预期缺口下的投资组合优化：等值线图

样本上平均权重分布的方差为：σw=NXiwi公司- （wi）=NXihwii公司- 1（23）尽管给定样本中的单个权重可能严重偏离其真实值1，但其样本平均值仍然为1。从（22）和（23）中，我们得到了投资组合的样本外方差与权重方差之间的关系：σp，out=N（σw+1）。（24）样本上平均ES的样本外估计的相应公式为：ESout=expn-Φ-1（α）o（1- α）√2π（Nw）1/2。（25）估计误差的自然度量是估计的ES（25）与（15）中给出的真实值的比率：ESoutES（0）=（w）1/2=（σw+1）1/2。（26）该比率始终大于1。减去1，我们得到ES的相对估计误差：ESoutES（0）- 1=（σw+1）1/2- 1.（27）如果样本量T相对于不同资产N的数量非常大，即长宽比r=N/T很小，我们预计权重不会有大的波动，因此σ和估计误差（0）将很小。在相反的情况下，当样本量不够大时（从图1中的相图中我们知道，对于小置信水平，这可能已经发生在小r中），权重将发生剧烈的波动，非常大的空头头寸将被非常大的多头头寸补偿。因此，Es中权重分布的方差以及相对估计误差将非常大，最终在相位边界发散。Sz向我们中的一位（I.K.）建议了权重分布在描述估计误差方面的重要性。几年前的Pafka（私人通信）。这是一个有趣的问题，估计误差对回报的微小变化有多敏感。

我们将考虑这种最简单的变化：所有返回值的均匀偏移量很小：xit→ xit+ξ。这将导致估计的最佳权重发生变化。我们希望通过（26）中表达式ξ的导数（ξ=0）来表征估计误差的灵敏度。我们称这个量为敏感性，并用χ：χ表示=ξESoutES（0）ξ=0=ξwi公司1/2ξ=0（28）下一节中介绍的分析处理将提供权重分布、样本内和样本外对预期短缺的估计，以及大N和T极限的敏感性，其比率r=N/T固定。此外，我们还将获得【24】中建议作为估计VaR代理的数量的结果，事实上，这是在ES下优化的投资组合的VaR。4在前面提到的一阶条件下，可以通过采用随机系统统计物理的方法，在大N和T的限制下，找到优化问题（7）的解析解。该方法已在【19、20、22、23、25】中进行了解释，但为了完整起见，我们将推导的要点包括在附录A中。该方法的实质是：将代价函数视为一个实际统计物理系统的哈密顿量（能量函数），引入一个实际温度，并计算该系统的自由能（对数生成函数），在极限N，T→ ∞ N/T=固定。当实际温度为零时，原始优化问题恢复到极限。对不同回报样本的平均值对应于统计物理中所谓的淬火平均值。

我们从公式（A.15）开始讨论，其中成本函数已经在样本上取平均值，并表示为数量大大减少的变量（从（7）中的N+T+1到6）的函数，即所谓的序参数，如下所示：F（λ，, q, ^q，^) = λ+τ（1- α） - ^q-^q（29）+hminw[V（w，z）]iz+τ√πZ∞-∞dse公司-sg公司+ sr2q!,式中，V（w，z）=^w- λw- zwp公司-2^q.（30）和g（x）=0，x≥ 0x，-1.≤ x个≤ 0-2倍- 1，x<-1.（31）In（29）h·z表示标准正态变量z的平均值。自由能值，即每项资产的最小成本，最终是两个控制参数的函数，纵横比r=N/T和置信限α。为了找到该函数，必须确定上述表达式在六阶参数λ空间中的最小值，, q, ^qand^, 找到这些值作为控制参数的函数，并将其替换回（29）。下面我们将看到，在六个阶参数中，三个可以很容易地消除，因此我们为剩下的三个阶参数建立了三个方程，这符合[19]中的设置，其中复制方法首次应用于投资组合优化环境。因此，我们目前的方法（具有六阶参数和（29）中的嵌套优化结构）似乎是在走不必要的弯路。事实并非如此：目前的方案允许我们一路推断，除了最优成本外，还可以推断估计最优投资组合权重的样本平均分布和敏感性，即衡量权重对回报分布变化的敏感性。现在让我们从（29）中的内部优化问题的解决方案开始。它源于对原始问题中权重的优化，高斯随机变量z对样本中随机性的影响进行编码。

