战略自然资源的最佳开采和税收：A

（4.1）玩家1最佳策略智能开关单元*（x，i）=2a级-ρA（i）Aθ（1- u*（i） （）x、 （4.2）因此u*（x，i）可表示为u*（x，i）=K（i）x.Player 2最优策略智能开关单元*（一）=uif K（i）- aK（i）>0，uif K（i）- aK（i）<0。（4.3）此外，系数A（i），i=1，2。。。，m满足二次方程组a（i）ρaθ（1- u*（i） ）+A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρaZR2γ（i）z+γ（i）z- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）（4.4）+θ（1- u*（i） ）4a+Xj6=iqijA（j）=0，i=1，2。。。。，m、 系数A（i），i=1，2。。。，m满足以下线性系统0=A（i）σ（i）- r+2（u（i）- ρK（i））-Xj6=iqij+ZR2γ（i）z+γ（i）z- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）（4.5）+（K（i）- aK（i））（1- θ+θ′u{K（i）-aK（i）>0}+θu{K（i）-aK（i）<0}）+Xj6=iqijA（j），i=1，2。。。，m、 为了解决（3.3）的问题，我们将以V（x，i）=A（i）x，V=A（i）x.（4.6）的形式寻求解决方案，因此，我们应该有0=rA（i）x- supu公司∈Uxσ（i）A（i）+2（xu（i）- ρu）xA（i）+A（i）xZR（1+γ（i）z）- 1.- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）（4.7）+θ（xu- au）（1- u*) +Xj6=iqij[（A（j））- A（i））x],and0=rA（i）x- supu公司∈Uxσ（i）A（i）+2（xu（i）- ρu*)xA（i）+A（i）xZR（1+γ（i）z）- 1.- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）（4.8）+（1- θ+uθ）（xu*- a（u*)) +Xj6=iqij[（A（j））- A（i））x].为了达到最佳状态，有必要-2ρxA（i）+θ（x- 2au）（1- u*) = 因此，我们应该*（x，i）=2a级-ρA（i）Aθ（1- u*)x、 （4.10）此外，假设算子是一个线性函数u，因此控制u（·）必须是一个bang-bang控制，取决于量θ（x（u））的符号*) - a（u*)) = θ（K（i）- aK（i））x，（4.11），其中K是u*（x，i）=K（i）x。

很明显，当你*然后指定u*可通过以下方式获得*（x，i）=uif K（i）- aK（i）>0uif K（i）- aK（i）<0。（4.12）从（4.12）中可以看出*与x的变量无关，所以u*（x，i）≡ u*（i） 。堵塞u*在（4.7）中，我们得到0=-rA（i）x+xσ（i）A（i）+xXj6=iqij[（A（j）- A（i））]+2倍u（i）- ρ2a级-ρA（i）Aθ（1- u*)A（i）+A（i）xZR（1+γ（i）z）- 1.- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）（4.13）+xθ2a级-ρA（i）Aθ（1- u*)ig【1】- 一2a级-ρA（i）Aθ（1- u*)ig]（1）- u*).简化（4.13）后，我们得到0=-rA（i）+σ（i）A（i）+Xj6=iqij（A（j）- A（i））+2u（i）A（i）-ρA（i）A+2ρA（i）Aθ（1- u*)+A（i）ZR（1+γ（i）z）- 1.- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）+θ（1- u*)4a级-ρA（i）Aθ（1- u*),0=A（i）ρAθ（1- u*)+ A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρaZR2γ（i）z+γ（i）z- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）（4.14）+θ（1- u*)4a+Xj6=iqijA（j），i=1，2。。。，m、 同样，给定u*使用（4.10）中的事实，即*形式为u*（x，i）=K（i）x并插入u的相应表达式*（i） 从（4.8）中的（4.12）我们得到0=-rA（i）x+xσ（i）A（i）+2（u（i）- ρK（i））xA（i）+A（i）xZR（1+γ（i）z）- 1.- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）+x（K（i）- aK（i））（1- θ+θ′u{K（i）-aK（i）>0}（4.15）+θu{K（i）-aK（i）<0}）+xXj6=iqij（A（j）- A（i））。简化（4.15）后，我们得到0=A（i）σ（i）- r+2（u（i）- ρK（i））-Xj6=iqij+ZR2γ（i）z+γ（i）z- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz）（4.16）+（K（i）- aK（i））（1- θ+θ′u{K（i）-aK（i）>0}θu{K（i）-aK（i）<0}）+Xj6=iqijA（j），i=1，2。。。，m、 事实上，（4.16）是一个线性方程组。tuRemark 4.2。设p（i）=σ（i）- r+2（u（i）- ρK（i））-Xj6=iqij+ZR2γ（i）z+γ（i）z- 1{z{1}（z）2γ（i）zν（dz），i=1，2。。。，m、 （4.17）andR（i）=-（K（i）- aK（i））（1- θ+θ′u{K（i）-aK（i）>0}+θu{K（i）-aK（i）<0}），i=1，2。。。。，m、 （4.18）在两状态马尔可夫链的特殊情况下，系统（4.16）变为P（1）A（1）+qA（2）=R（1），qA（1）+P（2）A（2）=R（2），溶液面积（1）=R（1）P（2）- qR（2）P（1）P（2）- qq，（4.19）A（2）=P（1）R（2）- qR（1）P（1）P（2）- qq。

