随机波动和随机波动的方差掉期定价

因此，变换后的PDE系统of Eu（ω，ν，r，τ）=F[U（x，ν，r，τ）]为欧盟τ=σν欧盟ν+ηr欧盟r+κ*θ*+ （ρσωi- κ*)ν-ρσB（T- τ、 T）ηpν（T- τ） pr（T- τ）欧盟ν+α*β*- （α*+ B（T- τ、 T）η）r+ρηpν（T- τ）pr（T- τ） ωi欧盟r+ρσηpν（T- τ）pr（T- τ）欧盟νr+-（ωi+ω）ν+rωi- ρB（T-τ、 T）ηpν（T- τ）pr（T- τ） ωieU，eU（ω，ν，r，0）=F[H（ex）]，（13），其中i=√-1和ω是傅里叶变换变量。为了求解上述偏微分方程系统，我们采用了Heston在[16]中的假设，即偏微分方程解具有如下形式EU（ω，ν，r，τ）=eC（ω，τ）+D（ω，τ）ν+E（ω，τ）reU（ω，ν，r，0）。（14） 通过将上述函数形式（14）代入PDE系统（13），我们可以得到三个普通微分方程，如下所示dDdτ=σD+（ρωσi- κ*)D-ω+ωi,dEdτ=ηE- （α*+ B（T-τ、 T）η）E+ωi，dCdτ=κ*θ*D+α*β*E- ρηpν（T- τ）pr（T- τ）ωiB（T- τ、 T）+ρηpν（T- τ） pr（T- τ）ωiE-ρσηpν（T- τ）pr（T- τ） DB（T- τ、 T）+ρησpν（T- τ）pr（T- τ） DE，（15），初始条件sc（ω，0）=0，D（ω，0）=0，E（ω，0）=0。注意，只有函数D具有分析形式asD（τ）=a+bσ1- ebτ1- gebτ，a=κ*- ρσωi，b=pa+σ（ω+ωi），g=a+ba- b、 函数E和C的近似解可以通过使用标准数学软件包的数值网格来找到，例如。，Matlab。

附录B中给出了计算函数E和C的算法。由于傅里叶变换变量ω作为函数D、C和E中的参数出现，因此进行傅里叶逆变换，以在初始设置U（x，ν，r，τ）=F中重新计算公式-1heU（ω，ν，r，τ）i=F-1.eC（ω，τ）+D（ω，τ）ν+E（ω，τ）rF【H（ex）】.在[2]中，函数f的广义傅里叶变换^f定义为^f（ω）=f[f（x）]=Z∞-∞f（x）e-iωxdx。函数f可以通过广义逆傅里叶变换f（x）=f从^f导出-1[^f（ω）]=2πZ∞-∞^f（ω）eiωxdω。注意，函数eiξxisF[eiξx]=2πΔξ（ω）的傅立叶变换，其中ξ是一个ny复数，Δξ（ω）是满足z的广义delta函数∞-∞Δξ（x）Φ（x）dx=Φ（ξ）。为了便于记法，设I=S（tj-1） 。对payoffh（ex）=（exI）进行广义fourier变换- 1） 关于x givesF“进出口银行- 1.#= 2πδ-2i（ω）I- 2δ-i（ω）i+δ（ω）. （16） 因此，PDE（11）的解导出如下uj（S，ν，r，τ）=F-1.eC（ω，τ）+D（ω，τ）ν+E（ω，τ）r2πδ-2i（ω）I- 2δ-i（ω）i+δ（ω）=e2xIeeC（τ）+eD（τ）ν+eE（τ）r-2exIebC（τ）+bE（τ）r+1=SIeeC（τ）+eD（τ）ν+eE（τ）r-2SIebC（τ）+bE（τ）r+1，（17），其中tj-1.≤ t型≤ tjandτ=tj- t、 我们表示EC（τ）、eD（τ）和EE（τ）asC(-2i，τ），D(-2i，τ）和E(-2i，τ）。此外，bC（τ）和Be（τ）是C的符号(-i、 τ）和E(-i、 τ）分别。请注意，D(-i、 τ）=0.3.2第二阶段的解决方案在本小节中，我们继续进行第二阶段，以确定预期ET[Gj（ν（tj-1） ，r（tj-1） ）]。

