可预测的远期绩效过程：二项式案例

实际上，（24）和（25）yieldI（y）=b1+bylogab∞Xm=0ψ（a2my）- ψ（a2m+1y）= -1+b∞Xm=0b-2mΦ（a2my）。因此，对于y<y′，I（y′）- I（y）=1+b∞Xm=0b-2米Φ（a2my）- Φ（a2my′）< 0，其中不等式成立，因为Φ严格递增。使用方程（9），a，b，c>0，limy→∞I（y）=0，并且I的单调性，我们推导出→∞I（y）=0，因此，对于y>0，I（y）>0。同样，Limy→0+I（y）=∞ 产生石灰→0+I（y）=∞. 因此，我们已经证明∈ 一、 最后，引理8中的条件遵循ψ（y）→ 0，作为y→ 0+或y→ ∞,从不等式0<ylogabI（y）=I（y）I（c y）ψ（y）<b+1bψ（y）；y>0，其中我们使用（9）和I（y）>0来获得I（y）I（c y）=（1+b）I（y）I（a y）+b I（y）<1+bb。（iv）对于满足（9）与I相同唯一性条件的任何解，重复第（iii）部分中的最后一部分参数，I>0 Yield。结果直接来自引理8。D推论10定理（ii）的证明来自（i）和定理5。此外，我们可以很容易地检查Igiven by（19）是否因此是满足方程（9）的逆边缘。现在只剩下证明逆边值解的唯一性。为此，必须检查定理9的条件是否适用于参数的所有可能值。设置G（y）=y-θ、 y>0，in（16）产生Φ（y）=（a-θ- b） c类-θy-θ和ψ（y）=y-（θ+logab）。自θ6=- logab和a 6=1，我们有以下二分法：a）θ<- logab和a<1或θ>- logab和a>1。然后，我们可以证明定理9的条件（i）成立。b） θ<- logab和a>1或θ>- logab和a<1。然后，我们可以证明定理9的条件（ii）成立。参考文献f。黑色不确定性下的个人投资和消费。D.L.Luskin，《投资组合保险：动态Hedgi ng指南》编辑，第207-225页。约翰·威利父子出版社，纽约，1988年。

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