因子Copula模型的相依违约和损失

对于具有交替连续分布的因子，使用概率积分变换不会失去一般性。虽然信贷风险文献中的因子模型通常建立在实值随机变量上，但在计算联合违约概率（3）等表达式时，这会产生不必要的复杂性层。下面的命题表明，我们关于V的假设对CU产生了一个简单的二元copula分解，也称为单因子copula。命题2.2（单因子copula[KJ13，KJ15]）。对于j=1，N、 设CUj，Vdenote为Ujand V的联合分布，即P[Uj≤ uj，V≤ v] =CUj，v（uj，v）。如果U的坐标在V上是独立的，那么cu（U，…，uN）=Z[0,1]NYj=1CUj | V（uj | V）dv，（5）其中，对于所有j=1，N、 CUj | V（uj | V）=CUj，V（uj，V）改变所谓的h函数。[ACFB09]在研究一般多元分布的成对copula分解时引入了h函数：如果CUj，V（uj，V）=P[uj≤ uj，V≤ v] ，则CUj | v（uj | v）=P[uj≤ uj | V=V]。注意，CUj，V（u，V）=uv表示CU（u，…，uN）=QNj=1uj。换句话说，如果Ujis独立于V，那么对于所有k 6=j，它也独立于uk，这意味着U的坐标仅通过因子V相互依赖。示例2.3。[Li00]的高斯模型是一个单因子copula模型，通过使用所有的j二元copula CUj，V（uj，V；ρ）=Φ得到Φ-1（uj），Φ-1（v）；ρ这意味着CUj | V（uj | V；ρ）=ΦΦ-1（uj）-ρΦ-1（v）1-ρCU（u，…，uN；ρ）=RQNj=1ΦΦ-1（uj）-ρΦ-1（v）1-ρ其中Φ（·）是标准正态分布，Φ（·，·；ρ）是具有相关ρ的二元正态分布。命题2.2中的规定比信贷风险文献中的标准因子模型更加灵活。

原因是可以直接建立非齐次模型，在默认时间和公因数之间具有明确的依赖性。例如，可以为每个条件概率P[Uj]使用不同的二元copula建立一个模型≤ uj | V=V]。此外，对于二元copula，存在许多研究得很好的参数族，请参见[SS14]。除了这些参数族之外，在保持分析可处理性的同时增加建模灵活性的一种简单方法是组合不同的双变量copula。因此，我们建议将混合分布作为一种自然而简单的扩展，这大大丰富了单因素copulas模型的类别。定义2.4。设K是一个正整数，CUj，相对于一个混合二元copula，如果存在K copulasCkUj，V，K正权重wk>0，使得pkk=1wk=1，并且CUj，V（uj，V）=KXk=1wkckkuj，V（uj，V）。（6） 解释该表达式的一种方法是贝叶斯方法，即假设随机变量ujan和因子V之间的依赖关系不确定，并且遵循概率wk的分布CkUj，vw。相应的h函数仍然有一个简单的表达式，因为我们有CUj | V（uj | V）=PKk=1wkCkUj | V（uj | V）。虽然【LL05】中研究了高斯copula的混合物，但上述定义可以容纳每个混合物成分的不同参数族。以特定实体的违约时间为条件的信贷组合的损失分布对于风险管理应用程序特别重要。例如，它是计算信贷估值调整（CVA）的必要输入，即该实体违约风险导致的双边头寸预期损失（介绍见[ZP07]）。事实证明，以实现的默认时间子集为条件的默认时间的联合分布是通过对等式（5）的简单修改获得的。设I={1。

