Legendre多项式期权定价

例如，众所周知，具有两次差别支付的欧式期权的价格可以通过由纯贴现债券组成的静态投资组合，在货币欧式看涨期权和看跌期权以及货币欧式看涨期权和看跌期权的连续体（见g【31】和【32】）进行无模型复制。此外，由于支付不连续性，数字期权的定价和套期保值具有挑战性（见备注4.6和[33]中的讨论）。因此，能够以稳健的方式准确地为这些期权定价是很有帮助的。对于（1），欧洲买入价由v（x，0）=e给出-rTKE[（ey- 1） +]=e-rTKZ公司+∞-∞（安永- 1） +f（y | x）dy（30），因为密度随y迅速衰减为零→ ±∞, 我们截断了有限积分范围，但没有将显著精度降低到[a，b] R并获得近似值v（x，0）=e-rTKZba（ey- 1） +f（y | x）dy.（31）在第二步中，我们将f（y | x）替换为其Legendre级数表示（26），以获得以下命题3.1。在定理（2.1）的假设下，我们得到了由以下勒让德多项式定价公式v（x，0）=e给出的（1）的近似值-rTNXn=0AMnVn（32），其中amn和vn分别由amn=2n+1定义√MXk公司=-M、 6=0eBkineiπk（a+b）b-aJn+（πk）√k+eB√2δn=0（33）Vn=Kβhea+bRαeβtPn（t）dt-Pn编号-1（α）-Pn+1（α）2n+1适用于欧洲电话Pn-1（α）-Pn+1（α）2n+1用于α=a+ba的欧洲数字呼叫（34）-带β=（b-a） 。证据对于欧洲买入价，我们使用f（y | x）的表示（26），在有限和中执行两次截断：一次用于n in（26）到n，另一次用于k in（22）到[-M、 而忽略了剩余的术语RAnin（23）。然后我们得到由v（x，0）=e给出的价格估计-rTKNXn=0AMnZba（ey- 1） +Pn2年- （a+b）b- 一dy。

（35）在不丧失一般性的情况下，我们假设a<<0，b>>0，变量t=2y的变化-（a+b）b-a、 最后一个表达式变为SV（x，0）=e-rTKNXn=0AMnβea+bZαeβtPn（t）dt-ZαPn（t）dt. （36）通过使用勒让德多项式性质（2n+1）Pn（t）=Pn+1（t）- Pn编号-1（t）（37）和Pn（1）=1，n≥ 0，我们得到zαPn（t）dt=Pn-1（α）- Pn+1（α）2n+1（38）欧洲数字通话价格的计算方法类似。备注3.2.o在VN中计算欧洲买入价的RαeβtPn（t）dt需要注意。我们在命题（7.1）中提供了一个分析公式。对于较小的n值，其计算非常简单。对于n>>1，由于舍入误差的快速累积，会出现一些精度和稳定性问题[34，35]其他合同（如资产或无资产期权、缺口期权或标准电力期权）的估值也可以类似计算。3.2。替代计算程序通过使用Vnin命题（7.1）的表达式，对于较小的N值，勒让德定价公式（32）的计算非常简单。为了获得准确的定价，我们需要考虑N，M>>1。M large没有任何实现困难。然而，对于N>>1，Vnusing（96）的计算由于取消而引入了不稳定性和不精确性问题[35]。本节的目的是提供具有机器精度的VN的替代计算程序。让我们用分部积分写出n=Zαeβtpn（t）dt（39），我们得到n=Wn-βZαeβtpn（t）dt（40），Wn=β（eβ- eβαPn（α））。使用（37），很容易显示pn（t）=||pn编号-1 | | pn-1（t）+Pi=0，2i≤（n）-3） | | p2i | | p2i（t）表示奇数n≥ 3，| | pn-1 | | pn-1（t）+Pi=0，2i+1≤（n）-3） | | p2i+1 | | p2i+1（t）表示偶数n≥ 2（41）式中| | pm | |=2m+1，m≥ 将（40）与（41）一起使用，我们得到-2（n- 1） +1βUn-1+Un-2.- 西尼罗河-2（42）给出了U和U。下一个命题总结了用于计算U的二阶线性微分方程：命题3.3。

