Legendre多项式期权定价

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英文标题：
《Option pricing with Legendre polynomials》
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作者：
Julien Hok and Tat Lung Chan
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Here we develop an option pricing method based on Legendre series expansion of the density function. The key insight, relying on the close relation of the characteristic function with the series coefficients, allows to recover the density function rapidly and accurately. Based on this representation for the density function, approximations formulas for pricing European type options are derived. To obtain highly accurate result for European call option, the implementation involves integrating high degree Legendre polynomials against exponential function. Some numerical instabilities arise because of serious subtractive cancellations in its formulation (96) in proposition 7.1. To overcome this difficulty, we rewrite this quantity as solution of a second-order linear difference equation and solve it using a robust and stable algorithm from Olver. Derivation of the pricing method has been accompanied by an error analysis. Errors bounds have been derived and the study relies more on smoothness properties which are not provided by the payoff? functions, but rather by the density function of the underlying stochastic models. This is particularly relevant for options pricing where the payoff of the contract are generally not smooth functions. The numerical experiments on a class of models widely used in quantitative finance show exponential convergence.
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中文摘要：
本文提出了一种基于密度函数勒让德级数展开的期权定价方法。关键的见解是，依靠特征函数与系列系数的密切关系，可以快速准确地恢复密度函数。基于密度函数的这种表示，导出了欧式期权定价的近似公式。为了获得欧式看涨期权的高精度结果，实现过程包括将高次勒让德多项式与指数函数进行积分。由于命题7.1中公式（96）中存在严重的减法对消，因此出现了一些数值不稳定性。为了克服这个困难，我们将这个量重写为二阶线性差分方程的解，并使用Olver提供的鲁棒稳定算法进行求解。定价方法的推导伴随着误差分析。已经推导出了误差界，并且研究更多地依赖于平滑特性，而这些特性不是由payoff提供的？函数，而是由基础随机模型的密度函数决定。这对于期权定价尤其相关，因为合同的回报通常不是平稳的函数。对一类广泛应用于定量金融的模型进行的数值实验表明，该模型具有指数收敛性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
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关键词：Legendre Legend egen 期权定价 Dre

修订历史修订日期作者描述1.0 2016年10月10日第1版1.1 2017年3月19日在Legendre PolynomialJulien HokCredit Agricole CIB，Broadwalk House，5 Appold StLondon，EC2A 2DA，UnitedKingdomjulienhok@yahoo.frTatLong（Ron）ChanUniversity of East London，Water LaneStradford，E15 4LZ，United KingdomAbstracts在这里，我们开发了一种基于密度函数Legendre级数展开的期权定价方法。关键的见解是，依靠特征函数与系列系数的密切关系，可以快速准确地恢复密度函数。基于密度函数的这种表示，导出了欧式期权定价的近似公式。为了获得欧式看涨期权的高精度结果，实现过程包括将高次多项式与指数函数进行积分。由于命题7.1中公式（96）中的严重减法对消，出现了一些数值不稳定性。为了克服这一困难，我们将该量改写为二阶线性微分方程的解，并使用Olver的稳健稳定算法进行求解。定价方法的推导伴随着误差分析。误差边界已经推导出来，研究更多地依赖于平滑度特性，这些特性不是由Payoff函数提供的，而是由基础随机模型的密度函数提供的。这对于期权定价尤其相关，因为合同的支付通常不是平滑函数。定量金融中广泛使用的一类模型的数值实验显示出指数收敛性。关键词：勒让德多项式、傅立叶级数、特征函数、欧式期权定价、奥尔弗算法1。

