可预测的远期绩效过程：二项式案例

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英文标题：
《Predictable Forward Performance Processes: The Binomial Case》
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作者：
Bahman Angoshtari, Thaleia Zariphopoulou, Xun Yu Zhou
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We introduce a new class of forward performance processes that are endogenous and predictable with regards to an underlying market information set and, furthermore, are updated at discrete times. We analyze in detail a binomial model whose parameters are random and updated dynamically as the market evolves. We show that the key step in the construction of the associated predictable forward performance process is to solve a single-period inverse investment problem, namely, to determine, period-by-period and conditionally on the current market information, the end-time utility function from a given initial-time value function. We reduce this inverse problem to solving a functional equation and establish conditions for the existence and uniqueness of its solutions in the class of inverse marginal functions.
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中文摘要：
我们引入了一类新的远期绩效过程，这些过程对于基础市场信息集而言是内生的和可预测的，并且在离散时间更新。我们详细分析了一个二项模型，该模型的参数是随机的，并且随着市场的发展而动态更新。我们表明，构建相关可预测远期绩效过程的关键步骤是解决单期逆投资问题，即根据当前市场信息，逐期确定给定初始时间值函数的最终时间效用函数。我们将此反问题化为求解一个函数方程，并在一类逆边缘函数中建立其解的存在唯一性条件。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Predictable_Forward_Performance_Processes:_The_Binomial_Case.pdf (282.4 KB)

2022-5-26 23:47:31 上传

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关键词：二项式 Quantitative Mathematical Optimization Construction

可预测的前瞻性绩效过程：二项式案例*Bahman Angoshtari+Thaleia ZariphopoulouXun Yu Zhou§2019年3月20日摘要我们引入了一类新的前瞻性绩效过程，该过程对于潜在的市场信息集是内生的和可预测的，并且在离散时间更新。我们详细分析了一个组合模型，该模型的参数是随机的，并且随着市场的发展而动态更新。我们表明，构建相关可预测远期绩效过程的关键步骤是解决单期逆投资问题，即，根据当前市场信息，逐期有条件地从一个甚至初始时间值函数中确定最终时间效用函数。我们将此反问题化为求解一个泛函方程，并在一类逆边缘函数中建立了其解的存在唯一性条件。关键词：投资组合选择、远期绩效过程、二项式模型、反向投资问题、函数方程、可预测性。1简介经典的投资组合选择范式基于三个基本要素：给定的投资组合，绩效函数（如效用或风险回报交易），UT（·），应用于地平线末端，以及一个市场模型，该模型产生了[0，T]以上的随机投资机会。这个三元组在初始时间T=0时是外部和整体特定的。*这项工作在芝加哥和奥斯汀举行的暹罗金融数学会议、在苏州举行的第二届巴黎-亚洲定量金融会议、在奥克斯-阿卡举行的随机控制和相关问题研讨会以及在奥克斯福特大学、密歇根大学、安阿伯和明尼苏达大学IMA举行的研讨会上发表。

作者希望与会者提出富有成效的意见和建议，并感谢牛津马恩定量金融研究所的支持和热情款待。我们还感谢两位匿名评论员的建设性评论，这些评论导致了论文的改进版本。Zhou感谢哥伦比亚大学（Columbia University）的创业资助和华盛顿大学（University of Washington）应用数学系（Department of Applied Mathematics）的Oxford–Nie金融大数据实验室（theOxford–Nie Financial Big Data Lab.）的资助。电子邮件：bahmang@uw.edu.奥斯汀德克萨斯大学数学系和IROM系以及英国牛津大学牛津分校牛津马尼研究所。电子邮件：zariphop@math.utexas.edu.§IEOR系，哥伦比亚大学，纽约州纽约市，邮编：1 0027。电子邮件：xz2574@columbia.edu.Once选择这些成分，然后求解最优策略π*（·），并导出t=0时的值函数U（·），作为最优财富的最终效用的期望。因此，价值函数规定了每一笔初始财富可达到的最佳绩效值，因此，它可以被视为t=0时的绩效标准，与最终绩效标准（·）一致。这里，UT（·）是外生的，π*（·）和U（·）是内生的。因此，该模型需要一种从UT（·）到U（·）的时间反向方法。这也符合著名的动态规划原理（DPP），否则，也就是所谓的贝尔曼最优性原则。尽管这种方法有着经典的数学基础和理论吸引力，但它仍有一些缺点。首先，它严重依赖于整个投资周期的模型选择，这是不现实的，尤其是在周期较长的情况下。第二个困难是在初始时间对终端公用事业公司的预承诺。