，N}和D 我分别表示整个集合和实体的子集。下面的命题表明，以D中所有实体的违约为条件的联合违约分布也有一个简单的表示。提案2.5。在单因素copula模型中，联合缺省分布以τk=tkfork为条件∈ D isP[τ≤ t、 ，τN≤ tN |τk=tk:k∈ D] =R[0,1]Qj∈I\\DCUj | Vpj，tj | vQk公司∈DcUk，V（pk，tk，V）dvR[0,1]Qk∈DcUk，V（pk，tk，V）dv（7），其中cUj，V（u，V）=CUj，V（u，V）u相对于二元copula CUj的密度，V。虽然默认时间是相关的，但对默认实体子集的条件化并不会显著复杂化幸存实体联合分布的表达式。（7）中右侧的分母是在默认时间评估的默认实体的copula密度。2.3多因子copulas通过考虑潜在因子的d维随机向量V=（V，…，Vd），推广了第2.2节的框架。我们假设V在超立方体[0，1]上取值，并且具有均匀的边缘分布。V的联合分布是通过定义一个copula来表示CV的。以下命题表明，单因素框架扩展到了多因素框架。命题2.6（多因素copula）。对于j=1，N，让CUj，Vdenote为Ujand V的联合分布，即P[Uj≤ uj，V≤ v] =CUj，v（uj，v）。如果U的坐标在V上是独立的，那么cu（U）=Z[0,1]dNYj=1CUj | V（uj | V）dCV（V）（8），其中，对于所有j=1，N、 CUj | V（uj | V）=dCUj，V（uj，V）vvd。注意，（8）中的表示并不等同于[KJ13，KJ15]中的表示，因为V的坐标不一定是独立的。尽管表示（8）与表示（5）有明显的相似性，但可以说表示（8）比表示（5）更复杂。

原因是，每个CUj，vh不是二元的，而是维度d+1。然而，多因素框架在独立潜在因素V的假设下简化，如以下命题所示。我们用符号表示函数组合o, 这是fo 对于任意实值函数f和g，g（x）=f（g（x））。推论2.7（带独立因子的Copulas[KJ13，KJ15]）。如果CV（v）=Qdj=1vj，则Cu（u，…，un）=Z[0,1]dNYj=1CUj | v（·| v）o ··· o CUj | Vd（uj | Vd）dv，（9）其中CUj，Vkis是j的二元copula∈ 1.d和k=1，d、 注意，递归分解（9）是成对copula构造的一种特殊情况【KJ13，KJ15】。这种构造之所以有趣，有几个原因。首先，这是一种简化复杂多元依赖关系建模的方法。第二，层次结构可以表示为失写模型，具有直观的解释。第三，因为（9）中的被积函数是一个简单的递归，所以可以通过计算高效的方式对其进行向量化。最后，应该注意的是，潜在因素的数量也是超立方体的维数，在超立方体上，必须对条件copula的乘积进行积分，以计算联合违约概率。因此，我们应该平衡建模灵活性和计算成本。2.4与标准因子模型的比较我们表明，标准静态因子模型可以明确重写为因子copula模型。在这种情况下，通常考虑随机向量Y=（Y，…，YN）∈ RNalong，具有确定性和分量非递减向量yt=（y1，t，…，yN，t）∈ 注册护士。例如，Y和yt（或它们的成分）可以表示固定值和相应的默认屏障。

然后，将默认时间τjof firmj定义为其值第一次低于其默认屏障，即τj=inf{t≥ 0:Yj≤ yjt}。此外，标准因子模型是通过将固定值的随机行为分解为系统性和特殊性成分来构建的。换句话说，我们假设arandom向量X的存在∈ RDN和N变量j代表j∈ {1，…，N}，因此Yjis是函数X和j、 也就是Yj=fj（X，j） 对于一些（d+1）维函数，在R+上取值。让FYj、FX分别为F-1Yj，F-1X表示Y和X的分布，分别表示其逆分布，FYj | Xdenote表示Yjgiven X的条件分布。以下命题表明，任何标准因子模型都等效于特定因子copula模型。定理2.8。标准因子模型是具有边际违约概率Pj，t=FYi（yj，t）和条件copulasCUj | V（u | V）=FYj | X（F）的因子copula模型-1Yj（u）|（F）-1X（v），F-1XN（vN）），对于j=1，N、 其中V的copula由cv（V）=FX（F）给出-1X（v），F-1XN（vN））。此外，如果函数fx和FYjfor all j=1，N是连续的，那么所有j=1，…，的copulas CVandCUj | vf，N是唯一的。虽然CUj | Vand cv有时承认封闭形式的表达式，但很明显，边际分布是不相关的。相反，直接使用copula可以提供更多建模灵活性，同时确保可跟踪性。示例2.9。示例2.3中所述的高斯模型是通过以下方式获得的，即j∈ {1，…，N}，Yj=ρX+p1- ρZjand yj，t=Φ（pj，t），其中X，Z，zn是i.i.d.N（0，1）随机变量。在附录B中，我们推导了其他流行模型的因子copula表示。3离散损失分布我们首先确定一个特定的网格，在该网格上损失将取值。

