不可知风险平价：驯服已知和未知未知

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英文标题：
《Agnostic Risk Parity: Taming Known and Unknown-Unknowns》
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作者：
Raphael Benichou, Yves Lemp\\\'eri\\`ere, Emmanuel S\\\'eri\\\'e, Julien
  Kockelkoren, Philip Seager, Jean-Philippe Bouchaud and Marc Potters
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Markowitz\' celebrated optimal portfolio theory generally fails to deliver out-of-sample diversification. In this note, we propose a new portfolio construction strategy based on symmetry arguments only, leading to \"Eigenrisk Parity\" portfolios that achieve equal realized risk on all the principal components of the covariance matrix. This holds true for any other definition of uncorrelated factors. We then specialize our general formula to the most agnostic case where the indicators of future returns are assumed to be uncorrelated and of equal variance. This \"Agnostic Risk Parity\" (AGP) portfolio minimizes unknown-unknown risks generated by over-optimistic hedging of the different bets. AGP is shown to fare quite well when applied to standard technical strategies such as trend following.
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中文摘要：
马科维茨著名的最优投资组合理论通常无法实现样本外多元化。在本文中，我们提出了一种新的仅基于对称参数的投资组合构建策略，导致“特征风险平价”投资组合在协方差矩阵的所有主成分上实现了相等的已实现风险。这适用于任何其他不相关因素的定义。然后，我们将我们的一般公式专门用于最不可知的情况，即假设未来收益指标不相关且方差相等。这种“不可知风险平价”（AGP）投资组合最大限度地减少了因过度乐观地对冲不同赌注而产生的未知风险。AGP在应用于趋势跟踪等标准技术策略时表现良好。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Agnostic_Risk_Parity:_Taming_Known_and_Unknown-Unknowns.pdf (296.64 KB)

2022-5-26 21:26:37 上传

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关键词：Optimization Construction Quantitative On Strategy performance

不可知风险平价：驯服已知和未知的未知Raphael Benichou、Yves Lempérière、Emmanuel Sérié、Julien Kockelkoren、Philip Seager、Jean-Philippe Bouchaud&Marc PottersCapital Fund Managements 23 rue de l\'Université，75007 Paris，FranciabstractMarkowitz著名的最优投资组合理论通常无法实现样本外的多元化。在本文中，我们提出了一种新的仅基于对称参数的投资组合构建策略，导致“特征风险平价”投资组合在协方差矩阵的所有主成分上实现相等的已实现风险。这适用于任何其他不相关因素的定义。然后，我们将我们的一般公式专门化到最不可知的情况，即假设未来回报指标不相关且方差相等。这种“不可知风险平价”（AGP）投资组合最大限度地减少了因对不同赌注进行过度乐观对冲而产生的未知风险。AGP在应用于标准技术策略（如趋势跟踪）时表现良好。简介多元化是理性投资策略的口头禅。哈里·马科维茨（HarryMarkowitz）提出了这一咒语的数学化身，这在职业界是很常见的。不幸的是，马科维茨思想的实际实施充满了困难，并产生了非常令人失望的结果。这一点早已为人所知，许多论文试图确定其缺陷并提出补救措施[1、2、3、4、5、6]。最重要的问题是众所周知的：最佳多元化的马科维茨投资组合最终往往只集中在少数资产上，这不可避免地导致灾难性的样本外风险。最优投资组合在时间上也不稳定，对参数和/或预期未来收益的微小变化敏感。

面对这些困难，出现了两个不同的研究分支。第一个涉及确定组合中符合条件的不同资产的协方差矩阵，例如属于给定指数的所有股票。该协方差矩阵由大量的输入（N×（N+1）/2）f指定，因为只有有限的数据可用（N×T，其中T是可处理的时间序列的长度）。当与N相比e不是非常大时，经验确定的协方差矩阵非常不可靠，并且在马科维茨优化程序中使用时会导致严重的不稳定性。最近，有人提出了一些强大的数学工具来优化“清理”经验协方差矩阵，从而大大提高了使用所谓的“旋转不变估计”（RIE）进行马科维茨差异化的效率；有关简短回顾，请参见[7]和r efs。其中。当然，另一个关键步骤是指定每项资产的预期回报列表。这些预期收益来自定量信号（如趋势跟踪）或其他形式的分析（定量或主观）。这些信号通常非常嘈杂和不可靠，因此我们更应该像下面所做的那样谈论指标，即对未来回报的可能次优和有偏差的预测。然而，一旦所有这些都完成了，一个陈旧但根本的问题仍然存在。即使成熟的统计工具能够充分处理风险，它们也无法处理不确定性，即金融市场的内在倾向与先前的概率不一致。例如，尽管未来的“真实”协方差矩阵通常非常接近清洁（RIE）协方差矩阵，但相关性也可能会不可避免地转移到过去从未观察到的新状态。

