预期缺口下的投资组合优化：等值线图

我们必须记住，我们正在考虑这样一种情况，即N和T都具有固定比率r，并且相边界是在这个特定极限下推导出来的。然而，在极大极小问题（α=1）的特殊情况下，优化的可行性或其他方面也可以由有限N和T决定。对于有限N和T，没有尖锐的相界（有限系统中没有相变），相反，可以进行优化的概率很高，但对于N/T<1/2，小于1；对于1/2<N/T<1，很小，但不为零；对于N/T>1，则相同为零【18】。如果N和T的比值r=N/T保持不变，则r<1/2的高概率变为1，1/2<r的小概率变为零，因此临界点固定在r=1/2。的行为√qand公司√qcurves表明，对于有限的N和T，在0和1之间的任何α都会出现类似的情况：我们推测，如果能够将[18]中的组合结果从α=1概括为一般的置信水平，那么将在最终成为N，T可行区域的区域中找到高概率的解→ ∞ , 在拟成为相边界以上的概率很小，在r=1以上的概率为零。现在让我们包括第三个等式（53），它决定 根据我们上面讨论的控制参数和两个比率，从而可以分别为所有三阶参数提供完整的解决方案。图4显示了.这些线或多或少地沿着相边界，直到在某一点上弯曲并落向r=0，α=1的点。对于越来越高的 这些等值线在弯曲之前越来越靠近相边界，之后在α=1时，它们与垂直线的距离越来越近。

请注意，等高线 切勿离开可行区域。这种行为告诉我们什么？我们必须记住 出现在两个角色中：它与ES的样本估计值成反比，公式（46），它也是样本平均portfolioweights的易感性，公式（48）。的分歧 意味着ES的样本内平均值（及其估计误差）在相位边界上消失，精确地位于0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5αr0.10.512510105000●ε=0图4：固定的等高线. 红点表示给定的r=N/Tat的最大值 并对应于 = 0行。数量 是投资组合权重对收益率微小变化的敏感性，同时与样本ES中的估计值成反比。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5αr1.051.11.21.351.51.7522.55101固定Q0的等高线图5：固定q的等高线。这些曲线也是ES样本外估计相对误差的等高线。样本外估计值存在分歧。很明显，样本内估计误差总是小于样本外估计误差。然而，我们在这里了解更多。事实上√跨越相界时的QI定义相当于说，在临界点，样本内和样本外的估计误差彼此成反比：样本内的估计似乎是最令人鼓舞的，而它成为最具误导性的估计。在方差作为风险度量的情况下，我们也观察到了类似的行为【17】。现在让我们转向其他两个阶参数。在图5中，我们展示了q的轮廓图，q是ES相对估计误差的度量。

可以看出，qalso的轮廓线也会弯曲，但与 线，它们不会下降到零，但在另一次弯曲后，会在α=1时达到某个特定值。然而，对于相当小的相对误差（对应于最低曲线），该限值非常小，意味着非常大的T值。最后，在图6中 展出。正如我们已经提到的， 是在ES下优化的投资组合的VaR，当然不同于在VaR下优化权重的aportfolio的VaR。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5αr0.250.50.7511.251.52-0.25-0.5-0.75-1.-1.5-2.5固定ε轮廓图6：等高线图, 在ES下优化的投资组合的VaR。6历史估计结果我们现在能够得出上述结果的结果。在上一节中，我们构建了表征VaR估计误差问题的量的等值线图。这些图覆盖了相位边界以下的整个区域，在该区域可以进行ES优化。从实际角度来看，最重要的区域是α=1线附近。因此，让我们关注该法规倡导的直线α=0.975。四个数量√q- 1.,√坎德 A沿α=0.975线的r函数如图所示。分别为7、8、9和10。我们可以看到√qand公司 随着r单调增加。我们已经了解到√q- 1是ES的相对估计误差。根据图7，只有当N/T很小时，该相对误差才很小，即与N相比，样本量很大。随着r的增加，相对估计误差迅速变得非常大。

