可预测的远期绩效过程：二项式案例

然而，一个根本的区别是，经典理论中的终端效用函数是外生的，而不是内生的。人们很容易认识到，如果目标是导出Un，那么（2）将是经典的预期效用问题-1从Un，取消确定性效用函数。因此，我们现在考虑的是一个逆投资问题，因为我们给出了它的初值函数，我们寻求与后者一致的终端效用，这两个函数都是确定性的（有条件地取决于Fn-1） 。我们作出以下非常重要的观察。可预测远期标准的定义1可能首先表明，我们需要在t=0时选择完整模型，因为我们需要完全指定股票回报过程的水平和所有未来时间t，t，…的相关概率。如前所述，这是传统框架中非常严格的要求。但是，for wardsetting中的情况并非如此。事实上，正如我们在此分析的二项式模型所示，为了构建可预测的远期标准和相关的最优投资组合和财富，我们只需要在每个时期开始时知道，比如-1，tn），转移概率pn，以及返回Rn的值un，dn。换句话说，我们只需要指定tn-1单步模型输入（pn、un、dn）。因此，这个三联体是Fn-1.- 可测量的，因此，它可以准确地“实时”捕获（0，tn-1] 。无需指定at tn-1超出（pn、un、dn）的任何模型输入。我们还注意到，在此，我们不关心在Ft处产生“实时”更新模型输入（例如，二项式设置的pn、un、dn）的特定机制-1.

它可能是动态顺序学习过程的结果，也可能是由专家等外部提供的。关键的一点是，这里不要求对整个优化周期进行先验建模。据我们所知，文献中没有考虑过此类逆离散时间问题。在本文中，我们从二项式情况开始，在这种情况下，参数（转移概率和价格水平）不是先验的，而是随着市场的移动而逐段更新的。正如我们将看到的，虽然二项式模型是最简单的离散时间市场模型之一，但其分析非常丰富，其结果揭示了有关可预测远期绩效标准的关键经济见解。3具有随机动态更新参数的二项市场模型我们考虑一个有两种交易资产、一种无风险债券和一种股票的市场。债券被视为计价单位，在不丧失普遍性的情况下，假设其利率为零。t，t，…，时的股票价格，根据我们现在指定的二项式模型发展。设Rn为股票在一段时间内的总回报【tn】-1，tn）。这里，RN是一个随机变量，有两个值un>dn。我们假设Rn，un和dn，n=1，2，所有随机变量都在可测空间中吗(Ohm, F） 加上过滤（Fn），n=1，2，Fn表示在tn处可用的信息。此外，我们假设Rnis Fn是可测量的，其值un和dn是Fn-1-可测量。

换言之，每个投资期的高回报和低回报水平在该期开始时已知，而实现回报在其结束时已知。如果债券价格遵循一个可预测的随机过程，那么只要在贴现单位中进行适当的分析，本文的分析就有效。历史测度P是(Ohm, F） 满足以下标准无套利条件。如前所述，转移概率的特定值，如p、p2、，。。。，在t=0时不是先验规定的。此外，假设它们是在相应的交易期开始时提供的，即在交易期[tn-1，tn），tn处提供pnis-1因此，Fn-1-可测量。唯一存在的假设（见下文（ii））是这些概率满足自然无轨道条件。假设2。对于所有n=1，2，…：（i） 0<dn<1<un，P-a.s.，（ii）跃迁概率pn满足0<pn<1。投资者使用自我融资策略在股票和债券之间进行交易。她从t=0开始，总财富x>0，然后在tn，n=1，2，…，时重新平衡她的投资组合。在每个时期开始时，比如说[tn，tn+1]，她选择这个时期投资股票（以及债券中的其余部分）的金额πn+1。反过来，她的财富过程，由Xπn表示，n=1，2，…，根据财富方程Xπn+1=Xπn+πn+1（Rn+1- 1），X=X。允许投资者做空股票，但她的财富永远不会为负；因此，πn+1必须满足-Xπnun+1- 1.≤ πn+1≤Xπn1- dn+1；n=1，2。（3） 我们称之为投资策略π={πn}∞n=1如果是自融资，则允许，πnis Fn-1可测量，且（3）满足P-a.s。。

