具有固定交易成本的超级复制

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英文标题：
《Super-Replication with Fixed Transaction Costs》
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作者：
Peter Bank and Yan Dolinsky
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study super--replication of contingent claims in markets with fixed transaction costs. This can be viewed as a stochastic impulse control problem with a terminal state constraint. The first result in this paper reveals that in reasonable continuous time financial market models the super--replication price is prohibitively costly and leads to trivial buy--and--hold strategies. Our second result derives nontrivial scaling limits of super--replication prices for binomial models with small fixed costs.
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中文摘要：
我们研究了具有固定交易成本的市场中未定权益的超复制问题。这可以看作是一个具有终端状态约束的随机脉冲控制问题。本文的第一个结果表明，在合理的连续时间金融市场模型中，超级复制价格的成本高得令人望而却步，导致了微不足道的买入持有策略。我们的第二个结果导出了具有较小固定成本的二项模型的超级复制价格的非平凡标度极限。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：交易成本 Mathematical Quantitative Replication Transaction

提交给Peter Bank的《应用概率超级复制与固定交易成本年鉴》*和Yan Dolinsky+希伯来大学+和莫纳什大学+，以及TU Berlin*我们研究了交易成本固定的市场中未定权益的超级复制。这可以看作是一个具有终端状态约束的随机imp-ulsecontrol问题。本文的第一个结果表明，在合理的连续时间金融市场模型中，超级复制价格昂贵得令人望而却步，并导致了普通的购买和持有策略。我们的第二个结果得出了固定成本很小的二项模型的超级复制价格的非平凡标度限制。1、简介。本文讨论了在交易产生固定交易成本的市场中，欧式期权的超级复制。大多数涉及固定交易成本的论文都探讨了最佳投资组合选择的问题（例如，参见[1]、[10]、[18]、[20]、[25]和[26]）。很少有论文（见[15]和[24]）讨论固定交易成本的无套利标准，并且据我们所知，在以前的文献中没有考虑过的以固定成本h超级复制意外目标的问题。相比之下，对于成比例的交易成本，超级复制的主题得到了广泛的研究。在[9]中，有人推测，在具有比例交易成本的Black Scholes模型中，超级复制看涨期权最便宜的方法是在开始时购买一个单位的股权，并将其持有至到期。许多作者都证明了这一猜想（例如，参见[5]、[14]、[16]、[23]、[29]以及[7]中的博弈选项）。Kusu oka在【17】中提出了克服这一负面结果的自然方法。

他考虑了经典的考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（Cox-Ross-Ru-binstein）模型对完全b二项市场的标度限制，并表明，当交易成本也被适当地标度时，超级复制价格会收敛到彭（Peng）意义上现在所知的G-期望值（[28]）。*两位作者都感谢爱因斯坦基金会通过“博弈期权和有摩擦的市场”研究项目提供的财政支持。作者YD还获得了玛丽·居里（Marie-Curie）职业整合基金（编号618235）和ISF基金（编号160/17MSC 2010）的部分资助。主题分类：主要91G10、91G20关键词和短语：二项模型、有条件的完全支持、固定交易成本、超级复制MSART aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。德克萨斯州日期：2018年10月16日P.BANK和Y.Dolinsky本文件是为固定交易成本案例开发上述理论的第一步。固定交易成本的设置对应于任何（非零）交易产生的固定成本κ>0的情况，无论交易量如何。显然，这导致了不连续的、非凸的财富动态，从而导致了一个具有新的终端状态约束的随机脉冲控制问题。特别是，在比例转移成本理论（或其凸推广）中起关键作用的凸对偶方法在这里不可用。作为第一个结果，我们在理论3.1中表明，在风险资产表现出有条件完全支持的连续时间金融市场中（见[14]），超级复制凸期权最便宜的方法是再次应用简单的买入并持有策略。因此，理论3.1可被视为【14】中结果的固定成本分析，该结果是在比例交易成本的情况下获得的。