表1.0 1 2 30 0.5q0中给出了几个数字示例- 1rα=0.975图7：相对估计误差√q-在α=97.5%时，ES的1作为N/T的函数。0 1 20 0.5εrα=0.975图8：VaR 在α=97.5%时，ES优化组合作为N/T的函数。的价值 随N/T的增加单调递减，当N/T接近与相位基准对应的值时趋于零（对于α=0.975，非常接近0.5）。估计α误差↓ 0.7 0.8 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.975 0.985%26 27 33 35 39 43 53 64 72 8310%14 14 14 17 18 19 20 20 24 27 31 35 4015%10 10 12 13 14 18 20 22 2520%8 8 9 10 11 12 15 17 25%6 7 8 8 9 10 11 12 50%4 4 4 5 5 5表1：表1显示了需要具有给定估计误差的T/N值（四舍五入）以进行区分的不同值置信水平α。即使是25%的估计误差也需要比监管建议的置信水平α=0.975的投资组合中项目数量大12倍的样本。该表表明，为了在α=0.975的N=100只股票的中等规模投资组合的估计预期缺口中有10%或5%的相对误差，我们必须有长度分别为T=3500的时间序列。T=7200。这些数字完全不现实：它们分别对应14个数字。28.8年，即使时间步长为一天（而不是一周或一个月）。0 50 1000 0.5 1δrα=0.975图9：数量√q=δ测量估计ES相对误差的灵敏度，作为α=97.5%时N/T的函数。垂直虚线对应于N/T的临界值。

比率√q=δ在此不发散。0 50 1000 0.5rα=0.975图10：数量, 投资组合权重对收益率微小变化的敏感性度量，作为α=97.5%时N/T的函数, 衡量最优权重对回报率微小变化的敏感性同样令人沮丧：它增长非常快，在阶段基础上出现分歧。至于敏感性√QT测量ES估计的灵敏度，它也随N/T快速增加，尽管它在相边界处仍然是有限的。与上述情况相比，, ES优化投资组合的VaR随着r的增加而减少。这符合ES本身样本估计中的行为（与) 在相位边界处消失。考虑到当我们接近相边界时，明显的套利效应越来越主导优化，可以理解样本中ES和VaR在相边界处的消失，因此，最优投资组合的概率密度（不是权重密度，而是收益和损失分布密度）向左移动（记住，按照惯例，损失被视为正，收益为负）。因此，对应于固定α的ES和VaR必须单调减少。7参数ES估计误差的等高线迄今为止，我们已经考虑了ES的历史估计，并发现任何合理的参数集（投资组合规模、置信水平、样本大小）的估计误差都非常大，或者相反，产生可接受估计误差所需的时间序列非常长。

我们可以预期参数估计结果会更好，这就是我们将在本节中展示的内容。为了明确这两种方法之间的差异，我们注意到，虽然在前面的部分中，我们使用高斯分布来生成收益数据，但在优化过程中，我们假装不知道这一事实，并将这些数据视为市场上观察到的数据。相反，在本节中，我们将假设数据遵循高斯分布，但我们不知道其参数（均值和方差）。实际上，这一问题在文献[20]中已经考虑过，但那篇论文的重点再次放在了不稳定性问题上，并且没有研究可行区域内的估计误差程度。该解决方案是通过复制的方法获得的，然后是与历史估计处理大致相同的行，只是稍微简单一些。在历史估算的背景下，我们总结了复制法的关键点，我们觉得现在不需要深入任何细节，所以我们只需让读者参考文献[20]，然后从公式（37）中选取线索。（请注意，数量q被称为秦【20】。）该公式给出了估计误差平方的样本平均值√qasq=φ（α）（1- r） φ（α）- r=rc（α）rc（α）- r、 （59）式中φ（α）=e-（Φ-1（α））（1- α）√2π，（60）α是置信水平，Φ-1累积标准正态分布的倒数，如前所述。对于rc，它是r=N/T的临界值，在该临界值处，平均估计误差发散rc（α）=φ（α）1+φ（α）。

（61）由数字证据支持的一般理论考虑[13]表明，在大N的限制下，样本上的Qo分布是尖锐的，因此我们可以将Qa视为给定的数字，而不是随机变量。我们可以从（59）中看到，当r从下面变为Rc时，Q会发生变化：此时，参数估计失去了意义。曲线r=RCI是ES参数估计的相位边界。这是图11中最上面的曲线。为了获得等高线，我们将公式（59）倒置，并将r表示为：r=q- 1qrc（α）。（62）可以看出，属于估计误差给定值qo的线从临界线简单地缩小。根据定义，当QI大于或等于1时，rc（α）的factorin front在0（对应于q=1，即相当长的观察时间，N/T=0）和1（对应于q=∞ 在相位边界上）。5%10%25%50%100%200%00.510 0.5 1αR图11：ES参数估计误差等值线图。其中一些曲线如图11所示。现在很容易计算出给定相对误差和给定投资组合规模N所需的样本量T。让我们考虑ES的参数估计，例如一个投资组合N=100种不同的证券，并规定相对误差为10%，即q=1.1。让我们进一步假设，根据法规的设想，置信水平为α=0.975。临界值rcat这个α大约是0.9，所以r计算出来大约是0.156。对于投资组合sizeN=100，这意味着确保10%误差所需的时间序列长度为682个时间步（天或周，取决于投资组合管理者的观察频率）。这是一个非常大的数字，尽管远低于历史估计中相同精度所需的3500步。