财富过程X={Xπn}∞如果生成n=0的策略π是可容许的，则n=0是可容许的。我们记得X（n，X）是容许财富过程{Xm}的集合∞m=n，从xn=x开始。我们还介绍了辅助的“单步”可接受投资组合集πn+1，在交易期间选择[tn，tn+1]，并假设财富x在tn，byAn，n+1（x）=πn+1：πn+1是Fn可测量的，-xun+1- 1.≤ πn+1≤x1- dn+1，x>0,以及相应的容许财富过程集xn，n+1（x）={x+πn+1Rn+1：πn+1∈ An，n+1（x），x>0}。备注3。我们的问题公式和结果可以很容易地推广到多资产的完整市场。然而，为了论文的可读性，我们选择保留当前的单一资产模型。4问题陈述和单周期逆投资问题的简化在本节中，我们在二项式模型中考虑可预测的正向绩效过程，并表明其构造简化为解决一系列单周期逆投资问题。投资者从初始公用事业UAN开始，并在t、t、…、，与相关性能函数U、U、。令人满意的定义1。现在，我们介绍了从U开始构建可预测的forwardperformance流程并从Un确定UNF的过程-1，对于n=1，2，…，迭代。当t=0时，方程式（1）变为（x）=ess supX∈X（0，X）EPhU（X）Fi=supπ∈A0,1（x）EPhUx+π（R- （1）i；x>0。（4） 由于市场参数（u、d、p）和初始数据UAR在t处已知，因此确定性（F-可测量）将导致第2节中讨论的单周期反向投资问题。

让我们暂时假设我们能够解决这个逆问题以获得U。在t=t时，投资者观察股票回报的实现情况，并估计第二个交易期[t，t]的参数（U，d，p）。在（1）中设置n=2，然后设置yieldsU（X*（x） ）=ess supX∈X（1，X*（x） ）EP[U（x）| F]，（5），其中x*（x） 是上一时期在t时产生的最佳财富，从t=0时的x开始。它源于经典的预期效用理论（也可参见下面的定理5），即tX*（x） =I（ρU′（x）），x>0，其中I=（U′）-1ρ是[0，t]期间的定价核，由ρ=1给出- dp（u- d） {R=u}+u- 1（1- p） （u）- d） {R=d}。映射x→ 十、*（x） 由于IandU′都是严格递减函数，ρ>0，且INDA条件产生x*（0）=0和X*(∞) = ∞.自X起*（x） 如果F是可测量的，并且参数（u，d，p）和Uare在t=t时都是已知的，我们推断（5）减少了，只是稍微滥用了符号，以发现（·）∈ U（F）使得U（x）=ess supπ∈A1,2（x）EP[U（x+π（R- 1） ）| F]；x>0，带Ugiven。换言之，我们需要解决另一个在数学上与（4）相同的单周期反向投资问题。在t=tn时，以与上面完全相同的方式，我们必须求解un（x）=ess supπn+1∈An，n+1（x）EP[Un+1（x+πn+1（Rn+1- 1））| Fn]；x>0，由此从Un导出Un+1，其中Un+1∈ U（Fn+1），参数（un、dn、pn）在tn处已知。因此，可以从任意初始财富x>0开始，迭代求解“逐周期”逆优化问题，获得可预测正向性能过程的所有项。

