因子Copula模型的相依违约和损失

让我们用cgu表示高斯copula和h函数，V（u，V；ρ）=ΦΦ-1（u），Φ-1（v）；ρandCGU；V（u | V；ρ）=ΦΦ-1（u）- ρΦ-1（v）1- ρ,其中Φ（·）是标准正态分布，Φ（·，·；ρ）是具有相关ρ的二元正态分布。例如，当d=1且所有二元copula均为高斯分布时，则默认时间的联合分布表示为1因子模型的copula j=βjX+q1- βjZj，其中X，Z，zn是i.i.d.N（0，1）随机变量。在这种情况下，将债务人j违约与系统因素联系起来的二元copula的相关参数为βj。考虑到j的唯一相关参数βj=ρ∈ {1，…，N}，[Li00]是我们公式的特例。此外，当d>1时，违约时间的联合分布表示为d-因子模型j=pXi=1βj，iXi+Zj的copula，其中X，Xp，Z，zn是i.i.d.N（0，1）随机变量。在这种情况下，第二到d因子的参数是偏相关，即ρUj，Vk | X，。。。，Vk公司-1=Cov（Yj，Xk | X，…，Xk-1） pV ar（Yj | X，…，Xk-1） pV ar（Xk | X，…，Xk-1） =βj，kq1- βj，1- ··· - βj，k-1、随机相关模型。建立更复杂的因子模型很简单，随机相关模型通过写入yj=（Bjαj+（1- Bj）βj）X+q1- （Bjαj+（1- Bj）βj）Zj，其中Bj是i.i.d.Bernoulli（Bj）和X，Z，ZNas之前。对于该模型，二元copula是高斯copula的凸和，即isCSCUj，V（uj，V；αj，βj，bj）=bjCGU，V（u，V；αj）+（1- bj）CGU，V（u，V；βj）。因此，推导h函数很简单。t-Student模型。通常，t-student模型通过考虑Yj来指定=√WβjX+q1- βjZj其中，W是一个i.i.d.随机变量，比如ν/W是χ（ν），X，Z，ZNas之前。

然后默认时间独立于（W，X）条件，其条件概率分布很容易推导出来（参见[BGL09]）。利用我们的公式，我们通过直接考虑copula和h函数得到了一个等价的t-student模型，即isCtU，V（u，V；ρ，ν）=t（t-1ν（u），t-1ν（v）；ρ、 ν）和CTU；V（u，V；ρ，ν）=tν+1（f（u，V）），其中f（u，V）=t-1ν（u）- ρt-1ν（v）r（1-ρ）ν+（t-1ν（v））ν+1，其中tν（·）是具有ν自由度的t-student分布，t（·，·；ρ，ν）是具有相关ρ和自由度ν的双变量t-student分布。与其他公式相比，我们的替代方案只需要一维积分。此外，对每个二元copula使用不同的自由度可以在不增加成本的情况下提供额外的建模灵活性。阿基米德模型。通过考虑连续的、严格递减的、凸的生成元ψ：[0，1]×Θ，建立了单参数阿基米德copula→ [0，∞) 使得ψ（1；θ）=0表示所有θ∈ Θ，其中Θ表示参数空间。