然后，我们证明了可以使用离散傅立叶反演以准闭形式计算投资组合分布，并且该方法也适用于复杂信用衍生品（如CDO平方）的基础投资组合。本节最后介绍了一种灵活的方法来建模随机和因子相关损失。3.1特定损失金额我们定义了由N个不同实体的证券组成的投资组合的时间t损失，Lt=NXj=1 ` j{τj≤t} =NXj=1 ` j{Uj≤pjt}，（10）其中` jis是实体j违约时可能经历的随机损失金额，以及{τj≤t} 是实体j的默认指标。在本节中，我们对“j”做出两个假设，以保持投资组合损失分布的可跟踪性，并启用有效的数值技术。首先，我们假设\'jis V-条件独立于\'kf，对于k 6=j和U（或等效τ），isP[U≤ u、 `≤ x | V=V]=NYj=1CUj | V（uj | V=V）P[`j≤ lj | V=V]，带“=（`，…，`N），对于任何u∈ [0，1]N，v∈ [0，1]和l∈ RN+。至于违约时间的联合分布，V条件概率可以任意规定。因此，该假设不排除依赖违约时间和违约损失。请注意，在文献中，损失金额通常被假定为相互独立，且与默认时间无关，并且通常设置为常数。我们的框架超越了这些限制，如第4s节所示，这些限制可能具有实际重要性。我们假设损失具有离散分布和有限支持。更具体地说，weletδ∈ R+是常见的损耗单位，因此每个“j”都是一个从零开始的离散和有限的支撑，以及网格δ，即“j”∈ {0，δ，2δ，…，mjδ}，j=1，对于某些整数mj∈ N、 因此，投资组合损失分布也具有samemeshδ的离散支持，即isLt∈ {0，δ，2δ。

，Mδ}，其中M=PNi=1mi。虽然δ是一个任意常数，但它可以根据需要精确到最小，以模拟真实世界价格的离散性。例如，假设价格粒度为激励（即δ=0.01美元），且每份合同的名义价格为1美元，则mj=100，M=N×100。这种设置也可以理解为连续分布随机损失的特定离散化。通用损耗单元的使用至少可以追溯到[ASB03，HW04]。3.2投资组合损失分布我们表明，投资组合损失分布有一个几乎封闭的表达式，可以有效地进行数值计算。回想一下，对于离散且完全支持的随机变量x∈ {0，1，…，M}加入特征函数φX（u）=EeiuX公司, 其分布可表示为有限集水坑【X=k】=M+1MXm=0φX2πmM+1e-2πikmM+1，其中i表示虚单位。因此，如果损失分布的特征函数采用闭合形式表达式，那么损失分布本身也会采用闭合形式表达式。利用V-条件独立性，下面的命题表明损失的特征函数允许一个简单的表达式。为了提高公式的清晰度，我们使用归一化损耗jδ-1.∈ {0，1，…，mj}和标准化投资组合损失Ltδ-1.∈ {0，1，…，M}。提案3.1。