此外，正如我们在下一节中所示，我们还可以推导出最优投资组合和财富过程。总之，整个可预测远期建设的关键步骤是解决这一单期逆投资问题。我们将在下一节中进行此操作。5单周期逆投资问题我们重点分析逆投资问题（4）。为了简化演示，我们引入了一种简化的表示法。我们设置t=0、t=1和R=R，取值u和d，u>1和0<d<1，概率0<p<1和1- p、 分别为。我们回顾了风险中性概率Q=1- 杜邦- dand 1- q=u- 1u- d、 定价核ρ=ρu{R=u}+ρd{R=d}：=qp{R=u}+1- 第一季度- p{R=d}。（6） 投资者从财富X=X>0开始，将π投资于股票。t=1时的Herwealth由随机变量X=X+π（R）给出- 1） 。无破产约束（3）变为π（x）≤ π≤ π（x），其中π（x）=-徐- 1<0且π（x）=x1- d> 0。我们将可容许投资组合集表示为asA（x）={π∈ R、 和π（x）≤ π≤ π（x），x>0}。给定一个初始效用函数U，然后我们寻求一个确定性性能函数U，使得U（x）=supπ∈A（x）EP[U（x+π（R- 1） ）]；x>0。（7） 设U是确定性效用函数的集合。我们介绍了逆边缘函数集I，I：=我∈ C（R+）：I′<0，石灰→∞I（y）=0，limy→0+I（y）=∞.

（8） 注意，如果函数U和I满足I=（U′）-1，那么U是一个效用函数，当且仅当ifI是一个逆边际函数。假设f或现在存在一个效用函数usating（7），我们考虑逆边缘函数si=（U′）-1和I=（U′）-1、本节的主要目的是说明投资逆问题（7）将函数方程化为Iand I；见下文（9）。下面的定理是本文的主要结果之一，当相应的效用由（7）关联时，建立了交易期开始和结束时的反向边缘之间的直接关系[0，1]。定理4。让你，你∈ U满足优化问题（7）。然后，它们的逆边缘必须满足线性泛函方程I（ay）+bI（y）=（1+b）I（c y）；y>0，（9），其中=1- ppq1- q、 b=1- QQ和c=1- p1级- q、 （10）证明。根据标准参数，我们推断，对于所有x>0的情况，都存在一个优化器π*（x） 对于（7）满足一阶条件P（u- 1） U′（x+π）*（x） （u）- 1） ）+（1- p） （d）- 1） U′（x+π）*（x） （d）- 1） ）=0。（11） 的确，设f（π）：=E[U（x+π（R- 1） ）]。通过U（·）的凹度，一个hasf′（π）=E（R）- 1） U′（x+π（R- 1） （）≤ 0；π（x）<π<π（x）。此外，f′（π（x））=p（u- 1） U′（0）+（1- p） （d）- 1） U′型x+π（x）（d- （1）= +∞andf′（π（x））=p（u- 1） U′型x+π（x）（u- （1）+ （1）- p） （d）- 1） U′（0）=-∞.其中，我们使用了Inada条件U′（0）=+∞ x+π（x）（d-1） =x+π（x）（u-1） =0，定义为π（x）和π（x）。

因此，对于任何x>0，都存在唯一的π*（十）∈（π（x），π（x））使得f′（π*（x） ）=0，然后是（11）。另一方面，我们从（7）得到U（x）=p U（x+π*（x） （u）- 1） ）+（1- p） U（x+π*（x） （d）- 1） ）。微分上述方程yieldsU′（x）=p U′（x+π*（x） （u）- 1） ）+（1- p） U′（x+π）*（x） （d）- 1） ）+（π*)′（十）p（u- 1） U′（x+π）*（x） （u）- 1） ）+（1- p） （d）- 1） U′（x+π）*（x） （d）- 1） （）使用（11），得到一个su′（x）=p U′（x+π*（x） （u）- 1） ）+（1- p） U′（x+π）*（x） （d）- 1） ）。（12） 求解线性系统（11）-（12）givesU′（x+π*（x） （u）- 1） ）=（1- d） p（u- d） U′（x）和U′（x+π）*（x） （d）- 1） ）=（u- 1） （1）- p） （u）- d） U′（x）。因此，最优分配函数π*（x） 满意度x+π*（x） （u）- 1） =我1.-dp（u-d） U′（x）,x+π*（x） （d）- 1） =我u-1（1-p） （u）-d） U′（x）,（13） 从中我们得到了解π*（x） =u- d我1.- dp（u- d） U′（x）- 我u- 1（1- p） （u）- d） U′（x）; x>0。将上述内容代入（13）yields1中的任一等式- 杜邦- dI公司1.- dp（u- d） U′（x）+u- 1u- dI公司u- 1（1- p） （u）- d） U′（x）= x、 更改变量x=I（1）-p） （u）-d） u型-1年, y>0，以上变为I（1）- p） （1）- d） p（u- 1） y型+u- 11- dI（y）=u- d1- dI公司（1）- p） （u）- d） u型- 1年; y>0。注意（10），我们得出结论。下一个定理说明了如何从土地上恢复UF，并导出了最优投资组合π*（x） 以及它的财富x*（x） 。定理5。设Ube为效用函数，Ibe为其逆边际，Ibe为逆边际解函数方程（9）。

