具有固定交易成本的超级复制

2014年7月30日文件：固定成本。德克萨斯州日期：2018年10月16日，P.BANK和Y.DOLINSKYof Leland的摩擦交易配方建议使用局部波动性增加的三角洲混合策略进行近似近似近似的对冲，比例交易成本为零。4.1。具有固定交易成本的二项模型的对偶性。定理4.1证明的出发点是二项式模型中具有固定成本的超级复制价格的双重表征形式，这适用于凸支付函数的特殊情况。要指定这种二元性，让我们∈ {1，2，…}考虑系统T={0=τ的类T（n）≤ ··· ≤ τn=1}∈ （F（n）T的T-停止时间，其值在{0/n，1/n，…，1}中，如果τk+1（ω）<1，则ξ（ω）≡ +1对于所有i∈ {nτk（ω）+1，…，nτk+1（ω）}或ξ（ω）≡ -1对于所有i∈ {nτk（ω）+1，…，nτk+1（ω）}。（7） 换句话说，停止时间τk≤ τk+1是这样的：在ω的情况下，τk+1（ω）=1，其中S（n）（ω）在τk（ω）和τk+1（ω）之间不严格增加或严格减少。此外，在时间τkit时，已知将达到下一个停止点τk+1的向下步数和向上步数。换句话说，对于合适的函数φ↓k、 φ↑k： Rk+1+→ N、 这些步骤的数量可以写成φ的形式↓k（S（n），S（n）τk）和φ↑k（S（n），S（n）τk），对于每个k=0，1。现在让Q（T）<< （S（n）τk）k=0,1，…的唯一鞅测度，。。。关于（Fτk）k=0,1，。。。这样（7）也适用于Q（T）-几乎每个ω，τk+1（ω）=1。因此，Q（T）只给出了一组场景ω的概率，其中终端值S（n）（ω）是从最新的S（n）τk（ω）以严格单调的方式达到的，τk（ω）<1。引理4.1。

在固定交易成本κ>0的n步双项模型（4）中，F凸在（0）上的支付F=F（S（n））的辅助复制成本，∞) are（8）Vκ（f（S（n））=输入∈T（n）EQ（T）[f（S（n））+κn（T）]。证据让我们从证明开始”≥” 在（8）中。以x为例∈ R和容许（T，H），使得x+G（T，H）≥ f（S（n））。通过从T={τk}k=0,1，。。。如有必要，我们可以获得一个可能更粗的s打顶系统▄T={▄τk}k=0,1，。。。根据我们的特殊类T（n），在（S（n）～τk）k=0,1，…，的唯一鞅测度Q（～T）下，。。。，对于k=0，1，…，我们有τk=～τkal。因此，我们仍然拥有超级复制MSART aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：2018年10月16日Super-REPLICATION WITH FIXED TRANSACTION COSTS 9property x+G（T，H）≥ f（S（n））Q（~T）-a.S。这允许我们得出x=EQ（~T）[x+Xkhk（S（n）~τk+1- S（n）～τk）]≥ 正如我们想展示的那样，等式（~T）[f（S（n））+κn（~T）]。我们下一步建立“≤” 在（8）中。为此，FIX T∈ T（n），将Q：=Q（T），并表示x：=EQhf（S（n））+κn（T）i。观察在Q下，股票价格过程（S（n）τk）k=0,1，…（无摩擦）金融市场，。。。，nis是一个二项市场，因此是完整的。唯一鞅测度为Q。因此，存在可测函数ψk:Rk+→ R、 k=0，1，例如（9）x+n-1Xk=0ψkS（n）τ。。。，S（n）τkS（n）τk+1- S（n）τk= f（S（n））+κn（T）Q-a.S.现在让我们把这些映射ψk，k=0，1，n、 为了为我们的n步二项市场构建一个超级复制战略，交易成本固定。为此，考虑二项模型（4）从[0，T]=[0，1]到所有[0，∞). 设P（n）仍然表示其局部等价鞅测度。使用映射φ↓和φ↑与停止系统T相关，以确定另一个系统的停止时间▄T乘以▄τ：=0，对于k=0，1。

