预期缺口下的投资组合优化：等值线图

这似乎是有道理的：我们正在处理一个风险度量，重点是远尾的波动，其中窄尾分布和厚尾分布之间的差异最大。高斯曲线和ν=3曲线之间的差异当然不小，但在高斯情况下，数据要求已经很不现实，对厚尾分布的额外需求几乎无关紧要。●●●●●●●●●●●0 0.5 10 0.02 0.04●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●高斯学生ν=3学生ν=10高斯/ν=3比率αrN=505%误差●●●●●●●●●●●1234比率图12：估计误差√q- 1=0.05从数值模拟中获得的等高线，对于高斯（小黑圈）、Studentν=3（蓝线和小蓝圈）和Studentν=10（紫色线和紫色圈）分布，aportfolio大小N=50。为了进行比较，还提供了复制理论结果（黑线）。棕色线显示了与高斯和Studentν=3的相同α对应的N/T值的比率。虽然复制法使我们能够计算ES相对误差的期望值以及在随机高斯样本上平均的最优投资组合权重的分布，但它没有提供关于这些数量在样本之间的影响程度的信息。（这在原则上不是一个限制：在复制法的背景下，将鞍点计算推到领先顺序之外一步，就可以得出估计误差分布的宽度。这样的计算将需要非常严重的影响，并且超出了当前工作的范围。）我们不再试图通过分析得出分布的宽度，而是再次求助于数值模拟。

我们发现，在远离相界的安全距离处，估计的ES在样品上的分布变得越来越集中，其宽度在N，T中接近于零→ ∞ 限度虽然分布的峰值位置稳定得相当快，但宽度的收敛速度相当慢。图13给出了说明。然而，在相边界附近，平均估计误差增长超过任何界限，其波动取决于极限的顺序：如果我们在保持N，T有限的情况下进入相边界，分布的宽度会变大，而在相反的界限中，分布最终收缩成狄拉克三角洲。这一行为符合人们在相变中预期的结果。0 5 10 150 0.5q0- 1p（q0- 1） N=25N=50N=100N=200N/T=0.025α=0.975●●●●0.02 0.03 0.04 0.05 0.06Nσq025 50 100 200图13：在置信水平α=97.5%时，N=25、50、100、200，N/T=0.025时数值模拟样本的估计误差分布。曲线由5000、5000、15000和100个样本的平均值获得。分布变得越来越尖锐的趋势→ ∞ 是清楚的。插图：估计误差分布提取宽度的相关性。宽度在极限N，T接近0→ ∞.我们分析的另一个重要限制是忽略了对投资组合权重的可能限制。这些限制可能会对不同资产组（对应于工业部门、地理区域等）的卖空行为施加限制。约束可以（并且通常确实）确定在投资组合权重空间中寻求最佳数量的领域。任何此类约束都将起到正则化器的作用，并将防止发生到不可行区域的相变。

正则化器可以构建到复制方法中，如[22,23]所示。然而，各种可能的限制系统或正则化器对优化问题引入了非常不同的修改，我们认为这些限制系统和正则化器的包含和详细分析将偏离本论文的主旨太远（至少会使其长度增加一倍），因此我们决定将问题的这一重要方面留给后续出版物。9结论在对这项工作进行简短且非常初步的说明[46]的基础上，在本文中，我们考虑了在最简单简明的环境下，在风险度量预期短缺下的最优投资组合选择问题：我们假设投资组合是资产与i.i.d.标准正态分布回报的线性组合，我们的目标是全球最小风险投资组合，忽略对权重的任何约束（budgetconstraint除外）。因此，底层流程根本没有任何结构，它只是纯噪音。我们提出的基本问题是：对于投资组合中给定数量的N项资产，统计样本的大小T必须有多大，以便优化在规定的估计误差内返回正确的最优值（没有结构，最优投资组合权重彼此相等）。在历史估计的情况下，我们得到的答案非常令人沮丧：优化有限样本会产生典型的广泛权重分布、假想的相关结构和幻象。为了在可接受的误差范围内获得正确的答案，我们需要非常大的样本，远远超出实际可达到的任何观察时间长度。

从质量上来说，这正是人们所期望的，但我们的结果有助于以精确、定量的方式阐明这一结论。值得注意的是，尽管参数估计的结果比历史估计的结果更有利，但必要的样本量仍然远远高于任何可以视为现实的因素。因此，我们的结论与许多其他作者一致，他们认为以原始（未过滤、未规范）形式优化大型投资组合的任务是没有希望的。【31】中摘要的第一句话：本文的中心信息是，任何人都不应该将预期缺口用于投资组合优化。有人可能会提出反对意见，认为ES是用来衡量投资组合风险的诊断工具，而不是关于其最佳结构的决策帮助。这很可能是事实，但VaR的职业生涯[47]表明，机构将不可避免地被迫在其声称的范围之外使用新的监管市场风险度量：终止约束很容易发挥目标函数的作用。此外，风险不仅难以优化，而且正如Danielsson和Zhou【11】的发现清楚地表明的那样，风险也难以衡量。据我们所知，我们用于获得量化结果的方法是唯一已知的ES优化分析方法，并使我们得出了一组关于样本外估计相对误差、收益率微小变化敏感性以及ES优化投资组合VaR的封闭方程。这些方程用数值方法求解；在一些特殊情况下，包括有趣的minimaxrisk度量，手动。