事实上，这对于比波动率或相关性更容易暴露于未知因素的预期回报率来说更糟糕。因此，除了马科维茨的优化之外，还需要一个额外的控制层，作为防范统计意外事件的保障。这就是上文提到的第二组研究试图解决的问题。其想法是在标准研发风险回报目标函数中增加一些额外的惩罚条款，以强制多样化，通常以广义的最终指数或entr opy函数的形式出现【10、5、11】。这带来了重大突破，如“最大多样性投资组合”（MDP）[3]的概念，或最近的“主要风险平价投资组合”（PRP）（关于这一主题的一些变化，请参见参考文献[12、6、13、14、15]）。分散性和各向同性虽然有趣，但这些惩罚条款中有一个隐藏的假设，即从中性到中性，即选择被视为“基本”的资产，其中风险应在投资组合中尽可能分散。这些资产被选择为MDP的实物股票，或者是PRP情况下相关矩阵的主要组成部分。在仅长期投资组合和传统资产管理的情况下，选择实物资产作为portfo lio construction的自然“基础”可能是合理的。但对于（比如）有多头和空头头寸的期货合约组合来说，这些资产的任何线性组合都是先验可行的（至少在某些总体杠杆约束下）。用数学术语来说，人们可以将自然资产基础“旋转”为任何先验等价基础。然而，关键是，在一个基础上最大程度分散的投资组合实际上可以最大程度地集中在另一个基础上！例如，对于所有N种股票，具有相等权重wi=1/N的股票的对开本。

从（负）熵S=Piwiln-wior的费尔达尔指数H=Piwi的角度来看，这显然是最优的。但是，由于与相关性矩阵相关的主要风险因素本身非常接近于所有股票的n等权重分配，因此对主成分基α的旋转会导致熵和赫芬达尔指数的可能值都变差。换言之，在被视为“基本”资产的定义下，最大多元化的概念并不是不变的。基本资产定义的任意性的另一个生动例子是不同期限合同的利率曲线或mor。我们应该考虑物理上的矛盾，还是只考虑其中的一个和所有相关的日历价差？资产空间中是否有发挥特殊作用的特殊方向？佳能毫不含糊地识别出比其他因素更为根本的风险因素？这是定量金融领域的一个老问题，一长串的文件试图识别这些因素，尤其是在股权领域。然而，正如Roll【16】最近审查的那样，在这一点上没有达成共识。如果风险与波动性（或方差）相关，那么问题实际上是完全退化的，或者用数学术语来说是各向同性的。为了说明这一点，让我们将资产收益率ri（i=1，…，N）视为均值为零的随机变量和（真）协方差矩阵C，其中cij=E[rirj]。然后可以构建N个资产的线性组合，使其收益brα均不相关且具有单位方差。但这种选择并不是唯一的：事实上，资产空间中的任何进一步旋转（即合成资产的正交组合返回brα）都会导致另一组不相关的单位方差资产–见下文。

在这些潜在“因素”的最终选择中，是否有一个突出的因素可以证明在这些特殊资产中应用最大的多元化标准是合理的？这就是[17]中所遵循的路径，其中引入了“最小扭转赌注”的进一步概念。对称性我们想在这里提出一种基于对称性的相关但不同的路线，它充分利用了指标水平和回报水平上的旋转和扩张不变性。首先，让我们假设，在不改变投资组合分配问题的情况下，可以按任意因子重新调整每项资产i的回报率。投资1只股票与投资2只股票的合同是一样的，回报率是原始股票的两倍。因此，我们总是可以选择使用单位方差来处理收益，这是我们今后将要做的选择。在这种情况下，协方差矩阵C实际上在这里和下面，我们假设任何非零平均收益率（例如来自预测信号的组合）与波动率相比都很小，在我们的讨论中可以忽略。当然，这种非零平均回报率正是促使portfolioconstruction开始的原因！本文中的旋转实际上包括正确旋转和不正确旋转，即旋转加反转。股票之间的相关矩阵。现在，线性变换bri=XjC-1/2ijrj（1）是指E[贿赂rj]=δij，即，对于一组不相关的资产。此处C-1/2定义为C的正定义平方根，即：C-1/2=Xa√λauauTa，（2）其中λa和ua是C的特征值和特征向量。这是我们在本文中给出的对称矩阵的平方根的意义。如上所述，不相关资产集合的构造存在很大的退化性：BR的任何轮换都可以。

在这一点上，一个自然的选择是坚持认为^ri的ar“尽可能接近”原始的标准化回报，以便保留对结果合成资产的财务直觉（即dSPX≈ SPX）。等式（1）中定义的^ri就是这种情况（见附录以获取该声明的证明）。同样的结构也适用于未来收益率的统计指标，我们称之为pi，i=1，N、 我们坚持认为，PI不一定是未来ri的“真实”预期值，而只是投资者根据其信息/技能集/偏差等做出的最佳猜测。下面考虑的一个标准示例是基于过去收益移动平均数的趋势指标，但任何基于信息或直觉的定量指标都可以。这些指标随时间变化，并以协方差矩阵Qij=E【pipj】为特征。该矩阵通常是非平凡的，因为人们可以系统地预测两种不同资产的类似回报，导致Qij>0。在任何情况下，都可以如上所述构建N个不相关的指标线性组合，由：bpi=Xj给出Q-1/2ijpj，（3）对Q的解释-1/2。然后，^pi都是不相关的单位方差，即在所有方向上具有相同的可预测性，并且“尽可能接近”原始pi，这同样是有意义的。在此阶段，（合成）资产空间中的任何轮换也会陈述新的指标，同时保持它们都不相关和单位方差。因此，投资组合构建问题变得完全各向异性。旋转不变投资组合所有这些如何帮助我们构建一个完全不可知的风险投资组合，而不参考被视为基础的特定资产集？简单地说，这里选择返回r的标准化很重要。