使用该生成器，通过写入cψU，V（U，V；θ）=ψ，得到一个二元copula-1（ψ（u；θ）+ψ（v；θ）；θ） 。对于这样的copula，h函数CψU；Vis通常很容易推导，我们在表3中总结了最流行的Vis。生成器ψ反向生成器ψ-1参数空间ΘClaytonu-θ-1θ（1+θu）-1/θ（0，∞)甘贝尔(-对数（u））θexp-u1/θ[1，∞)直率的-日志经验值(-θu）-1exp(-θ）-1.-θlog（1+exp(-t） （经验值(-θ）- 1） （）(-∞, ∞) \\{0}乔-日志1.- （1）- u） θ1.- （1）- 经验值(-u） ）1/θ[1，∞)独立-日志（u）扩展(-u）Copula CψU，VClaytonu-θ+v-θ- 1.-1/θGumbel e-((- 对数（u））θ+(- log（v））θ）1/θFrank-θ对数1.-e-θ-（1）-e-uθ）（1-e-vθ）1-e-θ乔1-（1）- u） θ+（1- v） θ- （1）- u） θ（1- v） θ1/θ独立uvh函数CψU | VClayton CψU，V（U，V；θ）V-1.-θGumbel CψU，V（U，V；θ）((- 对数（u））θ+(- 对数（v））θ）1/θ-1个(- log（v））θv log（v）Frankeθeθu- 1.eθu+θv- eθu+θ- eθv+θ+eθvJoeCψU，V（U，V；θ）1.-θ（1- v） θ-1（1- （1）- u） θ）独立性可换表3：阿基米德copulas描述生成器ψ，逆生成器ψ-1、参数空间Θ、copula CψU、V和h函数CψU | V。参考文献【ACFB09】Kjersti Aas、Claudia Czado、Arnoldo Friessesi和Henrik Bakken。多重依赖的成对copula结构。《保险：数学与经济学》，44（2）：182–1982009年4月。【AF16】Damien Ackerer和Damir Filipovi\'c.线性信用风险模型。瑞士金融机构研究论文（16-34），2016年。【AH08】萨拉赫·阿姆拉维和塞巴斯蒂安·希蒂尔。基相关的最优随机恢复。2008年【ALS07】Hansj¨org Albrecher、Sophie A Ladoucette和Wim Schoutens。综合CDO定价的通用单因素L'evymodel。《数学金融进展》，第259-277页。Birkhauser Boston，2007年。爱德华·奥尔特曼、安德里亚·雷斯蒂和安德里亚·西罗尼。信用风险模型中的违约回收率：文献回顾和经验证据。《经济注释》，33（2）：183–208，2004年。[AS04]Leif Andersen和Jakob Sidenius。

高斯copula的扩展：随机恢复和随机因子加载。《信贷风险杂志》卷，1（1）：29–702004。[ASB03]Leif Andersen、Jakob Sidenius和Susanta Basu。你所有的树篱都在一个篮子里。风险，（11月）：67–722003年。蒂姆·贝德福德和罗杰·库克。用vines建模的条件相关随机变量的概率密度分解。《数学与艺术智能年鉴》，32:245–2682001。蒂姆·贝德福德和罗杰·库克。Vines-一种新的因随机变量图形模型。《统计年鉴》，30:1031–10682002。X Burtschell、Jon Gregory和Jean-Paul Laurent。超越高斯copula：随机和局部相关性。《信贷风险杂志》，3（1）：31–622007年。Xavier Burtschell、Jon Gregory和Jean-Paul Laurent。CDO定价模型的比较分析。《衍生品杂志》，16（4）：9–372009年。Damiano Brigo、Andrea Pallavicini和Roberto Torresetti。用动态广义泊松损失模型校准CDO份额。《风险》，2007年6月20日：70–75日。Damiano Brigo、Andrea Pallavicini和Roberto Torresetti。信贷模型与危机：将其分为CDO、Copulas、相关性和动态模型。约翰·威利父子公司，2010年。[BR13]Tomasz R Bielecki和Marek Rutkowski。信用风险：建模、估价和对冲。Springer Science&Business Media，2013年。皮埃尔·柯林·杜弗兰。相关市场简介。《金融经济计量学杂志》，7（1）：12–29，2009年。【CL08】阿雷斯基的堂兄和让·保罗·劳伦特。CDO份额定价因子模型概述。数量金融领域的前沿。2008年。【CM99】彼得·卡尔和迪利普·马丹。使用快速傅立叶变换进行期权估值。《计算金融杂志》，2（4）：61–731999年。Daniel Dufresne、Jose Garrido和Manuel Morales。

期权定价和保险中的傅立叶反演公式。《应用概率的方法与计算》，11（3）：359–3832009。【EGP93】P Embrechts、R–ubel和SM Pitts。快速傅立叶变换算法在保险数学中的一些应用。《尼尔兰迪卡统计》，47（1）：59–751993年。达米尔·菲利波维奇和马丁·拉尔森。多项式差异及其在金融中的应用。《金融与随机》，20（4）：931–9722016。Damir Filipovi\'c、Ludger Overbeck和Thorsten Schmidt。动态CDO术语结构建模。《数学金融》，21（1）：53–712011年。Jean-Pierre Fouke、Ronnie Sircar和Knut Solna。多名称和多比例默认建模。多尺度建模与仿真，7（4）：1956–1978，2009。[Gie08]Kay Giesecke。组合信贷风险：自上而下与自下而上的方法。《定量金融前沿》，第251-267页。John Wiley&Sons，2008年。弗洛伦斯·纪尧姆、菲利普·雅各布斯和维姆·肖滕斯。使用单因素L'evy模型对CDOsquared份额进行定价和对冲。《国际理论与应用金融杂志》，12（05）：663–6852009。Jon Gregory和Jean-Paul Laurent。我会活下来的。风险，（6月）：103–107，2003年。亚历山大·赫伯特松。采用矩阵分析法对违约传染模型中的合成CDO份额进行定价。《信贷风险杂志》，4（4）：3–352008年。马吕斯·霍弗特和马蒂亚斯·谢勒。带嵌套阿基米德copula的CDO定价。《定量金融》，11（5）：775–7872011。【HW04】JC船体和AD白色。在没有蒙特卡罗模拟的情况下，对CDO和第n个违约CDS进行估值。《衍生品杂志》，12（2）：8–23，2004年。约翰·C·赫尔和艾伦·D·怀特。使用隐含copula方法评估信用衍生品。衍生工具杂志，14（2）：8–28，2006年。Florian Heiss和Viktor Winschel。解析网格上数值积分的似然逼近。