事实上，当投资期限足够长时，很难评估和指定绩效函数。此外，性能标准自然取决于时间和状态（自然状态或代理环境状态）。更可能的是，人们知道现在或近期的效用或由此产生的优先分配，然后在某些一致性标准下保留它们（例如，参见Fischer Black，Black（1988））的旧注释）。第三，很少出现最优投资问题“终止”于单个水平T的情况，或者当投资活动被正确设置时，T是否是先验已知的情况。上述考虑导致了所谓的前向绩效衡量的发展，最初由Musiela和Zariphopoulou（2006）提出，后来由同一作者在一系列论文中（见Musiela和Zariphopoulou（20092010a，b，20 11））和其他人（如El Karoui和Mrad（2013））进行了扩展，以及Na dt ochiy和Tehranchi（2017年）），在连续时间市场环境中。前瞻性方法的主要思想是，与其在经典环境中进行筛选、投资水平、市场模型和最终效用，不如从最初的绩效衡量开始，并随着市场和其他潜在随机因素的发展不断更新。前进过程的演变是由民进党的一个超前版本决定的，因此，它确保了所有不同时期的时间一致性。大多数现有的远期绩效衡量结果都只关注连续时间，即It^o差异设置，在这种设置中，交易和绩效评估都是连续及时进行的。

Musiela a和Zariphopoulou（2010a）表明，正演过程与不适定的有限维随机偏微分方程（SPDE）相关，与经典值函数满足（在马尔可夫模型中）有限维Hamilton-Jacobi-Bellman方程（HJB）的方式相同。随后，El Karoui和Mrad（2013年）、Nadtochiy和Zariphopoulou（2014年）、Nadtochiy和Tehranchi（2017年）以及最近的Shkolnikov等人（2016年）针对不同时间尺度上的资产价格因素对这一绩效SPDE进行了研究。尽管这种正向SPDE存在技术挑战（不适定性、高维或不确定维、退化和波动性规格），但连续时间情况是可以处理的，因为可以使用随机计算，进而可以发展出微小的参数。然而，连续时间设置有一个主要缺点，即很难看到性能标准是如何从一个瞬间发展到下一个瞬间的。这种演变在微乎其微的水平上消失，隐藏在（通常难以处理的）随机PDE背后。本文的目的是介绍和研究在时间上是离散的，而在时间上可以是离散的或连续的远期投资绩效过程。我们将开发一种迭代机制，通过该机制，投资者可以根据其当前表现和对下一阶段即将到来的市场动态的评估，更新/预测其在下一个投资期的绩效。这种可预测性将以明确和透明的方式呈现。除了上述概念动机外，在研究离散时间可预测的远期性能时也有实际考虑因素。事实上，在投资实践中，交易是在离散时间进行的，而不是连续进行的。

更重要的是，通常情况下，绩效标准是由个人直接或间接决定的，例如更高级别的经理或客户，而不是由投资组合经理决定。这些“performanceevaluators”使用的信息集在内容和更新频率方面与投资组合经理使用的信息集有所不同。此外，即使交易频率极高（因此几乎接近连续交易），绩效评估/更新的速度也要慢得多，例如，高级经理不会像负责该投资组合的下属投资组合经理那样频繁跟踪投资组合的绩效或更新绩效标准。在本文中，我们将考虑（可能不确定）时间点序列，0=t，t，tn，对性能度量进行评估和升级的时间。任何给定的两个相邻点之间的（短）周期称为评估周期。我们以与连续时间对应方完全类似的方式定义了我们的前瞻性绩效流程。但是，我们选择使用在最近评估时根据信息可预测的流程。我们稍后将详细说明此要求。为了突出可预测的未来绩效流程的关键思想，我们从一个简单但仍然足够丰富的设置开始分析。市场由两种证券组成，一种是无风险资产，另一种是股票，其价格在时间0=t，t，.时按照二项模型演变。，tn，同时进行正向绩效评估。市场模型比标准二叉树更为通用，因为资产回报率及其可能性仅在未来一个时期进行估计/确定。

随着市场从一个时期发展到下一个时期，这样的设置允许对基础参数进行“实时”动态更新。离散时间可预测远期绩效过程的定义（见定义1）规定，在每个评估期【tn，tn+1】，初始绩效函数Un（·）只不过是该期Un+1（·）的预期效用最大化问题的函数值是终端实用功能。因此，在生成可预测的远期业绩过程时，我们需要在每个时期解决一个投资问题，其中给出了价值函数，并找到了终端效用函数。这个问题，我们称之为单期投资问题，然后需要依次“逐期”解决，条件是在这一时期开始时动态更新信息。结果表明，解决这一问题的关键是一个线性函数方程，它将每个评估期开始和结束时的逆边际过程联系起来。我们详细分析了这一方程，并建立了逆边缘函数类解的存在唯一性的条件。一旦解决了这种单期反向投资，然后从开始[0，t）并以迭代的方式向前推进，一个可预测的绩效过程与最优配置及其财富过程一起构建。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了一般市场环境下可预测的向前绩效过程的概念。然后，我们在行动3。