归一化投资组合损失Ltδ的特征函数-1由φLt（u）=EheiuLtδ给出-1i=Z[0,1]dNYj=11.- pj，t（v）+pj，t（v）φ\'j（u，v）dCV（v），（11）任何时间t≥ 0和u∈ R、 式中，pj，t（v）=CUj | v（pj，t | v）是j的条件违约概率，pj是（1）中j的无条件违约概率，φ\'j（u，v）=njXk=0P[\'j=δk | v=v]eiuk（12）\'jδ的条件特征函数-因此，特征函数是明确的，直到紧集[0，1]上的积分，可以使用例如勒让德求积有效地计算。通过{wi，xi}ni=1n对正交权重和节点表示，以近似[0，1]上的积分，它们可以以AstrigthForward的方式组合，使用乘积规则执行多维积分。换言之，方程式（11）可近似为φLt（u）≈Xi，···，iddYl=1 Wilnyj=11.- pj，t（vi，··，id）+pj，t（vi，··，id）φ\'j（u，vi，··，id）dCV（vi，··，id），其中vi，··，id=（xi，··，xid）。尽管正交节点和权重的数量可以选择得很小，但这种方法只适用于少数因素，因为网格点的总数是nd。如果d大于4或5，可以使用稀疏网格（例如，参见[HW08]）来减少所需网格点的数量。以下引理提醒我们，由于Ltis离散和有限的支持，其分布等于其特征函数的离散傅立叶变换（DFT）。引理3.2。投资组合损失的概率分布由p【Lt=kδ】=M+1MXm=0φLt（uM）e给出-iukmfor k∈ {0，…，M}，（13），其中u=2π/（M+1），φLt（·）是Ltδ的特征函数-1、直接计算P[Lt=kδ]通常是一个组合问题，其复杂性随着M的增加而指数快速增加。

然而，引理3.2中计算DFT的复杂性为O（M），只要计算特征函数的速度也很快，这就具有重要的实际意义。请注意，可以使用快速傅立叶变换（FFT）算法，其复杂性仅为O（M log（M）），也可以使用。[ASB03、AS04、HW04]中已经出现了损失单位和离散支持的投资组合损失的假设，其中分布是在不使用递归算法近似的情况下计算的。然而，如第4.1节所示，与我们的方法相比，这种递归的计算成本随着支持大小和因子数量的增加而增加得更快。还要注意，引理3.2中的离散Fourier反演不同于[LG05，BGL09]中描述的连续Fourier反演，后者近似于连续损失分布。由于我们的方法提供了损失分布的准闭表达式，因此它的范围更广。尽管部分和CDO平方只能使用组合损失分布进行定价（见第3.3节），但其他产品需要联合分配违约实体总数和总损失。信用指数互换期权就是这样的，即指数期权支付已实现的损失，以换取与非违约实体数量成比例的溢价支付，目前该市场正蓬勃发展。现在我们推导出这个联合分布。设t beNt=NXj=1{τj时的默认实体数≤t} 。（14） 以下命题给出了（Nt，Lt）联合分布的一般表达式。提案3.3。

（Nt，Lt）的联合分布由p给出【Nt=n，Lt=δk】=NXj=0MXl=0φNt，Lt（uj，νl）e-iunje-iνkl（1+N）（1+M）（15），u=2π/（M+1），ν=2π/（N+1），φNt，Lt（x，y）=Z[0,1]dNYj=1（1- pj，t（v）+pj，t（v）φ（x，y，v））dCV（v），其中pj，t（v）如命题3.1所示，且φ（x，y，v）=Pnjk=0P[` j=δk | v=v]ei（x+yk）。因此，（15）的计算归结为二维离散傅立叶变换反演。注意，φ（x，y，v）是x+y\'jδ的v条件特征函数-1取值为1，即φ（x，y，v）=E[exp（i（x+y\'jδ-1） ）| V=V]和φNt，Lt（x，y）是（Nt，Ltδ）的特征函数-1） 在（x，y）处计算，即φNt，Lt（x，y）=E[exp（i）（xNt+yLtδ-1） ）]。当损失量` Jar均匀且与V无关时，可以应用以下更直接的计算dp[Nt=n，Lt=δk]=P[Lt=kδ| Nt=n]P[Nt=n]，其中P[Nt=n]可以按照引理3.2计算，P[Lt=kδ| Nt=n]=P[Pnj=1 ` j=kδ]也可以使用离散傅立叶变换导出。当缺省强度由随机过程驱动时，可以导出缺省概率的类似表达式，例如参见[SS01]。然而，这些表达式涉及随机边际违约概率中的公共函数期望，其计算通常需要成本数字技术。然而，将[AF16]中提出的线性信用风险模型与多项式因子copulas相结合，将产生具有依赖违约时间和随机违约强度的可处理多项式模型。在这种情况下，联合违约概率重写为多项式微分中多项式期望值的积分，这是一个解析表达式，参见[FL16]。