简介在期权定价中，Feynman-Kac公式【1】建立了风险中性度量下合同支付函数价值的条件预期与偏微分方程解之间的联系。在该定理所涵盖的研究领域，可以开发各种数字定价技术。现有的数值方法可分为三大类：部分积分对应的作者或讲师再版提交给Elsevier 2017年3月21日微分方程方法、蒙特卡罗模拟和数值积分方法。对于不同的财务模型和具体应用，每种模型都有其优缺点。本文主要研究欧式期权定价的最后一组问题。采用数值积分技术对欧式期权进行定价的出发点是风险中性估值公式：V（x，t=0）=e-rTEQ[V（ST，T）| S=x]=e-rTZRV（y，T）~f（y | x）dy（1），eqt风险中性测度Q下的期望算子，st和T期权到期时的基础资产价格。V（x，t）表示t处的期权值，x为状态变量。~f（y | x）是给定S=x和r无风险利率的概率密度函数。不幸的是，对于许多相关的定价过程，其概率密度通常是未知的。另一方面，这些密度的傅里叶变换，即特征函数，通常是可用的。例如，从Levy-Khinchine定理[2]可以知道Levy过程的特征函数。Or特征函数是在纯差异背景下，利用随机波动率[3]和随机利率[4]推导出来的。因此，许多作者自然地考虑了期权定价的傅立叶变换方法（见[5]及其参考文献）。

随后，提出了一些新的数值方法。例如，Andricopoulos等人[6]提出了求积法（QUAD），Lord等人[7]提出了卷积法（CONV）。Feng和Linetsky考虑了一种快速希尔伯特变换方法[8]。Fang和Oosterlee【9】提出了基于密度函数傅里叶余弦级数展开的高效傅里叶余弦级数（COS）技术，Hurn等人【10】或byDing等人【11】也提出了该技术。最近，Necula等人【12】对密度函数采用了改进的Gram-Charlier级数展开，称为Gauss-Hermite展开，并获得了欧式期权的闭式pricingformula。在这篇手稿中，我们考虑了另一种选择，并建议在特征函数已知的情况下，使用勒让德多项式扩展有限区间[a，b]上的概率密度函数f（y）。对于在有限区间上近似非周期函数，在基函数类中，通常建议使用勒让德多项式或切比雪夫多项式（见第510页，表a.1 in【13】）。勒让德多项式具有可处理性，允许计算分析性的许多感兴趣的量。例如，Legendre多项式的Fourier变换有一个解析公式，如（15）所示，它是一个工具，用于恢复密度函数（26）级数展开中的系数。切比雪夫多项式的傅立叶变换没有简单的闭合形式，需要一些数值近似（见[14]中的讨论）。此外，实验表明，对于大n，该公式在数值上是稳定的。通常，经典Legendre级数提供了使用多项式展开平均数表示函数的最简单方法【15】。

Cohen和Tan最近的分析表明，Legendre多项式近似产生的误差至少比类似的Taylor级数近似小一个数量级，作者强烈建议，当全局精度很重要时，应使用Legendre展开，而不是Taylor展开。最后，多项式通常易于操作，我们通过将Payoff与Legendre多项式函数积分，简单地计算了欧式期权定价公式。发现了著名多项式的法国数学家阿德里安·玛丽·勒让德（AdrienMarieLegendre）从未意识到它将在发展数学中发挥多大作用。这个勒让德多项式被数学家和工程师用于各种数学和数值解。例如，在物理学中，勒让德多项式和相关勒让德多项式广泛用于确定原子轨道中电子的波函数[17，18]，以及确定球对称几何中的势函数[19]。在数值分析中，勒让德多项式被用来通过高斯求积方法有效地计算数值积分【20】。勒让德多项式在定量金融中的应用并不广泛，但并不是新的。例如，Pulch etal[21]认为期权的公平价格是一个随机领域的期望值，其中输入波动率参数是均匀随机变量的线性函数。使用单根多项式的多项式混沌理论为计算所需的公平价格提供了一种有效的方法。或者在[22]中，作者开发了一系列由勒让德多项式线性组合参数化的期限结构的无套利利率模型。

每个多项式都提供了一个关于它们为术语结构生成的运动类型的清晰解释（另请参见[23]和[24]）。据我们所知，Legendre多项式首次用于扩展资产价格和期权定价的概率密度函数。为了快速准确地恢复密度函数，我们的主要见解依赖于特征函数与密度函数的Legendre多项式展开级数系数的密切关系（参见定理2.1中的结果）。基于密度函数的这种表示，导出了欧式期权定价的近似公式。为了获得欧式看涨期权的高精度结果，实现过程包括将高次勒让德多项式与指数函数进行积分。命题7.1中的公式（96）中出现了严重的减法对消，因此出现了一些数值不稳定性。为了克服这个困难，我们将这个量改写为命题（3.3）中二阶线性微分方程的解。为了以稳定的方式求解该方程，我们使用Olver算法，该算法允许评估这些量以达到机器精度。然后，我们进行分析，以提供误差估计。我们相信，严格的误差估计至关重要，因为我们的展开式的准确性取决于密度函数的规律性。一旦完成，它将为衍生扩展带来信心，并阐明所需的假设（见命题4.2、4.3和4.5中的结果）。本文的结构如下。在第2节中，我们利用勒让德多项式展开密度函数的级数。在此基础上，我们在第3节推导了PricingeEuropean型期权的公式，并提出了一个稳健而稳定的实施程序。

