可预测的远期绩效过程：二项式案例

此外，I′（y）=ylogab-1日志δ+Θ（ln y）+Θ′（ln y）logab≤ 伊洛加布-1日志δ-M logab- 姆洛加布< 0；y>0。因此，一般来说，即使在逆边际f函数中也不存在唯一性。上面的例子表明，我们需要额外的条件来确保唯一性。为了确定这些条件，我们首先注意到（9）是更一般的函数方程mf（f（y））=g（y）f（y）+h（y），（15）带有f、g和h给定的函数，y∈ Y 找到R和F。文献中已经研究了这种类型的方程；参见Kuczma et al.（1990）和其中的参考文献进行一般性阐述。一般来说，这类方程有许多解。一个简单的例子是F（y+1）=F（y），y∈ R、 其中任何周期为1的周期函数都是解。这种非唯一性往往使基本方程不适用于具体问题，通常需要单井定义的解决方案。对于一般方程（15），解的唯一性条件通常通过对F（y）施加附加假设来限制解集，其中y是F的固定点：F（y）=y。在方程F（y+1）=F（y）的示例中，y∈ R、 如果我们需要这样的解决方案→∞F（y）=a∈ R、 然后，F=a成为唯一可能的解决方案。此处注意∞ 实际上是函数f（y）=y+1的固定点。对于方程（9），我们得到f（y）=ay，g（y）=-b a和h（y）=（1+b）G（c y）。因此，唯一性条件应在y=0和y=∞,这是f（y）=ay的固定点。我们从以下辅助结果开始，其中我们为方程（9）提供了一般的唯一性条件。之后，我们将加强反向边缘人家庭的结果。引理8。让Ibe给出n。n，对于（9），s a y I，满足limy，至多存在一个解→0+y- logabI（y）=0。

类似地，最多存在一个解决方案→∞y- logabI（y）=0。证据参见附录B。我们注意到，示例7中的函数iii既不满足引理8中的条件，也不满足唯一性。接下来，我们陈述本节的ma in结果，该结果提供了（9）的逆边际函数解的存在性和唯一性的充分条件。定理9。Le t Iin（9）是一个逆边际，即∈ （8）中定义的I。函数sΦ（y）=I（a c y）- bI（c y）和ψ（y）=y- logabI（c y）；y>0。（16） 以下断言成立：（i）如果Φ严格递增，且a>1且limy→∞ψ（y）=0或a<1且线性→0+ψ（y）=0，那么（9）的解是g i v en byI（y）=1+bb∞Xm=0(-1） mb-mI（amc y）；y>0。（17） （ii）如果Φ严格减小，且a>1且limy→0+ψ（y）=0或a<1和limy→∞ψ（y）=0，则（9）的解由i（y）=（1+b）给出∞Xm=0(-1） mbmI（a-（m+1）c y）；y>0。（18） （iii）在第（i）部分和第（i）部分中，对应的数据说明了表8的唯一性条件，以及∈ 一、 即，Ipreserves the reverse marginal property（Ipreserves the反向边际属性）。（iv）第（i）和（ii）部分中的函数ii分别是（9）的唯一正解。它也是唯一求解（9）的逆边际函数。证据见附录C。现在，我们将上述结果应用于初始效用为幂函数的情况。以下示例提供了与示例7中的结果互补的结果，因为引理8的条件不满足，因此缺乏唯一性。推论10。让U（x）=1.-θ-1x1-θ、 x>0，并假设1 6=θ>0，θ6=- logab，a、b、c>0 giv e n by（10）。

然后，以下断言成立：（i）满足函数方程（9）的唯一逆边际函数，初始i（y）=y-θ由i（y）=δy给出-θ；y>0，（19），其中δ=1+bcθ（a-θ+b）。（ii）满足逆投资问题（7）的统一效用函数为giv enbyU（x）=Δθ1.-θ-1x1-θ=ΔθU（x）；x>0。（iii）相应的最优分配由π给出n*（x） =δ（p/q）θ- 1u- 1x；x>0。因此，如果我们从初始功率效用U开始，那么t=1时的正向效用是初始基准的倍数，常数由δθ给出。请注意，δ在交易期t=0开始时既包含偏好参数θ，也包含市场参数a、b和c。以迭代方式继续，所有未来时段的实用程序都将保留幂函数。换句话说，在二项式设置中，（可预测的）power utilitypreferences始终保持不变。本节总结了解决方案存在性和唯一性的发现。如果方程（9）不允许有解，那么从定理4可以看出，这里将没有用于方程（7）的效用函数。因此，从初始边际效用函数I开始，将不存在可预测的远期绩效过程。另一方面，（9）可能有多个解，尤其是多个逆边际函数解。在这种情况下，问题（7）也有多种解决方案。一个悬而未决的问题是，哪些解决方案可以被选择为“正确的”forwardutility。