（4.20）现在，让我们在L’evy测度服从指数分布的特殊情况下研究手头的问题。我们假设L'evy测度的形式为ν（dz）=ηe-ηzdz如果z≥ 如果z<0，对于某些η>0，则为0,0。鉴于我们已经指定了L'evy度量的形式，我们现在可以简化（4.14）和（4.16）。因此，当L'evy测度为指数时，系数A（i）应满足平方方程0=A（i）ρAθ（1- u*)+ A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρaZ∞2γ（i）z+γ（i）z- 1{z{1}（z）2γ（i）zηe-ηzdz（4.21）+θ（1- u*)4a+Xj6=iqijA（j）0=A（i）ρAθ（1- u*)+ A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρa+2γ（i）γ（i）+（1+η）ηe-ηη+θ（1- u*)4a+Xj6=iqijA（j），i=1，2。（4.22）此外，（4.17）可以简化为以下p（i）=σ（i）- r+2（u（i）- ρK（i））-Xj6=iqij+2γ（i）γ（i）+（1+η）ηe-ηη，i=1，2，我们在以下推论中总结这些发现。推论4.3。如果L'evy过程具有有限的活性，且L'evy度量的形式为ν（dz）=ηe-ηzdz，z>0，对于某些η>0，在定理4.1中获得的值函数和最优策略是这样的：系数A（i）满足二次方程组A（i）ρAθ（1- u*)+ A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρa+2γ（i）γ（i）+（1+η）ηe-ηη+θ（1- u*)4a+Xj6=iqijA（j）=0，i=1，2。。。m、 （4.23）在两态马尔可夫链的特殊情况下，系数a（i）定义如下a（1）=R（1）P（2）- qR（2）P（1）P（2）- qq，A（2）=P（1）R（2）- qR（1）P（1）P（2）- qqwithP（i）=σ（i）- r+2（u（i）- ρK（i））-Xj6=iqij+2γ（i）γ（i）+（1+η）ηe-ηη，i=1，2，R（i）=-1.- θ+θ（\'u{K（i））-aK（i）>0}+u{K（i）-aK（i）<0}）（K（i）- aK（i）），i=1，2。经验证据表明，商品价格在有限跳跃活动中遵循L’evy过程。有关这一发现的更多信息，请参阅[1]及其参考文献。因此，有趣的是，我们讨论了这个问题的这一方面。

在本节中，当L'evy测度由ν（dz）给出时，我们推导出最优提取策略=e-|z | | z | dz如果z 6=0，如果z=0，则为0。（4.24）可以很容易地证明，（4.24）中定义的度量满足L’evy Khintchine公式（| z |，1）ν（dz）<∞ 和thatZRν（dz）=∞. 得出系数A（i），i=1，2满足二次方程0=A（i）ρAθ（1- u*)+ A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρaZR2γ（i）z+γ（i）z- 1{z{1}（z）2γ（i）ze-z | z | dz+θ（1- u*)4a+Xj6=iqijA（j）=A（i）ρAθ（1- u*)+ A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρaZR2γ（i）ze-|z | zdz+ZRγ（i）ze-|z | zdz-Z-12γ（i）ze-|z | zdz+θ（1- u*)4a+Xj6=iqijA（j）（4.25），因此我们得到A（i）ρAθ（1- u*)+ A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρaZ∞-∞2γ（i）e-|z | zdz+2Z∞γ（i）e-|z | dz-Z-12γ（i）e-|z | zdz+θ（1- u*)4a+Xj6=iqijA（j）=0。其中简化为a（i）ρaθ（1- u*)+ A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρa+2γ（i）+θ（1- u*)4a+Xj6=iqijA（j）=0，i=1，2。。。，m、 （4.26）此外，（4.17）becomesP（i）=σ（i）- r+2（u（i）- ρK（i））-Xj6=iqij+2γ（i），i=1，2。。。，m、 以下推论总结了这一结果。推论4.4。如果L'evy过程具有有限的活动，且L'evy度量的形式为ν（dz）=e-|z |/| z | dz，z 6=0，定理4.1中得到的值函数和最优策略是这样的：系数A（i）满足二次方程组A（i）ρAθ（1- u*)+ A（一）σ（i）- r+2u（i）-Xj6=iqij-ρa+2γ（i）+θ（1- u*)4a+Xj6=iqijA（j）=0，i=1，2。。。m。