表2给出了几个进一步的数值例子。估计α误差↓ 0.7 0.8 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.975 0.985%19 16 14 14 13 13 13 1310%10 9 8 8 7 7 7 7 715%7 6 5 5 5 5 5 5 520%6 5 4 4 4 4 4 4 425%5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 350%3 2 2 2中使用的置信水平α计算预期短缺的参数估计。如果我们要求更高一点，并规定估计误差为5%，那么这些数字的计算结果大约分别为T=1272。7200用于参数化，分别为。历史估计。虽然参数VaR等值线图不是本文的主题，但从[20]中我们知道，在1附近的α区域，ES和VaR水平曲线之间的差异必须可以忽略不计，因此参数VaR估计的数据要求与ES一样荒谬。我们可以看到，正如预期的那样，参数估计比历史估计需要的数据更少，但它们仍然在一个完全超出任何实际可实现样本量的范围内。8关于可能扩展的备注：相关性和不均匀投资组合、厚尾分布和正则化我们在本研究中做出了一些简化假设：我们假设基本风险因素的波动为i.i.d.正态，忽略了除预算约束外的所有可能约束，并考虑了特殊限值N，T→ ∞ 有N/T定义。人们可能想知道这些假设与估计误差的令人失望的结果有多紧密的联系，以及其中是否有任何一个可以放松。让我们首先考虑一下相同分布和独立性的问题。

如【20】所示，对于VaR和ES的参数估计，但对于历史估计同样正确，具有任意（但可逆）协方差矩阵的高斯函数可以简单地适应于复制形式主义，代价是一些额外的影响和更复杂的公式。同样，可以很容易地将投资组合预期回报的约束包括在内，为问题增加一个拉格朗日乘子层。所有这些特性都保持了我们信息的本质不变，事实上，与我们上面分析的简化问题相比，它们需要更大的样本才能获得相同水平的估计误差。然而，基础波动的高斯特性是一个重要的限制：复制形式主义无法处理非高斯基础波动，而非高斯基础波动是真实市场的一般特征。为了研究厚尾的影响，我们不得不借助数值模拟来解决（7）中的线性规划问题。正如所料，厚尾使得估计误差甚至比高斯函数更大。图12中显示了一个示例，其中我们显示了对应于√q- 1=0.05，这是高斯情况下ES的样本外历史估计中的5%误差，以及两个学生分布（分别为ν=3）的相同曲线。ν=10个自由度。这张图需要一些评论。连续的黑线来自解析回归理论计算，小黑圈是在相应控制参数值下的仿真结果（线性规划问题的数值解）。请注意，在N=50这一相对较小的值下，模拟结果基本上落在分析曲线就绪上。

这是可行区域内部的一般经验：模拟规模相对适中的投资组合，N在50到几百之间，再现分析结果（对应于极限N→ ∞) quitewell，前提是数值结果在大量（通常为500个及以上）样本上进行平均。然而，在相边界附近，收敛速度大大减慢，精确数值结果所需的投资组合规模和样本数量迅速超出实际可实现的范围。i.i.d.学生分布收益的模拟结果分别为ν=3。ν=10个自由度，与高斯情况下相同的N=50和5%误差，分别产生蓝色（ν=3）和紫色（ν=10）所示的轮廓线。（连续的蓝色和紫色线条只是眼睛的向导，测量数据用小圆表示。）正如预期的那样，对应于这些厚尾分布的等高线位于高斯曲线下方，这意味着要对givenN具有相同的估计误差，需要比高斯情况下更大的样本。ν=10学生曲线比ν=3曲线更接近高斯曲线，这就是它应该是什么样子：对于ν→ ∞ 学生分布变成高斯分布。当我们接近α=1时，高斯曲线和ν=3学生曲线之间的差异迅速增加：二者的比率用棕色线表示。垂直虚线表示α=0.975的调节值。在这个α处，高斯和ν=3学生值之间的比率约为3.7。这意味着，对于这种afat尾部分布，必须有几乎四倍于高斯分布的样本。