这个问题的解决方法是*（z） 我们在【23】中称之为“代表性”重量：w*（z） =z√-2^q+λ^（32）w的样本平均值*（z） 然后是HW*iz=λ^（33）其平方的平均值为*iz=λ- 2^q^（34）投资组合权重的概率密度p（w）=hδ（w- w*（z） ）iz（δ是Diracdistribution）是以hw为中心的高斯分布*Iz，方差σw=hw*iz公司- 硬件*iz=-^q^（35）现在，我们详细说明了决定订单参数的一阶条件：1=hw*iz（36）（1）- α) +√πZ∞-∞dse公司-sg公司+ sr2q!= 0（37）^ -2r级√2πqZ∞-∞dse公司-ssg公司+ sr2q!= 0（38）- ^q- 2^q+2r级√πZ∞-∞dse公司-sg公司+ sr2q!+（1）- α） r= 0（39） =√-2^qhw*ziz（40）q=Dw*埃兹。（41）其中第一个来源于预算约束，并表示在随机样本上平均的估计最优权重的期望值仅为1。这是一个不寻常的结果：随机样本中的权重分布可能与其真实分布非常不同（均等于1），但平均而言，它们仍然会影响其真实值。另一方面，从内部优化问题中，我们发现（33），因此λ=2^. （42）将（32）乘以z并对随机变量z进行平均，我们发现hw*zi公司=√-2^q/2^. 将此表达式插入方程（40），我们得到 =^. （43）最后，根据最后一个一阶条件，平均平方权重（34）等于q，因此q=λ- 2^q^= 1.-^q^, （44）这立即将qt与权重分布的方差联系起来：q=1+σw。（45）因此，我们使用了三个一阶条件来表示λ，^ 和^qthrough顺序参数,  和q，这允许我们消除前一组变量，而有利于后者。我们很快就会看到保留的变量,  而qall有着直接的意义。

我们还发现阶数参数和权重分布方差之间存在有用的关系，这告诉我们相边界应定义为qor等值线， 分流（或^） 消失），因为这是重量方差趋于一致的线，对应于重量剧烈波动的情况，占据了大量的正值和负值。现在可以通过在最优HV下评估潜在V来找到成本函数本身*iz=-^数据仓库*E=-^q、 这与（30）、（42）-（44）一起产生了非常简单的结果F=1/. 记住，F是每项资产的成本，因此成本本身是E=NF，并且还需要将成本函数除以（1-α） T为了获得预期的空头，我们有：ES=F r/（1- α） =r（1- α）. （46）由于我们一直在优化所有变量以获得该表达式，因此这在预期短缺的样本估计范围内。为了找到样本外估计，我们必须回顾（26），其中ES的样本外估计通过估计投资组合权重的方差表示。使用后者的结果（45），我们发现：ESoutES（0）=phwi=p1+σw=√q（47）这个关系给出了变量q的含义：√q-1是ES样本外估计的相对估计误差。为了找到, 我们考虑回报率的一个小变化，如前一节：退出→ xit+ξ。很容易看出，对于这样一个修改过的设置，成本函数的整个推导过程与之前一样，只需改变λ的位置，就可以将λ移动ξ作为λ→ λ+ξ。

相应地，最佳重量的样本平均值将变为：hw*iz=λ+ξ^= （λ+ξ）及其对小扰动ξ的响应：硬件*iz公司ξξ=0= （48）平均重量平方ishw相同*iz=（λ+ξ）- 2^q^及其回应：硬件*iz公司ξξ=0=λ^=^= 2. . （49）最后，（28）中引入的敏感性计算为χ=ξESoutES（0）ξ=0=ξ√q=√q、 （50）因此， 衡量权重对收益率微小变化的敏感性，以及比率/√整个一阶条件下出现的Q是估计ES相对误差的灵敏度。三阶参数为. 该变量被建议作为VaR byRockafellar和Uryasev的代理【24】。实际上，从线性规划任务的设置来看，很明显 实际上等于VaR——在ES下优化的投资组合的VaR。（我们通过数值模拟在多个纵横比和置信水平α下检查了该识别。）我们在这里有点离题，以便与早期的工作建立联系。如前所述，在投资组合优化背景下应用复制方法的第一篇论文【19】使用了三参数优化。这篇论文和当前论文之间的对应关系如下：称为qin的顺序参数是q/在这里变量v是/ 在这里变量t是r的倒数。用这个替换，这里的成本函数与这里的相同。在相位边界附近，所有三阶参数都会发散，这一事实很好地证明了[19]中缩放变量的使用，并且缩放变量仍然是有限的。我们目前的兴趣更广泛：我们想从整体上解决问题- r平面，并且相位边界附近的缩放可能在其他地方不是很有用。例如，如果r变为零（即。

样本大小T远大于尺寸N）权重分布将非常明显，因此q将变为1，而 将消失。至于它将采用简单形式Φ-1（α）对应于高斯回归样本的VaR。了解了三阶参数q的财务含义后， 和, 我们现在必须转向其余三个一阶条件的解，以获得作为r和α函数的序参数。第一项任务是通过上述关系消除具有HAT的变量。接下来我们要去掉方程中的积分。这可以通过零件的重复集成来实现。由此产生的方程组更适合数值解，在某些特殊情况下，更适合解析解。它们如下：r=Φ + √q- Φ√q（51）α=√qψ + √q- ψ√q（52）2+αr+q+2r=rqW + √q- W√q. （53）式中Φ（x）=√2πZx-∞dt e-t/2（54）ψ（x）=xΦ（x）+√2πe-x/2（55）W（x）=x+1Φ（x）+x√2πe-x/2。（56）这些函数彼此密切相关：ψ（x）=Φ（x），W（x）=ψ（x）。（57）当改变参数的符号时，它们也表现出简单的对称性：Φ（x）=1- Φ(-x） ψ（x）=x+ψ(-x） （58）W（x）=x+1- W(-x） 。注意，对于未知量形成的两个比率，两个方程（51）和（52）是闭合的，因此可以独立于第三个方程求解。第三个方程式（53）将确定 另外，还有另外两个未知数。5一阶条件的解方程组（51）-（53）是非平凡的，解沿着相位基准变得奇异，此外，在两个端点r=α=0和r=1/2，α=1，解具有本质奇异性，极限取决于我们接近这些点的方向，而解沿着α=1线都是非解析的。