事实上，非标准化回报率的工作将导致BR的不同结果。我们所做的选择符合我们的各向同性假设。静态“仅长期”指标的通常情况是特殊的，因为相应的相关矩阵定义不清。这将是即将开展的工作的主题。观察结果表明，与bpα成比例投资于综合资产α的投资组合的实际收益G由以下公式得出：G=NXα=1bpα·brα：=NXα=1Gα。（4） 该投资组合有几个非常理想的特性：o与每项合成资产相关的风险是相同的：E[Gα]=E[bpα]E[brα]=1，前提是忽略了E[Gα]–见脚注1与不同合成资产相关的收益是不相关的：E[GαGβ]=Δα，β–见之前的脚注4。o最重要的是，在资产和指标的任何进一步同时轮换下，总收益G都会发生变化，就像标量产品之前一样：GR=NXα=1NXβ=1Rα，βbpβ·NXγ=1Rα，γbrγ=NXβ=1NXγ=1bpβ·brγ=NXα=1Rα，βRα，γ=NXβ=1bpβ·brβ≡ G（5）其中，我们使用了旋转矩阵的基本性质RRT=I。最后一个性质意味着，任意选择不相关的单位方差合成资产及其相应的一组指标，都会导致verysame收益，因此无需决定假定的更多基本投资因素。为什么要按bpα的比例投资合成资产α？基于对称论证，这是唯一的理性选择。所有投资方向在统计上都是等效的，任何其他选择都将对应于各向同性的任意破坏。用Markowitz优化的语言来说，这对应于当α的预期未来收益为S bpα时，合成资产的最佳组合，其中预期的夏普收益与α无关。注意，这实际上依赖于一个假设，即E[bpαbrβ]=Sδα，β，即。

在不相关因素水平上，没有显著的交叉预测。我们认为，这在实践中是一个非常合理的最低消费——见下文。这隐含地假设bpα和brβ6=α之间的相互关系很小，这是我们旋转对称原理的一个重要假设。现在，我们需要将上述投资于合成资产的各向同性风险组合转换为可交易合约。这只是根据brα和bpα的定义得出的：G=NXα=1NXi，j=1Q-1/2αjpjC-1/2αiri=NXi=1NXα=1NXj=1C-1/2αiQ-1/2αjpj！ri：=NXi=1πiri，（6）其中，最后一个等式定义了资产i中的物理位置πii，其结果为：πi=ωNXα=1NXj=1C-1/2αiQ-1/2αjpj，（7）式中，ω是一个常数，用于设定por tfolio的总体风险，或以向量形式（使用C的对称性）：π=ωC-1/2季度-1/2p（8）这是本文的中心结果，我们现在对几种情况进行评论和专门讨论。首先，让我们注意到，上述投资组合结构是这样的，即沿着C的任何特征方向的预期风险是相同的，因此被称为“特征风险平价投资组合”（ERP）——关于这个主题，另请参见[12，1 3]。实际上，沿athprincipal Components的预期风险由以下公式给出：Ra=E[（π·va）]λa，（9），其中λais是C的AthIgenValue，Vat是相应的特征向量。简单代数则得出：Ra=ω√λaE[（va·Q-1/2p）]λa=ωa、 （10）我们使用了指标Q的预期协方差这一事实。请注意，尽管在任何给定的一天，分配π都指向特定的方向，因此在这个意义上“完全集中”，但只要指标本身不是静态的，这个方向预计会随时间而改变。

因此，在足够长的时间尺度上，统计上恢复了各向同性。不可知风险平价现在，指标协方差矩阵Q的天真选择应该与回报协方差矩阵本身成比例，即Q∝ C、 在一个平稳的世界里，指标将真正在统计上预测未来收益，即pi=e[rfut.i]，这一假设将是自然的，至少当C是在预测收益的时间尺度上计算时，这通常比一天长得多。有趣的是，堵塞Q∝ 上述等式（8）中的C精确地导出了标准的马科维茨最优端口：π=ωC-1E[请求]。然而，这是一种高度过于乐观的世界观，只涉及“knownunknowns”。方向预测极不确定，比风险预测更不确定。事实上，在一个高效的市场中，甚至不可能进行方向性预测。如果坚持认为某些信号可能（微弱地）预测未来回报，则更明智的做法是不要在这些指标的相关性矩阵上设定任何特定的结构，任何优化器都会使用这些结构来对冲一些赌注与其他赌注。最不可知的选择是选择Q=σpI，即已实现预测之间没有可靠的相关性，所有资产的可预测性（或预期夏普风险）相同。