与文献[14]中使用的经典du性相反，我们的证明直接使用了脉冲控制结构。本文的第二个结果讨论了[6]的Cox-Ross-Rubinstein二项模型中超级复制价格的极限行为。具体而言，我们考虑了一系列具有恒常性的二项模型，并研究了当时间步长变为零时，固定交易成本作为时间步长的函数线性缩放时，凸支付的超复制价格的渐近行为。在定理4.1中，我们将标度极限描述为维纳空间上定义的随机波动率控制问题。我们的证明在很大程度上依赖于这样一个事实，即欧式期权的收益是风险资产的凸函数。在此假设下，我们导出了二项模型中超复制价格的非标准对偶表示。此表示允许我们通过修改[17]中的id eas来获得超级复制价格的极限行为。我们强调，如果没有报酬的凸性条件，分析将更加复杂，仍然是一个悬而未决的问题。与此密切相关的是近似套期保值的主题，该主题涉及构建最终财富接近衍生证券收益的投资组合策略。市场摩擦背景下的近似套期保值可以追溯到Leland[21]的开创性工作，他认为Black-Scholes模型的交易成本比例为零。该方法在[4、11、12、19、22、27]中得到了严格研究和推广（超越了Black-Scholes和消失比例交易成本）。在我们的理论3.1中建立的超级复制价格的琐碎性也被视为研究固定交易成本设置中近似套期保值的动机。imsart aap版本。

2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：2018年10月16日Super-REPLICATION WITH FIXED TRANSACTION COSTS 3本文组织如下。在第2节中，我们用固定成本形式化了超级复制问题。第3节表明，在具有条件完全支持的模型中，平凡的购买和持有策略是凸支付的最优超复制。在第4节中，我们给出了具有小固定成本的超复制价格的缩放极限。这一结果的证明是通过第4.1节中讨论的超级复制价格的对偶表示来准备的，并在第4.2节和第4.3节中通过使用随机过程的weakconvergence工具来分析对偶项的渐近行为来完成。2、具有固定交易成本的超级复制。让(Ohm, F，（Ft），P）是一个过滤概率空间，具有一个可测量的过程S>0，我们用它来描述初始价格S=S>0的一些金融资产的价格演变。该资产按每笔交易的绝对正固定成本κ>0进行交易，因此拥有银行账户的投资者（无利息）只能经常改变头寸。Wetake T=1是投资者的时间范围，因此干预时间由一系列停止时间T=（τi）i=1,2，。。。使得0=τ≤ τ≤ τ≤ ··· ≤ T=1，τi<τi+1在{τi<1}上。让我们用T来表示所有此类族T的类，对于这些族T，时间T=1时的干涉数几乎肯定是有限的：N（T）：=sup{i=0，1，…：τi<1}<∞ P-a.s。。注意，为简单起见，我们不计算可能的初始干预时间τ=0。假设我们的投资者试图用F-可测量的回报对冲期权≥ 根据投资策略（T，H），到期时为0 T=1，其中H=（hi）i=0,1，。。。描述了Fτi——每个iod（τi，τi+1），i=0，1，…，分别持有的可测量资产数量。

考虑到固定交易成本κ>0和时间0的自由贸易，投资者的交易收益将在时间t≤ 1已累计toGκ（T，H）T：=Xi=0,1，。。。hi（Sτi+1∧t型- Sτi∧t）- κsup{i=0，1，…：τi<t}。为了排除加倍策略的可能性，投资者只能使用setA中的可接受策略：={（T，H）：Gκ（T，H），由一个常数P-a.s.从下方界定。imsart aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：20184年10月16日P.BANK和Y.Dolinsky期权的超级复制价格由vκ（F）：=inf{x给出∈ R:x+Gκ（T，H）≥ F P-a.s.部分（T，H）∈ A}。确定这种超级复制价格相当于解决具有终端状态约束的im脉冲控制问题，如果没有进一步的假设，这项任务就无法显式执行。然而，我们将证明，对于凸支付，它可以在具有条件完全支持的模型中计算（第3节）。在建模谱的另一端，我们考虑收敛到Black-Scholes动态的二项式模型，为此，我们计算适当缩放固定成本的缩放限制（第4节）。备注2.1。在无摩擦的情况下，κ=0，股票价格连续，上述超级复制价格是经典价格，甚至几乎可以肯定的是，限制了有限的交易数量。这很容易从以下事实得出：任何连续时间交易策略的财富过程都可以通过分段常数（容许）交易策略（引理A.3 in[23]）统一近似（在时间上和几乎所有的sce narios）。3、在有条件的完全支持下买入并持有。在本节中，我们考虑一个连续的模型s=（St）t∈[0,1]显示条件完全支持，如[14]：（1）支持P[S |[t，1]∈ ·|Ft]=C+St[t，1]P-a.s。