错误分析见第4节。第5节给出了一些数值实验。最后一节结束。2、密度函数与勒让德多项式的级数展开目标是在给定勒让德多项式的特征函数的情况下，使用勒让德多项式估计密度函数f（y）。2.1。广义傅立叶级数勒让德多项式勒让德多项式（Pn（t））n≥0在时间间隔内形成完整的基础[-1，1]并可根据幂级数定义，byPn（t）=nbncXk=0(-1） kCknCn2n-2千吨-2k（2）具有brc FL oor功能，Ckn=n！k（n）-k） 哦！二项式系数【25，26】。通过变量t=（2x）的变化，勒让德基多项式可以推广到覆盖任意区间【a，b】-（a+b））（b-a） 这导致以下Pn（x）=nbncXk=0(-1） kCknCn2n-2公里（2倍- （a+b））（b- （a）n-2k。（3） Sturm-Liouville理论保证了Legendre多项式的正交性，它还表明我们可以将[a，b]上的函数表示为Legendre多项式的线性组合。因此，对于[a，b]上的suitablef（x），我们得到了广义傅立叶级数f（x）=∞Xn=0AnPn2倍- （a+b）b- 一（4） 其中{An}∞n=0是一组系数。为了找到每个An，我们使用正交关系zbapn2倍- （a+b）b- 一项目经理2倍- （a+b）b- 一dx=δn=m（b- a） 2m+1（5），然后将表达式（4）的两侧乘以Pm2倍-（a+b）b-一并积分到获得zbaf（x）Pm2倍- （a+b）b- 一dx公司=∞Xn=0AnZbaPn2倍- （a+b）b- 一项目经理2倍- （a+b）b- 一dx（6）=（b- a） Am2m+1。（7） 所以an=2n+1b- aZbaf（x）Pn2倍- （a+b）b- 一dx（8）2.2。使用标准傅立叶级数的近似风险网络概率密度函数我们快速修订了复傅立叶级数的定义【27，26】。对于支持的适当函数f（t）[-π、 π]，复傅立叶级数表示由f（t）给出=+∞Xk公司=-∞Bkeikt，Bk=2πZπ-πf（t）e-iktdt。

（9） 如果我们将级数扩展到支持函数的有限范围【a，b】，则复傅立叶级数展开可以定义为：f（x）=∞Xk公司=-∞Bkei（2πb-ax）k，Bk=b- 阿兹巴夫（x）e-ik（2πb-ax）dx。（10） 该公式是通过变量的使用变化得出的：x=b- a2πt+a+bor t=2πb- ax-π（a+b）b- a（11）给定一个概率密度函数f（x）及其特征函数Д（u），这两个函数构成一个傅立叶对：Д（u）=ZReiuxf（x）dx（12）f（x）=2πZRe-iux^1（u）du。（13） ~f（x）是概率密度函数的一个必要条件是~f（x）→ 0为| x|→ ∞,因此，保证有一个间隔【a，b】，使得对于所有x∈ (-∞, a]∪ [b，∞) 可以认为▄f（x）< 对于任意小正数.让我们把f（x）看作是f（x）对[a，b]的限制。我们将讨论第5.1节中[a，b]的适当选择。从（4）和（10）中，f（x）可以用复傅立叶级数或勒让德多项式级数表示。由于本文的目的是将Legendre多项式应用于定价公式，我们展示了如何用Legendre级数精确逼近f（x），并在知道特征函数的情况下，给出了展开式中的系数。为了实现这一点，我们在（8）中使用（10），并假设我们可以将积分的顺序更改为writeAn=2n+1b- a+∞Xk公司=-∞BKZBANN公司2倍- （a+b）b- 一ei2π（xkb-a） dx（14）通过变量变化，x=b-at+a+b和z的闭式表达式-1Pn（x）eiλxdx=inr2πλJn+（λ），λ∈ C（15）具有第一类Jν（z）贝塞尔函数（见[28]p.217和p.456），它是Szbapn2倍- （a+b）b- 一ei2π（xkb-a） dx公司=in（b-a） eiπk（a+b）b-aqkJn+（πk），k 6=0，（b- a） δn=0，k=0。（16） soAn=2n+1√Xk6=0Bkineiπk（a+b）b-aJn+（πk）√k+B√2δn=0（17） 知道特征函数后，我们编写eBk=eBk- Rk（18）带EBK：=b- a^1-2kπb- 一（19） andRk：=b- aZR公司-[a，b]ef（x）e-i2π（xkb-a） dx。