也让ρ为（6）给出的prici ng k e rnel。然后，以下陈述成立。（i） 函数Ude由U（x）定义：=U（1）+EP“ZxI（ρU′（1））i-1（ξ）dξ#；x>0，（14）是一个定义良好的效用函数。（ii）We haveU（x）=supπ∈A（x）EP[U（x+π（R- 1） ）]；x>0。（三）最优财富X*（x） 以及相关的最优投资分配π*（x） 分别由byX提供*（x） =I（ρU′（x））=x*,u（x）1{R=u}+x*,d（x）1{R=d}和π*（x） =x*,u（x）- 十、*,d（x）u- d、 withX公司*,u=IqpU′（x）和X*,d=I1.- 第一季度- pU′（x）.证据见附录A备注6。如定理5的证明所示，我们可以用U（x）：=U（c）+EP“ZxI（ρU′（c））I表示空间（14-1（ξ）dξ#；x>0，对于任意常数c>0。选择c不会改变U（x）的值，也不会改变最佳策略。如定理5的结果所示，投资逆问题（7）本质上归结为求解函数方程（9）。接下来我们研究这个方程。6反向边缘的函数方程在本节中，我们分析了线性函数方程（9），其中发现了正常数A、b、c的Igiven和Ito，由（10）给出。我们提供了其解的存在性和唯一性的条件，特别是逆边缘函数类中的解。首先，我们注意到（9）的解在文献中已知b<0（例如Polyanin和Manzhirov（1998））。不幸的是，在我们的情况下，b=1-据我们所知，qq>0对此我们不知道有任何结果。当a=1时，唯一解为平凡的I（y）=I（y）。这在经济上是直观的。如果p=q，则基本上没有可利用的风险溢价。因此，当本文假设r=0时，定价核变为常数ρ=1，最优财富减少到X*（x） =x。反过来，值函数（t=0时）与terminalutility一致。

因此，正演性能保持不变，U（x）=U（x），因此它们的逆边缘为I和I。事实上，在没有投资机会的市场中，没有理由修改绩效函数。从今以后，我们假设a 6=1。我们从一个例子开始，说明（9）的一般解可能不是唯一的，即使我们将解限制为逆边缘函数。这也符合连续时间设置中的时间单调前向过程。例如，在Musiela和Zariphopoulou（2010b）中，该正向性能由u（x，t）=u给出x、 Rt |λs | ds, u（x，t）是确定性函数，过程λ是ris k的市场价格。如果λ≡ 0，然后U（x，t）=U（x，0）=U（x，0），对于所有t≥ 0.示例7。设I（y）=ylogab，y>0，对于常数a，b>0，使得logab<0。很容易检查函数I（y）=δylogab，y>0，δ=（1+b）2b c- logab>0是（9）的解决方案。然而，这种特殊的解决方案并不是唯一的解决方案。实际上，考虑任何可微分的反周期函数，比如Θ（z）=-Θ（z+lna），其中存在一个常数TM>0，使得SUPz∈R（|Θ（z）|，|Θ′（z）|）<米<-δlogab1- logab=-（1+b）logab2b c- logab（1- logab）。例如，Θ（x）=M sin（xln aπ）就是这样一个函数。然后，可以直接检查函数I（y）=ylogab（δ+Θ（lny））；y>0是一种解决方案。事实上，两种解决方案都是反向边缘。这对我来说是显而易见的。至于▄我，我们有limy→∞~I（y）=0，因为logab<0。此外，它来自于不等式I（y）≥ ylogab（δ- M） ，y>0，该石灰→0+~I（y）=∞.