引理8表明，唯一性来自于对大小财富施加一定的衰减条件；这与经典环境中众所周知的弹性条件一致。7可预测未来绩效流程的构建我们现在准备好介绍构建未来绩效流程的通用算法以及相关的最优投资策略及其财富流程。我们强调，我们的方法的一个主要优点是，对于每个给定的tr adingperiod，例如[tn，tn+1]，在tn到达之前，我们不必更新该期间的模型参数（un+1，dn+1，pn+1）。因此，我们充分利用传入的信息到时间tn。这与经典设置不同，正如我们前面提到的，这些参数必须在初始时间预先指定。该算法基于在新的“实时”信息的条件下，对单周期逆投资问题（7）重复应用以下结果。定理11。对于逆投资问题（7），假设初始逆边缘I=（U′）-定理8中的满足条件（i）（res p.条件（ii））和定义Iby（17）（分别为18））。（7）的唯一解由U（x）=U（1）+EP“ZxI（ρU′（1））I给出-1（ξ）dξ#；x>0，其中ρ如（6）所示。此外，最佳财富X*（x） 以及相关的最优投资配置π*（x） 分别由byX给出*（x） =I（ρU′（x））=x*,u（x）1{R=u}+x*,d（x）1{R=d}和π*（x） =x*,u（x）- 十、*,d（x）u- d、 其中X*,u（x）：=IqpU′（x）和X*,d（x）：=I1.- 第一季度- pU′（x）.证据

结果直接来自定理9和定理5。*, π*, · · · } 财富过程{X*, 十、*, · · · } 在binomialmarket模型中t=0时：评估第一个投资期的市场参数（u，d，p）[0，t]。计算q=1- 杜邦- d、 a=q（1- p） p（1- q） ，b=1- qq，c=1- p1级- q、 ρu=qp和ρd=1- 第一季度- p、 使用（a，b，c），检查定理8第（i）（resp.（ii））部分中的条件，并从（17）（resp.（18））中获得逆边缘函数Ifrom。然后，将定理11应用于计算U（x）=U（1）+pZxI（ρuU′（1））I-1（ξ）dξ+（1- p） ZxI（ρdU′（1））I-1（ξ）dξ；x>0，π*=十、*,u（X）- 十、*,d（X）u- d、 andX*= X+π*（R）- 1），其中x*,u（x）=IqpU′（x）和X*,d（x）=I1.- 第一季度- pU′（x）; x>0。o在t=tn（n=1，2，···）：我们已经得到{U，···，Un；I，···，In}，{π*, · · · , π*n} 和{X*, · · · , 十、*n} 。估计未来投资期的市场参数（un+1，dn+1，pn+1）[tn，tn+1]。Letqn+1=1- dn+1 N+1- dn+1，an+1=qn+1（1- pn+1）pn+1（1- qn+1），bn+1=1- qn+1qn+1，cn+1=1- pn+11- qn+1，ρun+1=qn+1pn+1，ρdn+1=1- qn+11- pn+1。用（an+1，bn+1，cn+1）（而不是（a，b，c））检查定理9中第（i）（resp.（ii））部分中的条件，并从（17）（resp。

