随机波动和随机波动的方差掉期定价

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英文标题：
《Pricing variance swaps with stochastic volatility and stochastic
  interest rate under full correlation structure》
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作者：
Teh Raihana Nazirah Roslan, Wenjun Zhang, Jiling Cao
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper considers the case of pricing discretely-sampled variance swaps under the class of equity-interest rate hybridization. Our modeling framework consists of the equity which follows the dynamics of the Heston stochastic volatility model, and the stochastic interest rate is driven by the Cox-Ingersoll-Ross (CIR) process with full correlation structure imposed among the state variables. This full correlation structure possess the limitation to have fully analytical pricing formula for hybrid models of variance swaps, due to the non-affinity property embedded in the model itself. We address this issue by obtaining an efficient semi-closed form pricing formula of variance swaps for an approximation of the hybrid model via the derivation of characteristic functions. Subsequently, we implement numerical experiments to evaluate the accuracy of our pricing formula. Our findings confirmed that the impact of the correlation between the underlying and the interest rate is significant for pricing discretely-sampled variance swaps.
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中文摘要：
本文研究了股权利率混合下离散抽样方差掉期的定价问题。我们的建模框架由遵循赫斯顿随机波动率模型动力学的股票组成，随机利率由Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程驱动，状态变量之间具有完全相关结构。由于模型本身具有非亲和力特性，这种完全相关结构对于方差掉期混合模型具有完全分析定价公式的局限性。我们通过推导特征函数，获得了一个有效的半封闭形式的方差交换定价公式，以近似混合模型，从而解决了这个问题。随后，我们进行了数值实验，以评估定价公式的准确性。我们的研究结果证实，基础利率和利率之间的相关性对离散抽样方差掉期的定价具有重要影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_variance_swaps_with_stochastic_volatility_and_stochastic_interest_rate_u.pdf (206.79 KB)

2022-5-26 22:12:37 上传

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关键词：Quantitative correlation significant derivatives Experiments

随机波动率、随机利率和全相关结构下方差掉期的估值2020年4月14日[T.R.N Roslan]Teh Raihana Nazirah Roslan[W.Zhang]Wenjun Zhang[J.Cao]Jiling Cao摘要本文考虑了股权-利率混合类下离散抽样方差掉期的定价情况。我们的建模框架包括遵循赫斯顿-托卡斯蒂克波动率模型动力学的权益，随机利率由Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程驱动，在状态变量之间施加完全相关结构。由于模型本身具有非一致性，这种完全相关结构的局限性在于，对于方差掉期的混合模型，其具有完全分析的定价公式。我们通过推导特征函数，获得了一个有效的半封闭式方差掉期定价公式，以近似混合模型el，从而解决了这个问题。随后，我们进行了数值实验，以评估定价公式的准确性。我们的研究结果证实，基础利率和利率之间的相关性对离散样本方差掉期的定价具有重要影响。关键词：Heston-CIR混合模型、已实现方差、随机利率、随机波动性、方差互换、广义Fouriertransform1简介金融研究主要关注风险与预期收益之间的权衡。金融市场风险的一个重要来源是股票指数波动率的不确定性，其中波动率被理解为特定时间范围内金融工具回报的标准差。20世纪90年代末，华尔街公司开始交易波动性衍生产品，如varianceswaps。

自那时以来，这些衍生品已成为许多边缘基金经理在市场波动性上进行交易的首选红色通道。由于波动性在投资决策中起着至关重要的作用，金融从业者必须了解波动性变化的性质。对波动性衍生品的研究是定量金融领域一个积极追求的话题。从事波动性衍生品领域的研究人员一直致力于开发合适的方法来评估风险掉期。Carrand Madan[5]将使用期权的静态复制与期货的动态交易相结合，以定价和对冲某些波动性合约，而无需指定波动性过程。主要假设是未来价格的连续交易和连续半鞅价格过程。Demeter fital公司。[8] 通过证明可变掉期可以通过标准期权组合进行复制，在同一领域开展了工作。要求是期权行使价格的连续性和方差WAP的连续采样时间。这些研究的一个共同特点是假设连续采样时间，这实际上是金融市场离散采样现实的简化。事实上，当使用连续抽样作为近似值时，离散抽样变量掉期的选项被错误地估值，并且在某些抽样周期内出现了较大的不准确度，如【1】、【10】、【18】、【22】中所述。除了上述分析方法外，其他一些作者也使用数值方法进行了研究。Little和Pant【18】通过降维方法探索了有限差分方法，并获得了离散抽样方差掉期的高效性和准确性。Windcliff等人。