遵循（17）并让τ=t inUj（S，ν，r，τ），我们得到了内部期望Gj（ν（tj-1） ，r（tj-1） ）asGj（ν（tj-1） ，r（tj-1） ）=Uj（S，ν，r，t） （18）=eeC(t） +教育部(t） ν（tj-1） +eE(t） r（tj-（1）- 2ebC(t） +bE(t） r（tj-1） +1。外部预期，ET[Gj（ν（tj-1） ，r（tj-1） ）]，由Gj（ν（0），r（0））=ET[Gj（ν（tj）表示-1） ，r（tj-1） ）]=以太网(t） +教育部(t） ν（tj-1） +eE(t） r（tj-（1）- 2ebC(t） +bE(t） r（tj-1） +1i（19）=以太网(t） +教育部(t） ν（tj-1） +eE(t） r（tj-1） 我- 2EThebC公司(t） +bE(t） r（tj-1） i+1=eeC(t） ·以太网(t） ν（tj-1） +eE(t） r（tj-1） 我- 2ebC(t） ·乙醚(t） r（tj-1） i+1。在附录C中，我们更详细地展示了如何推导出近似解(t） ν（tj-1） +eE(t） r（tj-1） 伊兰和埃塞贝(t） r（tj-1） iby使用正态分布随机变量及其特征函数的近似。3.3差额掉期的交货价格在前两小节中，我们通过将差额掉期分为几个阶段来演示我们的定价差额掉期的解决方案技术。然而，如第2.3节所述，我们必须分别考虑两种情况j=1和j>1。案例j>1直接遵循（19）中的表达式。对于j=1的cas e，我们使用第3.1节中描述的方法获得（ν（0），r（0））=ET“S（t）S（0）- 1.#= 欧共体(t） +教育部(t） ν（0）+eE(t） r（0）- 2ebC(t） +bE(t） r（0）+1。从j=1到j=N的整个期间的总和给出了方差掉期的公平交货价格asK=ET[RV]=TG（ν（0），r（0））+NXj=2Gj（ν（0），r（0））. （20） 4数值结果为了分析我们的近似公式（20）的性能，如前一节所述，我们进行了一些数值模拟。将其与蒙特卡罗（MC）模拟进行了比较，该模拟类似于真实市场。

此外，我们还研究了模型中状态变量之间全相关设置的影响。表1显示了我们用于所有数值实验的参数集，除非另有说明。表1：赫斯顿CIR混合模型的模型参数。SρρρVθ*κ*σrα*β*ηT1-0.4 0.5 0.5 0.05 0.05 2 0.1 0.05 1.2 0.05 0.01 14.1与MC模拟的比较MC模拟是一种广泛使用的数值工具，用于进行涉及随机变量的传导计算。在本文中，我们使用Euler-Maruyama格式对20万条样本路径进行MC模拟。我们给出了公式（20）的数值实现与图1和表2中MC模拟之间的比较结果。公平交货价格的所有价值均以可变点计量。从图1可以看出，我们的近似公式与MC模拟非常吻合。为了了解我们的公式和MC模拟之间的相对差异，我们比较了它们的相对误差百分比。通过取n=52，即每周采样频率和200000条路径，我们发现误差为0.07%，随着路径数增加到500000，误差进一步减小。此外，即使对于较小的采样频率，如N=4时的季度采样频率，我们的公式也可以在0.49秒内执行，而MC模拟需要27.7秒。这些发现验证了我们公式的准确性和有效性。4.2资产类别间相关性的影响接下来，我们分别研究利率与基础ρ之间的相关性系数以及利率与波动率ρ之间的相关性系数的影响。图2显示了利率和基础利率之间的相关性的影响。

在图中，我们可以看到，随着ρ相关值的增加，var iance掉期的值也在增加。对于ρ的相关系数值差异很大的情况，风险互换利率的差异将达到5个方差点。这一点至关重要，因为2%的相对差异可能会产生相当大的误差。然而，还观察到相关系数的影响5 10 15 20 25 30 35 40 45 50采样频率（次/年）我们的定价公式蒙特卡罗模拟（200000个样本路径）蒙特卡罗模拟（100000个样本路径）图1：公式（2 0）和MC模拟之间方差掉期交付价格的比较。随着采样次数的增加，ρ变得不那么明显。图3显示了利率和波动率之间的相关系数的影响。与图2中ρ的显著相关效应相比，ρ的影响较小。事实上，ρ的三个不同值的风险互换率几乎相同。例如，对于N=12，即每月抽样频率，ρ=0时的交货价格为529.834，ρ=0.5时仅略微增加至52 9.836，ρ=-0.5。