对于任何t∈ [0，1]，其中，对于y≥ 0，C+y[t，1]表示所有连续路径的空间[t，1]→R+从时间t的y开始。定理3.1。对于在（1）意义上表现出有条件完全支持的任何金融模型，任何凸支付F=F（S），F：[0，∞) → R连续凸为（2）Vκ（f（S））=f（0）+sf′(∞) 式中f′(∞) := sups>0f′。在f′情况下(∞) < ∞, 初始资本Vκ（f（S））的超级对冲是买入：=f′(∞) 时间τ=0时的资产单位，并将其保持到T=1。证据如果f′，则（2）的右侧足以进行超级复制这一点很简单(∞) = ∞. 如果f′(∞) < ∞, 我们可以考虑所描述的买入并持有策略，其中yieldsGκ（T，H）=f′(∞)（S）-S）≥ f′-（S） S-f′(∞)S≥ f（S）-f（0）-f′(∞)Simsart aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：2018年10月16日具有固定交易成本的超级复制5，其中两个估计都是由于f的凸性。这表明x：=f（0）+f′(∞)Sis足以超级复制F=F（S）。现在考虑x<x并采取策略（T，H），增益过程G：=Gκ（T，H），这样x+G≥ F=F（S）。我们将表明，这种战略是不可接受的。具体而言，β<f′时(∞) 因此x=f（0）+βS，我们将论证an：={τn<1，Sτn<2/δ，x+Gτn<f（0）+βSτn- nκ/2}对所有n=1，2，…，都有正概率，式中，δ∈ （0，1/s）的选择是否足够小，以确保REF（0）+βs- κ<f（s）表示所有s<δ和所有s>1/δ。δ的这种选择是可能的，因为f在0和converxon[0，∞) 带f′(∞) > β。由于κ>0，因此x+Gτn<f（0）+2β/δ- nκ/2在正概率的集合An上，n=1，2，因此G=Gκ（T，H）从下面看不受常数的限制，并且（T，H）不可容许。我们将证明P[An]>0，n=0，1，通过归纳法。通过选择δ<1/和β，我们甚至可以得到P[A]=1。

现在，通过对比，假设P[An]>0，但对于某些n，P[An+1]=0∩ {τn+1<1}我们可以估计x+Gτn+1=x+Gτn+β（Sτn+1- Sτn）+（hn- β） （Sτn+1- Sτn）- κ<f（0）+βSτn+1- （n+1）κ/2+（hn- β） （Sτn+1- Sτn）- κ/2。（3） 因此，An+1包含集合An∩ {τn+1<1}∩ BN其中BN：=supτn≤t型≤1St<2/δ，supτn≤t型≤1{（hn- β） （St- Sτn）}≤ κ/2.注意，τn+1=1几乎肯定在∩ 因为，当P[An+1]=0时，我们也有0=P[An∩ {τn+1<1}∩ Bn]=P[An∩ Bn]- P[安∩ {τn+1=1}∩ Bn）。现在∩ BN包含∩ {hn≥ β}∩ CnwhereCn：=Bn∩ {S≥ Sτn∨ 1/δ}。在上∩{hn≥ β}∩然而，由于在这个集合上，我们几乎肯定了τn+1=1，并且估计（3）给出了x+G=x+Gτn+1<f（0）+βS，因此违反了超复制性质-（n+1）κ/2<f（S）imsart aap ver。2014年7月30日文件：固定成本。德克萨斯州日期：2018年10月16日P.BANK和Y.DOLINSKYby选择δ并定义Cn。因此，我们推导出0=P[An∩ {hn≥ β}∩ Cn]=E一∩{hn≥β} P【Cn | Fτn】.由于条件完全支持性质（1）在停止时间也成立，当它在确定时间成立时（见[14]中的引理2.9），我们几乎可以肯定在∩ {hn≥ β} 。因此，上述识别域实际上是∩ {hn≥ β} ]=0。类似地，我们将在下一步论证∩{hn<β}]=0，因此与P[An]结合∩ {hn≥ β} 我们得到了矛盾P[An]=0，完成了我们的P屋顶。因此，让我们首先观察到∩ BncontainsAn公司∩ {hn<β}∩Cn其中▄Cn：=Bn∩ {S≤ Sτn∧ δ} 。但是，对于P-null集，我们仍然有∩{hn<β}∩中国 {τn+1=1}再次违反了超复制属性，因为在这个集合上，估计（3）给出了x+G=x+Gτn+1<f（0）+βS-（n+1）κ/2<f（S），通过δ的选择和▄Cn的定义。观察到，在∩ {hn<β}∈ Fτ允许u s通过与C n相同的原因进行推断，P n∩ {hn<β}]=0。备注3.1。

