Legendre多项式期权定价

此外，我们观察到，对于不同的罢工，误差收敛速度基本相同。00.10.20.30.40.50.6-6-4-2 0 2 4图2：真实高斯密度（实线）及其近似值的比较，基于N=M=12（带“+”标记的实线）和N=M=32（带“o”标记的实线），成熟度T=10.5.3。默顿跳跃差异模型在该模型中【51，52】，在风险中性度量下，资产价格St的SDE写为DSTST-= （r）- λ。m（t））dt+σdWt+（J（t）-1） dπ（t）。（86）其中，W（t）是布朗运动，π（t）是具有恒定跳跃强度λ和r的泊松计数过程，r是确定性无风险利率。{J（t）}t≥0表示跳跃大小，是一系列独立对数正态随机变量，其形式为J（t）=eu+γN（t），N（t）为标准高斯随机变量，m≡ E[J（t）-1] 。π、 假设W和J都是独立的-30-25-20-15-10-500 10 20 30 40 50log |错误| NM=128，K=0.5-25-20-15-10-54 5 6 7 8 9 10 11 12log |错误| MN=128，K=0.5-30-25-20-15-10-500 10 20 40 50log |错误| NM=128，K=1-25-20-15-10-504 5 6 7 8 9 10 11 12log |错误| MN=128，K=1-30-25-20-20-12 15-10-500 10 20 30 40 50日志|错误| NM=128，K=1.5-25-20-15-10-504 5 6 7 8 9 10 11 12日志|错误| MN=128，K=1.5图3:Black-Scholes模型中T=10的欧洲数字看涨期权定价的误差收敛性。log（STK）的特征函数Д（u）为Д（u）=expiubT-uσT+λT（eiuu-γu- （1）（87）式中，b=b-对数（K）和b=-σ- λ（eu+γ- 1） 。该组参数根据[52]中的市场数据进行校准，r=0，到期时间为3年：S=1，T=3，σ=0.1765，λ=0.089，u=-0.8898，γ=0.4505。一些经验表明，L=10适用于截断范围（83）。它也对应于[9]中建议的值。模型的其他细节见第7.2.2节。我们研究了T=3的标准到期日。

图4分别使用N=M=50和N=M=80比较了真实密度和恢复的密度函数。使用公式（109）计算真实密度，将有限和截断为50。首先，我们观察到莫顿密度函数显示出一个尖峰，它不如高斯密度函数平滑。当N=M=50时，近似密度很好地捕捉到真实密度的形式，尽管我们可以在低概率区域观察到轻微的负值。当N=M=80时，真实密度和近似密度之间的差异不明显。我们考虑数字期权定价。如图5所示，该方法的误差收敛在N和M中分别为指数。但从尖峰密度函数来看，收敛速度比Black-Scholes模型中的要慢。对于不同的执行价格，误差收敛速度基本相同。00.20.40.60.81-10-5 0 5 10图4：真实密度函数（实线）及其近似值的比较，基于默顿跳跃扩散模型中成熟度T=3的N=M=50（带“+”标记的实线）和N=M=84（带“o”标记的实线）-12-10-8-6-4-20 20 40 60 80 100 120log |错误| NM=128，K=0.6-30-25-20-15-10-500 10 20 30 40 50 60 70log |错误| MN=128，K=0.6-12-10-8-6-4-20 40 80 100 120log |错误| NM=128，K=1-30-25-20-15-10-500 10 20 40 50 60 70log |错误| MN=128，K=1-14-12-10-8-6-4-20 20 40 60 80 100 120log |错误| NM=128，K=1.4-30-25-20-15-10-500 10 20 40 50 60 70log |错误| MN=128，K=1.4图5：默顿跳跃扩散模型中T=3的欧洲数字看涨期权定价的误差收敛。5.4。Kou跳跃扩散模型在该模型中，资产价格的动态，S（t），在风险中性概率下，isdStSt-= udt+σdWt+dN（t）Xi=1（Vi- （1）.