图3还显示了随着采样周期数量的增加，相关性影响减小的相同趋势。表2：比较公式（20）和MC模拟结果之间的差异掉期价格。频率公式结果MC模拟（100000条采样路径）pricingformula和MC模拟之间的相对误差（100000条路径）MC模拟（200000条采样路径）pr公式和MC模拟之间的相对误差（200000条路径）N=4 542.06 541.38 0.125%541.73 0.061%N=12 529.84 529.03 0.153%530。27 0.081%N=26 526.47 527.05 0.110%526.30 0.032%N=52 525.03 525.88 0.162%525.43 0.076%N=252 523。89 524.42 0.101%524.10 0.040%5结论本文研究了随机波动率和随机利率的Heston-CIR混合模型中离散抽样方差掉期利率的估值问题。这项工作通过在状态变量之间施加全相关结构，扩展了[4]中考虑的模型框架。提出的混合模型不是一个函数，我们推导了方差掉期公平交货价格的半封闭近似公式。我们考虑了定价公式的数值实现，通过与蒙特卡罗模拟的比较，验证了该公式的快速性和准确性。该定价公式可作为市场报价模型校准的有用工具。我们的定价模型能够灵活地将基础与波动性和利率相关联，是一个更现实的模型，对定价和对冲具有实际重要性。事实上，我们的数值实验证实，基础利率和利率之间的相关系数的影响非常关键，因为相关值越大，影响越明显。

本文中的定价方法可以应用于其他随机利率和随机波动率模型，如赫斯顿-赫尔-怀特混合模型。6附录为了获得QT下（3）中SDE的动力学，我们需要分别找到两个数值的波动率（参考[3]）。表示Q下的数字为N1，t=eRtr（s）Ds，QTas5下的数字为10 15 20 25 30 35 40 45 505255305355405455505560方差掉期的采样频率（次/年）交付价格（方差点）ρ13=0.0ρ13=0.5ρ13=-0.5图2:Heston CIR混合模型中差异ρ值对差异掉期交货价格的影响。N2，t=A（t，t）e-B（t，t）r（t）。区分ln N1，tyieldsd ln N1，t=r（t）dt=Ztα*（β*- r（s））dt公司+Ztηpr（s）dfW（s）dt，而ln N2，Tg的差异导致ln N2，t=A′（t，t）A（t，t）- B′（t，t）r（t）- B（t，t）α*（β*- r（t））dt公司-B（t，t）ηpr（t）dfW（t）。现在我们得到了两个数字的波动率为∑Q=和∑T=-B（t，t）ηpr（t）. （21）接下来，通过利用uT=uQ以下的公式，找到QT下SDE的漂移项uT-∑L×LT×（∑Q- ∑T）,使用∑Qand∑Tin（21）和（3）中定义的术语uQ、∑和LLTA。

这导致Q下的（3）转换为0 10 20 30 40 50 60525530535540545550555560方差掉期（方差点）的采样频率（次/年）交付价格ρ23=0.0ρ23=0.5ρ23下的以下系统=-0.5图3:Heston CIR混合模型中差异ρ值对差异掉期交货价格的影响。正向测量QTdS（t）S（t）dν（t）dr（t）= ∑×L×数据仓库*（t） 数据仓库*（t） 数据仓库*（t）（22）+r（t）-ρB（t，t）ηpr（t）pν（t）κ*（θ*- ν（t））- ρσB（t，t）ηpr（t）pν（t）α*β*- （α*+ B（t，t）η）r（t）dt，其中b（t，t）=e（T-t）√（α*)+2η- 1.p（α*)+ 2η+α*+p（α*)+ 2ηe（T-t）√（α*)+2η- 1..b函数E和C的近似解可以从以下微分方程中找到，这些微分方程是使用【12】中讨论的确定性近似技术获得的dEdτ=ηE- （α*+ B（T-τ、 T）η）E+ωi，dCdτ=κ*θ*D+α*β*E- ρηEThpν（T- τ）pr（T- τ） iωiB（T- τ、 T）+ρηEThpν（T- τ）pr（T- τ） iωiEb-ρσηEThpν（T- τ） pr（T- τ）iDB（T- τ、 T）+ρησEThpν（T- τ） pr（T- τ）iDE，初始条件se（ω，0）=0，C（ω，0）=0。与C相关的微分方程包含pν（t）pr（t）项，而pν（t）项不是唯一的。请注意，在这种情况下，无法使用[9]中的标准技术来查找特征函数，因此我们需要查找这些非线性项的近似值。CIR类型进程的期望EThpν（t）i可以近似为，请参见【12】：EThpν（t）i≈sq（t）（Д（t）- 1） +q（t）l+q（t）l2（l+Д（t））=：λ（t），（23），其中q（t）=σ（1- e-κ*t） 4κ*, l=4κ*θ*σ、 ^1（t）=4κ*ν（0）e-κ*tσ（1- e-κ*t） 。（24）为了避免特征函数推导过程中的进一步复杂化，并提供更高效的计算，上述近似值进一步简化为THPν（t）i≈ m+pe-Qt=：f∧（t），（25），其中m=rθ*-σ8κ*, p=pν（0）-m、 Q=-ln（p-1（λ（1）-m） ）。