，▄τk+1：=最小值（t>▄τk：ln（S（n）tS（n）▄τk）/σ√n=φ↑k（S（n）～τ。。。，S（n）～τk））（10）∧ 最小值（t>τk:ln（S（n）tS（n）～τk）/σ√n=-φ↓k（S（n）～τ。。。，S（n）～τk））。显然，这些连续的双侧水平通过时间|τ。。。，§τnare fi fineep（n）-几乎可以肯定的是，带§τn≥ 1、为了获得[0，1]上的策略，我们截断并考虑在时间^τk：=△τk处干预的交易策略（^T，H）∧ 1根据H=（hk）k=0,1，。。。式中hk：=ψk（S（n）～τ。。。，S（n）～τk），k=0，1。为了总结你的主张，现在有必要知道x+G（^T，H）是如何变化的≥ f（S（n））P（n）-a.S.事实上，我们将讨论（11）x+G（~T，H）~τn≥ f（S（n）～τn）和～τn≥ 1 P（n）-a.s.imsart-aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：201810年10月16日P.BANK和Y.Dolinsky，这需要我们的断言，因为x+G（^T，H）=x+G（^T，H）≥ EP（n）[x+G（~T，H）~τn | F（n）]≥ EP（n）[f（S（n）～τn）| f（n）]≥ f（S（n））。这里，第一个估计成立，因为G（~T，H）是一个超鞅under（n），第二个估计是由于（11），最后一个估计是由于凸函数f和P（n）-鞅S（n）的Jensen\'sinequality（在时间τn内是一致有界的）。需要证明（11）。为此，我们观察到，通过构造，这个不等式的两边都是（S（n）～τk）k=0,1，…）的泛函，。。。。此外，该过程是P（n）下的一个无因次鞅，具有完全相同的跳跃特征（S（n）τk）k=0,1，。。。在Q下，因此，定律（（S（n）~τk）k=0,1，…|P（n））=定律（（S（n）τk）k=0,1Q） 。因此，（11）是（9）的直接结果。为了便于以后使用，我们还要注意以下引理，它说明了在我们对超级复制问题的双重描述中要达到的程度：对于凸payoff，当我们添加stops toT时，EQ（T）[f（S（n））]可能会减少，而任何添加的stop都会使干预的数量n（T）增加。引理4.2。

如果T′∈ T（n）是T的∈ T（n）的意义是，对于T中的任何τk，我们有τk=maxτ′k′∈ T′τ′k′≤ τk,对于任何凸支付函数f：（0，∞) → R我们有eq（T′）【f（S（n））】≤ 式（T）[f（S（n））]。证据测度Q（T）是（S（n）τk）k=0,1，。。。对于P而言，这是绝对连续的，当T中只允许交易时，这就达到了凸支付f（S（n））的无摩擦复制价格。显然，将T定义为T′∈ T（n）有助于更灵活地找到超级复制策略，因此不会导致更高的超级复制价格。imsart aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：2018年10月16日具有固定交易成本的超级复制114.2。超级复制价格上限的证明。在本节中，我们将证明“≥” 在我们的公式（6）中保持缩放极限。更准确地说，我们将建立（12）lim infnVκ/n（f（S（n）））≥ infσ≤ν∈AWEW公司f（S（ν））+κZg（νt/σ）dt在不丧失一般性的情况下（通过传递到一个子序列），我们假设极限limnVκ/n（f（S（n）））存在于[0，∞ ].通过引理4.1，我们可以发现，对于n=1.2，停止系统T（n）∈ T（n）使得vκ/n（f（S（n）））≥ 等式（T（n））[f（S（n））+κnN（T（n））]-n、 因此，如果我们得到一个更深入的了解，可以估计（12）中的lim inf，如n↑∞, Q（T（n））下S（n）和n（T（n））的联合定律。虽然这一系列法律的严密性并不明显，但可以使用我们从Kusuoka【17】中改编的论点来确定T（n）的合适替代物。为此，x m∈ {1，2，…}如有必要，以在任何两次停车时间之间最多采取msteps的方式确定T（n）。