如果我们将自己限制在可接受的策略上，则条件完全支持属性（1）保证不存在套利（因为它也涉及比例交易成本；参见[13，14]）。事实上，假设交易策略（T，H）中有Gκ（T，H）≥ 0 P-a.s.和P（Gκ（T，H）>0）>0。然后，与上述证明类似，我们可以通过归纳法证明，对于任何n=1，2，P（τn<1，Gκ（T，H）τn<-nκ/2）>0，因此，增益过程Gκ（T，H）T，T≥ 0不是从下面统一有界的。所以（T，H）是不允许的。有关更明确的无套利标准，请参考【15、24】。4、二项式超级复制价格的缩放限制。在本节中，我们考虑具有固定交易成本的二项Cox-Ross-Rubinstein模型，并描述convexclaims的超级复制价格的缩放限制。也就是说，我们让Ohm = {-1，+1}N，putζi（ω）=ωiforω=（ω，ω，…）∈Ohm 设P为测量值，在该测量值下，ζi等于i.i.d.，P[ζi=1]=1/2。n期二项式价格过程现在可以定义为（4）s（n）t=sexpσ√n【nt】Xi=1ζi, t型∈ [0，T]，imsart aap版本。2014年7月30日文件：固定成本。tex日期：2018年10月16日具有固定交易成本的超级复制7，基础过滤（F（n）t）是由S（n）生成的过滤。显然，when在其各自的等价鞅测度P（n）下考虑≈ P、 这些Cox-Ross-Rubinstein模型S（n），n=1，2，收敛到具有常数波动率σ>0的Black-Scholes模型。根据理论3.1，很明显，为了获得相应的超级复制价格与固定交易成本的微不足道的限制，必须适当地重新调整固定成本。我们的下一个结果表明，校正标度为1/n阶，它将产生的标度极限确定为aG预期，并包含随机波动率模型的惩罚。

这些被定义为鞅指数（5）S（ν）t=sexpZtνudWu-Ztνudu, t型∈ [0，1]，其中W是某个完全概率空间上的标准布朗运动(OhmW、 FW，PW），其中ν取自所有有界重值过程ν的集合aw≥ σ在该空间上，可相对于增强过滤（FWt）t进行测量∈[0,1]由W生成。定理4.1。对于连续的凸payoff F=F（S），凸F：[0，∞) → R对于多项式增长，双项模型（4）中的超级复制价格的标度极限，固定成本κ/n，n=1，2，is（6）limn→∞Vκ/n（f（S（n）））=infσ≤ν∈AWEW公司f（S（ν））+κZg（νt/σ）dt其中g:[1，∞) → （0，1）是由g（n）=1/n，n=1，2。以及在所有概率空间和波动过程中采用最小值ν≥ σ如上所述。理论4.1的p屋顶由第4.1节所述的具有固定成本的超级复制的对偶结果编制。第4.2节则规定“≥” 第4.3节证明”≤” 在（6）中，完成证明。让我们解释一下上述结果背后的直觉。正如我们下面的证明所揭示的，局部波动模式ν可以被视为交易活动的连续时间度量。为了使该模式达到（6）中的最大值，它必须权衡期权价格EWhf（S（ν）和预期成本EWhRg（νt/σ）dti。事实上，由于f是凸的，期权价格随着波动模式ν的变化而增加≥ σ和thuswould通过ν最小化≡ σ。然而，随着g的减小，这种选择会产生最大的能量。这种增加的参考波动率让人联想到了ART aap版本。