（26）同样的程序可用于确定EThpr（t）ias的预期如下：EThpr（t）i≈sq（t）（Д（t）- 1） +q（t）l+q（t）l2（l+Д（t））=：∧（t），（27），其中q（t）=η（1- e-α*t） 4α*, l=4α*β*η、 Д（t）=4α*r（0）e-α*tη（1- e-α*t） ，（28）和s进一步简化了asEThpr（t）i≈ m+pe-Qt=：f∧（t），（29），其中m=rβ*-η8α*, p=pr（0）-m、 Q=-ln（p-1（λ（1）-m） ）。（30）利用上述两种随机过程的预期，我们能够通过依赖变量和瞬时相关性的以下关系获得EThpν（t）pr（t）ib：EThpν（t）pr（t）i=CovThpν（t），pr（t）i+EThpν（t）iEThpr（t）i。为了确定CovThpν（t），pr（t）i，我们利用瞬时相关性的定义：ρ√ν（t）√r（t）=CovThpν（t），pr（t）irVarThpν（t）iVarThpr（t）i.（31）替换以下varthpν（t）i≈VarT[ν（t）]4ET[ν（t）]≈ q（t）-q（t）l2（l+Д（t））和varthpr（t）i≈VarT[r（t）]4ET[r（t）]≈ q（t）-q（t）l2（l+Д（t））转化为（31）g ives usCovThpν（t），pr（t）i≈ ρ√ν（t）√r（t）sq（t）-q（t）l2（l+Д（t））q（t）-q（t）l2（l+Д（t））!.在本附录中，我们导出了期望值ETheeD的近似表达式(t） ν（tj-1） +eE(t） r（tj-1） 伊兰和埃塞贝(t） r（tj-1） i。

然后，我们可以得到Gj（ν（0），r（0））的近似值。变量ν（tj-1） 和r（tj-1） 可以用正态分布的随机变量来近似，如下所示：ν（t）≈ Nq（t）（l+Д（t）），q（t）（2l+4Д（t））,andr（t）≈ Nq（t）（l+Д（t）），q（t）（2l+4Д（t））,其中，（24）中定义了q（t），l，Д（t）ar，以及（28）中定义了q（t），l，Д（t）ar。由于ν（t）和r（t）的近似值均为正态分布，因此我们可以找到其s um的特征函数，该函数也是正态分布的。设Y（0，tj-1） =eD(t） ν（tj-1） +eE(t） r（tj-1） ，然后是乙烯（0，tj-1） 我≈ ex p公司ET[Y（0，tj-1） ]+VarT[Y（0，tj-1） ],式中，[Y（0，tj-1） ]≈教育部(t） （q（tj-1） （l+Д（tj-1） ））+eE(t） （q（tj-1） （l+Д（tj-1） ）），andVarT[Y（0，tj-1） ]≈ 2eD(t） eE公司(t） ρqq（tj-1） （2l+4Д（tj-1） ）qq（tj-1） （2l+4Д（tj-1） ）+eD(t） （q（tj-1） （2l+4Д（tj-1） ））+eE(t） （q（tj-1） （2l+4Д（tj-1） ））。我们可以应用相同的程序来找到EThebE的表达(t） r（tj-1） i，给出如下：EThebE(t） r（tj-1） 我≈ ex p公司乙醚(t） r（tj-1） i+VarThbE(t） r（tj-1） 我≈ ex p公司bE公司(t） （q（tj-1） （l+Д（tj-1） ））+bE(t） （q（tj-1） （2l+4Д（tj-1） ））.因此，Gj（ν（0），r（0））的近似值如下Gj（ν（0），r（0））≈ 欧共体(t） ·经验值教育部(t） （q（tj-1） （l+Д（tj-1） ））+eE(t） （q（tj-1） （l+Д（tj-1） ））+eE(t） （q（tj-1） （2l+4Д（tj-1） ））+编辑(t） （q（tj-1） （2l+4Д（tj-1） ））+编辑(t） eE公司(t） ρqq（tj-1） （2l+4Д（tj-1） ）qq（tj-1） （2l+4Д（tj-1） （）-2ebC(t） ·经验值bE公司(t） （q（tj-1） （l+Д（tj-1） ）+bE(t） （q（tj-1） （2l+4Д（tj-1） ））！+参考文献[1]Bernard C，Cui Z.离散方差掉期的价格和渐近性。应用数学金融2014；21（2）：14 0-173。[2] Brac ewell RN公司。傅里叶变换及其应用。波士顿：麦格劳·希尔，200 0。[3] Brigo D，Mercurio F.《利率模型——理论与实践：利率、通货膨胀和信贷》。纽约：斯普林格出版社，2006年。[4] Cao J，Lian G，Roslan TRN。随机波动率和随机利率下的方差掉期定价。