（18） ）。计算机+1（x）=Un（1）+pn+1ZxIn+1（ρUn+1U′n（1））I-1n+1（ξ）dξ+（1- pn+1）ZxIn+1（ρdn+1U′n（1））I-1n+1（ξ）dξ；x>0，（20）π*n+1=X*,un+1（X*n）- 十、*,dn+1（X*n） 跑步+1- Rdn+1和X*n+1=X*n+π*n+1（Rn+1- 1）=X+n+1Xi=1π*i（Ri- 1），其中，X*,un+1（x）=In+1qn+1pn+1U′n（x）和X*,dn+1（x）=英寸+11.- qn+11- pn+1U′n（x）; x>0。总之，从n个初始数据U开始，我们为每个交易周期构建了一个性能标准，即（tn，tn+1），n=1，2，…，这实际上是Fn-可测量的这种可测量性是由进入（20）积分下半部分的反向边际In+1的相同可测量性继承的。此外，根据经验，最佳财富X*n+1为Fn+1-可测量，假设定价核ρn+1为Fn+1-可测量的最优投资组合π*n+1为Fn-可测量，在周期开始时选择[tn，tn+1]。如果第（i）部分和第（ii）部分中的两个条件都不成立，则函数方程（9）可能没有解，或者解可能不是唯一的。对于初始功率效用U（x）=x1的情况-1/θ1-1/θ，θ>0，示例7和推论10表明，两个条件均在tnif下失效，且仅当θ=- logab>0，在这种情况下，解决方案存在但不是唯一的。这个病例是病理性的，但解决它仍然是一个技术上有趣的问题。8结论我们引入了连续时间正向性能过程的离散时间模拟，重点关注此类标准的可预测性。具体而言，在每个估值期开始时，投资者仅评估该期的市场参数（在此期间，交易可能以离散或连续方式进行一次或多次）。然后，她求解了一个逆单期逆投资模型，该模型在给定期初效用的情况下，在期末产生效用。

远期履约过程的马丁利性和超级主动性要求确保这种结构“逐段及时远期”，并适应新的市场信息，产生时间一致的政策。我们在一个随机、动态更新参数的二项模型中实现了这种新方法，包括股票收益的概率和水平。然后，我们详细讨论了可预测的前向性能过程的构建如何从本质上简化为单周期逆投资问题。我们已经，inturn，证明了后者等价于在交易期的开始和结束时求解一个涉及反向边际函数的函数方程，并且建立了反向边际函数类中解的存在和唯一性的条件。我们最终提供了一个明确的算法，该算法可以产生远期绩效过程及其最优投资组合和相关的最优财富过程。有许多可能的未来研究方向。首先，人们可以脱离二项式模型来研究一般的离散时间模型，同时允许交易是离散的或连续的。此类模型本质上是不完整的，预计在推导逆矩阵的函数方程以及其解的存在性和唯一性以及适当的函数类方面会出现额外的困难。第二个方向是通过合并模型模糊性来丰富可预测框架。

这将允许所有可能的市场模型只在未来一个评估期内进行具体说明，从而在市场发展过程中，对最现实的模型进行逐期分析提供了很大的灵活性。从理论角度来看，一个有趣的问题是研究离散可预测的前向性能过程是否收敛到其连续时间对应过程。虽然这是自然和直观的预期，但需要建立适当的收敛标度条件，由于问题的不适性，这可能是相当具有挑战性的。这些结果还可能揭示与波动率、有限维近似、马尔可夫或路径依赖情况等适当选择相关的连续时间远期绩效标准构建的更深层次问题。定理5的证明我们从下面的辅助结果开始，表明期望效用问题（7）等价于toU（I（y））=EP（U（I（ρy））；y>0。（21）引理12。假设U，U∈ U和Iand Ibe分别是它们的逆边缘。那么，（7）成立当且仅当（2 1）成立。证据我们首先表明（7）意味着（2 1）。事实上，预期效用最大化的标准结果得出（7）意味着u（x）=EPhU我ρU′（x）i；x>0，然后通过变量y=U′（x）的变化得到（21）。接下来，我们展示（21）产生（7）。通过▄U（x）▄定义值函数▄U：=supA（x）EP【U（x）】；x>0。我们声称≡ U、 设▄I是▄U的倒数边缘。通过（I），必须有▄UI（y）= EPhU公司I（ρy）i；y>0，然后是▄UI（y）= UI（y）, 对于y>0。关于y产量的差异I′≡ I′。因此，对于某些常数C，I（y）=I（y）+C，y>0。取极限为y→ ∞ 使用Inada条件▄I(∞) = 我(∞) =0，我们推断C=0。因此，我们得到▄I≡ 一、 这意味着对于所有x>0，U′（x）=U′（x）。