通过设置Yn=Un- Wn，yn满足以下二阶线性微分方程yn-1.-β（2n+1）Yn- Yn+1=β（2n+1）Wn。（43）给定Yand Y。使用这些正向复发计算Unor yn很简单，但它会产生大n的不稳定性和不精确性。这是一个众所周知的问题，如[37、38、39]所述。奥尔弗的方法是一种很好的评估机器精度的方法。该方法将微分方程视为一个边值问题，而不是使用初值技术。这将递归关系重写为三重递归关系，其中两个将向前求值到大于所需N的指数，给定精度所需的额外步骤数将作为程序的一部分确定。然后，通过向后递归来评估第三个关系（有关详细信息，请参见[37]）。误差分析首先，让我们写出定价公式推导过程中引入的逐次近似值（32）。V（x，0）=Z∞-∞V（y，T）~f（y | x）dy=V（x，0）+（44）v（x，0）=ZbaV（y，T）~f（y | x）dy（45）和=锆-[a，b]V（y，T）f（y | x）dy（46）对应于整数截断错误。使用（26），它是SV（x，0）=∞Xk=0AkVk=V（x，0）+（47）在（8）中定义的情况下，V（x，0）=N的Vkin（34）-1Xk=0AkVk（48）和=+∞Xk=NAkVk（49）对应于序列截断错误。通过设置Ckm=RbaPk2年-（a+b）b-一ei2π（ymb-a） dy，Akis书写asAk=2k+1b- a“+∞Xm公司=-∞BmCkm#（50）使用表达式（48），我们得到V（x，0）=V（x，0）+（51）V（x，0）=b- 一-1Xk=0MXm=-MVk（2k+1）BmCkm（52）和=N-1Xk=0Vk（2k+1）b- aXm公司∈Z-[-M、 M]BmCkm（53）表示另一个序列截断错误。最后使用（18），我们得到V（x，0）=V（x，0）+（54）V（x，t）=b- 一-1Xk=0MXm=-MVk（2k+1）eBmCkm（55）和= -b- 一-1Xk=0MXm=-MVk（2k+1）RmCkm（56）表示另一个整数截断错误。总结一下，我们得到V（x，0）=V（x，0）++ + + .

（57）V（x，0）可能是复杂的。通过取（57）中的实部，它comesV（x，0）=Re（V（x，0））++ + Re公司() + Re公司() （58）因为V（x，0），和定义上是真实的。其次，限制误差的关键在于广义傅立叶级数系数的衰减率。收敛速度取决于函数在展开区间上的光滑性。我们在【40】中的下一个定理中总结了勒让德级数展开中系数的衰减率以及一致范数中截断勒让德级数的误差界。设k.kt为由kukt=Z定义的切比雪夫加权半形式-1 | u（x）|√1.- xdx，Eρ表示复平面中的Bernstein椭圆Eρ={z∈ C | z=（u+u-1） ，u=ρeiθ，-π≤ θ≤ π} andfn（x）=nXj=0ajPj（x）f（x）的截断勒让德级数展开式。定理4.1。如果f，f，。。。，fkare绝对连续打开[-1，1]和kf（k）kT=Fk<∞ 对于一些k≥ 1（Habs（k）），然后对于每个n>k+1，| an|≤Fk（n-)（n）-)...（n）-2公里-1） rπ2（n- k- 1） 。（59）如果f在Bernstein椭圆Eρ内和上是解析的，且焦点为±1，长半轴和小半轴之和等于ρ>1（Ha（Eρ）），则对于每个n≥ 0，| an|≤（2n+1）`（Eρ）Mπρn+1（1- ρ-2） （60）式中，M=maxz∈Eρ| f（z）|和`（Eρ）表示Eρ的周长。4.1。绑定到Akand和Vkc分别对应于f（x）和Payoff函数的Legendre级数系数。在金融中，密度函数通常比Payoff函数更平滑，我们预计Akto系数的衰减速度比Vk更快。下面的命题使之精确。提案4.2。让我们假设rbav（y，T）dy<+∞ 和定义（y）≡ fb- ay+a+b. （61）有两种情况：1。在g的k＞1的Habs（k）下，我们有||≤Gk（k- 1） （N）-)（N）-)...（N）-2公里-3） rπ2（N- k） （62）其中kg（k）kT=Gk<∞.2、g分析开启[-1，1]。