[21]研究了采用偏积分微分方程对恒定波动率、局部波动率和基于跳跃差异的波动率产品的影响。庄德廉在[22]中对[18]中的方法进行了扩展，将赫斯顿双因素随机波动率纳入离散抽样方差掉期的定价中。Ber nard和Cui【1】最近进行了另一项研究，研究了三种不同随机波动率模型的离散抽样风险互换的分析和渐近结果。TheirCholesky分解技术表现出显著的简化。然而，作者的恒定利率假设并没有反映真实的市场现象。金融研究的当代发展之一是混合模型的出现，该模型描述了股票、利率和波动性等不同资产类别之间的相互作用。这些模型的主要目的是为市场从业者和金融机构提供定制的替代方案，并降低基础资产的相关风险。混合模型通常可分为两种不同类型，即具有完全相关性的混合模型和具有参与下垫面之间部分相关性的混合模式ls。由于所涉及的复杂性较低，有关ass和a类之间存在偏相关的混合模型的文献似乎占据了该领域的主导地位。大多数研究人员关注的是股票与利率之间的相关性，或者股票与波动性之间的相关性。Grunbichler和Longstaff【11】基于Heston随机波动率模型开发了基于方差的期权定价模型。[6] 并且[13]强调，股权和利率之间的相关性对于确保定价活动的准确性至关重要，尤其是对于工业实践而言。

根据这些作者的说法，与利率和波动性之间的相关性相比，权益和利率之间的相关性更为明显。下垫面之间具有完全相关性的混合模型开始因其改进的模型性能而受到关注。[14] [20]比较了Heston-Hull-White混合模型和SZHW混合模型的价格依赖型期权和欧洲期权。在本文中，我们开发了一个建模框架，该框架通过包含遵循CIR过程的随机利率，扩展了Hestonstochastic波动率模型。请注意，[4]推导了部分相关的Heston CIR混合模型的半解析定价公式，该模型采用离散抽样方差掉期。这项工作考虑了他们提出的在状态变量之间施加完全相关性的建议。我们的重点是股权、利率和波动率之间完全相关的离散抽样方差掉期的定价。由于theHeston CIR模型混合不是一种有效的方法，我们通过混合模式l近似来解决定价问题，该模式属于一种有效的差异模型[9，12]。主要内容包括推导偏微分方程两个阶段的特征函数，我们获得了方差掉期的半封闭式定价公式。通过数值实验验证了定价公式的准确性。2方差掉期定价模型的规范在本节中，我们提出了一个混合模型，该模型将赫斯顿随机波动率模型与单因素CIR随机利率模型相结合。我们的模型扩展了文献[4]中的工作，在基础资产、波动率和利率之间建立了完全的相关性。

最近，[17]提出了一个将多尺度随机波动率模型和Hull-Whiteinte剩余利率模型相结合的模型，并表明将随机利率过程纳入随机波动率模型与任何到期日的恒定利率情况相比，可以获得更好的结果。2.1 Heston-CIR混合模型给定T>0，let{S（T）：0≤ t型≤ T}是某些资产价格在时间范围[0，T]内的随机过程。现实世界测度P下的赫斯顿CIR混合模型如下dS（t）=uS（t）dt+pν（t）S（t）dW（t），0≤ t型≤ T、 dν（T）=κ（θ- ν（t））dt+σpν（t）dW（t），0≤ t型≤ T、 dr（T）=α（β-r（t））dt+ηpr（t）dW（t），0≤ t型≤ T、 （1）式中{ν（T）：0≤ t型≤ T}和{r（T）：0≤ t型≤ T}分别是随机瞬时方差过程和随机瞬时利率过程。在随机瞬时方差过程ν（t）中，参数θ是长期均值，κ控制均值回复的速度，σ是波动率的相对值。类似地，在随机瞬时方差过程r（t）中，β是利率期限结构，α控制均值回复速度，η决定利率的波动性。为了确保ν（t）和r（t）中的平方根过程es始终为正，需要2κθ≥ σ和2αβ≥ η，分别参考[7，15]。

