排序算法3.1（包括定理3.2），该算法产生的样本近似于总骨料的分布（回忆定理3.3）。尚未解决的问题是，这些样本是否实际上近似于轻度依赖于树的3.3。数值实验，甚至树相关随机向量。在下文中，我们现在将重点转向这一相关问题。我们强调，以下内容尚未在之前的任何论文中讨论，并且超出了当前关于这一主题的理论结果。我们从一个数字激励示例开始讨论。

Let（XI）I∈τ是树相关随机向量，注意，根据定理3.2中所述的收敛结果，我们知道重新排序的样本近似于oX=（X1,1，X1,2）和X=（X2,1，X2,2）；oX=X1,1+X1,2和X=X2,1+X2,2；o（X，X）和总骨料X= X+X。尚不清楚样本是否提供了以X分布为特征的树相关随机向量的近似值~ N（u, ∑).为了研究这个问题，我们计算样本协方差矩阵∑样本大小为n=10的重新排序样本的：\'∑=2.9985 2.4252 0.9513 0.33012.4252 4.0025 1.1278 0.39090.9513 1.1278 9.9978 2.23370.3301 0.3909 2.2337 1.9994. （3.5）值得注意的是，样本协方差∑重新排序的样本和协方差矩阵∑在（3.4）中，依赖于树的随机向量区域几乎相同。这有力地表明，在我们的示例中，重新排序算法生成的样本近似于唯一的树依赖向量。为了支持我们的假设，我们还进行了多元正态性检验。回想一下，根据[1]中的命题2.8，树相关随机向量是多变量正态分布的。评估多元正态性的测试有很多，我们选择应用“Henze-Zirkler多元正态性测试”【10】。在0.05显著性水平上，该检验并不拒绝多元正态性的完全假设，与Henze-Zirkler统计量相关的p值为0.7848365。数值结果表明，重新排序的样本近似于唯一的树相关随机向量。很自然，这就引出了这样一个问题：这是否普遍成立，还是一切都只是巧合。我们将在下一章讨论这个问题。结论性评论可能会想，上述问题是否真的相关。

我们真的需要为描述多元分布而烦恼吗。重新排序样本近似的数值实验？仅仅知道总骨料X近似值是否正确？例如，考虑上述示例，并回顾在示例1.1中，我们指出X1,1代表“瑞士汽车保险”，X1,2代表“意大利Carinsurance”，X2,1代表“瑞士地震”，X2,2代表“意大利地震”。假设一家保险公司不会对总风险感兴趣，但也会对其在瑞士承担的总风险感兴趣，即X1,1+X2,1。图1.1中所示的聚合树模型并不能唯一确定该分布，因此我们非常希望确定哪一个分布是通过抽样算法近似的。我们认为，澄清本节中出现的问题是非常值得的。第4章依赖于树的抽样我们在前一章的末尾看到，有关重新排序算法的一些问题尚未得到充分解决。特别是，尚不清楚样本是否近似于唯一的树依赖分布或其他一些尚待确定的分布。第3.3节中的数值试验表明，实际上，依赖于树木的分布是近似的。在本章中，我们提出了对重新排序算法的修改，我们声称，对于离散边缘，我们获得了树依赖分布的近似值。此外，我们改进的算法具有生成i.i.d.实现的便利性；然而，以更差的算法效率为代价。本章首先介绍修改后的算法。