我们方法的适用范围不限于i.i.d随机变量的一般情况，我们计划将其用于基础随机过程具有结构的模型（具有非零协方差和收益的非齐次投资组合）。看看样本的大小必须有多大，才能用可容忍的误差覆盖这样的结构，这将是很有趣的。在目前的工作中，我们故意不考虑任何正则化或其他降维方法。在高维环境（如当前环境）中，必须应用这些方法。他们在这里的省略部分是因为试图以最简单的形式呈现一种大多数读者可能不熟悉的方法，以及由此产生的非平凡分析结果，但也因为试图将论文的长度保持在合理的范围内。然而，还有一个更为严肃的考虑。正则化、降维、对权重组的限制，或任何其他旨在抑制估计值剧烈波动的方法，都会对可接受的最优值施加某种结构，从而必然引入偏差。这就提出了一个关于偏见和偏见之间权衡的重要问题。考虑到这些极不稳定的估计，需要一个非常强大的正则化来稳定它们，因此强大的指数可以充当主导的贝叶斯先验，基本上抑制了来自经验样本的信息。

面对真实市场数据的有限样本（而非我们的合成数据），投资组合经理可能会决定完全无视来自市场的信息，选择天真的1/N投资组合（如[48]的结果所示），或者根据专家意见或直觉行事，这在大多数情况下都可能发生[49]。或者，更糟糕的是，她可能会相信一个黑匣子优化器包是干净的市场信息的来源。澄清背景知识可用于优化的精确定量条件是一项值得努力的工作，而不存在完全挤占市场信息的偏见，我们相信本文在过于简单的环境中采用的方法在更现实的市场模型中也会很有用。感谢许多人在此项目上进行了有益的互动，包括E.Berlinger、I.Csabai、J.Danielsson、B.D¨om¨ot¨or、F.Illes、R.Kondor、M.Marsili和S.Still。FC感谢经济及社会研究理事会（ESRC）对系统性风险中心（ES/K002309/1）的资助。IK非常感谢在撰写本文期间，伦敦大学学院计算机科学系对他的热情款待。附录A副本计算在本附录中，我们展示了如何从线性规划问题中推导出成本函数公式（29），该问题解决了预期短缺的优化问题。这种方法是从无序系统理论中继承而来的，取名为复制法。Ciliberti等人首次将该方法应用于投资组合背景中。

[19] 在[21]中，派生词以略微修改的形式出现；在这里包含它是为了使这篇论文更加完整。我们需要找到最低的ofE[, {ut}]=（1- α） T型 +TXt=1在约束下t≥ 0，ut+ +NXi=1xi，twi≥ 0tandNXi=1wi=N。计算过程如下：根据统计物理的一般策略，我们通过引入反温度γ的效应，将上述“尖锐”优化替换为“软”优化，并定义正则配分函数（或生成函数）为Zγ[{xi，t}]=Z∞TYi=1度∞-∞d θut+ +NXi=1xi，twi！e-γE[,{ut}]，（A.1），其中θ（x）=1，如果x>0，否则为零。因此，配分函数是与问题约束相容的所有可能变量配置的积分，其中每个配置, {ut}由玻耳兹曼重量e加权-γE[,{ut}]。原始优化问题可在极限γ内恢复→ ∞ 其中只有E的最小值[, {ut}]贡献。根据配分函数，可以在大N aslimN的限制下计算最小成本（每项资产）→∞limγ→∞-log Zγ[{xi，t}]γN.（A.2）为了导出系综的典型性质，我们必须对所有可能的返回实现进行平均，并计算log Zγ[{xi，t}]i=Z∞-∞NYi=1TYt=1dxi，tP[{xi，t}]log Zγ[{xi，t}]，（A.3），其中P[{xi，t}]是收益的概率密度函数。求对数平均值很困难。复制技巧就是为了避免这种困难而设计的。它基于标识LOG Zi=limn的使用→0hZni公司n、 （A.4）对于整数n，我们可以计算Znas，它是由原始系统的n个独立副本组成的系统的配分函数。然后，对实际值n的分析延拓将允许我们执行极限n→ 0并获得所寻求的数量hlog Zγ[{xi，t}]i。

该方法的致命弱点是从整数到实n的解析延拓；解析延拓的唯一性通常无法轻易证明。在无序系统理论中，最初通过复制Trickw获得的结果后来通过严格的数学方法进行验证【14、15、42】。目前的模型还没有这样一个严格的证明。然而，考虑到我们的代价函数的凸性，我们相信该方法一定会得到正确的答案。