在第4节中，我们将可预测的for ward绩效过程的定义应用于二项式模型，并表明其构造简化为求解逆投资问题。在第5节中，这个反问题被证明等价于求解一个函数方程。在第6节中，我们导出了函数方程的有效存在性和唯一性条件以及显式解。最后，我们在第7节中介绍了一般的构造算法，并在第8节中进行了总结。主要结果的证明被放在附录中。2可预测远期绩效过程：一般定义在本节中，我们将在一般市场模型中介绍离散时间可预测远期绩效过程的概念。从下一节开始，我们将把市场设置限制为具有随机、动态更新参数的二项模型，并详细讨论此类性能过程的存在和构造。投资范式被置于概率空间中(Ohm, F、 P）增加过滤（Ft），t≥ 我们用X（t，X）表示所有容许财富过程Xs，s的集合≥ t、 从Xt=x开始，这样Xsis Fs是可测量的。“可接受”一词目前是通用的，一旦在续集中引入了特定的市场模型，将予以具体说明。我们称函数为U:R+→ R+实用（或性能）功能，如果U∈ C（R+），U′>0，U′<0，并满足INDA条件，limx→0+U′（x）=∞ 和limx→∞U′（x）=0。对于任意σ-代数G F、 G-可测量效用（或性能）函数集定义为asU（G）=U:R+×Ohm → RU（x，·）是G-每个x可测量∈ R+，U（·，ω）是一个效用函数a.s.}。换句话说，U（G）的元素基于G是已知的（预测的），因为它们对于G中包含的信息是可预测的。

或者，我们可以考虑∈ U（G）作为一个确定性效用函数，将信息输入G。接下来，我们定义了离散的可预测正向性能过程。为了简化旋转，我们跳过ω参数。定义1。设离散时间点0=t<t<···<tn<··。随机函数{U，U，U，····}的一系列是关于（Ft）的可预测的正向性能过程，如果Xn=xtn，Fn=Ftn，n=0，1，2，以下条件成立：（i）Uis是确定性效用函数，Un∈ U（Fn-1） 。在本文中，我们假设更新和交易同时发生。如上所述，这不一定是事实。然而，我们选择研究这一节俭的模型，以强调在离散时间内更新绩效衡量的重要性，而不需要太多的技术性。（ii）对于y初始财富x>0和任何容许财富过程x={Xn}∞n=0∈ X（0，X），Un-1（Xn-（1）≥ EP[联合国（Xn）| Fn-1] 。（iii）对于任何初始财富th x>0，存在容许财富过程x*= {X*n}∞n=0∈X（0，X）使UN-1.十、*n-1.= EP[Un（X*n） | Fn-1] 。除条件（i）外，该定义类似于其连续时间对应物（见Musiela和Zar ipho poulou（2009））。这种情况在连续时间模型中非常复杂，但在离散时间模型中是基本的。它明确要求下一个即将到来的评估时间的性能函数完全由当前时间之前的信息决定（因此被称为“可预测转发”）。另一方面，在连续时间的情况下，性质（ii）-（iii）来自Bellman的最优性原则，该原则规定过程Un（Xn）和Un（X*n） ，n=0，1，就过滤（Fn）而言，分别是超级马丁格尔啤酒和马丁啤酒。

由于Bellman原则强调时间一致性，属性（ii）-（iii）直接确保投资pr问题在可预测的forwardperformance标准下具有时间一致性。因此，上述性能度量本质上是由时间一致性要求（ii）-（iii）内生的。定义1已经提出了在离散时间构建可预测远期绩效函数的一般方案。实际上，从初始基准U开始，给定时间t=0，整个族U，联合国，可通过从Un确定UNF获得-1迭代，n=1，2，按照下面描述的方式。财产（ii）–（iii）规定，对于每个交易期-1，tn]，我们有-1.十、*n-1.= ess supXn∈X（tn-1，X*n-1） EP[联合国（Xn）| Fn-1] 。（1） 瞬间tn-1，自Fn起-1实现后，随机函数Un-1不确定，X也不确定*n-这反过来表明，我们应该考虑以下“单期”投资问题（以Fn为条件-1） ：Un-1（x）=ess supXn∈Xn公司-1，n（x）EP[Un（Xn）| Fn-1] ，（2）对于x>0，其中，稍微滥用符号，我们使用Xn-1，n（x）表示从tn开始的tn的容许财富集-1财富x。因此，如果我们能够确定f或每个n=1，2，性能函数Un∈ U（Fn-1） ，使该对（Un-1，Un）满足（2），那么我们将有一个迭代方案来构建整个可预测的远期绩效过程，从U开始。请注意，风险偏好的可预测性隐含在经典的预期效用有限期设置中，例如[0，T]，其中，交易是连续的，并且在初始时间T=0时预先选择了单一地平线T的确定性效用，因此它是F-可测量的。