然而，通过分析计算，可以沿着一些特殊的线获得第一个方向。最明显的情况是水平轴上的间隔0<α<1。这与r=N/T相对应→ 0，也就是说，在这种情况下，我们有比投资组合的维度多得多的观察结果。这里权重的分布必须是尖锐的（所有权重都等于1），因此该分布的方差必须为零，这意味着 = 0和Q=1。同时 必须是i.i.d.正常投资组合的VaR，即Φ-1（α）。很容易看出，这个三元组确实是沿水平轴的一阶条件的解。注意 α=1/2时为零，相应为正。右侧为负值。这一点的左边。此外 两端分叉，前往-∞ 以及+∞ 分别为α=0和α=1。假设r很小，就可以进行扩张；这适用于除两个端点以外的所有α。另一种分析可处理的情况是垂直间隔α=1，0<r<1/2。你可以证明 和Qarefinite，而 此处出现分歧。对这种情况的关注源于这样一个事实，即α=1对应于[45]中引入的极大极小风险度量，这是最严重损失的最佳组合。同样，除了在两个端点r=0，α=1和r=1/2，α=1之外，可以在该垂直线附近进行膨胀。另外两条可以进行分析的特殊线是α=1/2处的垂直线和 = 0，后者从α=1/2，r=0到α=1，r=1/2。最重要的特殊线是图1所示的相位边界。这三个orderparameters在这条线上都有所不同，但它们的比率保持不变。这条线是在[19]中分析得出的，其中还探讨了散度的性质和临界线附近的标度。

这种差异的根源已在【20，21】中确定为有限样本统计波动产生的表观偏差。一阶条件的复杂性并不是我们在这里的主要关注点，因此更多详细信息请参见附录B。本节其余部分将介绍一阶条件的数值解。结果将以一些等高线图的形式显示，即顺序参数恒定的线集。这些等高线图应被视为景观图，线上的参数是图中绘制的函数的固定值。正如我们已经注意到的，方程组（51-53）的结构是前两个决定比率√qand公司√q、 这些比率的解决方案如图所示。2和3。当我们穿过相边界时，这些比率保持不变，因此可以在可行区域之外继续（如图2、3中的阴影区域所示）。这个√qcontour线显示的对称性可追溯到（58）中给出的函数Φ和ψ的对称性。这些线都趋向于点r=0，α=1，下降得越来越陡，直线上的参数值越高。假设我们在接近1的某个α处竖立一条垂直线，例如，在监管支持的置信水平α=0.975。如果我们现在选择一个很小的r，点r，α将落在一条对应于相对最小值的曲线上√q、 这一比率被确定为敏感性，即估计收益对微小变化的敏感性。敏感性的一个小值意味着我们的估计相对于观察到的价格变化是相当稳定的。

随着我们沿着α=α线向上移动，也就是说，当我们考虑越来越大的r（时间序列越来越短）时，敏感性增长非常快：如果我们没有足够的数据，我们的估计将对价格变化极其敏感。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0αr0.10.250.50.7511.523510固定δ角图2：比率等值线图√q=δ，测量ES相对估计误差对回报率微小变化的敏感性。δ的值是曲线上的参数；δ沿这些线是常数。随着δ的增加，曲线将以单位平方为单位。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0αr-10-3.-2.-1.5-1.-0.75-0.5-0.2500.250.50.7511.52固定ζ等高线图3：比率等高线图√q=ζ。当ζ扫过范围时(-∞ , +∞) 单位正方形中的恒定ζ线。值得注意的是，在α=1时，对于任何有限的r，敏感性都非常大：极大极小问题对回报的任何变化都非常敏感。这是有道理的：如果我们只考虑最坏的结果，即使价格变化很小，我们估计的风险指标也会发生变化。现在让我们来看图3。它显示了√q、 可以看出，与正相对应的曲线’s全部弯曲并击中可行区域内的α=1线，而 曲线穿过相边界，到达位于不可行区域的临界点（r=1/2）和r=1之间的α=1线。这两个图都有一个显著的特征。2和3。如果我们允许√qto从零一直到单位，生成的等高线将填充整个单位正方形。同样，作为√Q从负单位变为正单位，等高线将再次填充单位平方，但这两组曲线都不会超过r=1。