然后我们得到||≤（2Nρ+3ρ- 2N个- 1） `（Eρ）MπρN+1（ρ- 1） （1）- ρ-2） （63）式中，g是g在ρ>1的Eρ上和Eρ内的解析延拓，M≡ maxz公司∈Eρ| g（z）|和`（Eρ）表示Eρ的周长。证据我们有Vk→ 0作为k→ ∞. 实际上| Vk |=| ZbaV（y，T）Pk2年- （a+b）b- 一dy |（64）≤ kvkL[a，b]rb- a2k+1。（65）其中我们使用了Cauchy-Schwartz不等式和kPkk=q2k+1。因此对于N>>∞, 我们写||≤∞Xk=N | Ak。Vk公司|≤∞Xk=N | Ak|≡ E（N）（66）错误因此由f（x）的勒让德级数截断决定。在时间间隔内进行分析[-1，1]，我们执行变量y=2x的更改-（a+b）b-A和负（y）=f（b-ay+a+b）。我们考虑2种情况：o在Habs（k）下，k≥ 1表示g，使用（59）并遵循[40]中的参数，得出（N）≤Gk（k- 1） （N）-)（N）-)...（N）-2公里-3） rπ2（N- k） （67）og分析开启[-1，1]。根据解析延拓理论，始终存在一个ρ>1的Bernstein椭圆Eρ，因此▄g，即g的延拓，在Eρ上和Eρ内是解析的。使用（60）并遵循[40]中的论点，我们导出（N）≤（2Nρ+3ρ- 2N个- 1） `（Eρ）MπρN+1（ρ- 1） （1）- ρ-2） （68）4.2。绑定到提案4.3。如果1.f（b）=f（a），f（1）（b）=f（1）（a）。。。，f（l-1） （b）=f（l-1） （a）（69）2。f（l）（x）是可积的，那么= O（中国）-1Ml），对于含CN的| M |>>1（70）-1.≡PN编号-1k=0 | Vk |（2k+1）b-a、 特别是，如果函数f对所有阶都是不同的，并且（1）对任何l都是满足的，那么对于l的任何有限次幂，衰减速度小于| M | l。这是指数收敛特性。证据让我们来确认一下∈ [0，N- 1] 。对于| M |>>1，| Xm∈Z-[-M、 M]BmCkm|≤Xm公司∈Z-[-M、 M]| Bm | | Ckm |（71）通过应用[13]中的定理4 p.42，我们得到| Bm|≤C | m | l（72）对于m的常数Cindependent。使用（16），我们得到了| Ckm|≤Cp | m | | Jk+（πm）|（73）对于m，k的常数Cindependent。应用属性n∈ Z、 Jν（zenπi）=enνπiJν（Z）到n=1，我们得到| Jν(-z） |=| Jν（z）|。