（4.27）在两态马尔可夫链的特殊情况下，系数a（i）定义如下a（1）=R（1）P（2）- qR（2）P（1）P（2）- qq，（4.28）A（2）=P（1）R（2）- qR（1）P（1）P（2）- qq（4.29），其中p（i）=σ（i）- r+2（u（i）- ρK（i））-Xj6=iqij+2γ（i），i=1，2，R（i）=-1.- θ+θ（\'u{K（i））-aK（i）>0}+u{K（i）-aK（i）<0}）（K（i）- aK（i）），i=1，2.5应用在本节中，我们研究了两个采掘和税收问题案例，我们将首先分析该国是中等规模商品生产国的情况，然后分析该国是主要商品生产国的情况。在这两种情况下，我们假设“u=0.2”和“u=0.5.1”中等生产商考虑中等黄金生产商和跨国矿业公司之间的利润分享协议，其中公司占30%，国家占70%，因此θ=0.3。由于该国是中等生产国，该国的生产水平不会影响商品价格，因此ρ=0，商品价格遵循以下SDEdX（t）=X（t）u（α（t））dt+σ（α（t））dWt+RRλ（α（t））z？N（dt，dz）.我们假设黄金市场有两种趋势，M={1，2}，α（t）=1表示上升趋势，α（t）=2表示下降趋势。此外，我们假设，r=0.02，u=（0.08，-0.1），σ=（0.2，0.3），γ=（0.05，0.09），ν（dz）=5e-5zdz，z>0。马尔可夫链α（t）的生成元是Q=-0.4 0.40.1-0.1. 提取成本函数是C（u）=15u，因此a=15。请注意，u的单位是每年数百万盎司的黄金，而成本函数C（u）的单位是每年数百万美元。如果u*≡ \'u=0.2，然后V（x，i）=A（i）x，i=1，2，这样A（1）和A（2）求解系统-0.2190A（1）+0.4A（2）+0.004=00.1A（1）- 0.2279A（2）+0.004=0，解为A（1）=0.2535和A（2）=0.1288。最佳提取率为u*（x，1）=u*（x，2）=x。

如果u*≡ u=0，然后A（1）和A（2）求解稍微不同的系统-0.2190A（1）+0.4A（2）+0.0050=00.1A（1）- 0.2279A（2）+0.0050=0，A（1）=0.3169，A（2）=0.1610。考虑到u*（x，1）=u*（x，2）=2ax，因此K（i）=2a。很明显，K（i）- aK（i）=2a-4a>0，因此u（1）=u（2）=u=0.2。总之，纳什均衡isu*（x，i）=2ax和u*（x，i）=u=0.2.5.2主要生产商考虑一家石油公司，该公司拥有一个已知储量为100亿桶的油田的开采租约。我们假设石油公司和政府之间的利润分享协议是石油公司占利润的20%，政府占利润的80%，因此θ=0.2。年折现率r=0.02，年回报向量为u=（0.02，-0.1），年波动率向量为σ=（0.2，0.3），年强度向量为γ=（0.022，0.03），马尔可夫链的生成器为q=-0.3 0.30.5-0.5.参数ρ∈ [0，1）将捕获石油产量对油价的相对影响，在本例中ρ=0.001。提取成本函数为C（u）=2u，因此a=2。请注意，在成本函数C（u）中，参数u以每年数百万桶为单位，而成本函数C（u）的单位为每年数百万美元。我们假设L'evy度量具有单位强度ν（dz）=e-|z | | z |，z 6=0。如果u*≡ \'\'u=0.2，则v（x，i）=A（i）x，使得A（1）和A（2）求解系统3.125×10-6A（1）- 0.239532A（1）+0.3A（2）+0.02=03.125×10-6A（2）- 0.6287A（2）+0.5A（1）+0.02=0。可接受的溶液为A（1）=37.2674和A（2）=29.6747。事实上，这个系统有四个解对（37.2674，29.6747），（194.783155.06），（76534.2- 13891i，201092+110575i）和（76534.2+13891i，201092）- 110575i），但只有解决方案（37.267，29.674）是U*（x，i）≥ 所有x和i均为0。