这给了我们一个停止系统T（n）=nτ（n）kok=0,1，。。。∈ T（n）与n（T（n））≥ N（T（N））- [（n- 1） /m]和（13）τ（n）k+1- τ（n）k≤mnonnτ（n）k+1<1o。根据引理4.2，我们现在可以得出结论：Q（n）：=Q（T（n））满足（14）Vκ/n（f（S（n）））≥ 等式（n）[f（S（n））+κnN（T（n））]-n-κn[（n- 1） /米]。因此（12）将在m↑ ∞ 一旦我们能证明lim在fn↑∞对于每个m=1，2，…，在（14）中的期望值不小于（12）的右侧。这将使用Kusuoka\'stightness参数来实现，我们考虑过程M（n），n=1，2，给定byM（n）：=S（n），M（n）t：=S（n）τ（n）k+1对于t∈ [τ（n）k+1/n，τ（n）k+1+1/n）∩ [0，1），k=0，1，….（15）观察M（n）是Q（n）-鞅的一个版本，具有终值sn:M（n）t=EQ（n）[S（n）| F（n）t]，t∈ [0，1]，Q（n）-a.s.imsart-aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。德克萨斯州日期：2018年10月16日P.BANK和Y.DOLINSKYLemma 4.3。假设T（n）∈ T（n），n=1，2，是[0，1]的划分，使得（13）保持Q（n）-几乎可以肯定，其中Q（n）=Q（T（n））。然后分布序列（定律（S（n）| Q（n）））n=1,2，。。。在Skorohodspace D[0，1]上很紧。任何弱积累点都是严格正连续鞅M（在其自身的过滤中）在某种概率测度^P下的定律，即（16）E^P[maxt∈[0,1]（Mt）p]≤ supn=1,2，。。。等式（n）[最大值∈[0,1]（M（n）t）p）]<∞ 对于任何p≥ 此外，M/s的stoc-hastic对数L，即连续局部鞅L，使得M=sE（L），对于密度ν=dhLi/dt的Lebesgu e测度具有二次变化hLi绝对连续≥ σ。此外，沿着一个合适的子序列，我们有弱收敛律（S（n），Z·α（n）sds | Q（n））→ 定律（M，Z·νt/σ- 1.dt | P），n↑ ∞,在D[0，1]×D[0，1]上，其中（17）α（n）t：=√nσ| M（n）t- S（n）t |/S（n）t，t∈ [0,1]，其中M（n）由（15）给出。证据从（13）可以看出，α（n）tis Q（n）a.s。

一致有界（inn和t），因此（Law（S（n）| Q（n）））n=1,2，。。。估计值（16）来自于【17】中的命题4.8和4.27。这个引理的第二部分是引理7.1的引理。通过Skorohod的表示定理，我们可以找到过程^s（n），^M（n），^α（n），n=1，2，关于公共概率空间（^）Ohm,^F，^P），其中foreach n=1，2。与Q（n）下的对应项（S（n）、M（n）、α（n））相同的联合定律，并且（^S（n）、M（n）、R·········（n）udu）在时间上几乎一致地收敛于（^M，R··························（n）udu-σ2σdt），其中^M=sE（^L）是一个具有任意阶矩的连续^P-鞅，且^ν是其随机对数^L相对于Lebesgue-meausre的方差密度。此外，对于任何n=1，2，我们可以定义停止时间τ（n）k的系统^T（n），k=0，1，对于由^S（n）产生的过滤，这些过滤与（^S（n），^M（n））的联合^P定律也与IMSART aap ver下的联合定律一致。2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：2018年10月16日具有固定交易成本的超级复制停止时间τ（n）k的13Q（n），k=0，1，带（S（n），M（n））。特别是，我们从（13）中得出结论，^τ（n）k+1- ^τ（n）k≤mn^P-a.s.从（4）和（15），我们由此得到泰勒展开式^α（n）t=n^τ（n）k+1-[nt]+O（m/√n） 对于t∈ 【τ（n）k+1/n，τ（n）k+1+1/n】∩[0，1]P-a.s.，其中O（m）的绝对值/√n） -术语在时间和时间上是一致的。