使用x的交感结果∈ R、 x个→ +∞ （文献[41]中的定理2.13）Jν（x）vrπxcos（x）-π-νπ），（74）（73）中的表达式变成，对于m>>1 | Ckm|≤C | m |。（75）对于m，k的常数Cindependent，所以对于（72）和（75），它是| Bm | Ckm|≤C | m | l+1（76），对于常数Cindependent of m，k。下面的序列截断误差（请参见[42]进行证明）表现为，对于m>>1，∞Xm=M+1mnv（n- 1） 明尼苏达州-1.（77）应用（77）n=l+1，我们最终得到，对于M>>1，Xm∈Z-[-M、 M]| Bm | | Ckm |=O毫升. （78）可以直接推断= O（中国）-1Ml）。备注4.4。在实践中，我们认为，如果适当选择边界点a和b，则命题4.3中的条件（69）几乎满足。实际上，f（x）是一个概率密度函数，当| x|→ ∞. 让我们考虑基准和高度易处理的Black-Scholes模型，其中高斯密度函数fm，σ（x），平均值m和标准偏差σ，及其导数在分析上已知，并由f（n）m，σ（x）给出=(-1） nHn（x-mσ）fm，σ（x）σn（79），带Hn由Hn（x）=(-1） 下一个DNDXNE-x、 图1显示了各种值n的f（n）m，σ的曲线图。其中a=-1.7813和b=1.7188，我们观察到条件（69）非常满足。我们将在第5.1.4.3节中对[a，b]的选择给出见解。绑定到和仅限定为|| ≤RR（右后）-[a，b]| V（y，T）| f（y | x）dy，并且当| f（y）衰减到比尾部的V（y，T）快0时，它就会变小。本质上以密度函数的积分截断为界，如以下命题所述。提案4.5 ||≤ 中国，M。 （80）其中CN，M≡PN编号-1k=0PMm=-M | Vk（2k+1）Ckm | b-A和 ≡b-ahF（a）+1-~F（b）i与▄F（x）的累积分布函数▄F（x）。证据Rk在（20）中定义，可以用| Rk来界定|≤b- 一Za公司-∞f（x）dx+Z+∞bf（x）dx=b- ahF（a）+1-F（b）i= （81）它来了|≤PN编号-1k=0PMm=-M | Vk（2k+1）Ckm | b- 一 = CN，M. （82）备注4.6。

o我们的误差分析依赖于密度函数的平滑度，而不是Payoff函数的规则性。我们只需要Payoff函数在有界区间上有一些可积条件，并且密度函数在单位时间内衰减到0的速度更快。具体为00.511.52-2-1.5-1-0.50 0.5 1 1.5 2n=0-30-20-1001020-2-1.5-1-0.50 0.5 1 1 1.5 2n=2-10000-50000500010000-2-1.5-1-0.50 0.5 1 1.5 2n=5-2e+009-1.5e+009-1e+009-5e+00805e+0081e+0091.5e+009-2-1.5-1-0.50 0.5 1 1.5 2n=10-1e+015-5e+01405e+0141e+015-2-1.5-1-0.50 0.5 1 1.5 2n=15-1.5e+021-1e+021-5e+02005e+0201e+0211.5e+021-2-1.5-1-0.50 0.5 1 1 1 1.5 2n=20图1:Black-Scholes模型中的高斯密度函数（见第5.2节）。参数areS=1、r=0、T=1、σ=0.25和a=-1.7813，b=1.7188，L=7表示截断范围（83）。与定量融资相关。事实上，资产价格的密度函数往往更为平滑。有些合同的支付与数字期权（29）不连续，或者与看涨期权和看跌期权（28）在执行层面上存在纠结一些成熟的期权定价方法依赖于支付函数的规律性。例如，在Carr-Madan方法[5]及其变体中，对原木执行价格进行估值公式（1）版本的傅立叶变换。因此，支付的阻尼是必要的，因为例如，看涨期权相对于冲销价格的对数不是L-可积的。方法的准确性取决于阻尼参数的正确值。或者在SDE离散化的广泛使用的蒙特卡罗方法（例如Euler或Milstein方案）中，Payoff函数的平滑度直接影响近似模式的收敛顺序（参见[43]第6节或[44]第14.5节）。5.