（88）对于Wta标准布朗运动，N（t）是速率为λ的泊松过程。{Vi}是一系列独立同分布（i.i.d.）非负随机变量，使得Y=log（V）具有密度fy（Y）=p.ηe的对称双指数分布-ηyy≥0+q。ηeηyy<0，η>1，η>0，（89）p，q≥ 0，p+q=1，表示向上和向下跳跃的概率，u=λp1级-η+1-pη+1.log（STK）的特征函数φ（u）由φ（u）=exp给出iubT-uσT+λT iupη- 国际单位-1.- pη+iu（90）式中，b=b-对数（K）和b=-σ- λ（eu+γ- 1） 。这组参数来自【53】，r=0，到期时间为1年：S=1，T=1，σ=0.16，λ=1，p=0.4，η=10，η=5。一些经验表明，L=10适用于截断范围（83）。它也对应于[9]中建议的值。模型的其他细节见第7.2.3节。密度函数的分析公式不可用，图6分别显示了T=1和3时恢复的密度函数。当T=1时，我们观察到一个更尖锐的峰值密度。对于定价，我们研究了标准到期日T=1 y的欧式看涨期权。如图7所示，该方法的误差收敛分别为N和M的指数。此外，对于不同的执行价格，误差收敛速度基本相同。5.5。Heston随机波动率模型在该模型中【3】在风险中性度量下，SDE由bydxt=-utdt公司+√utdW1t（91）dut=λ（(R)u- ut）dt+η√utdW2t（92），其中▄XT表示对数资产价格变量，UT表示资产价格过程的方差。参数λ≥ 0，’u≥ 0和η≥ 0分别代表均值回归速度、均值方差水平和波动率波动率。

此外，假设布朗运动w1和w2与相关系数ρ相关。log（STK）的特征函数Д（x）可表示为Д（x）=e-ix对数（K）+uη1.-e-DT1-通用电气-DT公司（λ-iρηx-D） +λ'uηhT（λ-iρηx-D）-2个日志1.-通用电气-DT1-Gi（93）00.511.52-4-2 0 2 4T=1 yT=3 yFigure 6:T=1y（带“o”标记的实线）和N=M=80的T=3y（带“+”标记的实线）跳跃扩散模型中恢复的密度函数-18-16-14-12-10-8-6-40 20 40 60 80 100 120log |错误| NM=128，K=0.8-30-25-20-15-10-5010 20-30 40 40 50 60 70log |错误| MN=128，K=0.8-20-15-10-500 20 40 60 80 100 120log |错误| NM=128，K=1-30-25-20-15-10-5010 20 40 50 60 70log |错误| MN=128，K=1-16-14-12-10-8-6-40 20 40 60 80 100 120log |错误| NM=128，K=1.2-30-25-20-15-10-5010 20 30 40 50 60 70log |错误| MN=128，K=1.2图7:Kou跳跃扩散模型中T=1的欧式看涨期权定价的误差收敛性。D=p（λ- iρηx）+（x+ix）η和G=λ-iρηx-Dλ-iρηx+D。该特征函数是唯一指定的，因为√x+yi使得它的实部是非负的，我们将复对数限制在它的主支上。在这种情况下，得到的特征函数是特征函数解析性条带中所有复数ω的正确函数【54】。该组参数根据[55]中的市场数据进行校准，r=0，短期到期日T=0.1：S=1，T=0.1，λ=0.9626，(R)u=0.2957，η=0.7544，ρ=-0.2919，u=0.0983。由于涉及CI的分析公式，而不是[9]中建议的（83），我们使用以下截断范围：[a，b]：=hc- 对于不满足Feller条件的Heston参数集，即2’uλ>η，12p | c |，c+12p | c | i（94）累积量Cma可能变为负值。因此，我们使用c的绝对值。