所涉及的关系由（dW（t），dW（t））=ρdt=ρdt，（dW（t），dW（t））=ρdt=ρdt，和（dW（t），dW（t））=ρdt=ρdt给出，其中-1.≤ ρij≤ 1表示所有i，j=1，2，3。根据Girsanov定理，存在一个与真实世界测度P等价的风险中性测度qe，因此在Q下，Heston CIR模型可以描述为dS（t）=r（t）S（t）dt+pν（t）S（t）dfW（t），0≤ t型≤ T、 dν（T）=κ*（θ*- ν（t））dt+σpν（t）dfW（t），0≤ t型≤ T、 dr（T）=α*（β*- r（t））dt+ηpr（t）dfW（t），0≤ t型≤ T、 （2）其中风险中性参数为κ*= κ+λ，θ*=κθκ+λ，α*=α+λ和β*=αβα+λ，参数λ和λ分别代表波动率和利率风险的溢价。Q下的布朗运动用{fWi（t）：0表示≤ t型≤ T}（1≤ 我≤ 3） 。使用Cholesky分解，我们可以根据独立的布朗运动将SDEs（2）重写为dS（t）S（t）dν（t）dr（t）= uQdt+∑×L×数据仓库*（t） 数据仓库*（t） 数据仓库*（t）, 0≤ t型≤ T、 （3）其中uQ=r（t）κ*（θ*- ν（t））α*（β*- r（t））, ∑=pν（t）0 0σpν（t）0 0ηpr（t）,安德尔=1 0ρp1- ρρ- ρρp1- ρvuut1- ρ-ρ- ρρp1- ρ！这样的话=1ρρρ1ρρρ.这里，W*（t） ，W*（t） 和W*（t） Q下的三个布朗运动是这样的吗*（t） ，dW*（t） 和dW*（t） 相互独立并满足以下关系dfW（t）dfW（t）dfW（t）= L×数据仓库*（t） 数据仓库*（t） 数据仓库*（t）, 0≤ t型≤ T、 2.2方差掉期的估值方差掉期于20世纪90年代首次推出，这是由于市场波动性抑制的突破。由于差异掉期的支付仅在到期时进行一次支付，因此它被定义为基础资产收益未来实现差异的远期合约。

假设在合同期内对标的资产S（t）进行了N次观测，并且在第j次观测时间内进行了观测，则V=AFNNXj=1给出了一个典型的衡量实际方差的公式，表示为RVS（tj）-S（tj-1） S（tj-（1）×100，（4）其中，AF是根据采样频率将上述表达式转换为年化变量点的年化因子。衡量换算方差e需要对基础价格路径进行离散抽样，通常是在每个工作日结束时，因此在这种情况下，AF为25 2。如果采样频率为每月或每周，则AF将分别为12和52。在到期时间T，方差掉期利率为V（T）=（RV- K） ×L，其中K是差额掉期的年化交割价格，L是以美元表示的掉期的名义金额。在风险中性的世界中，时间t随机利率的方差Swap的值是其未来支付金额的预期现值，即V（t）=eqt-RTtr（s）ds（RV- K） ×Li。该值在t=0时应为零，因为它是在远期合同类别中定义的。上述预期计算涉及利率和未来收益的联合分配，因此评估起来很复杂。因此，使用债券价格作为计价单位会更方便，因为t=0时到期零息票债券的价格由方程-RTr（s）dsi。我们可以通过将Q更改为T向前度量QT来确定K的值。接下来就是-RTr（s）ds（RV- K） ×Li=等式-RTr（s）dsiET（RV- K） ×L，（5），其中ET（·）表示关于qat t=0的期望值。