数值试验在本节中，我们进行了各种数值试验，以说明使用勒让德多项式的新计算定价方法的稳健性和准确性。金融中的支付功能可以是连续的，也可以是不连续的。这里考虑了欧洲看涨期权和欧洲数字看涨期权。这表明使用勒让德多项式的定价方法的收敛性不取决于支付的连续性（见第3.1节和备注4.6）。我们涵盖了定量金融中广泛研究和使用的一类代表性模型：oBlack-Scholes模型；oMerton跳跃扩散模型和Kou跳跃扩散模型赫斯顿随机波动率模型。它们代表了将资产价格建模为随机过程的不同思想流派。在[45]的开创性工作中，Black和Scholes将资产价格建模为几何布朗运动，即具有连续路径和恒定波动性的集合价格。这导致了著名的布莱克-斯科尔斯公式，该公式给出了欧式期权价格的理论估计。它可能是世界上最为人所知的期权定价模型，通常被定量金融共同体用作基准模型。然而，Black和Scholes模型的一个主要缺点是假设基础波动率在衍生工具的整个生命周期内保持不变，并且不受基础证券价格水平变化的影响。它无法解释隐含波动率表面长期观察到的特征，如波动率微笑和倾斜，这表明隐含波动率确实倾向于随罢工价格和到期日而变化。通过假设基础价格的波动是一个随机过程，而不是一个常数，可以更准确地建模衍生工具（参见[46]和[47]）。

AndHeston模型是衍生品定价中最流行的随机波动率模型之一。另一种建模资产价格的学派是引入跳跃，以解释为什么对于非常短的到期期限，倾斜程度如此之大，以及为什么倾斜的非常短的期限结构与任何随机波动率模型不一致。或者，使用不连续模型最有力的理由就是观察到的价格存在跳跃（参见[48]和[2]或[46]中的图1）。Mertonjump扩散模型和Kou jump扩散模型是定量金融中最常用的跳跃模型。在股票和汇率（FX）衍生品市场中，欧洲看涨期权或看跌期权等流动期权的报价期限或期限各不相同，并以不同的行权表示货币价值。外汇市场在基准期限上的流动性尤其高，例如1个月（M）、200万、300万、600万、1年（Y）、2年（Y）以及可能的更长期限期权[49]。对于Eurostoxx 50或Nikkei 225等流动性股票指数，我们可以观察到期限从1个月到4年和5年的报价。考虑到这一点，为了使测试全面，我们考虑短期、标准和长期（0.1年、1年、3年、10年）以及现金内/现金外期权。5.1。截断范围在实际使用中，重要的是要尽可能系统地适当地确定范围[a，b]，以最大限度地减小积分截断误差和. 给定x=log（STK）的特征函数，我们可以计算（100）中定义的累积量cn，并使用[9]中提出的以下公式：[a，b]：=c- Lqc公司+√c、 c+Lqc+√c（83）附录B中给出了每个模型的累积量。如误差分析部分所示，Legendre多项式定价方法的准确性受区间选择的影响【a，B】。在选择正确的截断范围时，一些经验很有帮助。

L的值在【7，12】中，并将在试验中明确表示每个模型。表达式（83）使用CN4级。类似的范围公式，涉及【10】中实施的Xis的前两个矩。一般来说，使用高阶累积量可以更好地捕捉分布的尾部行为。5.2。Black-Scholes模型对于该模型，在风险中性度量下，资产价格St的SDE由DSTST=rdt+σdWt给出。（84）对于布朗运动，r表示无风险利率，σ表示波动率参数。log（STK）的特征函数Д（u）为Д（u）=exp（uui-uσT）（85），u=-σT-对数（K）。参数集为S=1，r=0，T=10，σ=0.25。通过一些实验，在7左右选择L适合截断范围（83），该值与文献[10]中使用的方法一致。模型的其他细节见第7.2.1节。我们考察了T=10的长期成熟度。图2分别使用公式（26）中的截断N=M=12和N=M=32比较了真实高斯密度和恢复密度函数。当N=M=12时，近似密度捕捉到真实密度的形式，尽管我们观察到尾部有轻微的负值。当N=M=32时，它与真实密度函数无法区分。对于定价，我们考虑了数字期权的不连续支付。如图3所示，该方法的误差收敛性分别为N和M的指数。事实上，在Black-Scholes模型中，对数的密度函数（STK）是高斯函数，因此对于大x，对数的密度函数可以与指数衰减0完全不同。