最后，我们得到▄U（x）=EPhUI（ρИU′（x））i=EPhUI（ρU′（x））i=U（x）；x>0。定理5的证明。（i） ：从（1 4）得出，U（x）：=U（1）+pZxxu（1）i-1（ξ）dξ+（1- p） Zxxd（1）I-1（ξ）dξ；x>0，其中xu（·）和xd（·）由xi（c）=I给出ρiU′（c）; c>0，i=u，d.（22），因此，u′（x）=p i-1（x）+（1- p） 我-1（x）=I-1（x）；x>0。然后得出Iis是uan的逆边际，ui是一个效用函数。（ii）：定义函数F byF（x，c）：=U（c）+pZxxu（c）I-1（ξ）dξ+（1- p） Zxxd（c）I-1（ξ）dξ；（x，c）∈ R+×R+，（23），xu（c）和xd（c）如（22）所示。我们声称Fc（x，c）=0；x、 c>0。事实上，区分（23）c，然后使用-1.xi（c）= ρiU′（c），对于c>0，我们有Fc（x，c）=U′（c）- px′u（c）G徐（c）- （1）- p） x′d（c）Gxd（c）= U′（c）- px′u（c）ρuU′（c）- （1）- p） x′d（c）ρdU′（c）=U′（c）1.- pρux′u（c）- （1）- p） ρdx′d（c）= 要获得最后一个方程式，请注意方程式（9）等效于toI（y）=pρuI（yρu）+（1- p）ρdI（yρd）；y>0。因此，将y=U（c）替换为与c yield1=ddc相关的差异I′U′（c）=ddc公司pρuIρuU′（c）+ （1）- p） ρdIρdU′（c）= p（ρu）I′ρuU′（c）U′（c）+p（ρd）I′ρdU′（c）U′（c）=pρux′U（c）+（1- p） ρdx′d（c）。请注意，通过定义，U（x）=F（x，1）。既然我们已经证明了Fc≡ 对于所有x>0和c>0，我们必须有U（x）=F（x，c）。换句话说，对于所有x，c∈ R+，Usatis fiesu（x）=U（c）+pZxxu（c）I-1（ξ）dξ+（1- p） Zxxd（c）I-1（ξ）dξ。另一方面，如（i）所示，U′≡ 我-因此，对于所有x>0和c>0，U（x）=U（c）+pU（x）- U徐（c）+ （1）- p）U（x）- Uxd（c）,反过来，得到u（c）=pU徐（c）+ （1）- p） U型xd（c）= EPhU公司I（ρU′（c））i；c>0。这相当于（21）。

因此，（ii）遵循引理12。（iii）：如果我们将（7）视为一个给定Unow且Ubeing其值函数的终端期望效用问题，那么这一部分很容易遵循经典期望效用问题中已有的结果。B引理8Let Fand Fbe的证明（9）的两个解都满足引理中给出的任一条件。我们证明了它们的差异w：=F- F≡ 函数w满足齐次方程w（ay）=-bw（y），y>0。因此，对于k=1，2，w（y）=w（ay）-b=w（ay）(-b） =···=w（aky）(-b） k和W（y）=-体重是的= (-b） w是的= · · · = (-b） 千瓦牦牛.然后得出，对于k=±1，±2。y>0，| w（y）|=bkw牦牛= 伊洛加布牦牛- logab公司w牦牛≤ 伊洛加布牦牛- logab公司F牦牛+F牦牛.右侧消失为k→ ∞ 或k→ -∞, 我们得出结论。我们只展示了第（i）部分以及第（iii）和（iv）部分中的相应陈述，因为第（ii）部分来自类似的论点。（i） 直接替换表明，如果（17）中的有限级数收敛，则Isatis方程（9）。因此，为了说明（i），只需确定级数收敛。注意，（17）可以写入，当y>0时，asI（y）=b1+bylogab∞Xm=0(-1） mψ（amy），（24），通过交替级数的莱布尼兹检验，如果limm→∞ψ（amy）=0单调。事实是limm→∞ψ（amy）=0直接来自a和ψ上的条件sin（i）。为了证明收敛是单调的，请注意（16）产生ψ（am+1y）- ψ（amy）=b-m级-1年- logabΦ（amy）；y>0，m=0，1。（25）另一方面，由于Φ在增加，石灰→∞Φ（y）=石灰→∞I（a c y）-b I（c y）=0，根据Inada的条件，对于y>0，我们必须使Φ（y）<0。因此，通过（25），我们推断ψ（amy）>ψ（am+1y）和limm→∞ψ（amy）=0单调。（iii）首先，我们证明了Iis严格递减。