因此，方差掉期的场外交货价格由K=ET[RV]给出。2.3 T-远期计量下的方差掉期动态在T-远期计量下，avariance s wap的公平交货价格的估值减少到计算以T形式表达的N个期望值。”S（tj）- S（tj-1） S（tj-（1）#（6） 对于t=0，一些固定的相等时间段t和N不同的期限tj=jt（j=1，··，N）。需要注意的是，我们必须分别考虑两种情况j=1和j>1。对于c ase j=1，我们有tj-1=0和S（tj-1） =S（0）是已知值，而不是未知值S（tj-1） 对于J>1的任何其他情况。在确定该期望值的过程中，除非另有说明，j被视为一个常数。因此tjand和tj-1被视为已知常数。根据条件期望值的塔特性，可将期望值（6）的计算分为以下两个阶段：S（tj）S（tj-（1）- 1.= ET公司ETtj公司-1.S（tj）S（tj-（1）- 1.. （7） 我们表示术语ETtj-1.S（tj）S（tj-（1）- 1.按Gj（ν（tj-1） ，r（tj-1） ）以便于注释。然后，在第一阶段，所涉及的计算是找到gj（ν（tj-1） ，r（tj-1） ，在第二阶段，我们需要计算[Gj（ν（tj-1） ，r（tj-1） ）]。（8） 为此，我们将度量从风险中性度量转变为T向前度量QT。请注意，Q下的数字是N1，t=eRtr（s）ds，而qt下的数字是N2，t=A（t，t）e-B（t，t）r（t），参考【3】。

这两个数值的Radon-Nikodym导数的实现给出了qt下（3）的动力学，如下所示dS（t）S（t）dν（t）dr（t）= ∑×L×数据仓库*（t） 数据仓库*（t） 数据仓库*（t）（9）+r（t）-ρB（t，t）ηpr（t）pν（t）κ*（θ*- ν（t））- ρσB（t，t）ηpr（t）pν（t）α*β*- （α*+ B（t，t）η）r（t）dt，其中b（t，t）=e（T-t）√（α*)+2η- 1.p（α*)+ 2η+α*+p（α*)+ 2ηe（T-t）√（α*)+2η- 1..我们在附录A.3《定价差异swaps3.1第一阶段解决方案技术》中提供了有关计量变更的更多详细信息，以确定术语Gj（ν（tj-1） ，r（tj-1） ，我们考虑由Uj（S（t），ν（t），r（t），t）表示的或有索赔∈ [tj-1，tj]。未定权益在HJ指定的到期日具有欧洲风格的支付功能=SS（tj-（1）- 1.. （10） 在一般资产评估理论中应用标准技术，Ujover的PDEFO-1，tj]可以通过以下方式获得Uj公司t+νSUj公司S+σνUj公司ν+ηrUj公司r+ρσνSUj公司Sν+卢比- ρB（t，t）ηpr（t）pν（t）SUj公司S+α*β*- （α*+ B（t，t）η）rUj公司r+κ*（θ*- ν）-ρσB（t，t）ηpr（t）pν（t）Uj公司ν+ρσηpν（t）pr（t）Uj公司νr+ρηpν（t）pr（t）SUj公司Sr=0（11），终端条件uj（S，ν，r，tj）=Hj（S）。为了便于注释，我们省略了下标j，替换了到期时间tjas，并让τ=T- t和x=ln S，则（11）被转换为Uτ=νUx+σνUν+ηrUr+ρσνUx个ν+r- ρB（T- τ、 T）ηpν（T- τ）pr（T- τ）-νUx个+κ*（θ*- ν）-ρσB（T- τ、 T）ηpν（T- τ）pr（T- τ）Uν+α*β*- （α*+ B（T-τ、 T）η）rUr+ρηpν（T- τ）pr（T- τ）Ux个r+ρσηpν（T- τ）pr（T- τ）Uνr、 U（x，ν，r，0）=H（ex）。（12） 接下来，我们对x进行广义d傅立叶变换，以找到该偏微分方程的解（参考文献[19]）。