因此我们有V（x，1）=37.2674x，V（x，2）=29.6747x，u*（x，1）=0.133539x，u*（x，2）=0.157267x。值得注意的是，值函数V（x，i）以百万美元为单位，提取率u*（x，i）以每年百万桶为单位。事实上，每日最佳提取率为*（x） ，i）=2a级-ρA（i）Aθ（1- u*（i） （）x、 u（x，1）=0.00036x百万桶/天，u（x，2）=0.00043x百万桶/天。如果u*≡ u=0，则系数A（1）和A（2）求解系统2.5×10-6A（1）- 0.239532A（1）+0.3A（2）+0.025=02.5×10-6A（2）- 0.6287A（2）+0.5A（1）+0.025=0。那么可接受的溶液为A（1）=46.5843和A（2）=37.0934。值函数和最佳提取率为v（x，1）=46.5843xV（x，2）=37.0934xu*（x，1）=0.133539x，u*（x，2）=0.157267x。每日最佳提取率为u（x，1）=0.00036x百万桶/天，u（x，2）=0.00043x百万桶/天。同样，如果u*（x，i）=K（i）x，K（1）=0.133539，K（2）=0.157267，然后从（4.28）和（4.29）面积（1）=195.654和A（1）=155.792获得系数（1）和A（2）。因此，值函数为V（x，1）=195.654x和V（x，2）=155.792x。最优税率为u*（x，1）=u*（x，2）=u=20%，因为K（1）-aK（1）=0.0978738>0和K（2）- aK（2）=0.107801>0。在图1中，我们表示了参与者1（矿业公司）在市场上涨和下跌时的价值函数。在图2中，我们表示了市场上涨和下跌时参与者2（政府）的价值函数。6结论在这项工作中，我们研究了战略性自然资源的最佳开采和税收。

假设自然资源的价格遵循制度转换的L'evy过程，我们将该开采和税收问题建模为跨国矿业公司与资源丰富国家政府之间的非合作随机微分博弈。我们推导了价值函数的闭式公式以及最优提取和税收政策。最后，我们展示了我们的结果如何可以轻松地应用于大型油田的优化管理和跨国石油公司的有效税收。参考文献【1】Y.Ait Sahalia和J.Jacod，《测试跳跃是否具有固定或固定活动》，《统计年鉴》，2011年3月39日，第1689-1719页。[2] N.Aleksandrov、R.Espinoza和L.Gyurko，《最佳石油产量和世界石油供应》，国际货币基金组织工作文件，WP/12/294，（2012）[3]G.Barles和C.Imbert，《二阶椭圆积分微分方程：粘度解理论重温》，Ann。Henri Poincar\'e Anal研究所。Non Lin\'eaire，25，3，（2008），第567-585页。[4] E.Bayraktar、T.Emmerling和J.L.Menaldi，《跳跃扩散的脉冲控制》，暹罗控制与优化杂志，51，3，（2013），第2612-2637页。[5] I.H.Biswas、E.R.Jakobsen和K.H.Karlsen，《积分系统的粘度解以及跳跃扩散过程的最优切换和控制连接》，应用数学与优化，62，（2010），第47-80页。[6] R.E.Beals、M.Gillis、G.Jenkins和U.Peterson，《投资政策：问题和分析》，载于：M.Gillis和R.E.Beals，编辑：《硬质矿物的税收和投资政策》（Ballinger，Cambridge，MA），（1980），pp。

261-276.40 45 50 55 60 65x0.60.811.21.41.6V1（x，i）#105Value Function V1（x，1）40 45 50 55 60 65x4681012V1（x，i）#104 value Function V1（x，2）图1：此图表示播放器1.40 45 50 55 60 65x345678V2（x，i）#105Value Function V2（x，1）40 45 50 55 60 65x3456V2（x，i）#105Value Function V2（x，2）图2此图表示播放器2的值函数。[7] S.Bhattacharyya，《能源税收和环境外部性：批判性分析》，《能源与发展杂志》，22，（1998），第199-220页。[8] J.Cherian、J.Patel和I.Khripko，《价格不确定且成本累积时不可再生资源的最佳开采》，国立大学商学院工作论文，（新加坡：国立大学），（1998年）。[9] C.W.Cobb和P.H.Douglas，《生产理论》，美国经济评论，18（补充），（1928），第139-165页。[10] Cortazar，G.、Kovacevic，I.和Schwartz，E.S.，《预期商品回报和定价模型》，能源经济学，49，（2015），第60-71页。[11] M.H.A.Davis，X.Guo和G.Wu，《多维跳跃扩散的脉冲控制》，暹罗控制与优化杂志，48，8，（2010），第5276-5293页。[12] J.Filipe和G.F.Adams，《科布-道格拉斯函数的估计：回顾》，东方经济杂志，31，3，（2005），第427-445页。[13] G.Gaudet，《霍特林规则下的自然资源经济学》，加拿大经济杂志，40，4，（2007），第1033-1059页。[14] Gibson，R和Schwartz，E.S.，《随机便利收益率和石油未定权益定价》，《金融杂志》，45，3，（1990），第959-976页。[15] J.D.Hamilton，《非平稳时间序列经济学分析的新方法》，《计量经济学》，57，（1989），第357-384页。[16] D.A.Hanson，《提高开采成本和资源价格：一些进一步的结果》。BellJournal of Economics，11，1，（1980），第335-342页。[17] T.Heaps和J.F。

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