方案小于或等于m/√n、 最后的观察结果允许我们应用下面的引理4.4（b（t）：=^νt/σ），以得到估计值（18）lim infnN（^t（n））n≥Zg（νt/σ）dt^P-a.e其中g是理论4.1中定义的lin早期插值函数。服用lim INFIN（14）后，现在给予SLIM infnVκ/n（f（S（n）））≥ lim infnEQ（n）[f（S（n））+κn（T（n））/n]-κm=lim infnE^P[f（^S（n））+κn（^T（n））/n]-κm≥ E^P[f（^M）+κZg（^νt/σ）dt]-κm最后一步是由于Fatou引理和（18）。应用类似于文献[9]中引理7.2的随机化技术，并让m↑ ∞ 现在证明我们的断言（12）。引理4.4。对于n=1，2，设T（n）={0=T（n）≤ t（n）≤ ··· ≤t（n）n=1}是[0，1]的确定性分区，使得nt（n）k∈ {0，1，…}andt（n）k+1- t（n）k≤ m/n f或k=0，1，n- 1、假设fu nc tionsa（n）（t）：=nt（n）k+1- [nt]，t（n）k<t≤ t（n）k+1对于k=0，1，n- 1，满足（19）Z·a（n）（t）dt→Z·（b（t）- 1） 对于某些b，dt在[0，1]上一致∈ L（[0，1]，dt）。那么我们有lim infnN（T（n））n≥Zg（b（t））dtg是理论4.1中定义的线性插值函数。imsart aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。德克萨斯州日期：2018年10月16日P.BANK和Y.DOLINSKYProof。在不丧失一般性的情况下（通过传递到子序列），我们假设→∞N（T（N））/N存在。对于任意n，引入函数bn：[0，1]→ [1，∞) bn（T）=0，bn（T）=n（T（n）k+1- t（n）k），t（n）k≤ t<t（n）k+1，k=0，1。。。，n- 1，我们注意到（20）n（T（n））n=Zbn（T）dt。简单计算yieldZt（n）k+1t（n）k（十亿（吨）- （1）- an（t）dt=0。这加上（19）和n（t（n）k+1-t（n）k）在k上统一绑定，n给出（21）Ztbn（u）du→t中的Ztb（u）du均匀∈ [0，1]。Komlos引理（见[8]中的引理A 1.1）表明存在一系列函数bn∈ 转换（bn，bn+1，…），n=1，2，这样▄bn几乎处处将Lebesgue收敛到函数▄b。

事实上，b=b a.e.因为由支配收敛和（21）我们得到ztb（u）du=limn→∞Ztbn（u）du=limn→∞Ztbn（u）=任何t的Ztb（u）du∈ [0，1]。最后，从（20）中，函数g是凸的且连续的，并且g（bn）=bn（作为bn的整数值），我们得到limnn（T（n））n=limnZg（bn（T））dt≥ limnZg（￠bn（t））=Zg（b（t））dt，结果如下。4.3。超级复制价格下限的证明。在本节中，我们将建立“≤” 对于我们的超级复制价格缩放限制公式（6）。更准确地说，我们将证明（22）lim supnVκ/n（f（S（n）））≤ 电子战f（S（ν））+κZg（νt/σ）dt对于任何波动性过程≥ 在某些过滤概率空间上的σ(OhmW、 FW，（FWt），PW）支持布朗运动W，如OREM4.1所述。事实上，对于分段常数ν：imsart aap ver，需要说明这一点。2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：2018年10月16日Super-REPLICATION WITH FIXED TRANSACTION COSTS 15Lemma 4.5。对于任何ν∈ 任何ε>0的地方都有∈ AWof the simple form（23）×νt=JXj=0σqρj（S（×ν）t，S（￠ν）tj）1（tj，tj+1）（t）有时0=t<t<···<tj=1和连续有界函数ρj:Rj+1→ [1，∞) 因此电子战f（S（ν））+κZgνt/σdt公司- 电子战f（S（￠ν））+κZgνt/σdt公司< ε。证据让我们∈ 设C为常数，使得ν≤ C a.s.使用引理3.4中的s im ilar密度参数（对于d=1），我们得到存在序列ν（n），n=1，2，使得ν（n）≤ C是（23）和ν（n）给出的简单形式→ νPW dt-a.e.这与一致可积性（由ν（n）引起）≤ C） 序列f（S（ν（n））+κRg（（ν（n）t）/σ）dt，n=1，2，暗示断言。在（22）的证明中，我们可以假设limnVκ/n（f（S（n）））存在，而不丧失一般性。引理4.1中的对偶结果建议构造一系列稳定系统T（n）∈ T（n）相对于（F（n）T，n=1，2。