（20） Rk预计较小，可以绑定为| Rk|≤b- 一Za公司-∞ef（x）dx+Z+∞bef（x）dx=b- aheF（a）+1-eF（b）i.（21），其中eF（x）是eF（x）的累积分布函数。最后，使用（18），ANC可以写成n=2n+1√Xk6=0eBkineiπk（a+b）b-aJn+（πk）√k+eB√2δn=0+ RAn（22）with RAn=-2n+1√Xk6=0Rkineiπk（a+b）b-aJn+（πk）√k+R√2δn=0. （23）在下一个定理中总结上述发展的结果之前，我们引入了一组来自【27】的定义和符号：如果f（x）及其导数在【a，b】上都是连续的，或者它们在【a，b】上只有有限数量的跳跃不连续，那么函数f（x）在区间【a，b】上称为分段光滑的。如果xis是函数f（x）的一个不连续点，并且存在右手极限和左手极限，则称xis为跳跃不连续点。我们设置fnk（x）=BkPn2倍- （a+b）b- 一ei2π（xkb-a） ，x∈ 【a，b】，k∈ Z、 n个∈ N、 （24）并考虑，对于给定的N∈ N、 函数系列+∞Xk公司=-∞fnk（x）。（25）定理2.1。让我们用f（x）表示，概率密度函数▄f（x）对[a，b]的限制很大，使得f（a）=f（b）和Д（x）与▄f（x）相关的特征函数。假设f（x）是一个连续的分段光滑函数，且级数（25）一致收敛于∈ 【a，b】对于所有n∈ N、 然后我们有以下勒让德级数表示f（x）=∞Xn=0AnPn2倍- （a+b）b- 一（26）含Angiven in（22）。证据f（x）在[a，b]上是连续且分段光滑的，可以如（4）和（10）所示（参见例如[27]和[25]）。级数（25）的一致收敛允许交换Anin（14）表达式中的积分阶。备注2.2。

o表示法（26）允许在已知特征函数Д（x）时，通过截断（26）中的n和（22）中的k的有限和，并忽略RAn项，准确检索密度函数（见第5节的插图）。o在定量金融中，资产价格的概率密度函数f（x）总体上趋于平滑。当方程（79）中的Black-Scholes模型和方程（109）中的inMerton跳跃扩散模型的分析公式可用时，我们观察到它们的密度函数是完全不同的。Malliavin演算或随机变分演算可用于研究随机微分方程（SDE）解的密度的存在性和光滑性（参见例如[29]或[30]）。3、期权定价的新计算方法3.1。期权定价，我们展示了如何使用之前获得的密度函数的渐近展开来评估欧式期权。我们用x表示对数资产价格：=lnSK公司和y：=lnSTK公司, （27）时间t和K的标的价格为执行价格。欧式期权的收益，包括对数资产价格，readsV（y，T）=[α.K（ey- 1） ]+带α=1个电话，-对于put，（28）和V（y，T）=1αy≥0带α=数字通话为1，-1对于数字看跌期权，（29）在下文中，我们重点讨论欧洲看涨期权和欧洲数字看涨期权的定价公式。欧式看跌期权和欧式数字看跌期权的价格可以通过平价来推导。实际上，在金融市场上，买入/卖出和数字期权在对冲和投机方面非常流行。作为构建更复杂的期权产品的基石，它们对财务工程师也很重要。