累积量公式见第（7.2.4）节。密度函数的分析公式不可用，图8提供了分别为T=0.1和T=1的恢复密度函数的图示。当T=0.1时，密度更高。我们研究了短期到期T=0.1年的欧洲看涨期权的定价。尽管存在尖峰密度，但该方法的误差收敛性仍分别在N和M中呈指数级，如图9所示。此外，对于不同的执行价格，误差收敛速度基本相同。00.511.522.533.544.5-6-4-2 0 2 4 6T=0.1 yT=1 yFigure 8:T=0.1 y（带“o”标记的实线）和T=1 y（带“+”标记的实线）N=80的赫斯顿随机波动率模型中恢复的密度函数-30-25-20-15-10-50 20 40 60 80 100 120log |错误| NM=128，K=0.85-25-20-15-10-500 5 10 15 20 25 30 35log |错误| MN=128，K=0.85-30-25-20-15-10-50 20 60 80 100 120log |错误| NM=128，K=1-25-20-15-10-500 5 10 15 20 25 30 35log |错误| MN=128，K=1-30-25-20-15-15-10-50 20 40 60 80 100 120log |错误| NM=128，K=1.1-25-20-15-10-500 5 10 15 20 25 30 35log |错误| MN=128，K=1.1图9:Heston随机波动模型中短期欧洲看涨期权定价的误差收敛性T=0.1。结论与讨论本文介绍了一种将Fourier级数和广义Fourier级数与Legendre多项式相结合的欧式期权定价方法。只要基础价格过程的特征函数可用，就可以使用它。它包括将密度函数展开为勒让德级数，并观察到可以从特征函数中准确地检索系数。然后将密度函数的这种表示形式用于风险中性估值，并导出近似公式。

这些公式包括表达式（95）。然而，其直接实施，使用公式（7.1），会导致n值较大时圆效应误差的快速累积。我们将这些量写为二阶微分方程的解，并使用稳定的Olver算法使用机器精度进行计算。此外，定价方法的推导还伴随着误差分析。已经推导出了误差界，该研究更多地依赖于平滑特性，这些特性不是由Payoff函数提供的，而是由基础随机模型的密度函数提供的。这在期权定价的定量融资中尤其重要，因为合同的支付通常不是平稳的函数。在我们的数值实验中，我们选择了定量金融中广泛使用的一类模型。支付范围包括连续（看涨期权）和不连续（数字看涨期权）。考虑到不同的执行价格和到期日，测试显示出指数收敛速度。我们提出了一些有趣的研究途径：o在这里，我们使用Olver算法计算涉及Legendrepolynomial和指数函数的积分（95）。事实上，奥尔弗的方法是用一个等价的边值问题来代替原来的问题，这个边值问题是用高斯消去法来解决的，不需要任何提示。对奥尔弗的方法进行了扩展或重新表述。例如，范·德克鲁森（vandercruyssen）[56]已经表明，如果使用奥尔弗方法产生的代数方程是使用LU分解方法求解的，那么所需的总工作量几乎减少了一半。有关更详细的讨论，请参见Lozier[57]。

重新考虑和调整或扩展现有算法，以减少计算工作量，这将是一件有趣的事情准确评估金融债权在金融建模中起着关键作用，但这些衍生工具的风险管理至少同样重要（参见[47]或[33]）。为了实现这一功能，我们需要计算衍生工具价格对工具价值所依赖的基础参数变化的敏感性。敏感性因素的系列扩展，例如 =五、S、 Γ=五、Sorν=五、σ用于未来研究。o在本手稿中，我们重点讨论了欧式期权的定价，欧式期权是构建更复杂期权产品的工具和基石。将Legendrepolynomials定价方法扩展到更奇特的合约，如远期启动期权、quanto期权、价差期权或具有早期行使特征的期权（参见[58]、[59]、[36]），这是一个令人兴奋的研究领域校准包括确定参数模型的参数，是期权定价和套期保值的工具性初步步骤。通常，它对应于使模型与市场报价一致的find参数（例如，一组不同行权和到期日的欧洲看涨期权或看跌期权价格），并且可以使用命题3.1中推导的公式。这是一些损失函数的最小化（例如报价和模型价格之间的平方差），通常会导致非凸优化问题。基于损失函数导数的标准程序（例如拟牛顿-布罗登-弗莱彻-戈德法布-香诺（BFGS）算法）可能不合适。