，使得在相关测度Q（n）：=Q（T（n））下，（4）的过程S（n）按规律收敛到S（ν）。这将在下一步完成。为了确定想法，让我们首先关注初始阶段[t，t）=[0，t），其中我们希望获得常数ν=σρ∈ [0，∞) 作为极限局部方差。检查前一节中的论点表明，对于ρ∈{1，2，…}这可以通过停止任何ρ连续向上或向下的s步来实现（在没有这种单调性的情况下，不要在结束之前停止）。然而，对于σ的自然倍数之间的ν，我们必须在[ρ]步之后和[ρ]+1步之后以正确的比例混合停止。例如，如果我们想获得渐近的局部方差1.5σ（即ρ=1.5），我们只需在[ρ]=1步后停止和[ρ]+1=2 s步后在同一方向停止之间交替（在所有与此不兼容的情况下，againdo不会在结束前停止）。通常，以下构造将起作用：对于j=0，J、 我们将时间间隔[[ntj]/n，[ntj+1]/n）细分为[ntj+1]-【ntj】≈ n（tj+1-tj）=长度为1/n的O（n）个周期。这些O（n）个周期可由pn（tj+1）覆盖- tj）=O(√n） 相同数字的块pn（tj+1- tj）=O(√n） 连续时间点的。用ρ（n）j表示：=ρj（S（n）[nt]/n，S（n）【ntj】/n）imsart aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：201816年10月16日P.BANK和Y.DOLINSKYa代理σ的倍数，我们要在区间[tj，tj+1]上渐近实现局部方差。取λ（n）jt作为唯一解λ∈ ρ（n）j的（0，1）=λ[ρ（n）j]+（1- λ） （[ρ（n）j]+1）。在上述各O中(√n） 长度为O的块(√n） ，我们将在二项模型在相同方向（即。

全部向上或全部向下），在此期间采取不同方向的情况下，在到达时间范围T=1之前，我们不会停止。这一直持续到我们已经覆盖了当前块的O的λ（n）jo的一部分(√n） 期间。对于剩余分数1-λ（n）jof周期在该块中，我们将以类似的方式进行，但节奏是每〔ρ（n）j〕+1步停止，而不是〔ρ（n）j〕。之后，我们对所有O(√n） 在开始时，我们将区间[[ntj]/n，[ntj+1]/n]划分为多个块。然后我们以类似的方式继续下一个区间[[ntj+1]/n，[ntj+2]/n），直到所有这些区间都得到处理。接下来，让我们分析这个过程需要的渐近交易成本和方差。我们可以在每个区间[tj，tj+1），j=0，…，j.S o fix这样一个j，让nand ndennote我们分别在每个[ρ（n）j]和[ρ（n）j]+1二项S步停止的次数。然后我们得到了[ρ（n）j]+n（[ρ（n）j]+1）=qn（tj+1- 为了获得M（n）的正确渐近方差，从（15）中得到的τ（n）js构造M（n），我们想同时得到n[ρ（n）j]+n（[ρ（n）j]+1）=ρ（n）jqn（tj+1- tj）+O（1）。我们得出结论Pn（tj+1-tj）=1+[ρ（n）j]- ρ（n）j[ρ（n）j]+O（1/√n） ，npn（tj+1-tj）=ρ（n）j- [ρ（n）j]1+[ρ（n）j]+O（1/√n） ，并且[ρ（n）j]步骤中所涵盖的每IOD的分数分别为所需的λ（n）j=n[ρ（n）j]pn（tj+1- tj）+O（1/√n） =1+[ρ（n）j]- ρ（n）j+O（1/√n） imsart aap版本。