《计量经济学杂志》，144（1）：62–802008。约翰·赫尔和艾伦·怀特。抵押贷款产生的部分风险。财务分析师Journal，66（5）：54–672010。Kevin Jakob和Matthias Fischer。在GeneralizedCreditisk+框架中量化不同连接词的影响。依赖模型，2（1）：2014年1月21日。H.乔。具有给定裕度和m（m）的m-变量分布族-1） /2个双变量相关参数。在L.R¨uschendorf、B.Schweizer和M.D.Taylor中，编辑、固定边缘分布和相关主题。1996年【KJ13】帕维尔·克鲁普斯基和哈里·乔。多元数据的因子copula模型。多变量分析杂志，120:85–1012013。帕维尔·克鲁普斯基和哈里·乔。结构因子copula模型：理论、推理和计算。《多元分析杂志》，138:53–732015。马丁·克雷克尔。具有基础相关性和随机恢复的不良CDO定价。2008年。【KSW07】安娜·卡莱曼诺娃、B·施密德和拉尔夫·沃纳。合成CDO定价的正态逆高斯分布。《衍生品杂志》，2007年。Jean-PaulLaurent和Jon Gregory。一揽子违约掉期、CDO和因子连接。《风险杂志》（Journalof Risk），2005年9月。[Li00]Daxid X.Li。关于默认相关性：copula函数方法。《固定收入杂志》，9（4）：43–542000年。David X Li和Michael Hong Liang。使用高斯混合模型和损失分布转换的CDO平方定价。2005年。[MFE05]亚历山大·J·麦克尼尔（AlexanderJ.McNeil）、鲁迪格·弗雷（R¨udigerFrey）和保罗·恩布雷奇斯（PaulEmbrechts）。定量风险管理：概念、技术、工具。普林斯顿大学出版社，2005年。艾伦·莫滕森。在基于强度的模型中对一揽子信贷衍生品进行半分析性评估。衍生工具杂志，13（4）：8–26，2006年。[MOSS14]Jan Frederik Mai、Pablo Olivares、Ste ffen Schenk和Matthias Scherer。

具有扩散和事件风险的多变量故障模型。《应用数学金融》，21（1）：51–832014。Jan Frederik Mai、Matthias Scherer和Rudi Zagst。CIID脆弱性模型和隐含连接函数。在《数学和定量金融的Copulae》中，2012年7月10日至11日在克拉科夫举行的研讨会记录，第201-230页。Springer，2012年。罗杰·尼尔森。连接词简介。斯普林格，1999年。吴东焕和安德鲁·J·巴顿。基于copula的多元模型矩估计的模拟方法。《美国统计协会杂志》，108（502）：689–7002013。吴东焕和安德鲁·巴顿。使用factorcopulas在高维中建模依赖性。《商业与经济统计杂志》，35（1）：139–1542017年。卢茨·施洛格尔和多米尼克·奥凯恩。关于Student-t copula的大型齐次投资组合近似的一个注记。《金融与随机》，9（4）：577–5842005。菲利普·肖恩布彻和德克·舒伯特。强度模型中依赖Copula的违约风险。2001年【SS04】亚历西奥·桑塞塔和斯蒂芬·萨切尔。Bernstein copula及其在多元分布建模和逼近中的应用。计量经济学理论，20（03）：535–5622004。乌尔夫·谢普斯迈耶和雅各布·斯特奥伯。二元copula的导数和Fisher信息。《统计论文》，55（2）：525–5422014年5月。奥德里奇·瓦西塞克。贷款组合价值的分布。风险，15（12）：160–1622002。[ZP07]Steven H Zhu和Michael Pykhtin。交易对手信用风险建模指南。GARPRisk Review，2007年7月至8月。