事实上，不同的起点可能导致截然不同的解决方案，这可能对期权定价和敏感性因素产生重大影响【60】。同样，不同的校准标准会导致不同的结果【61】。在[62]中，作者建议使用启发式技术、差异进化和粒子群优化，这似乎带来了一些有希望的结果。探索有关当代数值优化和分类技术在不同领域（如[63、64、65、66]）的实际应用的最新文献是我们未来研究的一部分。附录7.1。附录AWe在以下命题中提出了计算表达式ZαPn（t）eβtdt的一些分析公式。（95）提案7.1。对于β6=0，ZαPn（t）eβtdt=nbncXk=0(-1） kCknCn2n-2k[IEP（β，n- 2k，1）-IEP（β，n- 2k，α）]（96），IEP（β，n，t）：=eβtnXi=0英寸！βn+1-ii！(-1） n个-i、 （97）证据。对于（96），通过使用分段式逐次积分，我们显示了easilyZtneβtdt=eβtnXi=0tin！βn+1-ii！(-1） n个-i、 （98）我们使用勒让德多项式的公式（2）得到（96）。对于较小的n值，计算（95）和（96）不会带来任何问题。当n>>1由于求和中的严重减法相消而出现精度和稳定性问题时（96）。第（3.2）节中，我们建议使用Olver算法以稳定的方式实现这些术语，并具有机器精度。7.2。附录B在第5节讨论的模型类别中，我们提供了对数累积量（STK）、对数密度函数（ST）和期权定价的一些分析公式。设X为随机变量，ΦXits特征函数。我们可以定义一个唯一的连续函数ψXin一个零邻域，使得ψX（0）=0，ΦX（z）=exp[ψX（z）]。（99）函数ψXis称为累积量生成函数。X的累积量由cn（X）=in定义nψXun（0）。（100）（详见【2】。

我们给出了确定截断范围（83）所需的累积量c、cand和c。7.2.1。Black-Scholes模型r=0 in（84），我们有C=logSK公司-σT（101）c=σT（102）c=0（103）log（ST）~ N（对数）-σT，σ√T）（104）V（x，T）=Nlog（SK）-σTσ√T（105）式中，V（x，t）是具有罢工K.7.2.2的分析数字买入价格。Merton跳跃扩散模型在（86）中r=0，我们有c=T（～b+λu）（106）c=T（σ+λ（u+γ））（107）c=Tλ（3γ+6uγ+u）（108）fXT（x）=e-λT∞Xk=0（λT）kk！p2π（σT+kγ）e-（十）-英国电信-ku）σT+kγ（109）V（x，T）=e-λT∞Xk=0（λT）kk！Nlog（SK）+bT+kupσT+kγ！（110）带b=-σ-λ（eu+γ-1） ，▄b=b-log（K）T，fXT（x）XT的概率密度函数≡ 记录（STK）和V（x，t）分析数字看涨期权价格，点击K.7.2.3。Kou跳跃扩散模型（88），我们有c=Tb+λpη-1.- pη（111）c=Tσ+2λpη+1- pη（112）c=24Tλpη+1- pη（113）涉及欧式看涨期权的定价公式，可在定理2【53】中找到。7.2.4。Heston随机波动率模型（91），我们得到C=（1- e-λT）（\'u- u） 2λ-\'uT（114）c=8λ（ηTλe-λT（u- \'u）（8λρ- 4η）+λρη（1- e-λT）（16’u- 8u）（115）+2’uλT(-4ληρ+η+4λ）+8λ（u- \'u）（1- e-λT）（116）+η（（\'u- 2u）e-2λT+(R)u（6e-λT- 7） +2u））（117）致谢我们感谢审稿人和副主编为提高本文质量所作的建设性评论。作者还要感谢C.W Oosterlee（代尔夫特理工大学）和C。Necula（苏黎世大学）提供有用的意见。参考文献[1]I.Karatzas，S.Shreve，《布朗运动与随机微积分》，Springer，1997年。[2] R.Cont，P.Tankov，《带跳跃过程的金融建模》，查普曼和霍尔/CRC出版社，2004年。[3] S.Heston，《随机波动期权的封闭式解及其在债券和货币期权中的应用》，《金融研究评论》6（1993）327343。[4] G.Bakshi，Z。

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